均值回归下的投机性期货交易

如我们所见，投资者会在现货价格较低时做多期货，而在现货价格较高时做空以平仓，这证实了低买高卖的直觉。如果投资者采用短线-多头策略，即首先做空一个期货，然后以多头仓位收盘，那么最佳市场进入和退出时机策略分别由图2（c）中的“K”和“U”边界表示。投资者将在现货价格足够高（在“K”边界）时做空期货进入市场，并在现货价格较低时平仓。因此，边界反映了一种“低买高卖”的策略。当没有交易成本时（见图2（b）和2（d）），两种策略的等待区域都会缩小。实际上，这意味着投资者倾向于提前进入和退出市场，从而导致更快的交易。这是直观的，因为交易成本不利于交易，尤其是提前到期。在P（t，s）在（4.1）中描述的市场进入问题中，投资者决定以什么样的现货价格开仓。图2（e）中的两个边界说明了相应的计时策略。标为“P=A”（分别为“P=B”）的边界表示投资者通过持有多头（分别为空头）期货头寸进入市场的临界现货价格（作为时间的函数）。“P=B”边界上方的区域为“短第一”区域，而“P=A”边界下方的区域为“长第一”区域。两个边界之间的区域是投资者应该等待进入的区域。区域排序是直观的——投资者在现货价格当前较低时买入期货，在现货价格较高时做空期货。随着时间接近成熟，进入市场的价值会降低。

投资者不会开始多头/空头仓位，除非其仓位非常低/高，接近到期。因此，等待区域在接近到期时显著扩大。现货价格为正，因此s∈ R+，在CIR和XOU模型下。时间（天）051015 20短期价格510152025VjwaitLongshort（天）051015 20短期价格510152025VjwaitLongshort（天）051015 20短期价格510152025KUwaitLongshort（天）051015 20短期价格510152025KUShortwaitLongshort（天）时间051015 20短期价格510152025KUShortwaitlong FirstP=AP=b（天）时间051015 15 20短期价格510152025K FirstWaitLong FirstP=BP=wait（天）图2：分别在（a）和（b）中的CIR模型下，未来交易有/无交易成本的最优长短边界，分别在（c）和（d）中有/无交易成本的最优长短边界，以及分别在（e）和（f）中有/无交易成本的最优边界。参数：^T=，T=，r=0.05，σ=5.33，θ=17.58，θ=18.16，u=8.57，u=4.55，c=^c=0.005。时间（天）05101520P=BVKJUP=A（A）时间（天）05101520VKJP=AP=BU（b）图3：分别在（A）和（b）中的CIR模型下，期货交易有无交易成本的最佳边界。参数：^T=，T=，r=0.05，σ=5.33，θ=17.58，θ=18.16，u=8.57，u=4.55，c=^c=0.005。时间（天）05101520KVP=BUP=AJ（天）时间（天）05101520P=BKP=AJUV（b）图4：期货交易的交易成本最优边界g.（a）σ=18.7、θ=17.58、θ=18.16、u=8.57、u=4.55的OU现货模型。（b） σ=1.63、θ=3.03、θ=3.06、u=8.57、u=4.08的XOU点模型。常用参数：^T=，T=，c=^c=0.005。现货价格6 8 10 12 14 16 18 20 22 240.51.52.5图表5：在时间0时，根据现货价格P绘制的价值函数P、A和B。

参数与图4中的参数相同。投资者的退出策略取决于初始进入位置。如果投资者通过多头仓位（在“P=A”边界）进入，那么关闭其仓位的最佳退出时间由图2（A）中标签为“V”的上边界表示。如果投资者的初始仓位较短，那么通过做多期货来收盘的最佳时间由图2（c）中标签为“U”的下限描述。由于附加灵活性，值函数P支配J和K，因此“P=A”边界低于“J”边界并不奇怪，“P=B”边界高于“K”边界，如图3（A）所示。这意味着，在两种策略（“多头开盘、空头收盘”或“空头开盘、多头收盘”）之间进行选择的嵌入式时机选择，会促使投资者推迟进入市场，等待更好的价格。图4中的OU和XOU spot模型也观察到了这种现象。图5显示，对于现货价格的所有值，价值函数P支配B和A。我们还可以看到“P=A”（当现货价格较低时）和“P=B”（当现货价格较高时）的区域。我们看到，图4（b）与图3（a）类似，在CIR和XOU情况下，“U”边界和“J”边界之间的差异远大于“V”边界和“K”边界之间的差异。这意味着，选择多空或多空的决定对多空期货的最佳价格水平的影响比选择多空期货的最佳价格水平的影响更大。另一方面，在图4（a）中，我们观察到长-短和短-长最佳运动边界之间存在更对称的关系。

特别是，选择一种策略或另一种策略不会像CIR和XOU案例那样影响最优价格水平。5结论我们研究了在多个均值回归现货模型下期货交易的最优双停方法。我们的模型得出的交易决策与现货价格动态和期货期限结构一致。考虑到时间选择以及在多头或空头头寸之间选择的选择，我们发现，与事先承诺多头或空头的情况相比，推迟市场进入是最佳的。未来研究的一个自然方向是研究多因素时变均值回复现货价格模型下的交易策略。为此，我们在此提供了一些参考资料，讨论了此类模型下期货的定价方面，例如Detemple和Osakwe（2000）；陆和朱（2009）；朱和廉（2012）；Mencia和Sentana（2013）为VIX期货，Schwartz（1997）；Ribeiro和Hodges（2004年）对大宗商品，Monoyios和Sarno（2002年）对股票指数期货。在均值回复s-pot模型（Leung等人（2015年、2014年））和信用衍生品交易（Leung和Liu（2012年））下，开发类似的最优多重止损方法来交易商品也具有实际意义。6附录6。1数值实现我们采用有限差分法计算图2、3和4中的最佳边界。操作员L（i），i∈ （4.2）-（4.4）中定义的{1,2,3}分别对应于OU、CIR和XOU模型。

为了捕捉这些模型，我们定义了通用的微分算子{·}=-r·+·t+~n（s）·s+σ（s）·s、 然后变分不等式（4.5），（4.6），（4.7），（4.8）和（4.9）的形式与下面的变分不等式问题相同：Lg（t，s）≤ 0，g（t，s）≥ ξ（t，s），（t，s）∈ [0，^T）×R+，（Lg（T，s））（ξ（T，s）- g（t，s））=0（t，s）∈ [0，^T）×R+，g（^T，s）=ξ（^T，s），s∈ R+。（6.1）这里，g（t，s）表示值函数V（t，s），J（t，s），-U（t，s）、K（t，s）或P（t，s）。函数ξ（t，s）表示f（t，s；t）-c、 （V（t，s）-（f（t，s；t）+^c）+，-（f（t，s；t）+^c，（f（t，s；t）-c）-U（t，s））+，或max{A（t，s），B（t，s）}。期货价格f（t，s；t），带^t≤ T分别由OU、CIR和XOU模型下的（2.1）、（2.4）和（2.10）给出。我们现在考虑在时间（δt=^TN）和空间（δs=SmaxM）离散的均匀网格上，偏微分方程Lg（t，s）=0的离散化。我们采用CrankNicolson方法，该方法涉及有限差分方程：-αigi-1，j-1+ (1 - βi）gi，j-1.- γigi+1，j-1=αigi-1，j+（1+βi）gi，j+γigi+1，j，其中gi，j=g（jδt，iδs），ξi，j=ξ（jδt，iδs），ψi=ψ（iδs），σi=σ（iδs）。αi=δt4δsσiδs- ~ni, βi=-δtr+σi（δs）, γi=δt4δsσiδs+ψi,对于i=1，2。。。，M- 1和j=1，2。。。，N- 1.需要及时解决的系统isMgj-1=rj，其中右侧isrj=Mgj+αg0，j-1+g0，j。。。+ γM-1....通用汽车，j-1+gM，j，,安德姆=1.- β-γ-α1 - β-γ-α1 - β-γ.........-αM-21- βM-2.-γM-2.-αM-11- βM-1.,M=1 + βγα1 + βγα1 + βγ.........αM-21+βM-2γM-2αM-11+βM-1.,gj=g1，j，g2，j，转基因的-1，j这导致了一系列平稳互补问题。因此，在每个时间点j∈{1, 2, . . .

N- 1} ，我们需要解决Mgj-1.≥ rj，gj-1.≥ ξj-1.（Mgj）-1.- rj）T（ξj）-1.- gj-1) = 0.为了解决最优问题，OUR算法显式地执行约束，如f ollowsgnewi，j-1=最大值戈尔迪，j-1，ξi，j-1.. （6.2）采用投影SOR法求解线性系统。每次j，我们迭代求解g（k+1）1，j-1=最大值ξ1，j-1，g（k）1，j-1+ω1 - β[r1，j]- (1 - β） g（k）1，j-1+γg（k）2，j-1],g（k+1）2，j-1=最大值ξ2，j-1，g（k）2，j-1+ω1 - β[r2，j+αg（k+1）1，j-1.- (1 - β） g（k）2，j-1+γg（k）3，j-1],...g（k+1）M-1，j-1=最大值ξM-1，j-1，g（k）M-1，j-1+ω1 - βM-1[rM-1，j+αM-1g（k+1）M-2，j-1.- (1 - βM-1） g（k）M-1，j-1],（6.3）关于预计SOR方法的详细讨论，请参考Wilmott等人（1995年）。其中k是迭代计数器，ω是超松弛参数。迭代格式从初始点g（0）开始，直到满足一个收敛准则，即| | g（k+1）j-1.-g（k）j-1 | |<，其中是公差参数。最佳边界Sf（t）可以通过定位分隔g（t，s）=ξ（t，s）或g（t，s）区域的边界来确定≥ ξ（t，s）。ReferencesAcworth，W.（2015年）。2014年国际汽联年度全球期货和期权交易量：北美和欧洲的收益影响了亚太地区的经济衰退[在线；发布于2015年3月9日]。巴厘岛，T.G.和Demirtas，K.O.（2008）。测试金融市场波动的均值回归：来自标准普尔500指数期货的证据。期货市场杂志，28（1）：1-33。贝塞姆宾德，H.，库格努尔，J.F.，塞根，P.J.，和斯穆勒，M.M.（1995）。均衡资产价格的均值反转：来自期货期限结构的证据。《金融杂志》，50（1）：361-375。布伦南，M.J.和施瓦茨，E.S.（1990）。股指期货套利。商业杂志，63（1）：S7-S31。Cartea，A.，Jaimungal，S.，和Penalva，J.（2015）。算法和高频交易。剑桥大学出版社，英国剑桥。卡萨苏，J。

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