Doob分解定理的推广

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Generalization of Doob decomposition Theorem》
---
作者：
Nicholas Gonchar
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  In the paper, we introduce the notion of a local regular supermartingale relative to a convex set of equivalent measures and prove for it an optional Doob decomposition in the discrete case. This Theorem is a generalization of the famous Doob decomposition onto the case of supermartingales relative to a convex set of equivalent measures.
---
中文摘要：
在本文中，我们引入了局部正则上鞅相对于等价测度凸集的概念，并证明了它在离散情况下是可选的Doob分解。该定理是著名的Doob分解在相对于等价测度凸集的超鞅情况下的推广。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Generalization_of_Doob_decomposition_Theorem.pdf (338.66 KB)

2022-5-10 15:04:32 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Doob Mathematical Quantitative Differential Applications

现代随机：理论与应用0（0000）0–0DOI：Doob分解定理的推广。尼古拉斯·冈查拉，*阿博戈柳波夫NAS理论物理研究所，基辅，Ukrainemhonchar@i.ua（N.Gonchar）摘要在本文中，我们引入了与等价测度凸集相关的局部正则上鞅的概念，并证明了它在离散情况下是一个可选的Doobdecomposition。这个定理是著名的关于相对于等价测度凸集的超鞅分解的推广。关键词随机过程，等价测度凸集，任意组合，正则上鞅，鞅。2010 MSC 60G07，60G421简介。在本文中，我们将关于一个测度的超鞅的Doob分解推广到了关于一个等价测度凸集的超鞅的情形。对于与连续时间的一个测度有关的超鞅，Doob的结果在文献[12,13]中得到了推广。首先，我们证明了辅助陈述，给出了极大链中极大元素存在的充分条件，以及非零非递减过程存在的充分条件，使得一个上鞅与这个过程的和相对于主要定理所需的一组等价测度的凸集，再次是一个上鞅。在定理2中，我们给出了特例的可选Doob分解存在的充分条件*通讯作者。预印本提交给VTeX/Modern Stochastics:Theory and Applications<2018年9月5日>www.i-journals。org/vmsta2 N.Goncharas这组测度由一组等价测度组成，其上下边界为氡-尼克松导数。然后，我们引入正则上鞅的概念。定理3描述了正则上鞅。

在定理4中，我们给出了上鞅正则性的必要条件和充分条件。Theorem5描述了正则上鞅的非递减过程的结构。然后我们介绍了局部正则上鞅相对于等价测度的凸集的概念。最后，我们证明了定理6，即如果超鞅的可选分解是有效的，那么它是局部正则的。从本质上讲，定理6和7给出了上鞅局部正则性的充分必要条件。然后，我们证明了描述局部正则超鞅所需的辅助语句。定理8给出了一类特殊的非负超鞅为低正则超鞅的必要条件和充分条件。在定理9和定理10中，我们描述了一类广泛的局部正则律。在这些定理的基础上，我们引入了一类局部正则上鞅，并证明了定理11，给出了非负一致可积上鞅属于这类的充分必要条件。利用所得结果，我们给出了构造局部正则超鞅的例子。最后，我们还证明了构造局部正则超马氏体的可能性。对于不完全市场[6]、[7]、[8]、[9]的风险评估，超级马丁格尔的可选配置起着基础性作用。本文所考虑的问题是对数学金融中出现的相应问题的推广，即超鞅的可选分解，它与不完全金融市场上超边缘策略的构造有关。首先，ElKaroui N.和Quenez M.C.[2]为扩散过程开启了超级马丁格尔的可选分解。之后，克拉姆科夫。O。

[11] [5]证明了非负有界上鞅的可选分解。Folmer H.和Kabanov Yu。M[3]，[4]证明了任意超鞅的类似结果。最近，Bouchard B.和Nutz M[1]考虑了一类离散模型，并证明了可选分解有效性的必要条件和充分条件。我们对这个问题的描述不同于上述描述，它更一般：给出了与等价测度凸集相关的上鞅，并且有必要在存在可选分解的情况下找到上鞅和测度集的条件。我们对这个问题的陈述的一般性是，我们不要求所考虑的测度集是由随机过程生成的，这是一个局部鞅，正如文献[1,2,11,4]中所做的那样，这对于证明这些文献中的可选分解很重要。2.离散情况。我们假设在可测空间上{Ohm, F} 过滤Fm Fm+1F、 m=0，∞, 给出了F上的一系列测度M。此外，我们假设F={, Ohm}. 一个随机过程ψ={ψm}∞m=0被认为是相对于过滤{Fm}的样本文档3改编的∞m=0如果ψ为所有m=0的不可测随机值，∞.定义1。自适应随机过程f={fm}∞m=0被认为是相对于过滤Fm的一个可分割变量，m=0，∞, 以及度量族M if EP | fm |∞, m=1，∞, P∈ M、 以及不平等≤ fk，0≤ K≤ m、 m=1，∞, P∈ M、 （1）有效。我们认为过滤比n Fm，m=0，∞, 这是固定的。

此外，对于超鞅f，我们使用{fm，fm}∞m=0，表示{fm}∞m=0。在下面的几个定理中，我们考虑了满足条件的等价测度的凸集：任意测度Q的Radon–Nicody m导数∈ 关于任何测度Q∈ 满足不平等0<1≤dQdQ≤ L<∞, Q、 Q∈ M、 （2）其中实数l，l不依赖于Q，Q∈ M.定理1。让{fm，fm}∞m=0是关于满足条件（2）的等价测度m的凸集的上鞅。如果为了某种程度∈ 存在一个自然数1≤ m<∞, 和Fm-1测量非负性随机值μm，P（μm>0）>0，使得不等式Fm-1.- EP{fm | fm-1} ≥ νm，有效，则为Fm-1.- 等式{fm | fm-1} ≥l1+L~nm，Q∈ Mε，其中Mε={Q∈ M、 Q=（1）- α） P+αP，0≤ α ≤ ε，P∈ M} ，P∈ M、 ε=L1+L.证明。让B∈ 调频-1和Q=（1）- α） P+αP，P∈ M、 0<α<1。ThenZB[fm-1.- 等式{fm | fm-1} ]dQ=ZBEQ{[fm-1.- fm]| fm-1} dQ=ZB[fm-1.- fm]dQ=4 N.贡查尔（1）- α） ZB[fm-1.- fm]dP+αZB[fm-1.- fm]dP=（1）- α） ZB[fm-1.- EP{fm | fm-1} ]dP+αZB[fm-1.- EP{fm | fm-1} ]dP≥(1 - α） ZB[fm-1.- EP{fm | fm-1} [dP=（1）- α） ZB[fm-1.- EP{fm | fm-1} ]dPdQdQ≥(1 - α） lZBmdQ≥ (1 - ε）lZB~nmdQ=l1+lZB~nmdQ。B的任意性∈ 调频-1改善所需的不平等。引理1。任何超级马丁格尔{fm，fm}∞m=0相对于一系列测量值m而言，这些测量值的EPfm=f，m=1，∞, P∈ M、 是amartingale关于这一系列的米苏尔和过滤Fm，M=1，∞.证据引理1的证明见[10]。备注1。如果引理1的条件有效，则有hold等式ep{fm | Fk}=Fk，0≤ K≤ m、 m=1，∞, P∈ M.（3）设f={fm，fm}∞m=0是相对于等价测度m和过滤Fm的凸集m=0的超鞅，∞.

让G b e是一组适应的非递减过程G={gm}∞m=0，g=0，这样f+g={fm+gm}∞m=0是一个关于度量值m和过滤Fm系列的超级鞅，m=0，∞.引入偏序 在一组适应的非递减过程中，例如样本文件5定义2。我们说一个适应的非递减过程g={gm}∞m=0，g=0，g∈ G、 不执行适应的非递减过程G={gm}∞m=0，g=0，g∈ G、 如果P（gm- 转基因的≥ 0=1，m=1，∞. 这个偏序由g g、 对于每个非负适应的非递减过程g={gm}∞m=0∈ 存在极限极限极限→∞我们用g来表示∞.引理2。设G是G中的一个最大链，对于某个Q∈ 我是supg∈~GEQg=αQ<∞. 然后存在一个序列gs={gsm}∞m=0∈~G，s=1，2。。。，诸如此类∈~GEQg=sups≥1eqg，其中eqg=∞Xm=0EQgmm，g∈ G.证据。设0<εs<αQ，s=1，∞, 是满足条件εs>εs+1，εs的实数序列→ 0，作为s→ ∞. 当存在元素gs时∈那么αQ- εs<EQgs≤ αQ，s=1，∞. 序列∈~G，s=1，∞,满足引理2条件。引理3。如果一个超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度的凸集m是| fm |≤ ψ，m=0，∞, 等式η<T<∞, Q∈ M、 （4）其中实数T不依赖于Q∈ M、 然后每个最大链G G包含一个极大元。证据设g={gm}∞m=0属于G，则等于（fm+~n+gm）≤ f+T，m=1，∞, Q∈ M然后是fm+~n≥ 0，m=1，∞, YieldQGM≤ f+T，m=1，∞, {gm}∞m=0∈ G.为一个确定的问题而介绍∈ M是g={gm}的一个期望∞m=0∈ 格格=∞Xm=0EQgmm，g∈ G.让G G是某个极大链。因此，我们有不平等∈~GEQg=αQ≤ f+T<∞,6 N.贡沙尔Q∈ M并且是固定的。由于外稃2，谢谢∈~GEQg=sups≥1EQgs。由于G元素的线性排序，max1≤s≤kgs=gs（k），1≤ s（k）≤ k、 其中s（k）是集合{1，2。

，k}上的考虑最大值，即1≤ s（k）≤ k、 此外，gs（k） gs（k+1）。很明显，max1≤s≤kEQgs=EQgs（k）。所以，我们得到了支持≥1EQgs=limk→∞max1≤s≤kEQgs=limk→∞EQgs（k）=EQlimk→∞gs（k）=EQg，其中g=limk→∞由于gs（k）的单调性，存在。因此，大家好≥1EQgs=EQg=αQ.证明g={gm}∞m=0是G中的一个最大元素。很明显，G延伸到G。对于每个元素G={gm}∞m=0∈两种情况是可能的：1）k使得g gs（k.2）k gs（k） g、 在第一种情况下，g g、 在第二个从2）我们有g g、 在sametimeEQgs（k）≤ EQg。（5） 通过达到（5）中的极限，我们得到≤ EQg。（6） （6）中的严格不等式是不可能的，因为EQg=supg∈~GEQg。因此，EQg=EQg。（7） 不平等性 g和等式（7）意味着g=g。一个样本文档7M是一个等价概率测度的凸集{Ohm, F} 。引入M度量| Q- Q |=supA∈F | Q（A）- Q（A）|，Q，Q∈ 引理4。让{fm，fm}∞m=0是相对于满足条件（2）的等价测度的紧凸集的上鞅。如果对于每一组测度{P，P，…，Ps}，s<∞, 圆周率∈ M、 i=1，s，存在一个自然数1≤ m<∞, 根据这一系列的衡量标准-1测量非负性随机变量sm，P(sm>0）>0，满足条件Fm-1.- EPi{fm | fm-1} ≥ sm，i=1，s，（8）然后在递减过程G={gm}∞m=0，g=0，其中{fm+gm}∞m=0是与包含非零元素的度量集m相对的素数。证据

任何一点P∈ 让我们定义一组度量标准，ε={Q∈ M、 Q=（1）- α） P+αP，P∈ M、 0≤ α ≤ ε}，（9）ε=L1+L.证明被测物s MP，ε的se t包含一个正半径的球，也就是说，存在一个实数ρ>0，使得MP，ε C（P，ρ），其中C（P，ρ）={P∈ M、 |P- P |<ρ}。设C（P，ρ）={P∈ M、 |P- P |<ρ}是一个以M为单位的开放球，中心位于点Pof a半径0<ρ<1处。把集合M的一个映射看作是由以下定律给出的：f（P）=（1）- ε）P+εP，P∈ 映射f（P）映射一个开球C（P′，δ）={P∈ M、 |P′- P |<δ}中心在ra-diusδ>0的点P′变成中心在点（1）的开放球- r半径εδ的ε）P+εP′，自|（1）- ε）P+εP′- (1 - ε）P- εP |=εP′- P |<εδ。因此，一个openset M的图像 M是开集f（M） M、 因此f（P）是一个开放映射。Sincef（P）=P，那么球的图像C（P，*ρ）={P∈ M、 |P- P |<ρ}是一个球C（P，\'ερρ）={P∈ M、 |P- P |<ερ}，它包含在f（M）中。因此，夹杂物MP，\'-ε f（M） C（P，¨ε¨ρ）是有效的。让我们把ερ=ρ。然后我们有MP，ε C（P，ρ），其中C（P，ρ）={P∈ M、 |P- P |<ρ}。考虑一个开放的封面∈紧集M的MC（P，ρ）。由于M的紧性，存在一个有限子覆盖M=v[i=1C（Pi，ρ）（10），其中心位于Pi点∈ M、 i=1，v，a覆盖集MPi，εC（Pi，ρ），i=1，v，M=v[i=1MPi，\'-ε（11）8n.考虑度量值Pi的集合∈ M、 从引理4的条件来看，存在一个自然数1≤ m<∞, 取决于一组测量值Pi∈ M、 i=1，v，Fm-1可测非负随机变量vm，P(vm>0）>0，例如-1.- EPi{fm | fm-1} ≥ vm，i=1，v.（12）由于定理1，我们有fM-1.- 等式{fm | fm-1} ≥l1+Lvm=νvm，Q∈ M.（13）最后一个不等式-1 | Fs}- EQ{fm | Fs}≥ 等式{~nvm|Fs}，Q∈ M、 s<M.（14）但EQ{fm-1 | Fs}≤ fs，s<m。

因此，财政司司长- EQ{fm | Fs}≥ 等式{~nvm|Fs}，Q∈ M、 s<M.（15）Sincefm- 等式{fm | fm}≥ 0，Q∈ M、 M≥ m、 （16）我们有eq{fm|Fs}- EQ{fm | Fs}≥ 0，Q∈ M、 s<M，M≥ m、 （17）在（15）中加上（17），我们得到- EQ{fm | Fs}≥ 等式{~nvm|Fs}，Q∈ M、 s<M，M≥ m、 （18）ORF- EQ{fm | Fs}≥ 等式{~nvm|Fs}χ[m，∞)（m）- νvmχ[m，∞)（s） ，（19）Q∈ M、 s≤ m、 m≥ m、 引入一个自适应的非递减过程gm={gmm}∞m=0，gmm=~nvmχ[m，∞)（m） ，其中χ[m，∞)（m） 是集合[m]的指示函数，∞). 然后（19）意味着eq{fm+gmm|Fk}≤ fk+gmk，0≤ K≤ m、 Q∈ M.一个样本文档9在定理2中，一个等价度量的凸集M={Q，Q=nXi=1αiPi，αi≥ 0，i=1，n，nXi=1αi=1}（20）满足条件0<1≤民主党≤ L<∞, i、 j=1，n，（21），其中l，l是实数。用G表示所有适应的非递减过程的集合e s G={gm}∞m=0，g=0，这样{fm+gm}∞m=0是相对于m中所有度量的超鞅。定理2。让一个超级艺术家{fm，fm}∞m=0相对于度量集（20）满足条件（4），且存在一个自然数1≤m<∞, 和Fm-1可测量的非负随机值φnm，P（φnm>0）>0，如Fm-1.- EPi{fm | fm-1} ≥ νnm，i=1，n.（22）如果对于最大imal元素g={gm}∞在某个最大链G中m=0 g等式epi（f∞+ G∞) = f、 圆周率∈ M、 i=1，n，（23）有效，其中f∞= 林姆→∞fm，g∞= 林姆→∞gm，然后有hold等式ep{fm+gm |Fk}=Fk+gk，0≤ K≤ m、 m=1，∞, P∈ M.（24）证据。在引入的度量拓扑中，se t M是紧的。从不等式（22）和公式eq{fm |fm-1} =nPi=1αiEP{~ni|Fm-1} EPi{fm | fm-1} nPi=1αiEP{~ni|Fm-1} ，Q∈ M、 （25）式中φi=dPidP，我们得到Fm-1.- 等式{fm | fm-1} ≥ νnm，Q∈ 不平等导致不平等≤dQdP≤ nL，P，Q∈ M.（27）不等式（26）和（27）意味着L e mma 4的条件对于任何一组度量Q，Qs∈ 因此，集合G包含10 N.Goncharnonzero元素。

让我们来看看 G是G中满足REM2条件的最大链。用g={gm}表示∞m=0，g=0，g中的最大元素 定理2和引理3得出{fm}∞m=0和{gm}∞m=0与m的每一个度量值都是统一的，因此m是有限的→∞fm=f∞, 林姆→∞gm=g∞概率为1。由于定理e m2条件，在这个最大imal chainEPi（f∞+ G∞) = f、 圆周率∈ M、 i=1，n.自{fm+gm}∞m=0是一个关于m、Wehavepi（fm+gm）的所有度量的超级鞅≤ EPi（fk+gk）≤ f、 k<m，m=1，∞, 圆周率∈ M.（28）通过传递到（28）中的极限，作为M→ ∞, 我们得到f=EPi（f∞+ G∞) ≤ EPi（fk+gk）≤ f、 k=1，∞, 圆周率∈ M.（29）So，EPi（fk+gk）=f，k=1，∞, 圆周率∈ M、 考虑到备注1，我们有epi{fm+gm | Fk}=Fk+gk，0≤ K≤ m、 m=1，∞, 圆周率∈ M、 因此，EP{fm+gm | Fk}=nPi=1αiEP{|i | Fk}EPi{fm+gm | Fk}nPi=1αiEP{|i | Fk}=Fk+gk，0≤ K≤ m、 P∈ M、 （31）式中φi=dPidP，i=1，n.定理2得到证明。设M是等价测度的凸集。下面是一组适应的非递减过程{gm}∞m=0，g=0，其中{fm+gm}∞m=0是相对于^Ms={Q，Q=sXi=1γi^Pi，γi的所有度量值的一个参数≥ 0，i=1，s，sXi=1γi=1}，（32）式中^P，^Ps∈ M并满足条件0<l≤d^Pid^Pj≤ L<∞, i、 j=1，s，（33）l，l是实数，取决于测度集^P，^Ps∈ M.样本文件11定义3。让一个超级艺术家{fm，fm}∞相对于等价测度m的凸s集，m=0满足条件（4）。如果满足条件的每一组测度都存在一个自然数1，我们称之为正则测度≤m<∞, 和Fm-1可测量的非负随机值^sm，^P（^sm>0）>0，使得不等式Fm-1.- E^Pi{fm |fm-1} ≥ 对于最大元素gs={gsm}∞在某个最大链中m=0 等式e^Pi{fm+gsm |Fk}=Fk+gsk，0≤ K≤ m、 i=1，s，m=1，∞, （34）是有效的。