双重风险模型中最优红利的渐近分析

那么，谢谢∈德克斯Zτe-δtdDt≥ Ex“ZτM，e-δtdDM，t#（3.49）≥ 前任E-ΔτMτM<τ(1 - ）（λE[Y]- ρ） E“ZτE-δtdtX=M#=ExE-ΔτMτM<τ(1 - ）（λE[Y]- ρ)δ1.- Ehe-δτX=Mi= 前任E-ΔτMτM<τ(1 - ）（λE[Y]- ρ)δ1.- E-β，λM,式中，β，λ是满足方程（3.50）ρβ，λ+（1）的唯一正值- ）（λE[Y]- ρ） β，λ+λZ∞[e]-β，λy- 1] p（y）dy- δ=0，很容易检查β，λ→ β,∞, 在那里，∞是满足以下条件的唯一正值：（3.51）（1）- E[Y]β，∞+Z∞[e]-β,∞Y- 1] p（y）dy=0。自τM→ λ时为0→ ∞, 根据有界收敛定理（3.52）limλ→∞前任E-ΔτMτM<τ= 1.因此，（3.53）lim infλ→∞λsupD∈德克斯Zτe-δtdDt≥ (1 - ）E[Y]δ（1）- E-β,∞M） 。最后，让我→ ∞ 先是然后→ 0，我们得到（3.54）lim infλ→∞λsupD∈德克斯Zτe-δtdDt≥E[Y]δ。（ii）假设δ>0，T>0。让我们先跳过上限。设（3.55）V（x，t；λ）：=supD∈德克斯“ZT∧τte-δtdDt#。然后，V（x，t）满足方程：（3.56）max五、T- ρ五、x+λZ∞[V（x+y，t；λ）- V（x，t；λ）]p（y）dy- δV，-五、x+1= 0，终端条件V（x，T；λ）=x。现在定义函数U（x，T）：=x+λE[Y]-ρδ(1 - E-δ（T-t） ）和考虑套利股息策略∈ D.双风险模型中的再灌注交感神经分析，即dXt=ρdt+dJt- 滴滴涕。因此，通过I t^o公式，我们得到u（x，0）=Ex[e-δ（T∧τ）U（XT）∧τ、 T∧ τ） ]+Ex“ZT∧τe-δs-Ut（Xs，s）+ρUx（Xs，s）（3.57）- λZ∞[U（X+y，s）- U（Xs，s）]p（y）dy+δU（Xs，s）ds#+Ex“ZT∧τe-δsUx（Xs，s）dDs#- 前任Xs≤T∧τe-δsU（Xs+，s）- U（Xs，s）+Ux（Xs，s）Ds.通过直接计算，上面的黎曼积分和termEx[e-δ（T∧τ）U（XT）∧τ、 T∧ τ） ]是非负性的。同样对于第一个术语，我们有（Xs+，s）- U（Xs，s）-Ux（Xs，s）Ds=0。因此，我们可以写eu（x，0）≥ 前“ZT∧τe-δSDD#在D上取supr emum∈ D给出了我们想要的结果。接下来，让我们证明下界。

对于任何0<<1的情况，考虑以固定利率（1）支付股息的定义1中的策略dm- ）（λE[Y]- ρ） 在盈余达到M以上之后。那么，谢谢∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#（3.58）≥ 前任E-ΔτMτM<τ∧T(1 - ）（λE[Y]- ρ） E“Z（T-τM）∧τe-δtdtX=M，τM<τ∧ T#=ExE-ΔτMτM<τ∧T(1 - ）（λE[Y]- ρ)·δ1.- Ehe-δ（（T-τM）∧τ)X=M，τM<τ∧ 钛,这意味着（3.59）lim infλ→∞λsupD∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#≥ (1 - ）E[Y]δ1.- E[E]-δ（T∧τ）|X=M].现在，首先让我→ ∞ 然后是→ 0，并遵循与（i）中相同的参数，我们得到所需的下限。20 ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHU（iii）假设δ=0，T>0。通过使用函数U（x，t）：=x+（λE[Y]，上界与（ii）中类似- ρ） （T）- t） 。我们可以展示（3.60）supD∈德克斯“ZT∧τdDt#≤ x+（λE[Y]- ρ） T.下限与（ii）中的类似。我们可以证明（3.61）lim infλ→∞λsupD∈德克斯“ZT∧τdDt#≥ (1 - E[Y]E[T∧ τ| X=M]。现在，让我→ ∞, 我们有→ ∞ 在概率论和有界收敛定理中，我们有（3.62）lim infλ→∞λsupD∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#≥ (1 - ）E[Y]δT，因为它对任何>0都成立，所以我们得到了期望的下界。备注19。实际上，对于大λ区域，我们也可以有一个近似最优的离散红利策略，作为定理7证明中定义的连续红利策略D的替代方案。让我们考虑一个特定的策略D*这是一种屏障策略，屏障x>0，与初始的s urplus相同。那么，谢谢∈德克斯Zτe-δtdDt≥ 前任Zτe-δtdD*T(3.63)≥∞Xn=1Exhe-τ（n）xδn[τ（n）]-1） x，τ（n）-1） x+[t]≥1Yn>ρt（Yn）- ρt） i其中τ（n）xis是过程跳到阈值x以上的第n次，τ（0）x:=0，并且y是i.i.d.之前的分布。本质上，我们通过计算之前发生跳转的事件来提供一个下限在过程开始后，跳变大小大于ρ它保证了进程超过阈值x并支付红利。

因此，我们支持∈德克斯Zτe-δtdDt(3.64)≥ E[1Y>ρt（Y）- ρt） ]∞Xn=1告密-τ（1）xδN[0，[t]≥1τ（1）x=inf{t>0:Nt=1}in、 这很容易计算-τ（1）xδN[0，[t]≥1τ（1）x=inf{t>0:Nt=1}i=Zte-δsλe-δsds（3.65）=λδ+λh1- E-(λ+δ)ti，这意味着（3.66）supD∈德克斯Zτe-δtdDt≥ E[1Y>ρt（Y）- ρt） ]λδ+λ1.- E-(λ+δ)T1.-λδ+λ1.- E-(λ+δ)T.双风险模型的渐近分析t>0，我们有（3.67）lim infλ→∞λsupD∈德克斯Zτe-δtdDt≥δE[1Y>ρt（Y）- ρt） ]。让T→ 0，我们得到了期望的下限。3.4. 小ρ区。定理10和命题11的证明。（i） 根据我们的假设，ρ=0。设v（x）=x+λE[Y]δ。然后，我们可以计算出麦克斯λZ∞[v（x+y）- v（x）]p（y）dy- δv（x），1- v′（x）（3.68）=最大值{-δx，0}=0。因此，v（x）=x+λE[Y]δ是上述问题的经典解。经典化定理，如[10，定理8.4.1]表明v（x）≥ V（x；ρ）表示ρ=0。因此，有足够的证据表明，存在一系列策略D∈ 德苏克·塔林·苏普→0ExZτe-δtdDt= v（x）。回想一下支付股息x的策略D- 在轧棉机上进行轧棉，然后在轧棉机上进行任何超过轧棉机的盈余。然后，安第斯山脉就再也不会发生毁灭Zτe-δtdDt= 十、- +Ex“∞Xn=1e-Δτ（n）Yn#=x- +E[Y]∞Xn=1Exhe-Δτ（n）i=x- +E[Y]∞Xn=1Exhe-nΔτ（1）i=x- +λE[Y]δ，其中n≥ τ（n）是过程J第n次跳跃的时间。因此，（2.52）成立。（ii）对于δ>0和有限T>0，设v（T，x）=x+λE[Y]δ（1）- E-δ（T-t） ）。然后v（T，x）=x和max五、t（t，x）+λZ∞[v（t，x+y）- v（t，x）]p（y）dy- δv（t，x），1-xv（t，x）= 麦克斯{-δx，0}=0。因此v（t，x）=x+λE[Y]δ（1）- E-δ（T-t） ）是一个经典的解决方案。因此，可以对函数v（t，x）重复上述参数，得到（2.53）。（iii）当δ=0时，函数v（t，x）=x+λE[Y]（t）- t） 应该使用toobtain（2.54）。3.5. 大δ区。定理12的证明。

当初始盈余在时间0完全支付时，该策略给出了值x。因此，这给了我们一个下限。接下来，让我们证明上界。无需说明，对于任何x（3.69）V（x；δ），最优策略是具有最优势垒b的势垒策略≤ 十、- b+λE[Y]- ρδ≤ x+λE[Y]- ρδ.这给了我们上限。22 ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHU3。6.小T区。定理13的证明。让我们先证明一下上限。很明显，（3.70）supD∈DEx“Zτ∧Te-δtdDt#≤ 苏普德∈DEx“Zτ∧TdDt#=Ex[Xτ∧T] =Ex[XT]，对于非常小的T>0，因为当不存在dis count因子时，支付股息永远不是最优的，如果不支付股息，则破产时间τ≥xρ>T表示非常小。我们可以很容易地计算出（3.71）Ex[XT]=x+（λE[Y]- ρ） 这给了我们上限。现在让我们来看看下限的证明。让我们考虑一种股息策略，即-在时间0时支付，剩余盈余为，不支付股息。对于任何一个T，如果它足够小，使得T<ρ，那么在时间T之前就不会发生破产，即τ>T。考虑到这一特殊策略，我们∈DEx“Zτ∧Te-δtdDt#≥ Ex“Zτ∧Te-δtdDt#（3.72）=x- +e-δT[+（λE[Y]- ρ） T]=x- δT+O（T）+（λE[Y]- ρ） T+O（T），表示T<ρ。以=2ρT为例，它将给出所需的下限。参考文献[1]阿方索、L.B.卡多佐、R.M.R.和A.D.如idio dos Reis。(2013). 双重风险模型中的Divi-dend问题。保险：数学和经济学。53, 906-918.[2] 阿尔布雷彻，H.，巴德斯库，A.和D.兰德里奥。(2008). 关于纳税的双重风险模型。保险：数学和经济学。42, 1086-1094.[3] Avanzi，B.，Cheung，E.C.K.，Wong，B.和J.K。沃奥（2013）。在偿付能力连续监测的双重模型中，研究了一种周期性的股利限制策略。保险：数学和经济学。

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