金融、地震和金融领域的相互发生时间和普遍规律

另一个有趣的例子是，如果所有N个方向都退化（即相应的随机变量是可交换的，因此qk=q，k） 然后-qent=\'N1-Q这种关系意味着极限N中的qent=1→ ∞, 即使q<1。最后，另一个最有趣的特殊情况也是可能的，即（35）中的和收敛到一个确定的正值；然后我们有qent<1。因此，如果我们考虑一个由非强关联粒子构成的时间演化系统，在许多情况下，对于大t和大N，我们将有一个比率q（N，t）Nt，该比率对于一和相同的特殊值q是有限的，即qent<1.4，这似乎是合理的。金融、地震和基因组中的相互发生时间让我们现在关注一个有趣的普遍属性，由强相关元素构成的许多自然、艺术和社会系统共享，即特定相互发生时间的分布。我们将特别回顾金融[130131]、地震[132]和生物学[133]等领域的一些可用结果[80、81、134]。在本报告中，我们将不讨论长程相互作用的哈密顿经典系统[82、135、136、137、138、139、140、141、142、143]，这些系统肯定值得自己进行详细研究（在目前的上下文中，我们不指元素短程相互作用的系统，而只指元素长程相互作用的系统）。金融时间序列中的相互发生时间让我们考虑金融价格{Pt}的时间序列。收益定义如下：rt≡ lnPtPt-1分- Pt-1吨。（36）返回变量很方便，因此很受欢迎。事实上，它们抵消了价格可能出现的波动；此外，它们非常简单地反映了相对价格的上下波动。

众所周知，收益率的分布通常由q-高斯分布很好地拟合，即P（r）∝ E-βrrqr，qr>1的有效值随着连续价格之间的时间间隔越来越大而单调地向统一方向递减。事实上，对于非常大的时间步长，所有相关性都会丢失，收益分布会被高斯函数很好地拟合。在本综述中，我们遵循[130]的内容。在图6中，我们看到了价格回报的典型时间序列。红线atQ\'-0.037表示我们选择检查互现时间。该Q值的平均互现时间为RQ=70。rqmonotonic值随|增加而增加- Q |：见图7。图8显示了与RQA典型值对应的互现时间分布。对应于16种不同财务数据的数据如图9所示。他们都通过PQ（r）得到了很好的满足∝ E-βrq，其中q=1+qln（rq/2），q’0.168。PQ（r）的解析表达式的简单性使得风险函数的计算变得简单，其可以显示为（详见[130]）WQ（t；t） =1-E-（β/q）（t+t） 量化宽松-（β/~q）tq（37），其中q=2- q、 （38）4.2。地震时间序列中的事件间时间地震事件间时间可分析如下。我们为地震震级选择一个阈值（例如，1976-2009年期间希腊地震活动研究中的4.1：详见[132]），然后测量地震之间的间隔时间T，该时间大于所选阈值。图示如图10.4.3所示。基因组间发生距离的分析可以类似于金融和地震间发生时间，其中相等核苷酸之间的距离（如连续腺嘌呤之间的距离，或连续胞嘧啶之间的距离）起着“时间”的作用。下面我们来看看[133]。

图11中描述了出现间隔距离显示出现间隔时间的作用的过程。在图12中，我们报告了一个非常惊人的结果：智人和各种细菌的分布不仅具有相同的功能（q指数）形式，而且具有相同的q和β值！对于智人来说，它也是第二个q指数，仍然具有相同的q值。确定这种双q指数形式是否也出现在其他生物体中，例如在其他哺乳动物中，或者它是否排除智人，肯定是最有趣的。200020012002 2003 2004200520062007 2008 20092010年-0.2-0.100.10.2价格回报率XiIBMFigure 6:IBM股票在（a）2000年至2010年，以及（b）2002年8月29日至10月23日期间的相对每日价格回报率图示。红线显示阈值Q\'-0.037，对应于RQ=70的平均互占用时间。在（b）中，间隔时间用箭头表示。来自[130].4。其他系统中的相互发生时间本质上，在自然、艺术和社会复杂系统的许多分析、计算、实验和观测结果中，出现了与上述金融、地震和基因组现象相同的规律。一个这样的例子是相干噪声模型（参见[134]及其参考文献），其中观察到了qGaussian类型e的回波r的分布-βrrqr（qr>1），以及雪崩大小的分布，其行为渐近为s-τ与τ≡ 1/（qs）- 1） （qs>1）。图7：平均发生间隔时间Rqv与损失阈值的绝对值-Q、 美元兑英镑的汇率从左到右依次为标准普尔500指数、国际大宗商品价格指数和原油指数。可以证实，大约RQ’eκ|-Q | qR<1，κ>0。

从[130]开始。通过分析确定并通过数值验证了以下标度定律[134]：qr=τ+2τ，（39），即qr- 1=qs- 1.（40）图8：（a）1962-2010年期间IBM每日价格回报的发生间隔时间分布函数。整行显示了拟合的q指数。对于RQ=2、5、10、30和RQ=70（以天为单位），从下到上。整行显示了拟合的指数。参数β（正方形，下曲线）和q（圆形，上曲线）对q指数的依赖性如图（b）所示。面板（c）证实，对于RQ=2，分布函数是一个简单的指数。直线是2-r、 从[130]开始。基本上相同的结果适用于分到月的价格回报[131]。[80,81]中的不同模型（受限扩散）也得到了类似的结果。最后一点我们在这里讨论了金融理论中典型存在的各种现象，但也出现在许多其他复杂系统中，如地震和遗传学。更准确地说，内部发生时间（或距离）的分布一次又一次地呈现为图9：从不同资产类别（股票、指数、货币、商品）中获取的16个金融数据示例的每日价格回报的内部发生时间（如图8所示）的分布函数。这些资产包括i）IBM、波音（BA）、通用电气（GE）、可口可乐（KO）的股票；ii）道琼斯指数（DJI）、金融时报证券交易所100指数（FTSE）、纳斯达克、标准普尔500指数；iii）商品布伦特原油、西德克萨斯中间油（WTI）、阿姆斯特丹鹿特丹安特卫普汽油（ARA）、新加坡汽油（SING），和iv）以下货币对美元的汇率：丹麦克朗（DKK）、英镑（GBP）、日元、瑞士法郎（SWF）。

整条线显示了拟合的q指数，与图8相同。从[130]开始。q指数形式。这个普遍规律，虽然（q，β）的值取决于我们关注的特定普遍性类别，但起着简单而相关的作用。这些参数的特定值的计算原则上可以从第一原理（即系统的微观动力学）进行。然而，最常见的情况是，这种动态要么未知，要么在数学上难以解决。这就是为什么在许多（但并非所有）实际情况下，（q，β）的值是通过拟合确定的。事实上，这种情况在认识论上与我们对行星的认识没有区别。事实上，它们的椭圆形式很容易用牛顿力学建立，然而，精确确定大小和起源图10：（a）地震震级M的事件间时间分布PM（T）与事件间时间T（以天为单位）的曲线图≥ 4.1对于所考虑的整个数据集（即，包括余震）。虚线是数据（在填充的圆圈中）到HPM（t）的t∝ E-βTqT 1，qT 1=1.24±0.054。（b） 与（a）中相同，但适用于相应的非聚集数据集（即，不包括余震）。在这种情况下，qT 2=1.14±0.057。摘自[132]。图11：从DNA一级序列评估四个核苷酸间隔序列的程序。摘自[133]。椭圆的内倾需要了解太阳系所有质量的初始条件，这当然是不可能的！因此，天文学家使用开普勒椭圆近似，通过拟合确定具体参数。在本综述中，我们主要关注非加性熵Sq及其标度律。

还有很多（当然是超富了！）反常熵泛函目前已在文献中出现，但它们的描述，即使简短，也不在目前的范围之内。此外，我们还利用广义中心极限定理[144、145、146、147]研究了各种非常有趣的孪生现象。最后，对于复杂系统显示互发时间的q指数分布的必要和有效条件的了解将是非常有帮助的，但目前仍是一个非常具有挑战性的开放问题。图12：核苷酸间隔A-A、T-T的PDF（开放符号）；智人和细菌全基因组DNA序列中的G-G，CC（完整符号）。虚线通过q指数分布a/[1+（q- 1） β（l/l）]q-1.在细菌中，用q\'1.1和β\'1.5的单个q指数进行近似是可能的，而在智人中，用q\'1.11和β\'1.5和0.1的两个q指数的总和是最好的。为了避免重叠，细菌的PDF向下移动了20年。为了进行比较，虚线显示了相应的指数PDF。摘自[133]。致谢。C.阿尔卡雷斯、C.贝克、E.P.博尔赫斯、T.邦德、L.J.L.西托、A.科尼格利奥、E.M.F.库拉多、M.盖尔·曼、P.格里戈里尼、G.鲁伊斯、H.J.赫尔曼、M.贾雷盖、H.J.詹森、J.路德舍、F.D.诺布雷、A.普鲁奇诺、S.M.D.奎罗斯、A.拉皮萨达、P.拉普坎、P.坦佩斯塔、U.蒂尔纳克利、S.乌马罗夫，以及其他许多古老而富有成果的讨论都得到了热烈的认可。我还感谢巴西CNPq和法佩尔以及美国约翰·邓普尔顿基金会提供的部分财政支持。参考文献[1]R.克劳修斯，《世界卫生组织年鉴》125353（1865年）。[2] L。

Boltzmann，Weitere Studien–uber das W–armegleichgewicht unterGas molek–ulen[气体分子间热平衡的进一步研究]，维恩，伯尔。66, 275 (1872).[3] L.Boltzmann，K.Akademie der Wissenschaften，Wien，Math-Naturwisenschaften 75,67-73（1877）；S.Brush，动力学理论，第2卷：不可逆过程，188-193（Pergamon出版社，牛津，1966），英文译本（关于一般力学定理与热力学第二定律的关系）。[4] J.W.Gibbs，《统计力学的基本原理——特别参考热力学的理性基础》（C.Scribner\'s Sons，纽约，1902年；耶鲁大学出版社，纽黑文，1948年）；奥克斯弓出版社，康涅狄格州伍德布里奇，1981年（第35页）。[5] C.Tsallis，J.Stat.Phys。52479（1988）[1987年首次作为预印本出现：CBPF-NF-062/87，ISSN 0029-3865，巴西里约热内卢财政部中心]。[6] M.Gell Mann和C.Tsallis主编，《非扩展熵——跨学科应用》（牛津大学出版社，纽约，2004年）。出版后不久，这种疏忽变得显而易见，即非扩展熵是一个误称：它应该是非加性熵。事实上，非加性熵泛函的引入正是为了使系统在热力学上具有广泛的熵，这些系统涉及其元素之间的某些强关联。这一点在[7]和[8,9]中进行了适当的讨论，但不幸的是，这本书的标题没有及时更正。[7] C.Tsallis，第1-53页，《非扩展熵——跨学科应用》，M.Gell Mann和C.Tsallis（牛津大学出版社，纽约，2004年）。[8] C.Tsallis，M.Gell Mann和Y.Sato，Proc。纳特。阿卡德。Sci。102, 15377(2005).[9] C。

Tsallis，《非扩展统计力学导论——接近一个复杂的世界》（斯普林格，纽约，2009）。[10] C.Tsallis，Physica A 340，1（2004）。[11] C.Tsallis，欧元。菲斯。J.A 40257（2009年）。[12] E.M.F.库拉多，P.坦佩斯塔和C.查利斯，编年史物理。（2016），inpress。[13] H.J.Herrmann，《私人通信》（2013）。[14] O.Penrose，《统计力学基础：演绎处理》（牛津佩加蒙，1970年），第167页。[15] M.R.乌布里亚科，物理系。莱特。A 3732516（2009年）。[16] C.Tsallis和L.J.L.Cirto，欧洲。菲斯。J.C 732487（2013年）。[17] M.S.里贝罗，C.塔利斯和F.D.诺布雷，物理系。牧师。E 88052107（2013年）。[18] M.S.Ribeiro，F.D.Nobre和C.Tsallis，Phys。牧师。E 89052135（2014年）。[19] 欧罗普希斯的R.汉奈尔和S.瑟纳。莱特。93, 20006 (2011).[20] R.Hanel和S.Thurner，EPL 9650003（2011）。[21]R.Hanel，S.Thurner和M.Gell Mann，Proc。纳特。阿卡德。Sci。111,6905 (2014).[22]P.坦佩斯塔，物理系。牧师。E 84021211（2011年）。[23]P.坦佩斯塔，Proc。R.Soc。A 47120150165（2015）。[24]A.O.Caride，C.Tsallis和S.I.Zanette，Phys。牧师。莱特。51, 145(1983); 51, 616 (1983).[25]F.Caruso和C.Tsallis，Phys。牧师。E 78021101（2008）。[26]A.Saguia和M.S.Sarandy，Phys。莱特。A 3743384（2010年）。[27]F.C.Alcaraz，J.Phys。A:数学。Gen.202511（1987年）。[28]F.C.Alcaraz和M.J.Martins，J.Phys。A:数学。Gen.23，L1079（1990年）。[29]C.Tsallis和H.J.Haubold，EPL 11030005（2015）。[30]P.Calabrese和J.Cardy，J.Stat.Mech.：理论实验（2004）P06002；另见C.Holzhey，F.Larsen和F.Wilczek，Nucl。菲斯。B 42443（1994年）。[31]R.S.门德斯，Physica A 242，299（1997）。[32]A.普拉斯蒂诺和A.R.普拉斯蒂诺，物理系。莱特。A 226257（1997年）。[33]H.B.Callen，《热力学与热力学导论》，第二版（John Wiley，1985）。[34]P.Jund，S.G.Kim和C.Tsallis，Phys。牧师。B 52,50（1995年）。[35]J.R.格里格拉，物理系。莱特。

A 21747（1996年）。[36]S.A.卡纳斯和F.A.塔马里特，Phys。牧师。B 54，R12661（1996年）。[37]L.C.桑帕约，M.P.德阿尔伯克基和F.S.德梅内泽斯，Phys。牧师。B 555611（1997年）。[38]C.Anteeodo和C.Tsallis，Phys。牧师。莱特。80, 5313 (1998).[39]库里勒夫和C.塔利斯，物理系。莱特。A 264270（1999年）。[40]R.F.S.Andrade和S.T.R.Pinho，Phys。牧师。E 71026126（2005年）。[41]C.比内克、S.波利塞蒂、X.何、T.穆克吉、R.拉杰什和J.雷德潘宁，物理系。牧师。B 74054432（2006年）。[42]C.A.Condat，J.Rangel和P.W.Lamberti，Phys。牧师。E 65026138（2002年）。[43]H.H.A.Rego，L.S.Lucena，L.R.da Silva和C.Tsallis，Physica A 266,42（1999）。[44]U.L.富尔科、L.R.达席尔瓦、F.D.诺布雷、H.H.A.雷戈和L.S.卢塞纳，Phys。莱特。A 312331（2003年）。[45]L.Borland和J.G.Menchro，在非扩展统计力学和热力学中，S.R.A.Salinas和C.Tsallis编辑，Braz。J.Phys。29, 169 (1999).[46]L.Borland，J.G.Menchro和C.Tsallis，Phys。牧师。B 611650（2000年）。[47]A.坎帕、A.詹桑蒂、D.莫罗尼和C.塔利斯，Phys。莱特。A 286251（2001年）。[48]J.D.贝肯斯坦，物理系。牧师。D 72333（1973年）。[49]J.D.贝肯斯坦，物理系。牧师。D 993292（1974年）。[50]S.W.霍金，《自然》248，30（1974）。[51]S.W.霍金，物理系。牧师。D 13191（1976）。[52]G\'t Hooft，Nucl。菲斯。B 256727（1985年）。[53]G\'t Hooft，Nucl。菲斯。B 355、138（1990），以及其中的参考文献。[54]L.Susskind，Phys。牧师。莱特。71, 2367 (1993).【55】J.Maddox，《自然》第365、103页（1993年）。[56]M.Srednicki，Phys。牧师。莱特。71, 666 (1993).[57]A.Strominger和C.Vafa，Phys。莱特。B 379，99（1996年）。[58]J.Maldacena和A.Strominger，J.高能物理学。2, 014 (1998).[59]S.Das和S.Shankaranarayanan，Phys。牧师。D 73121701（R）（2006年）。[60]R.Brustein，M.B.Einhorn和A.Yarom，J.高能物理学。01, 098(2006).[61]L.Borsten，D.Dahanayake，M.J.Duff，H.Ebrahim和W.Rubens，Phys。众议员471113（2009）。[62]T。

Padmanabhan，arXiv:0910.0839（2009）。[63]H.Casini，Phys。牧师。D 79024015（2009年）。[64]L.Borsten，D.Dahanayake，M.J.Duff，A.Marrani和W.Rubens，Phys。牧师。莱特。105, 100507 (2010).[65]C.Corda，J.高能物理学。08, 101 (2011).[66]S.Kolekar和T.Padmanabhan，Phys。牧师。D 83064034（2011年）。[67]H.Saida，熵13，1611（2011）。[68]L.P.Hughston和K.P.Tod，《广义相对论导论》（剑桥大学出版社，剑桥，1990年）。[69]E.F.Taylor和J.A.Wheeler，《探索黑洞：广义相对论导论》（Addison-Wesley，旧金山，2000）。[70]S.Weinberg，《引力与宇宙学：广义相对论的原理与应用》（约翰·威利父子出版社，纽约，1972年）。[71]J.Eisert，M.Cramer和M.B.Plenio，Rev。摩登派青年菲斯。82, 277 (2010).[72]M.Banados，C.Teitelboim和J.Zanelli，Phys。牧师。莱特。69, 1849(1992).[73]S.Carlip，同学们。量子重力。12, 2853 (1995).[74]S.Carlip，2+1维的量子引力（剑桥大学出版社，剑桥，1998年）。[75]G.Ruiz和C.Tsallis，Phys。莱特。A 3762451（2012年）。[76]H.图切特，物理系。莱特。A 377436（2013年）。[77]G.Ruiz和C.Tsallis，Phys。莱特。A 377491（2013年）。[78]让我们提醒一下，q>1的q高斯分布在等离子体物理界也被称为κ分布，有时也被称为广义洛伦兹分布；对于q的特殊有理值，它们对应于自由度整数的Student t分布。对于q<1的特殊有理值，q-高斯对应于ther分布（具有紧支撑）。[79]C.Tsallis，J.C.Anjos和E.P.博尔赫斯，Phys。莱特。A 310372（2003年）。[80]U.Tirnakli，H.J.Jensen和C.Tsallis，Europhys。莱特。96, 40008(2011).[81]J.Zand，U.Tirnakli和H.J.Jensen，J.Phys。A:数学。理论。48,425004 (2015).[82]A.Pluchino，A.Rapisarda和C.Tsallis，Europhys。