均值回归下的投机性期货交易

应用伊藤公式，我们表示了最优清算溢价asL（t，s）=supτ∈Tt，TEt，sZτte-r（u）-t） （u，Su）du, （2.13）式中eg（u，s）：=nr+hu（θ）- ln（s））- ~u(~θ - ln（s））即-u（u）-t） o×expE-u（u）-t） ln（s）+（1）- E-u（u）-t） ）（θ-σ2~u) +σ4~u(1 - E-2μ（u）-t） )- rc。（2.14）通过检查溢价定义，我们获得了立即清算或等待到期的最佳条件。这个证明与命题3的证明相同，所以我们省略了它。提议4让t∈ [0，T]是当前时间。在XOU点模型下，ifeG（u，s）≥ 0（美国）∈ [t，t]×R+，然后持有至到期（τ*= T）是（2.13）的最佳值。如果EG（美国）<0，（美国）∈ [t，t]×R+，然后立即清算（τ*= t） 最适合（2.13）。接下来，我们总结了XOU现货模型下的期货期限结构。命题5在XOU现货模型下，期货曲线是（i）向下倾斜且凸的ifln S>θ-σ2~u(1 - E-uT）+e2μT+σ2μ-e|uT，（ii）向下倾斜和凹陷，如果|θ-σ2~u(1 - E-~uT）<ln S<~θ-σ2~u(1 - E-uT）+e2μT+σ2μ-e|uT，（iii）向上倾斜和凹，如果|θ-σ2~u(1 - E-uT）-e2μT+σ2μ-euT<ln S<~θ-σ2~u(1 - E-uT）和（iv）向上倾斜和凸出的ifln S<θ-σ2~u(1 - E-uT）-e2μT+σ2μ-e|uT.证明。FTA的直接差异产生英尺T=~u(~θ -σ2~u- ln S）e-uT+σe-2uT英国《金融时报》，以及英尺T=μe-2uT（°θ）-σ2~u- ln S）+（λμσe-3uT- μe-uT）（θ-σ2~u- lns）+σe-4uT- σ|ue-2uTfT.通过分析一阶和二阶导数的符号获得结果。到期日0 50 100 150 200 250VIX期货价格40455055606570758085CIR/OuxOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuOuO。到期日为26至243天（12月至7月合同）。

校准参数：在CIR/OU模型下，μ=4.59，μθ=40.36，或在XOU模型下，μ=3.25，μθ=3.65，σ=0.15。（右）2015年7月22日的VIX期货历史价格，当前VIX价值为12.12。到期日从27天到237天不等（8月至3月合同）。校准参数：在CIR/OU模型下，μ=4.55，μθ=18.16，或在XOUmodel下，μ=4.08，μθ=3.06，σ=1.63。图1显示了在VIX未来市场中观察到的两种特征不同的期限结构。这些期货写在CBOE波动性指数（VIX）上，在CBOE期货交易所交易。由于波动率指数衡量根据标准普尔500指数期权价格计算的1个月隐含波动率，波动率指数期货提供了市场波动性的敞口。我们在2008年11月20日的最近金融危机期间（左）和2015年7月22日的危机后（右）对VIX期货价格以及OU/CIR模型和XOU模型下的校准期货曲线进行了预测。在校准中，选择模型参数值以最小化模型和观测未来价格之间的平方误差之和。OU/CIR/XOU模型在2008年11月20日（左）生成了一条递减的凸曲线，在2015年7月22日（右）生成了一条递增的凹曲线，它们都非常符合观测到的未来。前一个期限结构始于非常高的现货价格80.86，在OU/CIR模型下，风险中性长期平均值θ=40.36，表明市场对市场波动性下降的预期。

相比之下，我们从2015年7月25日的期限结构推断，市场预期波动率指数将从当前的即期价值12.12上升到θ=18.16.3。根据设计，随着时间接近成熟度，期货合约的价值将收敛到s pot价格。如果期货市场处于倒价状态，期货价格会上涨，最终达到现货价格。相比之下，当市场处于稳定状态时，期货价格往往会下降到现货价格。对于持有多头期货头寸的投资者来说，在现货市场的回报率为正，而在期货市场的回报率为负。投资者可以做多前一个月的合约，然后在到期时或到期前做空，同时做多下一个月的合约。这种滚动策略涉及将到期合同反复滚动到新合同中，通常在回购过程中采用，而在期货市场中通常采用相反的策略。在能源大宗商品和波动性期货市场中，普遍存在现货溢价和期货溢价现象。一般来说，期货和现货价格都会随着时间的推移而变化。如果现货价格上升/下降，期货价格也会上升/下降。这导致我们考虑期货和现货回报之间的差异，定义为价值变化除以初始值。让0≤ t<t≤ T我们表示与到期日为t byR（t，t，t）：=（fTt）的单一期货合约相关的[t，t]期间的滚动收益率- fTt）- （圣- 圣彼得堡）。（3.1）换句话说，这里的滚动收益率是指期货价格的变化，而现货价格的变化没有考虑到期货价格的变化。它代表持有期货的净收益和/或成本，而不是标的资产本身。滚动收益率的这种解释与Moskowitz等人（2012年）的观点相同，他们研究了滚动收益率和期货收益率之间的关系。

Gorton等人（2013年）将滚动收益率视为美国期货的基础，这意味着负滚动收益率意味着一个连续的市场，而正滚动收益率相当于溢价。在我们的设置中，如果一个人总是持有一份到期的期货合约，那么滚动收益率和期货基础是一样的。在此之前，inGorton等人（2013年）对轧辊产量的定义是我们的一个特例。特别是，如果t=t，则轧制产量将降低至价格差异（St- fTt）。此外，请注意，如果St=St，那么滚动收益率将取决于期货价格的变化。一个密切相关的概念是标准普尔-GSCI轧辊产量。标准普尔GSCI每月从第五个工作日到第九个工作日对基础期货合约进行一次滚动。在每一天，20%的当前投资组合被展期，这一过程通常被称为Goldmanroll。每种商品的S&P-GSCI滚动收益率定义为新期货合同的平均购买价格与旧期货合同的平均销售价格之间的差异。本质上，它是期货期限结构斜率标志的指示器。与标准普尔GSCI指数相比，我们的定义考虑了现货价格随时间的变化。接下来，我们检查各到期日的累积滚动收益率。用T<T<T<T表示。期货合约的到期日。我们在每一个TIB延期，将到期的合同替换为在Ti+1到期的新合同。设i（t）：=min{i:Ti-1<t≤ Ti}，i（0）=1。然后，直到时间t>TisR（0，t）=（fTi（t）t时的辊产量- fTi（t）Ti（t）-1） +i（t）-1Xj=2（STj- fTjTj-1） +（圣- （英国《金融时报》）- （圣- S） =（fTi（t）t- （圣）- （英国《金融时报》- S） |{z}基返回+i（t）-1Xj=1（STj- fTj+1Tj）|{z}累计滚动调整。（3.2）累计滚动调整与期货合同的期限结构有关。

如果Ti- 钛-1为常数，且期限结构e仅平行移动，则累计滚动调整仅为滚动次数乘以常数（即期和近月未来合同之间的差异）。参见《解构期货回报：滚动收益的作用》，坎贝尔白皮书系列，2014年2月。3.1 OU和CIR现货模型假设现货价格遵循第2.1节中描述的OU或CIR模型。检查（3.2），我们可以在OU模型下记录轧辊产量的SDE：dR（0，t）=dfTi（t）t- dSt=he-u（Ti（t）-（t）u(θ - （圣）- ~u(~θ - （圣）- u(θ - St）idt+σE-u（Ti（t）-（t）- 1.dBt。（3.3）CIR模型下的轧辊屈服SDE的漂移与（3.3）相同。此外，漂移是正向的-u（Ti（t）-t） （)u)θ- μθ）+μθe-u（Ti（t）-t） （）- u) + u.特别是，如果θ=～θ，则漂移为正效应>θ。当t=Ti（t）时，漂移为|u（St-~θ）和正效应>~θ。此外，漂移项也可以表示为|ufTi（t）t-~θ-1.- E-u（Ti（t）-（t）u(θ - 圣彼得堡）。另一方面，我们观察到dr（0，t）dSt=σE-u（Ti（t）-（t）- 1.在OU情况下，dR（0，t）dSt=σE-u（Ti（t）-（t）- 1.Stdt，在CIR案下。换句话说，无论现货价格水平如何，在OU和CIR模型下，当t<Ti（t）时，滚动收益率和现货价格之间的瞬时协变量均为负。考虑在多个到期日滚动的更长期限，预期滚动收益率isE{R（0，t）}=E{fTi（t）t- 圣约翰- （英国《金融时报》- S） +i（t）-1Xj=1E{STj- fTj+1Tj}=（（S）- θ） e-ut+θ-θ（e）-u（Ti（t）-（t）- 1) - （S）-θ（e）-uT- 1） +i（t）-1Xj=1（S- θ） e-uTj+θ-~θ)(1 - E-u（Tj+1-Tj）。总之，预期的滚动收益率不仅取决于风险中性参数μ和θ，还取决于它们的历史对应值。当S=θ=＠θ时，它会消失。

这是直观的，因为如果当前的现货价格目前处于长期平均值，并且风险中性和历史测量值也在下降，那么现货和期货价格几乎不会偏离长期平均值。此外，请注意，n期货价格或滚动收益率取决于波动性参数σ。这在OU/CIR模型中是正确的，但在我们接下来讨论的指数OU模型中不是。3.2指数型现货价格模型我们现在转向第2.2节讨论的指数型现货价格模型。回顾（2.10）中的未来，预期的轧辊产量由{R（0，t）}=Y（t）+Y（t）给出- （英国《金融时报》- S） ，其中y（t）=E{fTi（t）t- St}=expE-u（Ti（t）-（t）-utln（S）+θ -σ2u(1 - E-ut）e-u（Ti（t）-t） +σ4ue-2μ（Ti（t）-t） （1）- E-2ut）+（1- E-u（Ti（t）-t） ）（θ-σ2~u)+σ4~u(1 - E-2μ（Ti（t）-t） )- 经验E-utln（S）+（1- E-ut）（θ-σ2u) +σ4u(1 - E-ut）,安迪（t）=i（t）-1Xj=1E{STj- fTj+1Tj}=i（t）-1Xj=1经验E-uTjln（S）+（1- E-uTj）（θ-σ2u) +σ4u(1 - E-uTj）- 经验E-u（Tj+1-（Tj）-uTjln（S）+θ -σ2u(1 - E-uTj）e-u（Tj+1-Tj）+σ4ue-2u（Tj+1-Tj）（1）- E-2uTj）+（1- E-u（Tj+1-（θ）-σ2~u) +σ4~u(1 - E-2u（Tj+1-（Tj））.预期滚动收益率的显式公式（3.4）f揭示了对波动率参数σ、风险中性参数（u，θ）和历史参数（u，θ）的非平凡依赖性。在从期货价格的期限结构中校准风险中性参数，并从过去的现货价格中估计历史参数后，它有助于即时预测滚动收益率。参考（2.9）和（2.11），XOU现货模型下轧辊产量的历史动态由dr（0，t）=h（t，s）dt+σ给出E-u（Ti（t）-t） fTi（t）t- 圣dBt，其中h（t，s）=ln s（μ）- u) + (uθ - ~u~θ)经验E-u（Ti（t）-t） ln（s）+（1）- E-u（Ti（t）-t） ）（θ-σ2~u)+σ4~u(1 - E-2μ（Ti（t）-t） )E-u（Ti（t）-（t）- u(θ - ln（s））s，是用点冰St表示的漂移。

这将减少到h（Ti（t），s）=s ln（s）（μ）- u + uθ) - 如果t=Ti（t），则为uθs。与OU/CIR情况不同，在XOU sp ot模型下，漂移改变符号的现货价格临界水平没有明确的解决方案。与OU/CIR spot模型一样，计算r（0，t）dSt=σ是有意义的E-u（Ti（t）-t） fTi（t）t- 圣从中我们可以看出，滚动收益率和现货价格之间的协变量可以是正的，也可以是负的。尤其是当期货价格明显高于s现货价格时，即当市场处于连续状态时，相关性往往为正。4期货交易的最佳时机在第2节中，我们讨论了清算多头期货头寸的时机，第3节中讨论的滚动概念对应于持有到期的期货。在本节中，我们将进一步探讨期货中嵌入的时机选择，并制定最佳交易策略。4.1最优双止损法让我们考虑这样一种情况：投资者在到期日为T的期货合约中持有多头头寸。对于期货中的多头头寸，投资者可以将其持有至到期，但也可以通过在当前市场价格上采取相反的仓位提前平仓。到期时，两个相反的位置会相互抵消。

这促使我们调查关闭的最佳时间。如果投资者选择在时间τ结束多头头寸≤ 然后她将收到到期日期货的市场价值，用f（τ，Sτ；T）表示，减去交易成本c≥ 0.为了最大化预期贴现值，在投资者的历史概率测度P下，以恒定的主观贴现率r>0进行评估，投资者解决了最优停止问题v（t，s）=supτ∈Tt，TEt，sE-r（τ）-t） （f（τ，Sτ；t）- c）,式中，Tt是所有停止时间的集合，关于S生成的过滤，取t和^t之间的值，其中^t∈ （0，T]是交易截止日期，它可以等于但不超过未来的自然值。在本章中，我们继续使用简写符号Et，s{·}≡E{·| St=s}表示历史概率测度EP下的预期。价值函数V（t，s）表示与长期期货头寸相关的预期清算价值。在做多f仓位之前，零仓位的投资者可以选择开始交易的最佳时机，或者根本不进入。这让我们分析了交易问题中固有的时机选择。准确地说，在时间t≤ T，投资者面临最优进入时机问题j（T，s）=supν∈Tt，TEt，sne-r（ν）-t） （V（ν，Sν）- （f（ν，Sν；T）+^c）+o，其中^c≥ 0是交易成本，它可能不同于c。换句话说，投资者寻求最大化与多头头寸相关的价值函数V（ν，Sν）与当前期货价格f（ν，Sν；T）之间的预期差异。价值函数J（t，s）代表嵌入期货的交易机会的最大预期价值。

我们将这种“多头开盘，空头收盘”策略称为多头空头策略。或者，投资者可能会选择做空期货合约，猜测期货价格将下跌，然后通过建立多头仓位将其平仓。考虑到期货合约中有单位空头头寸的投资者，目标是最小化在到期日/到期日前平仓的预期贴现成本。最佳定时策略由u（t，s）=infτ确定∈Tt，TEt，sne-r（τ）-t） （f（τ，Sτ；t）+^c）o.如果投资者从零开始，那么她可以通过解k（t，S）=supν来决定何时进入市场∈Tt，TEt，sne-r（ν）-t） （（f（ν，Sν；t）- c）- U（ν，Sν））+o.我们把这种“短到开盘，长到收盘”的策略称为“短到长”策略。当投资者考虑进入市场时，她可以先做多或做空。因此，除了时间选择权，投资者在多空策略和多空策略之间还有一个额外的选择权。因此，投资者解决了市场进入时机问题：P（t，s）=sup∈Tt，TEt，sne-r（）-t） 马克斯{A（，S），B（，S）}o，（4.1）在A（，S）定义的进入时提供两种可选奖励：=（V（，S）- （f，S，T）+c）+（长-短），B（S，S）：=（（f，S，T）- c）-4.2变分不等式与最优交易策略为了求解最优交易策略，我们研究了与值函数J、V、U、K和P相对应的变分不等式。为此，我们首先定义了算子：L（1）{·}-r·+·t+~u（~θ）- （s）·s+σ·s、 （4.2）L（2）{·}=-r·+·t+~u（~θ）- （s）·s+σs·s、 （4.3）L（3）{·}=-r·+·t+~u（~θ）- ln（s）·s+σs·s、 （4.4）分别对应于OU、CIR和XOU模型。通过做空期货头寸，投资者需要以预先设定的价格在到期时出售标的现货。

与卖空股票不同，卖空期货不涉及股票借贷或回购。与长短策略相关的最优出入口问题J和V由以下一对变分不等式求解：maxnL（i）V（t，s），（f（t，s；t）- c）- V（t，s）o=0，（4.5）maxnL（i）J（t，s），（V（t，s）- （f（t，s；t）+^c）+- J（t，s）o=0，（4.6）表示（t，s）∈ [0，T]×R，带i∈ 分别代表OU、CIR或XOU模型的{1,2,3}。同样，通过数值求解U和K满足的变量不等式，可以确定反向短长策略：minnL（i）U（t，s），（f（t，s；t）+^c）- U（t，s）o=0，（4.7）maxnL（i）K（t，s），（（f（t，s；t）- c）- U（t，s））+- K（t，s）o=0。（4.8）当V、J、U和K被数值求解时，它们成为价值函数P所代表的最终问题的输入。为了确定进入未来市场的最佳时机，我们求解变分不等式MaxNL（i）P（t，s），m ax{A（t，s），B（t，s）}- P（t，s）o=0。（4.9）最优时机策略由一系列有界白羊座描述，这些白羊座代表投资者应建立多空期货头寸的时变临界现货价格。在“从多头到开盘，从空头到收盘”的交易问题中，投资者预先承诺首先持有头寸，市场进入时机由图2（a）中的“J”边界描述。退出市场的后续时间由图2（a）中的“V”边界表示。