Doob分解定理的推广

在可测空间{Ohm , F} 相应地满足条件A和B。对于每一个非负可积随机值ξ，相对于测度集P，pk不等式epl{max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm}≤ max1≤我≤kEPi{ξ| Fm}，n>m，l=1，k，（92）是有效的。证据首先，考虑有界非负随机值ξ的情况。可以证明以下等式k[i=1ω、 EPldPidPl | Fn≥ EPldPidPl | Fm= Ohm, n>m，（93）是有效的。对于每一个ω，由于（93）∈ Ohm 存在1≤ 我≤ k使得ξdPidPlEP{dPidPl|Fn}≤ξdPidPlEP{dPidPl|Fm}。（94）因此，max1≤我≤kξdPidPlEPl{dPidPl|Fn}≤ max1≤我≤kξdPidPl{dPidPl|Fm}。（95）从（95）中我们得到不等式epl（max1）≤我≤kξdPidPlEPl{dPidPl|Fn}|Fm）≤ EPl（max1≤我≤kξdPidPlEPl{dPidPl|Fm}|Fm）。（96）引理11、12和不等式（96）证明了引理13，因为ξ是b边界随机值。让我们把这个情况看作max1≤我≤kEPiξ<∞. Le tξs，s=1，∞,是单调收敛到ξ的有界随机值序列。ThenEPl{max1≤我≤kEPi{ξs |Fn}|Fm}≤ max1≤我≤kEPi{ξs | Fm}，l=1，k.（97）由于ξstoξ的单调收敛，作为s→ ∞, 我们可以通过不等式（97）中的条件期望，证明引理13。示例文档25Lemma 14。在可测空间上设一个过滤函数fn和一组等价测度{P，…，Pk}{Ohm, F} 相应地满足条件A和B，并设ξ是相对于等价测度集的可积随机值，Pk。然后不等式eq{supP∈MEP{ξ| Fn}| Fm}≤ 晚餐∈MEP{ξ| Fm}，n>m，Q∈ M、 是有效的。证据来自equalitysupQ∈MEQ{ξ| Fn}=max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}我们得到不等式eqmax1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm=kPj=1αjEP{~nj | Fm}EPjmax1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| FmkPj=1αjEP{~nj|Fm}≤≤ max1≤我≤kEPi{ξ| Fm}=supP∈MEP{ξ| Fm}。引理14得到了证明。引理15。

在可测空间{Ohm , F} 相应地满足条件A和B，并让ξ是关于这组测度的非负可积随机值，使得Epiξ=M，i=1，k，（98）然后随机过程{Mm=supP∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是相对于等价测度凸集m的鞅证明。由于引理14，随机过程s{Mm=supP∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是一个超鞅，即EP{Mm|Fm-1} ≤ 嗯-1，m=1，∞, P∈ M.或EPMm≤ M.从另一边[max1]≤我≤kEPi{ξ| Fm}]≥ max1≤我≤kEPsEPi{ξ| Fm}≥ M、 s=1，k。上述不等式表示EPsMm=M，M=1，∞, s=1，k。最后的等式导致等式EPMm=M，M=1，∞, P∈ M.mmis是相对于测度集sm的一个超鞅的事实以及上述等式证明了引理15.26 N.冈沙尔定理8。在可测空间{Ohm , F} 相应地满足条件A和B。假设ξ是相对于这组测度的非负可积随机值。如果ξ是FN可测的，则对于某个N<∞, 然后是一个超级马丁格尔{fm，fm}∞m=0，其中Fm=supP∈MEP{ξ| Fm}，m=1，∞, max1≤我≤kEPiξ<∞,是局部正则的当且仅当ifEPiξ=f，i=1，k.（99）证明。必要性。

让{fm，fm}∞m=0是本地正规的超级艺人。然后存在一系列非随机停止时间τs=ns，s=1，∞, 这样，对于每一个n，都存在满足不等式max1的φ=nsPm=1kPi=1EPi{ξ| Fm}≤J≤kEPj~n≤nsXm=1kXi=1max1≤J≤kEPjEPi{ξ| Fm}≤nsXm=1kXi=1max1≤J≤kEPjmax1≤我≤kEPi{ξ| Fm}≤nsXm=1kXi=1max1≤J≤kEPjmax1≤我≤kEPiξ=nsk max1≤我≤kEPiξ，补充∈欧洲议会联盟≤ max1≤J≤kEPj~n≤ nsk max1≤我≤kEPiξ与非负适应随机过程{gm}∞m=0，\'g=0，EPi\'gm<∞, 0≤M≤ NSFm+mXi=1\'gi=\'Mm，EP\'Mm=f，0≤ M≤ ns，P∈ M.如果ns>N，则EPi（ξ+NXi=1\'gi）=EPiξ+EPiNXi=1\'gi=f。但存在1≤ 我≤ k使得EPiξ=f。因此，epipi=1gi=0。由于度量Pi，i=1，k的等价性，我们得到了epiξ=f，i=1，k，（100）一个样本文档，其中f=supP∈MEPξ。效率。如果满足条件（100），则“Mm=支持”∈MEP{ξ| Fm}是一个鞅。最后一个表示{fm，fm}的局部正则性∞m=0。证明了该理论。定理9。让过滤在一个可测量的空间上{Ohm, F} 满足条件A，设M是该可测空间上等价测度的凸集。假设P（Ans）>0，P∈ M、 s=1，∞, n=1，∞,在一定程度上，π∈ M不等式P（An+1j）P（Ans）≤Pi（An+1j）Pi（Ans），i=1，k，An+1j Ans，Ans=[j∈英萨+1j，P∈ M、 是有效的。如果一组可积非负随机值ξ满足条件ξ=1，P∈ M、 （101）然后随机过程{EP{ξFm}，Fm}∞m=0，ξ∈ G、 是一个当地的正规超级艺人。证据让P，pn可以是M中包含度量Pi的度量的某个子集。用等价测度的Mna凸集MN={P表示∈ M、 P=nXi=1αiPi，αi≥ 0，i=1，n，nXi=1αi=1}。（102）由于引理15{Mm}∞m=0是一个相对于度量值集mn的鞅，其中“Mm=supP”∈MnEP{ξ| Fm}，ξ∈ G.让我们考虑一个任意度量P∈ M和letMPn={P∈ M、 P=nXi=0αiPi，αi≥ 0，i=0，n，nXi=0αi=1}。

（103）然后{MPm}∞m=0，其中“MPm=supP”∈MPnEP{ξ| Fm}，是一个与测度集MPn有关的鞅。很明显，嗯≤\'MPm，m=0，∞. （104）由于EP’Mm=EP’MPm=1，m=0，∞, P∈ Mn，不等式（104）给出“Mm=”MPm。类似地，EP{ξ| Fm}≤“MPm。从等式EPEP{ξ| Fm}=EP\'MPm=1，我们得到EP{ξ| Fm}=\'MPm=\'Mm。由于度量Pis是任意的，它意味着EP{ξ| Fm}，m=0，∞, 是相对于M的所有测度的鞅。根据定理7，它是一个局部正则超鞅，具有随机过程“gm=0，M=0，∞. 证明了定理9。28 N.贡沙尔提姆10。让我们在一个可测量的空间上进行过滤{Ohm, F} 满足条件A，设M是该可测空间上等价测度的凸集。假设P（Ans）>0，P∈ M、 s=1，∞, n=1，∞,在一定程度上，π∈ M不等式P（An+1j）P（Ans）≤Pi（An+1j）Pi（Ans），i=1，k，An+1j Ans，Ans=[j∈英萨+1j，P∈ M、 是有效的。如果{fm，fm}∞m=0是一个满足条件的自适应随机过程≤ 调频-1，EPξ| fm |<∞, P∈ M=1，∞, ξ ∈ G、 （105）式中G={ξ≥ 0，EPξ=1，P∈ M}，然后是随机过程{fmEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0，P∈ M、 （106）是相对于M.Proof的所有度量的局部正则上鞅。根据定理9，Random过程{EP{ξFm}，Fm}∞m=0与m的所有度量值都相关。因此，fm-1EP{ξ| Fm-1} - EP{fmEP{ξ| Fm}Fm-1} =EP{（fm）-1.- fm）EP{ξ| fm}fm-1} ，m=1，∞. （107）那么，如果把‘gm=（fm-1.- fm）EP{ξ| fm}，m=1，∞, 然后是“通用汽车”≥ 0，它是FM可测量和EP¨gm≤ EPξ（| fm）-1 |+| fm |）∞. 它证明了必要的陈述。推论1。如果fm=α，m=1，∞, α ∈ R、 然后{αEP{ξ| Fm}∞m=0是一个局部正则上鞅。

如果ξ=1，那么{fm}∞m=0也是一个局部正则超鞅。用f表示适应的进程集f={f={fm}∞m=0，P（|fm |<∞) = 1，P∈ M、 调频≤ 调频-1，m=1，∞}.每ξ∈ 请让我们介绍一组自适应过程SLξ={f={fmEP{ξ| Fm}∞m=0，{fm}∞m=0∈ F、 EPξ| fm |∞, P∈ M、 M=1，∞},andV=[ξ∈GLξ。示例文档292。集合K中的每个随机适应过程，其中K=（mXi=1Ci\'fi，\'fi∈ 五、 词≥ 0，i=1，m，m=1，∞),是一个当地的正规超级艺人。证据证据很明显。定理11。让我们在一个可测量的空间上进行过滤{Ohm, F} 满足条件A，设M是该可测空间上等价测度的凸集。假设P（Ans）>0，P∈ M、 s=1，∞, n=1，∞,在一定程度上，π∈ M不等式P（An+1j）P（Ans）≤Pi（An+1j）Pi（Ans），i=1，k，An+1j Ans，Ans=[j∈英萨+1j，P∈ M、 是有效的。如果{fm}∞m=0是与m的测度集有关的非负一致可积上鞅，则它是局部正则测度集的充分必要条件是它属于集合K。必要性。很明显如果{fm}∞m=0属于K，那么它是一个局部正则上鞅。效率。假设{fm}∞m=0是一个局部正则的超级鞅。然后存在非负适应过程{gm}∞m=1，EP“gm<∞, m=1，∞, 和一个鞅{Mm}∞m=0，这样Fm=Mm-mXi=1’gi，m=0，∞.然后嗯≥ 0，m=0，∞, EPMm<∞, P∈ M.因为0<EPMm=f<∞ 我们有EPmPi=1’gi<f。让我们把g∞= 林姆→∞mPi=1’gi。利用fm的均匀性，我们可以通过等式Ep（fm+mXi=1’gi）=f，P达到极限∈ M、 作为M→ ∞. 在最后一个等式中达到极限，如m→ ∞, 我们得到了∞+ G∞) = f、 考虑一个随机值ξ=f∞+G∞f、 那么EPξ=1，P∈从她的e中我们得到ξ∈ GandMm=fEP{ξ| Fm}，m=0，∞.30 N.冈沙雷我们把‘fm=-mPi=1’gi。

很容易看出，一个ada pted随机过程`f={`fm}∞m=0属于F。因此，对于超马氏体，F={fm}∞m=0表示式f=\'f+\'f是有效的，其中\'f={fEP{ξ| Fm}∞m=0属于Lξ，其中ξ=f∞+G∞fandfm=f，m=0，∞. 该名称对ξ=1的¨f有效。这意味着这一理论与K有关。这一理论得到了证明。下面我们给出了描述集合G所需的一些结果。我们考虑这种情况，因为Theo rems9、10、11的条件是有效的。L t u考虑特定固定n的方程组≥ 1.∞Xj=1Pi（Anj）ξj=1，i=1，k.（108）如果存在非负解{ξj}∞j=1的方程组（108），然后是随机值ξ=∞Pj=1ξjχAnjis Fn是可测的，并且对集合G是长的。如果把aj={Pi（Anj）}ki=1，j=1，∞, 然后方程组（108）可以写成∞Xj=1ajξj=a（109），向量a={ei}ki=1，ei=1，i=1，k。显然，同态方程组∞Xj=1ajξj=0（110）总是有界非零解。那么如果用u={uj}来表示它∞j=1，那么由于这个解的有界性，即| uj |≤ C<∞, j=1，∞,存在一个实数t>0，使得ξj=1- 图吉≥ 0，j=1，∞.这样的向量{ξj}∞j=1是方程组（109）的非齐次非负解。下面我们证明定理12，帮助我们描述集合方程（109）的严格正解。定义7。向量A∈ Rk+属于向量aj生成的非负电子的内部∈ Rk+，j=1，∞, 如果有正数αj>0，j=1，∞, 以至于∞Xj=1αjaj=a.（111）样本文件31下一个定理概括了[6]中的一个定理，并描述了方程组（109）的所有严格正解。定理12。让一个向量或abelongs指向由向量aj生成的圆锥体的内部∈ Rk，j=1，∞, 圆锥体的尺寸为1≤ R≤ k、 让r线性独立向量a。

，使向量与这些向量生成的圆锥体的内部相等。然后存在线性独立非负解的有限个zi，i=r，∞, 在方程组（109）中，其中Zr={ha，fi，…，ha，fri，0，0，…，}，zi={ha，fi- 海，菲*我哈，周五- 海，周五*i、 0，0，y*i、 0，…}，i=r+1，∞,Y*i=（minl）∈Kiha，flihai，fli，Ki={l，hai，fli>0}，1，hai，fli≤ 0, l=1，r，{f，…，fk}是一组满足条件shfi，aji=δij，i，j=1，r，hfi，aji=0，j=1，r，i=r+1，k.（112）方程组（109）的严格正解由公式z给出=∞Xi=rγizi，（113），其中向量或γ={γr，…，γi，…}满足条件∞Xi=rγi=1，γi>0，i=r+1，∞,∞Xi=r+1aiγiy*我∞,*A.-∞Xi=r+1aiγiy*i、 fk+>0，k=1，r.（114）证明。在定理12中，在不丧失一般性的情况下，我们假设r线性相关向量a，这样向量就延伸到由这些向量生成的圆锥体的内部。如果不是这样，那么这些向量就是ai，空气，然后通过重新编号矢量aj，j=1，∞,我们到了定理12的情形。让我们指出方程组（109）存在严格正解的必要条件。由于（109）非负解的存在，级数∞Pi=1ξiai为收敛1。自从人工智能∈ 我们有这个系列∞Pi=r+1ξ也是收敛的。用{f，…，fd}表示一组32个满足条件（112）的N.向量。我们得到一组方程（109）等价于一组方程*∞Xi=r+1ξiai，fj++ξj=ha，fji>0，j=1，r.（115），其中ha，bi表示向量a和b的标量积。从这里我们有*a-∞Xi=r+1ξiai，fj+=ξj，j=1，r。

（116）这意味着不平等*a-∞Xi=r+1ξiai，fj+>0，j=1，r，（117）是有效的。如果严格正向量{ξr+1，…，ξm，…}就是这样的系列∞Pi=1ξi是收敛的，不等式（117）是有效的，那么向量z=（*a）-∞Xi=r+1ξiai，f+*A.-∞Xi=r+1ξiai，fr+，ξr+1，ξl，…）是方程组（109）的一般严格正解。证明了如果把{ξr+1，…，ξm，…}使得ξi=0，i6=l，ξl=y*l、 这些解是非负的和线性无关的。显然，如果选择向量γ={γr，…，γi，…}，那么∞Xi=r+1aiy*iγi<∞,∞Xi=rγi=1，γi>0，i=r，∞, （118）然后我们得到不等式*a-∞Xi=r+1aiy*iγi，fj+>0，j=1，r.（11.9）是有效的。这里有一个向量∞Pi=rγ是方程组（109）的正解。显然，这些条件也很有效。证明了定理12。很容易看出，向量abelongs到由向量aj={Pi（Anj）}ki=1，j=1，∞. 向量s e t中r线性独立子集{ai，…，air}的存在性aj=样本文件33{Pi（Anj）}ki=1，j=1，∞, 这样，向量与这个向量子集生成的向量的内部是测度{P，…，Pk}的条件。证明[6]中包含的某个向量ais属于圆锥内部的一个简单判据。最后，让我们给出一个可测空间的例子{Ohm, F} 过滤onit和一系列措施P，满足条件A和B.Le t usputOhm = [0，1）.选择任意单调递增序列{xk}∞k=0，比如x=0，xk<xk+1，limk→∞xk=1。表示为As=[As，bs）=[xs-1，xs），s=1，∞.

设置为，s=1，∞, 我们的施工方法是尽快将间隔分成两半。让我们给你一些建议，由集Ans生成，s=1，∞. 关于se t[0，1]的Borelσ-代数B（[0，1]），让我们通过它们的Radon-Nicodym导数dpidp=ixi给出一组测度sp，…，pk-1，x∈ [0，1），i=1，k，其中Pis-Lebesgue测度在[0，1]上。考虑到该测度对σ-代数a Fn的限制。很容易看出，在指数i=1的情况下，给定的测度满足条件B。所得结果在数学金融中的应用将在单独的论文中给出。参考文献[1]Bouchard，B.，Nu tz，M.：非支配离散时间模型中的套利和对偶性。《应用概率年鉴》25.2823–859（2015）[2]El Karoui，N.，Quenez，M.C.：不完全市场中偶然目标的动态规划和定价。暹罗J.控制优化。33,27–66（1995）[3]福勒默，H。，卡巴诺夫，Y.M.：离散时间中的可选分解定理。帕多瓦奥诺尔·奥利维耶罗·莱西（onore di Oliviero Lessi，Padova，25-26 marzo，47-68（1996）[4]福勒，H.，卡巴诺夫，Y.M.：可选分解和拉格朗日乘数。金融随机性。2,69–81（1998）[5]Folmer，H.，Kramkov，D.O.：约束条件下的可选分解定理。概率论与相关领域109,1–25（1997）[6]新南威尔士州贡查尔：信息经济学的数学基础。博戈柳波夫学院。物理。，基辅（2008）[7]冈查尔，N.S.：资产投资的动态风险模型。控制和信息学问题3，109–127（2014）[8]新南威尔士州贡查尔：银行运营的数学模型。控制论与系统分析51378–399（2015）。doi:10.1007/s10559-015-9730-0[9]冈查尔，新南威尔士州，特伦特埃瓦，路易斯安那州：通过内部收益率的特殊过程对公司进行违约风险评估。

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