双重风险模型中最优红利的渐近分析

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英文标题：
《Asymptotic Analysis for Optimal Dividends in a Dual Risk Model》
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作者：
Arash Fahim, Lingjiong Zhu
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The dual risk model is a popular model in finance and insurance, which is often used to model the wealth process of a venture capital or high tech company. Optimal dividends have been extensively studied in the literature for the dual risk model. It is well known that the value function of this optimal control problem does not yield closed-form solutions except in some special cases. In this paper, we study the asymptotics of the optimal dividends problem when the parameters of the model go to either zero or infinity. Our results provide insights to the optimal strategies and the optimal values when the parameters are extreme.
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中文摘要：
双重风险模型是金融和保险领域的一种流行模型，通常被用来模拟风险投资或高科技公司的财富过程。双风险模型的最优红利在文献中得到了广泛的研究。众所周知，这个最优控制问题的值函数不产生封闭形式的解，除非在某些特殊情况下。本文研究了当模型参数为零或无穷大时，最优红利问题的渐近性。我们的结果为参数极端时的最优策略和最优值提供了见解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Asymptotic_Analysis_for_Optimal_Dividends_in_a_Dual_Risk_Model.pdf (270.33 KB)

2022-5-10 14:57:46 上传

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关键词：风险模型 Quantitative Applications Optimization QUANTITATIV

ADUAL风险模型中最优红利的渐近分析。双重风险模型是一种流行的金融和保险模型，通常用于模拟风险投资或高科技公司的财富过程。双风险模型的最优红利在文献中得到了广泛的研究。众所周知，这个最优控制问题的值函数不产生m个解的闭解，除非在某些特殊情况下。在本文中，我们研究了当模型参数为零或不完整时，最优分割问题的渐近性。我们的结果为参数极端时的最优策略和最优值提供了见解。1.简介在双重风险模型中，盈余或财富过程满足动力学：（1.1）dXt=-ρdt+dJt，X=X>0，其中ρ>0是公司的运营成本，Jt=PNti=1Yi是利润的压力，其中yi是i.i.d.R+值的随机变量，具有公共概率密度函数p（y），y>0，NTI是强度λ>0的泊松过程。易建联被称为“创新规模”或“随机未来重场地”。双重风险模型可用于对风险资本的财富进行建模，其中运营成本是确定性的，收益是随机的，参见[1,4,3,6,7,8,9,12,13,14,15,18]等。设τ：=inf{t>0:Xt≤ 是公司的毁灭时刻。

在λE[Y]>ρ的假设下，众所周知，有限期破产概率的公式为Px（τ<∞) = E-αx，其中x是公司的初始财富xo，α是满足以下等式的唯一位置值：（1.2）ρα+λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy=0。类似地，我们也可以计算破产时间的拉普拉斯变换，Ex[e]-Δτ]=e-βx，其中β是满足以下等式的唯一正值：（1.3）βρ+λZ∞[e]-βy- 1] p（y）dy- δ = 0.在Avanzi等人[4]的pione e ring工作中，他们研究了双重风险模型中的最优分割问题。设δ>0为贴现系数中使用的利率，dT为公司在时间t向股东支付股息的利率。日期：2015年12月9日。修订日期：2016年2月9日。2000年数学科目分类。91B30；91B70。关键词和短语。双重风险模型，最优红利，渐近分析。2 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhud给出了股息支付策略∈ D、 其中，一组可接受的分割支付策略D是所有经过调整的非减损c`adl`ag流程的集合。请注意，这是D∈ D、 Dt是时间t之前的累计股息。然后，财富过程由（1.4）dXt=-ρdt- 滴滴涕+dJt，X=X>0。Avanzi等人[4]研究了最优股息策略，以最大化破产前所有未来股息对股东的预期支付，即（1.5）V（x）：=supD∈德克斯Zτe-δtdDt,当初始财富X=X时，他们证明了最优策略是一个障碍策略，即存在一个最优障碍b>0，因此最优策略如下。当财富过程低于b时，不支付股息。当财富过程在停止时间τb，Xτb跳过势垒b时- b作为股息立即支付给股东，盈余降至b级。

值函数V（x）表示方程：（1.6）V′（x）=1，对于任意x>b，对于任意x<b，（1.7）- ρV′（x）+λZ∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy- δV（x）=0，其中V（0）=0。对于x>b，很明显V（x）=x- b+V（b），因此我们可以将其插入（1.7）并获得（1.8）-ρV′（x）-λV（x）+λZb-xV（x+y）p（y）dy+λZ∞B-x（x+y）-b+V（b））p（y）dy-δV（x）=0。通过C-fit，对于x=b，我们有（1.9）- ρ - λV（b）+λZ∞yp（y）dy- δV（b）=0，这给了我们V（b）（1.10）V（b）=λE[Y]- ρδ.继Avanzi等人[4]关于双风险模型中最优红利的开创性工作之后，双风险模型中有许多相关工作。在[3]中，Avanzi等人研究了双重风险模型的红利屏障策略，当红利决策仅周期性做出，但破产仍允许在连续时间发生时。Ng[12]研究了一个双重模型，该模型采用了一种超低股息策略，具有指数级的互斥时间。在其他相关工作中，阿方索等人[1]研究了双重风险模型和经典风险模型之间的联系，并用它们计算了各种利息。C he ung和Drekic[8]在双重风险模型中考虑了股息变动。他们推导出了总贴现股息的积分微分方程，该方程可以通过假设跳跃大小分布具有拉普拉斯变换来明确求解。Rodriguez等人[14]研究的双重风险模型3对假设利润服从阶段型分布的预期贴现股息进行了符号分析。Yang和Sendova[15]推导了Spare-Andersen对偶模型的破产时间的拉普拉斯变换、预期损失红利。

当创新转化为利润存在随机延迟时，对偶风险模型变得时间不均匀，朱[19]研究了破产概率和破产时间分布。最近，Fahim和Zhu[9]考虑了双重风险模型的最优研发投资，以最小化破产概率。[9]中还考虑了对r isky市场指数的额外投资，以及对s状态相关双r isk模型的推广。除了特殊情况，包括Yi，p（y）的概率密度函数是指数函数或指数函数之和，一般来说，（1.5）中定义的值函数V（x）没有封闭形式的公式，最优势垒b也没有封闭公式。在本文中，我们将重点讨论双风险模型中最优分割问题的a辛解。尽管通用问题不适用于封闭形式的公式，但渐近性是非常明确和直观的。他们还提供了有用的见解，帮助我们更好地理解双重风险模型中最优红利问题的本质。对于双风险模型中的最优股利问题，我们知道最优策略是一种障碍策略。但在实践中，sha再持股人更喜欢连续股息收益率，大多数上市公司不使用障碍股息策略。我们将证明，在某些渐近条件下，连续股息收益率策略可以是接近最优的，即使不是完全最优的。本文将在下一节给出所有主要结果，并在附录中给出所有证明。2.主要结果Avanzi等人[4]假设ρ<λE[Y]。在此条件下，Px（τ=∞) > 0和Ex[τ]=∞. 他们还假设δ>0。一般来说，最优值V（x）没有封闭形式的公式。但在某些特殊情况下，例如。

当Yi呈指数分布时，可以显式计算最佳值V（x）和最佳势垒b，参见Avanzi等人[4]。来自Avanzi等人[4]等人，当p（y）=νe-νy，我们有（2.1）V（x）=λνerx- esx（ρr+δ）erb- （ρs+δ）esb[0，b]（x）+（V（b）+x- b） 1（b），∞)（x） 式中，r，s是（2.2）ρξ+（λ+δ）的解- νρ)ξ - νδ=0，最佳b由（2.3）b=r给出- 苦干srρs+Δρr+δ.在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设s>r，因此从（2.2）中，我们有=-(λ + δ - νρ）+p（λ+δ）- νρ）+4ρνδ2ρ，r=-(λ + δ - νρ) -p（λ+δ）- νρ)+ 4ρνδ2ρ.（2.4）4 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu假设（2.5）ρ≥ λE[Y]，然后Px（τ<∞) = 1，即破产发生的概率为1。直觉上，它说，当你确信公司会破产时，最大限度地向股东支付股息的最佳策略是立即将公司的所有额外收益给予股东。因此，在假设（2.5）的情况下，对于有限水平，我们得出了相同的结论。也就是说，对于任何T>0，（2.6）supD∈DEx“Zτ∧Te-δtdDt#=x。注意，当λ→ 当ρ→ ∞.因此，这两种交感神经是三元的。我们将研究in而不是λ→ ∞渐近性与ρ→ 0渐近性。还要注意，在通常的条件ρ<λE[Y]下，Px（τ=∞) > 0 andEx[τ]=∞. 因此，如果δ=0，那么（2.7）supD∈德克斯ZτdDt= ∞.这是因为我们总是可以选择一种不变的股息支付策略，即Dt≡^D，其中^D>0是一个非常小的正常数，因此ρ+^D<λE[Y]。那么，让^τ是这个财富过程的破产时间，用Dt表示≡^D，我们有^τ<∞ a、 s.和Ex[^τ]=∞. 然后，我们有（2.8）个supD∈德克斯ZτdDt≥^DEx[^τ]=∞.因此，我们预计当δ→ 0，（2.9）supD∈DEx“Zτ∧Te-δtdDt#→ ∞.我们将研究值函数接近单位sδ的速度→ 0

这也具有实际意义，因为一般分布的Yi的值函数不产生封闭形式的公式，并且渐近行为在低利率环境中特别有用，因为贴现因子δ的常见选择是让δ=r，其中r>0是无风险利率。当δ=0时，我们已经从（2.7）中看到，值函数是∞.但我们也可以研究有限水平T>0的有限水平n情况。在有限地平线的情况下，（2.10）supD∈德克斯“ZT∧τdDt#<∞.但从（2.7）可以看出，（2.11）supD∈德克斯“ZT∧τdDt#→ ∞,作为T→ ∞. 所以我们有兴趣研究这种方法的速度∞ 作为T→ ∞.当δ→ ∞, 从直觉上看，很明显，公司应该立即将所有盈余作为股息支付给股东，因为套利的成本是固定的。双风险模型5t的渐近分析→ 0，几乎没有时间积累新的财富，公司可以支付给股东的几乎是公司的初始财富。总之，在本文中，我们将重点讨论以下一个交感区：（i）小δ区；（ii）大型系统；（iii）小ρ区；（iv）大λ区；（v） 大δ区；（六）小T体制。这里我们使用符号V（x；p）来强调值函数V对参数p的依赖性；例如，对于小δ区域，我们使用V（x；δ）。在本文中，标准概念f~ g表示fg等于1。众所周知，如Avanzi等人[4]，最优股息问题（2.12）的最优策略是supD∈德克斯Zτe-δtdDt这是一种障碍策略。但在实践中，对于双重风险模型，大多数公司按季度进行分红，投资者更喜欢连续收益率，而不是障碍红利。

我们论文的一个有趣发现是，在许多非强制性制度中，当公司盈余足够大时，人们可以找到一个几乎最优的策略来支付持续股息。我们将介绍的接近最优的策略，在surplus达到一个较大的值，然后开始持续派息之前，不会派息。换句话说，一家初创公司应该等到它成为一家成熟的公司，然后持续派发股息。这与现实世界的数据是一致的。许多高科技公司在成功IPO（首次公开募股）后，仍然是成长型股票，在很长一段时间内不派息，直到它们变得更成熟，或者有时响应大股东和活跃分子的要求，它们开始持续派息，股息收益不变，而且股息收益率通常会逐年小幅持续增长。因此，我们将提出的接近最优的策略更符合真实世界的数据。它还表明，企业界最常见的股息策略可能不是最优的，但至少是接近最优的。更准确地说，我们将近乎最优的股息策略DM定义如下：定义1。策略DM，∈ D在τM:=inf{t之前不支付股息≥ 0:Xt≥ M}，即。

该过程在单位时间之前第一次跳到M以上。在τM之后，一个恒定的股息收益率（1-）（λE[Y]-ρ） 支付给股东。设τ为过程Xt=x的破产时间- ρt+jt，无股息。以τM<τ为条件，一个恒定的股息收益率（1- ）（λE[Y]- ρ） 支付给股东直至破产时间τ，其定义为（2.13）τ：=inf{t>0:Xt≤ 0}，其中（2.14）dXt=-ρdt- (1 - ）（λE[Y]- ρ） dt+dJMt，其中X=Xτ，JMt:=JτM+t- JτM.设τM，为具有红利策略DM，的过程的破产时间。当τM>τ时，我们有τM，=τ，当τM<τ时，我们有τM，=τM+τ。我们将证明，对于小δ、大T和大λ区域，对于足够大的M和足够小的，DM，是最佳的。6阿拉什·法希姆和林炯柱2。1.小δ区。让我们考虑一下这个函数中的小δ渐近性。当利率较低时，这实际上是相关的，这是一个新的环境，例如2008年美国金融危机之后。回想一下λE[Y]>ρsothat Px（τ=∞) > 0和Ex[τ]=∞. 因此，通过考虑常数分割收益率策略，很容易得出（2.15）V（x；δ）=supD∈德克斯Zτe-δtdDt→ ∞, asδ→ 0.我们想看看它的速度有多快∞ asδ→ 0.为了获得一些直觉，让我们首先考虑p（y）=νe的情况-因此，最优值函数和最优势垒有明确的公式。让我们为x重新计算所有这些≤ b、 （2.16）V（x；δ）=λνerx- esx（ρr+δ）erb- （ρs+δ）esb，其中r，s由（2.4）给出，最优b由（2.3）给出。因此，作为δ→ 0，我们有→ 0和r→ ν -λρ和b→ ∞.通过定义最优b，我们得到了（2.17）rs（ρr+δ）ebr=（ρs+δ）ebs。这意味着对于x≤ b（2.18）V（x；δ）=λνerx- esx1.-rs（ρr+δ）ebr。注意（2.19）ebr=err-苦干s（ν）-r） r（ν）-（s）=s（ν）- r） r（ν）- （s）rr-s~λρsν（ν）-λρ），asδ→ 0

因此，我们有（2.20）V（x；δ）~λ(1 - e（ν）-λρ）x）rν（ρν- λ)λρνν -λρs、 asδ→ 0.注意~νλ-νρδasδ→ 因此，我们得出结论（2.21）limδ→0δV（x；δ）=λ- νρν(1 - e（ν）-λρ）x）。对于一般分布的Yi，我们提供了一些启发式参数。注意，对于优化问题（2.22）V（x；δ）=supD∈德克斯Zτe-δtdDt,最优策略是势垒策略，即（2.23）V′（x；δ）=1，对于任何x>b，对于任何x<b，（2.24）- ρV′（x；δ）+λZ∞[V（x+y；δ）- V（x；δ）]p（y）dy- δV（x；δ）=0，其中V（0；δ）=0。双风险模型7Asδ的渐近分析→ 0，最佳选择→ ∞. 因此，对于固定x，我们有x<< b和V（x；δ）大致满足以下等式：（2.25）- ρV′（x；δ）+λZ∞[V（x+y；δ）- V（x；δ）]p（y）dy=0，其中V（0；δ）=0，得到（2.26）V（x；δ） c（1）- E-αx），其中α是方程的唯一正解：（2.27）ρα+λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy=0。接下来，让我们确定正常数c。回想一下，对于任何x>b，（2.28）V（x；δ）λE[Y]- ρδ+（x）- b） 。这意味着对于x固定的和较大的，V（x；δ）δ~ λE[Y]- ρasδ→ 因此，我们有c=λE[Y]-ρδ和（2.29）limδ→0δV（x；δ）=（λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）。事实上，我们可以严格地证明它：定理2。对于小δ，我们有以下渐近结果：（2.30）limδ→0δsupD∈德克斯Zτe-δtdDt= （λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）。提议3。对于任何ε>0，设δ>0为（2.31）δsupD∈德克斯Zτe-δtdDt- （λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）≤ ε.然后，对于足够大的M和足够小的，DM，是εδ最优策略，即（2.32）δExZτe-δtdDM，t- （λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）≤ ε.2.2. 大型T型结构。