金融、地震和金融领域的相互发生时间和普遍规律

) - ··· , （24）式中，T、p、u、H分别为温度、压力、化学势、外磁场，U、S、V、N、M分别为内能、熵、体积、粒子数（反过来与自由度成正比）、磁化强度。从勒让德结构中，我们确定了三类变量，即（i）那些期望总是像N本身一样扩展的变量（S，V，N，M，…），i、 例如，用（d维）体积V=Ld进行缩放∝ N、 式中，L是系统的特征线性尺寸（显然，V∝ Ad/（d）-1） ，其中A是d维面积），（ii）表征系统放置时的外部条件（T、p、u、H，…），用Lθ标度，以及（iii）那些代表能量的（G，U），用L标度.接下来就是琐事 = θ+d。（25）如果我们将式（24）除以Lθ+并考虑大L极限（即热力学极限），我们得到TLθ，pLθ，uLθ，HLθ。= UTLθ，pLθ，uLθ，HLθ。-TLθsTLθ，pLθ，uLθ，HLθ。+pLθ-uLθnTLθ，pLθ，uLθ，HLθ。-HLθmTLθ，pLθ，uLθ，HLθ。- ··· ,（26）其中g≡ 极限→∞G/Lθ+d，u≡ 极限→∞U/Lθ+d，s≡ 极限→∞S/Ld，n≡极限→∞N/Ld，m≡ 极限→∞男/女。对于短程和长程相互作用的经典热[34,35,36,37,38,39,40,41]、扩散[42]和几何（渗流）系统[43,44]，该方程中出现的标度的正确性在文献中得到了大量验证。短程相互作用的情况对应于标准热力学系统（例如，真实气体，简单金属），我们得到θ=0（即，我们恢复通常的密集变量，如T，p，u，H），和 = d（也就是说，我们恢复了通常广泛的能量变量，如G、U等）。这是在热力学教科书中发现的情况（例如参见[33]）。远程互动的情况更为微妙。

通过引入一个变量来方便地讨论这种情况，比如下面的一个[34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44]：≡N1-α/d- α/d1- α/d（α≥ 0），（27），其中α表示经典维系统中两体相互作用的范围（假设电势在原点可积，在长距离r处渐近衰减为1/rα）。当然，在热力学勒让德变换结构中，s，V，N，M属于同一类是很自然的。变量N的定义是广泛的。因此，很明显，熵S，以及V，M，和类似的熵也是如此。如我们所见，如果α/d>1（短程相互作用），我们在N→ ∞极限，一个常数N，从而再次恢复标准热力学。但是对于0≤ α/d≤ 1（短程相互作用），我们有，在N→ ∞极限，N以一种非平凡的方式缩放，即如果α/d=1，则N=ln，和~ N1-α/d/（1）- α/d）如果0≤ α/d<1（对于特殊情况，α=0为通常的平均场标度N=N）。为了0≤ α/d≤ 1，我们有θ=d- α，（28）和 = 二维- α，（29）意味着（T，p，u，H）是非密集型，而（G，U）是超广泛型。我们验证了，（N，S，V，M）在所有病例中仍然广泛存在，即。，α/d。见图2。这些特殊的标度是由于这样的势是不可积的，也就是说，由于积分∞康斯坦德路-1r-α发散，因此BG正则配分函数本身也发散。吉布斯本人在1902年出版的《基本原理不稳定力学》[4]一书中强调指出，每当配分函数发散时，就不能使用BG理论（用他的话说，“分布定律变得虚幻”）。

为了说明他的观点，他特别提到牛顿引力的情况（即d=3和α=1）。除了上述长程相互作用的经典系统外，还有其他一些在热力学方面也有有趣的方面。黑洞就是这样，几十年来人们一直在讨论黑洞的熵。事实上，自从Bekenstein[48,49]和Hawking[50,51]的开创性工作以来，文献中经常（明确或默认）接受黑洞熵量子d维系统略有不同。对于它们，我们预计通常的热力学标度适用于α>αc（d），其中通常αc（d）>d（例如，参见[45,46]），而反常标度适用于0≤ α ≤ αc（d）。从微观（经典）动力学的角度来看，这种反常现象与整个李雅普诺夫谱在N中消失的事实直接相关→ ∞ 极限，它可以引发遍历性（参见[38,47]和其中的参考文献）。在各种量子系统中，这种困难也存在，有时甚至以更微妙的方式存在（单氢原子，以及许多其他原子，构成了这样一个基本的例子；实际上，它的BG配分函数由于电子能级的积累而发散，刚好低于电离能）。0 1α/d（长-距离（短）-范围相互作用）密集，例如T、p、u、H∝ l0广泛的，例如，g，U，S，N，V，M∝ Ld（θ）≠ 0）（θ=0）伪-密集型，例如T、p、u、H∝ Lθ，例如，S，N，V，M∝ 西多-广泛的，广泛的，广泛的∝ Ld+θ图2：表示经典维度系统的等式（26）的不同比例制度。

有吸引力的远程互动（即0≤ α/d≤ 1，α以1/rα的形式表征势场中的相互作用范围）我们可以区分三类热力学变量，即用Lθ标度的热力学变量，称为伪强化变量（L是特征线性长度，θ是系统相关参数），用Ld+θ标度的热力学变量，伪扩展变量（能量），以及用Ld标度的热力学变量（总是扩展的）。对于短程相互作用（即α>d），我们有θ=0，能量恢复其标准的扩展标度，属于S、N、V等的同一类，而之前的伪密集变量变成了真正的密集变量（与L无关）；这是一个区域，有两类变量，被传统的热力学教科书所涵盖。从[9]开始。是反常的，因为它可以破坏热力学延展性[52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67]。我们经常听说黑洞的熵与其边界面积成正比，而不是与黑洞体积成正比。对于一个Schwarzschild（3+1）维黑洞，能量标度类似于质量Mbh（其中bh代表黑洞），而质量Mbh又与L[68,69,70]成比例，因此 = 因此，使用公式（25），θ=1- D（30）如果黑洞在物理上与它的视界表面一致，那么它被认为是一个真正的d=2系统，那么θ=-1，准确地再现了通常的贝肯斯坦·霍金（Bekenstein Hawking，BH）缩放T∝ 1/L∝ 1/Mbh。然而，如果黑洞被认为是一个真正的d=3系统（考虑到相应的时空是（3+1）维的，这是有意义的），那么θ=-2，即1/L的T刻度∝ 1/Mbh，与伯克希尔哈撒韦比例不一致。

这是一种理解为什么这样一个谜题自几十年来一直存在的方式，与黑洞的熵有关。让我们更具体一点。广泛且有物理意义的证据（例如全息原理）表明存在BG熵（对于量子系统，也称为冯·诺依曼熵）SBG≡ kBln W∝ 五十、 更一般地说，是SBG≡ -kBT rρlnρ∝ 五十、 W是内部配置的总数，ρ是密度矩阵。对于强量子纠缠的二维系统，我们同样拥有目前被称为区域定律[71]，即SBG≡ -kBT rρlnρ经常与ld成比例-1对于d>1，用ln L表示d=1，而不是按比例表示d≥ 1.withLd。这一事实也产生了一个密切相关的有趣问题。上述言论可能被认为是正在进行的黑洞熵讨论的核心。事实上，如果要从物理角度考虑该系统- 1） -维1，那么（加性）熵sbg必然被确定为其热力学熵。但是，如果系统在物理上被认为是一个d维系统，那么SBG就不能被识别为它的热力学熵，正如我们所见，需要一个非加性熵函数来发挥这个作用[16]。[16]表明，在等概率假设下，要使用的非加性熵泛函是所谓的δ-熵Sδ，δ指数有一个特殊值，即δ=d/（d）- 1） （d>1）。然而，如果这些异常系统的等概率假设没有得到验证，那么要使用的非加性泛函可以是（据我们目前所知）具有其他δ值的Sδ，也可以是其他的，例如，再次是具有特定指数q值的泛函sqitself。让我们强调上述内容。

如果我们把Schwarzschild（3+1）黑洞看作一个真正的d=2系统，那么SBG=kBln W∝ L确实与（广泛的）热力学熵S，BHT有关∝ 1/这是意料之中的，没有争议或有趣的事实需要进一步分析。然而，如果这个黑洞被认为是一个真正的d=3系统，那么SBG就不能是热力学熵S，因为后者必须像L一样标度。从这个角度来看，一个关键的问题就出现了，即，这个三维系统的热力学熵的微观数学表达式是什么？我们在[16]中为这个重要问题提供了热力学上可接受的答案。还讨论了（2+1）维“黑洞”[72,73,74]。已经证明，能量标度类似于L，因此 = 2和usingEq。（25）再一次，θ=2- D（31）这种情况提供了一个一维的事件视界。如果由于这个事实，这个黑洞被认为是一个真正的d=1系统，那么θ=1，它对应于BH标度的（2+1）版本，即T∝ L∝ M1/2bh。事实上，这正是这个简化系统所获得的比例[72,73,74]。然而，如果这个黑洞被认为是一个d=2系统，我们有θ=0，在这种情况下，T被认为是一个强度变量。一致地，如果我们假设系统是一个d=1的系统，那么显然SBG发挥了热力学熵的作用，因为SBG∝ L（参见[72,73,74]）。

但是，类似于上面讨论的（3+1）情况，如果我们认为它是d=2，那么再次需要一个非加性熵函数来扮演热力学角色。从历史的角度来看，我们观察到，奇怪的是，吉布斯关于配分函数在某些反常情况下发散的谨慎警告，以及与之相关的戏剧性理论特征，在大多数教科书中都被忽略了。类似地，与面积定律有关的热力学违规行为，在某种程度上，往往没有被重视。事实上，似乎有不少作者倾向于认为，对于这样的复杂系统，熵不应满足热力学延展性。然而，相比之下，存在着各种各样的物理和数学事实，这些事实的观点似乎有些奇怪。[16]的主要目标之一是解决这一重要问题，并找到克服困难的途径。玻尔兹曼-吉布斯-沃努曼（加法）熵与体积不成正比，这一事实（对于强纠缠系统、黑洞，以及一般来说，对于满足上述面积定律的系统，以各种方式反复说明）精确地表明，对于此类强关联系统（因此相空间中的容许态总数明显减少），热力学熵无法与通常的（加性）BG熵泛函相区分，但与实质上不同的（非加性）BG熵泛函相区分。Hanel和Thurner[19,20,21]通过专注于Khinchine公理和具有表面优势统计的复杂系统所获得的结果中，可以找到一个论点，证明使用非加性熵形式来重新建立系统的熵可拓性的正确性。另见[23]。3.2。

对于广义大偏差理论[75,76,77]，最近的结果存在[75,76,77]，与概率论中的所谓大偏差理论（LDT）有关，它也与熵的广度一致，即使在系统元素之间存在强相关性的情况下也是如此。q指数函数ezq≡ [1 + (1 - q） z]1-q（ez=ez）（及其相关的q-高斯[78]）已经出现在相当多的非扩展和类似系统中（参见[6,38,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104]等），作为指数方程（及其相关高斯方程）的适当推广（关于[103]中产生的非线性量子方程，另见[105、106、107、108、109、110、111、112、113、114115]）。因此，推测LDT表达式e在某种意义上仍有待精确定义似乎很自然-n被泛化为接近e的东西-rqNq（q∈ R） ，其中广义速率函数rq应该是每个粒子的广义熵。让我们强调一个关键点：我们不建议远程交互和其他非标准系统，比如e-rqNη，η6=1，但我们期望η=1，也就是说，总q-广义各向同性的延展性仍然成立。正如我们在无花果中看到的。3和4，这个重要的假设确实在模型中得到了验证，其特征是（Q，γ，δ）和Q≥ 1，我们在[75,77]中进行了数值研究。指数q≥ 1满足度γ（q- 1） =Q- 1.- 1.（32）该结果强烈表明，与文献中的其他结果一致（例如，参见[6,9,34,42,43]），即使在BG熵不广泛的非标准情况下，总熵也可能保持广泛（即热力学容许）。

任何沿着这些或类似路线的分析结果显然都是非常有趣和受欢迎的。3.3. 非线性动力系统熵的时间演化我们可以参考的另一个迹象是与简单非线性动力系统熵的时间t依赖性的类比，例如logisticmap xt+1=1-阿克斯特。的确对于逻辑映射具有正Lyapunov指数λ的a的参数值（即，强混沌和遍历性；10010110210310410-610-510-410-310-210-1100B（x=0.10）=4.57660794B（x=0.35）=173.038573p（N；N/N<x）Q=3/2=1/2=1 nx=0.350.564647e-0.033n5/3 0.266410e-0.020 N5/3 x=0.10 0.828455-0.480n0/3）与图117n98的数值点比较（N=0.093）a（x）e-rqNq。这里说明了x的两个值，即x=0.10和x=0.35。来自[77]。例如，对于a=2），我们验证（在适当的数学限制下）K≡ 极限→∞SBG（t）t=λ。相反，对于Lyapunov指数消失的参数值（即弱混沌和遍历性崩溃；例如，在Feigenbaum点a=1.40115518909…），它是一种非加性熵（Sq，下文讨论），即随t线性增长的熵（参见[116、117、118、119、120、121、122、123、124、125、126]及其引用），并始终提供一个广义的类佩辛恒等式。更准确地说，Kq≡ 极限→∞Sq（t）t=λq，其中λq=1/（1）- q） ，和q=0.244487701341282。。。（实际已知1018个精确数字）。如果我们考虑到，在许多（如果不是全部）这样的动力系统中，t在热力学系统中扮演着类似于N的角色（参见[127，128]和图5），我们这里有一个更具启发性的指示，它与简单和复杂系统的熵的广度一致。

更具体地说，如果我们有一个具有正Lyapunov05的非线性动力系统。0x1031。0x1041。5x1042。0x104-6x103-4x103-2x10300 10203050-40-30-20-100Q=3/2=1/2=1ln5/3P（N；N/N<x）x=0.35 x=0.10 N图4：图3在（q-log）-线性表示中的相同数据。让我们强调，在（q-log）-线性表示的所有尺度下提供直线的唯一渐近幂律函数是q指数函数。插图显示了与N对应的结果，最大为50。来自[77]。指数{λ（k）}，Pesin等式基本如下：≡ 极限→∞SBG（t）t=\'NXk=1λ（k）。（33）如果所有这些李雅普诺夫函数都消失了，我们希望，对于一大类弱混沌系统，有如下q-推广：Kqent≡ 极限→∞Sqent（t）t=\'NXk=1λ（k）qk，（34）图5：sq作为（N，t）函数的猜想依赖性。Q的一个特殊值（在本文中注释了qent，在本文[127]的原始图中注释了qsenin）一般存在，因此Sqent（N，t）∝ N t表示N>>1和t>>1如果 → 0，在哪里 是细粒化的程度。极限 → 0对应于一个（连续的）经典空间相位的完整组合。这个猜想是，因为 > 0，与limt一致→∞Sqent（N，t）∝ Sqent（N，0<t<t饱和）∝ N、 式中，饱和是Sqent（N，t）大致达到的特征时间，对于递增的t，值Sqent（N，∞). 有关更多详细信息，请参见[127]。式中，可通过（见[129]中的等式（26））1确定qentt- qent=`NXk=11- qk，（35）其中，集合{qk}是通过非线性动力展开的各个方向对初始条件的灵敏度{ξk}来定义的，ξk\'eλ（k）qktqk∝ t1-qk（t）→ ∞). 如果{λ（k）}中至少有一个是正的，{qk}中至少有一个等于一，因此qent=1。