双重风险模型中最优红利的渐近分析

让我们考虑一下这一节中的大t渐近。表示值函数as（2.33）V（x；T）：=supD∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#。让我们区分两种情况：δ>0和δ=0。当δ>0时，直观地看，有限视界值函数将收敛到有限视界值函数，即T→ ∞:（2.34）V（x；T）=supD∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#→ 苏普德∈德克斯Zτe-δtdDt.实际上，我们可以给出收敛速度的上界，并严格地展示以下结果：8 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu4定理。当s umeδ>0时，我们有（2.35）V（x；T）- 苏普德∈德克斯Zτe-δtdDt≤ （x+λE[Y]T）E-δT+λE[Y]δE-δT。接下来，让我们考虑δ=0的情况，即（2.36）V（x；T）=supD∈德克斯“ZT∧τdDt#。然后，我们预测（2.37）极限→∞V（x；T）T=（λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）。稍后我们将严格展示这个结果。在我们继续之前，让我们先给出一些启发性的论证，并获得这个结果背后的一些直觉。请注意，当δ=0时，未来股息的现值不会随着支付时间的变化而衰减。更重要的是，λE[Y]>ρ，因此有一个上升趋势，如果公司持有财富而不是支付股息，那么公司破产的可能性很小。另一方面，我们已经认识到，股息的价值不会随着时间的推移而衰减，因为δ=0，因此，最佳策略是在到期日t之前不支付任何股息，前提是此时公司没有破产。作为T→ ∞, 公司没有破产的概率是最终的生存概率，即1- E-αx.另一方面，忽略破产可能性，通过Dynkin公式，我们可以计算出公司在T时的预期财富为（2.38）Ex[XT]=x+ZTEx[AXs]ds=x+（λE[Y]- ρ） T，其中A是工艺Xt的装置。

对于大T，平均λE[Y]- ρ是公司的增长率。因此，我们希望g et（2.39）limT→∞V（x；T）T=（λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）。严格的结果如下。定理5。作为T→ ∞, 我们有（2.40）个supD∈德克斯“ZT∧τdDt#=（λE[Y]-ρ)\"(1 - E-αx）T+e-αxxρ- λR∞E-αyyp（y）dy+o（1）#。当δ=0时，最佳策略是在T之前分配任何红利∧ τ. 但在实践中，这并不是很现实。事实上，我们将证明，在盈余达到M水平以上后支付连续除法和收益率的DM，策略几乎是最优的：命题6。对于任何ε>0，让T>0等于（2.41）特苏普德∈DEx“Zτ∧TdDt#- （λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）≤ ε.双风险模型9中的渐近分析那么，对于足够大的M和足够小的，DM，是εt最优策略，即（2.42）TEx“Zτ∧TdDM，t#- （λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）≤ ε.2.3. 大λ区。让我们考虑一下本节中的大λ渐近。这与该公司拥有巨大增长率和快速扩张时的制度相对应。现在，让我们假设yi是指数分布的，比如p（y）=νe-νy.让我们回忆一下x的情况≥ 我们有（2.43）V（x；λ）=x- b+V（b；λ）。现在是λ→ ∞, 我们很容易从（2.4）中看出→ 0和r→ -∞ 到（2.3）b→ 值函数的渐近性完全由（2.44）V（b；λ）决定~λνδ，asλ→ ∞.更一般地说，我们有（2.45）V（b；λ）~λE[Y]δ，作为λ→ ∞.直觉如下。Asλ→ ∞, 破产概率将趋于零。让我们假设X=X。在任何给定的时间t，经过一个小的时间步长t、 预期财富增加到x+（λE[Y]- ρ)t、 然后在时间t+t、 您立即支付金额（λE[Y]- ρ )然后你就开始了财富x并继续这个过程。让T→ 0，我们得到（2.46）V（x；λ）~ （λE[Y]- ρ） Z∞E-δtdt=λE[Y]- ρδ~λE[Y]δ。定理7。

（i） 假设δ>0。我们有（2.47）个supD∈德克斯Zτe-δtdDt~λE[Y]δ，作为λ→ ∞.（ii）假设δ>0，对于任何T>0，我们有（2.48）supD∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#~λE[Y]δ（1）- E-δT），asλ→ ∞.（iii）假设δ=0，对于任何T>0，我们有（2.49）supD∈德克斯“ZT∧τdDt#~ λE[Y]T，asλ→ ∞.最优策略总是障碍策略。但在实践中，股东更喜欢连续分红。考虑股息策略DM，从定义1来看，它支付持续股息收益率（1- ）（λE[Y]- ρ） 在剩余进程达到M以上之后。我们将证明DM，策略几乎是最优的：命题8。给出定理7中的任何一种情况。对于任何ε>0，存在一些M，>0，使得DM，策略是ελ-最优的。备注9。也可以采用接近最优的离散股息策略，见备注19.10 ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHU2。4.小ρ区。让我们在本节中考虑小ρ渐近。我们将看到，当ρ=0时，对于任何x>0，（2.50）V（x；ρ）=x+λE[Y]δ。直觉是，当ρ→ 破产概率可以忽略不计，如果δ>0，则将几乎所有盈余立即作为股息分配给股东而不是持有它是最优的。然后，每次盈余增加时，我们都会把盈余作为股息。更准确地说，对于>0，让D成为支付股息x的策略- 在开始时，任何超过的盈余在0时，初始财富x，你给出x- 美元作为股东的股息。然后在过程J，τ（n）的第n次跳跃时，财富增长到Yn+，然后你给Ynas分红。因此，当ρ=0时，（2.51）V（x；ρ）=x+Z∞E-δtλE[Y]dt=x+λE[Y]δ。为了得到更严格的证明，请注意，对于x>b，V（x；ρ）=x- b+V（b；ρ）。回想一下（1.10），V（b；ρ）=λE[Y]-ρδ. 因此，对于ρ=0，我们有（2.51）。

事实上，对于最终的地平线情况，最佳策略应该是相同的。定理10。假设ρ=0。（i） 对于任何δ>0，我们有（2.52）supD∈德克斯Zτe-δtdDt= x+λE[Y]δ。（ii）对于任何δ>0和T>0，我们有（2.53）supD∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#=x+λE[Y]δ（1）- E-δT）。（iii）对于δ=0和任何T>0，我们有（2.54）supD∈德克斯“ZT∧τdDt#=x+λE[Y]T.命题11。给出定理10中的任何一种情况。对于ε>0，存在>0，因此策略D是ε-最优的。对于p（y）=νe的特殊情况-νy，我们甚至可以找到二阶近似值ρ→ 让我们回忆一下，对于x>b，V（x；ρ）=x- b+V（b；ρ），其中b由（2.3）给出。从（2.4）中，很容易看出~-（λ+δ）ρ~νδλ+δ. 这意味着（2.55）b~ρ-（λ+δ）对数νδλ+δ-ρλ + δδ-λ~-ρlogρλ+δ，作为ρ→ 因此，我们得出结论，对于任何x>0的情况，（2.56）V（x；ρ）~ x+λνδ+ρlogρλ+δ，作为ρ→ 0.双重风险模型中的渐近分析112.5。大δ区。让我们在本节中将大δ视为符号。当δ→ ∞, 直觉上，很明显，如果公司等待，未来股息的现值将几乎为零，因为这是一个极端的折扣因素。因此，不难看出，最佳策略是尽早将盈余作为股息分配给股东，而不是晚些时候。直觉上，人们可能会猜测，所有盈余都应该在z ero和supD（2.57）时作为股息分配给股东∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#~ x、 asδ→ ∞.稍后我们将证明这确实是真的。此外，我们可以得到δ的二阶近似值→ ∞ 当它们呈指数分布时。让我们考虑当p（y）=νe时的特殊情况-当除以（1.10）时，对于anyx>b，我们有（2.58）V（x；δ）=x- b+λE[Y]- ρδ=x- b+λν- ρδ.最佳势垒b由（2.3）给出。然后从（2.4）中，很容易看出这一点~ -Δρasδ→ ∞ 和s~ νasδ→ ∞.

此外，我们可以计算ρr+δ=-(λ + δ - νρ)-p（λ+δ）- νρ)+ 4ρνδ+ δ(2.59)=δ - λ + νρ -p（δ）- λ + νρ)+ 4δλ=-2δλδ - λ+νρ+p（δ）- λ + νρ)+ 4δλ~ -λ、 asδ→ ∞. 因此，插入（2.3），我们得到（2.60）b~ρlog（λνρ）δ，asδ→ ∞.因此，我们得出结论，对于任何x>0的情况，（2.61）V（x；δ）=x- b+λν- ρδ~ x+δλν- ρ - ρlogλνρ,asδ→ ∞.我们确实可以严格地证明一般分布函数的一阶近似，并得到以下结果：定理12。（2.62）supD∈德克斯Zτe-δtdDt~ x、 asδ→ ∞.2.6. 小T区。让我们将小T视为本节中的症状。当T→ 0，公司几乎没有时间积累新的财富，因此公司可以支付给股东的全部金额大约为x。在小时间间隔[0，T]内，对于足够小的时间间隔，破产概率为零，因为直到时间xρ之后才会发生。所以在这个短时间间隔内，不存在破产风险。对于小T，很容易计算Ex[XT]=x+（λE[Y]- ρ） T。对于任何股息，在时间0和时间T支付股息之间的差异最多只是一个盘数因子e-δT.由于没有ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHUrisk，初始财富x应作为股息提前支付给股东。（λE[Y]- ρ） T是O（T）阶，因此贴现因子对新财富数量的影响是O（T）阶，可以忽略不计。因此，我们有以下结果：定理13。假设λE[Y]>ρ。作为T→ 0，我们有（2.63）个supD∈DEx“Zτ∧Te-δtdDt#=x+（λE[Y]- ρ） T+O（T）。附录：证据3。1.小δ区。定理2和命题3的证明。

（i） 首先，让我们来证明我们找到的答案。让我们回忆一下（3.1）分钟δV（x；δ）+ρV′（x；δ）- λZ∞[V（x+y；δ）- V（x；δ）]p（y）dy，V′（x；δ）- 1.= 0，V（0）=0。让我们定义U（x）：=δV（x；δ），使U满足（3.2）minδU（x）+ρU′（x）- λZ∞[U（x+y）- U（x）]p（y）dy，U′（x）- δ= 0，U（0）=0。我们想证明，对于δ>0非常小的情况，U（x）≤ U（x）：=（λE[Y]- ρ)(1 - E-α（δ）x）+δx，其中α（η）是（3.3）F（α）=αρ的最大正根- λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy+η=0。如果η>0，则α（η）存在。对于η<0且非常小的情况，F（α）=0至少有一个正函数。在加法中，α（δ）是一个连续函数。让我们展示一下≤ U.考虑一个任意可容许的红利str ategyDt，用D=0增加c`adl`ag函数。U（x）=Ex[e-δ（t）∧τ） U（Xt）∧τ） [（3.4）+前“Zt”∧τe-δsρU′（Xs）- λZ∞[U（Xs+y）- U（Xs）]p（y）dy+δU（Xs）ds#+ExZt∧τe-δsU′（Xs）dDs- 前任Xs≤T∧τe-δs[U（Xs+）- U（Xs）- U′（Xs）[Ds].在一个双风险模型中，直接计算的渐近分析表明δU+ρU′- λZ∞（U（x+y）- U（x））p（y）dy=δx≥ 0，（3.5）U′（x）≥ δ.（3.6）因此（3.7）U（x）≥ 告密-δ（t）∧τ） U（Xt）∧τ） i+δExZt∧τe-δSDDC.注意这里我们用了U′≥ δ, Ds≥ 0和Xs+≤ Xs，（3.8）Xs≤T∧τ[U（Xs+）- U（Xs）- U′（Xs）Ds]e-δs≤ 0.由SENT提供↑ +∞, 我们得到（3.9）U（x）≥ 极限→∞告密-δ（t）∧τ） U（Xt）∧τ） i+δExZ∞E-δtdDt.注意limt→∞前任E-δ（t）∧τ） U（Xt）∧τ)= 0.因此，如果服用过量∈ D、 我们得到（3.10）U（x）≥ δsupD∈德克斯Z∞E-δtdDt= δV（x；δ）=U（x）。从U（x）≤ U（x），由此得出（3.11）lim supδ→0δV（x；δ）≤ （λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）。（ii）现在让我们考虑下限（命题3也将遵循）。对于任何M>0和>0的情况，让我们回顾一下股息策略DM的定义，定义1：直到流程第一次跳过M，然后以连续利率支付股息（1- ）（λE[Y]- ρ） ，还记得τM、Xt、τ、τM、和τ的定义。

因此，我们支持∈德克斯Zτe-δtdDt(3.12)≥ Ex“ZτM，e-δtdDM，t#≥ 前任E-ΔτMτM<τE“ZτE-δt（1）- ）（λE[Y]- ρ） dtX=M#=ExE-ΔτMτM<τ(1 - ）（λE[Y]- ρ)δ1.- Ehe-δτX=Mi,其中，上面的第二个不等式使用了XτM这一简单事实≥ M和一个下限由X=M而不是X=XτM开始给出。注意，（3.13）limδ→0Ehe-δτX=Mi=P（τ<∞|X=M）和u（X）：=P（τ<∞|X=X）满足方程（3.14）- ρu′（x）- (1 - ）（λE[Y]- ρ） u′（x）+λZ∞[u（x+y）- u（x）]p（y）dy=0,14 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu，边界条件u（0）=1，这意味着（3.15）p（τ<∞|X=M=e-αδ，M，其中α是满足以下等式的唯一正值：（3.16）ρα- (1 - ）（λE[Y]- ρ） α+λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy=0。此外，我们还有（3.17）limδ→0ExE-ΔτMτM<τ= Px（τM<τ）。因此，我们有（3.18）lim-infδ→0δsupD∈德克斯Zτe-δtdDt≥ Px（τM<τ）（1）-）（λE[Y]-ρ)(1-E-αM）。因为它适用于任何M>x，所以我们可以让M→ ∞ 由此得出（3.19）lim-infδ→0δsupD∈德克斯Zτe-δtdDt≥ Px（τ=∞)(1 - ）（λE[Y]- ρ).最后，注意Px（τ=∞) = 1.- E-αx对任何>0都有效，我们可以让→ 0.这将产生所需的下限。3.2. 大号T型雷吉我。定理4的证明。对于任何D∈ D前“ZT∧τe-δtdDt#- 前任Zτe-δtdDt= 前任ZτT∧τe-δtdDt(3.20)≤ 前任Z∞Te-δtdDt.ρ的预期贴现股息总额≥ 当ρ=0时，0的上边界为大小写。在ρ=0的情况下，不存在破产风险，任何盈余应立即支付给股东。因此，对于任何D∈ D、 前的上限R∞Te-δtdDt具体如下。如果在时间T之前没有支付股息，那么当ρ=0时，时间T的盈余预期值为x+λE[Y]T，并且盈余在时间T支付，之后，任何盈余都会立即支付，因此对于任何D∈ D、 （3.21）ExZ∞Te-δtdDt≤ （x+λE[Y]T）E-δT+λE[Y]Z∞Te-δtdt，它产生des-ired结果。

现在让我们来看定理5的证明，它将由Emma 14和引理15直接隐含。首先，让我们证明，如果公司在到期前没有破产，那么最优策略是在到期前不支付任何股息，到期时的所有盈余都作为股息分配给股东。引理14。（3.22）supD∈德克斯“ZT∧τdDt#=Ex[XT∧τ] ，其中Xt:=x- ρt+jt，设τ为过程X的破产时间。对偶风险模型的渐近分析。设D为任意可容许的红利策略，使得XT∧τ=0，其中τ是processdXt=-ρdt+dJt- dDt，X=X。然后，将t<t的股息策略D定义为Dt=0∧ τ和∧DT∧τ=XT∧τ.对于t<t，我们有Xt=Xt- Dt。然后，前“ZT”∧τdDt#=Ex[XT∧τ] - Ex[XT∧τ] =Ex[XT∧τ] 另一方面，由于λE[Y]-ρ>0，Xis是次鞅，因此，Ex[XT∧τ] ≤Ex[XT∧τ]. 这里我们使用了τ≥ τ. 这意味着“ZT”∧τdDt#≤ Ex[XT∧τ] =Ex“ZT∧τdDt#。上述《mma法》主张，在没有折扣的情况下，在期末支付盈余作为股息是一种最佳策略。这使得我们只关注最终的股息支付策略。当股息在最后时间支付时，预期股息等于Ex[XT]∧τ] ，我们将在下一步估算为T→ ∞.引理15。（3.23）Ex[XT∧τ] =（λE[Y]- ρ)\"(1 - E-αx）T+e-αxxρ- λR∞E-αyyp（y）dy+o（1）#，as T→ ∞.证据通过Dynkin公式，我们可以计算出（3.24）Ex[XT∧τ] =x+（λE[Y]- ρ） 前[T]∧ τ].注意（3.25）Ex[T∧ τ] =Ex[τ·1τ<T]+tpx（τ>T）。通过引理16，我们得到了（3.26）Ex[τ·1τ<∞] =xρ- λR∞E-αyyp（y）dy.此外，（3.27）limT→∞Px（τ>T）=Px（τ=∞) = 1.- E-因此，我们证明了（3.28）limT→∞TEx[XT∧τ] =（λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）。最后，注意Ex[τ·1τ<∞] < ∞.

因此，（3.29）Ex[τ·1τ<∞] =Z∞Px（t≤ τ< ∞)dt<∞,这意味着（3.30）Px（τ≥ （T）- Px（τ=∞) = Px（T≤ τ< ∞) = o（T）-1） ，16阿拉什·法希姆和凌炯·朱斯T→ ∞. 因此，我们得出（3.31）Ex[XT∧τ] =（λE[Y]- ρ)\"(1 - E-αx）T+e-αxxρ- λR∞E-αyyp（y）dy+o（1）#，as T→ ∞. 引理16。在ρ<λE[Y]的条件下，我们有（3.32）Ex[τ·1τ<∞] =xρ- λR∞E-αyyp（y）dy.证明。当Px（τ=∞) > 0，我们可以考虑计算（3.33）v（x）：=Ex[e-θττ<∞],满足方程：（3.34）- ρv′（x）+λZ∞[v（x）- v（x）]p（y）dy- θv（x）=0，边界条件v（0）=1。很容易看出tV（x）=e-α（θ）x，其中α（θ）>0是方程的唯一解：（3.35）ρα（θ）+λZ∞[e]-α（θ）y- 1] p（y）dy- θ = 0.通过对θ的微分，我们得到（3.36）ρα′（θ）- λα′（θ）Z∞E-α（θ）yyp（y）dy- 1 = 0.另一方面，（3.37）Ex[ττ<∞] = α′（0）xe-α（0）x.通过让θ=0 in（3.36），我们得出结论（3.38）Ex[ττ<∞] =E-αxxρ- λR∞E-αyyp（y）dy，其中α>0是方程的唯一解：（3.39）ρα+λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy=0。因此，（3.40）Ex[τ|τ<∞] =xρ- λR∞E-αyyp（y）dy。备注17。注意，Ex[τ·1τ<∞] < ∞ 要求条件（3.41）ρ- λZ∞E-αyyp（y）dy>0是令人满意的。这可以通过以下方式轻松检查。回想一下，α是方程（3.42）ρα+λZ的唯一正解∞[e]-αy- 1] p（y）dy=0。在一个双重风险模型中，将（3.42）代入（3.41），条件（3.41）等价于：（3.43）Z∞[1 - E-αy- E-αyαy]p（y）dy>0。设F（x）：=1- E-十、- E-xx代表x≥ 很容易计算出F（0）=0和F′（x）=e-xx>0，这意味着对于任何x>0的情况，F（x）>0，因此（3.41）成立。备注18。在Yi呈指数分布的情况下，假设p（y）=νe-对于某些ν>0，我们可以计算α=λρ- ν和（3.44）Ex[τ|τ<∞] =xρ（1）-ρνλ).命题6的证明。对于任何M>0和>0，让我们回顾一下τM、Xt、τ、τM、和τ的定义。

根据定理m2和命题3的证明中类似的论点，我们已经∈DEx“Zτ∧TdDt#≥ Ex“ZτM，∧TdDM，t#≥ Px（τM<τ∧ T）（1）- ）（λE[Y]- ρ） E[τ∧ （T）- τM）|X=M，τM<τ∧ T]=Px（τM<τ∧ T）（1）- ）（λE[Y]- ρ)·E[（T- τM）1τ=∞|X=M，τM<τ∧ T]+E[τ∧ （T）- τM）1τ<∞|X=M，τM<τ∧ [T].因此，我们已通知→∞特苏普德∈DEx“Zτ∧TdDt#（3.45）≥ Px（τM<τ）（1）- ）（λE[Y]- ρ） P（τ=∞|X=M）。因此，我们得出结论：Lim→0毫米→∞lim infT→∞特苏普德∈DEx“Zτ∧TdDt#（3.46）≥ Px（τ=∞)（λE[Y]- ρ) = (1 - E-αx）（λE[Y]- ρ).3.3. 大λ区。定理7和命题8的证明。（i） 首先，让我们证明上界。请注意，最佳策略是（3.47）V（x；λ）=x的势垒策略- b+V（b；λ），对于x>b，对于x<b和V（0；λ）=0，V′（x；λ）>1。因此，很容易看出，对于x<b，我们有V（x；λ）≤ 十、- b+V（b；λ）。另一方面，通过（1.10），V（b；λ）=λE[Y]-ρδ. 因此，对于任何x，（3.48）V（x；λ）≤ 十、- b+λE[Y]- ρδ≤ x+λE[Y]- ρδ.18 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhuh给出了上限。接下来，让我们证明下限。对于任何M>0和>0，让我们重新定义股息策略DM的定义，定义1：直到过程第一次跳到M以上，然后以连续利率（1）支付股息，才支付股息- ）（λE[Y]- ρ） ，还记得τM、Xt、τ、τM、和τ的定义。