二元寿命模型在人寿保险中的应用

实际上，对于年龄为xj的性别为j的个体，剩余寿命Tij（x）是一个随机变量，例如Tij（xj）=mintij，Bijδij=1{tij≥Bij}，其中Bijis是夫妻i中性别为j的个体的随机审查点。考虑一对夫妻i，其中男性和女性在合同生效日期分别为XM和XF岁。对于每个性别j=m，f，对可能性的贡献由ij（θj）=hBijpxj（θj）iδijhfixj给出tij，θji1-δij。（3.2）我们记得，数据集是左截断的，这就是为什么（3.2）中的似然函数必须对进入年龄xj的存活率有条件，参见例[6]。因此，总体似然函数可以写成如下lj（θj）=nYi=1Lij（θj），j=m，f.（3.3）。通过最大化（3.3）中的似然函数，使用我们的数据集，Gompertz DF的最大似然估计如表3.1所示。^θ估计标准误差^mm86。3780.289^mf92。175 0.527^σm9。833 0.415^σf8。114 0.392表3.1:Gompertz参数估计。标准误差相对较低，估计表明，女性的死亡模式年龄大于男性。后者的原因是女性的预期寿命比男性长。分析模型性能的一个好方法是与数据集的Kaplan-Meier（KM）乘积极限估计器进行比较。我们记得，KM技术是一种方法，它包括从经验数据非参数地估计生存函数。图3.1对女性群体，生存函数的KM估计值与上述估计的Gompertz分布的KM估计值进行了比较。由于几乎所有的年金受益人在入职时都超过40岁，所有的分配都以40岁的存活率为条件。生存函数被绘制为年龄x的函数（对于x=40到x=110）。Gompertz曲线是平滑的，而KM是参差不齐的。

该图清楚地表明，估计的Gompertz模型是一种有效的近似KM曲线的选择。40 60 80 100 1200.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0女性年龄分布函数图3.1:Gompertz和Kaplan Meier的女性分布函数4依赖模型4。1背景Sklar[24]引入Copula模型，通过分离边缘行为和依赖结构来指定随机向量的联合df。在不失普遍性的情况下，我们将重点放在二元情况上。我们用T（xm）和T（xf）分别表示男性和女性的未来寿命。如果T（xm）和T（xf）是正的且连续的，则存在唯一的copula C:[0，1]→ [0，1]其中规定了二元随机向量（T（xm），T（xf））的联合df，如下P（T（xm）6t，T（xf）6t）=C（P（T（xm）6t），P（T（xf）6t））=C（tqxm，tqxf）。类似地，（T（xm），T（xf））的生存函数用连接函数和边缘生存函数来表示。这由p（T（xm）>T，T（xf）>T）=C（tpxm，tpxf）=tpxm+tpxf给出- 1+C（tqxm，tqxf）。（4.1）文献中已经发展了广泛的参数连接函数。我们参考[19]了解现有的copula家族。阿基米德copula家族在寿险应用中非常流行，尤其是由于其在建模依赖随机寿命方面的灵活性，参见[11,26]。如果φ是一个凸且二次可微的严格递增函数，阿基米德copula的df由cφ（u，v）=φ给出-1（φ（u）+φ（v）），其中φ：[0,1]→ [0, ∞] copula的生成器是否满足φ（1）=0和u，v∈ [0, 1]. 本文讨论了四个著名的copula。首先，由φ（t）=(-ln（t））-α、 α>1，这就产生了copulaCα（u，v）=exp{-[(-ln（u））α+(-ln（v））α]1/α}，α>1。

（4.2）其次，我们有Frank copulaCα（u，v）=-αln1+（e）-αu- 1） （e）-αv- 1） （e）-α- 1), α6=0，（4.3）带发电机φ（t）=-自然对数E-αt- 1e-α- 1., α 6= 0.第三，克莱顿copula与生成器φ（t）=t相关联-α- 1，α>0，由cα（u，v）=（u）给出-α+v-α- 1)-1/α, α > 0. （4.4）最后，Joe copulaCα（u，v）=1-(1 - u） α+（1）-v） α- (1 -u） α（1）- v） α1/α，α>1（4.5）具有生成器φ（t）=-ln（1）- (1 - （t）-α), α > 1.显然，（4.2）-（4.5）中的参数α决定了两个边际分布之间的依赖程度。在我们的例子中，那将是妻子和丈夫的一生。Youn和Shemyakin[26]使用了一个Gumbel copula，其中关联参数α依赖于d，如下所示：α（d）=1+β1+βd，β，β∈ R（4.6），其中d=xm- XF分别表示男性和女性的年龄。在我们的α模型中，除此之外，还考虑了以d符号表示的年长伴侣的性别。后者通过方程（4.7）和（4.8）中分母βd的第二项得到。因此，对于我们的模型，弗兰克和克莱顿的copula关联参数用α（d）=β1+βd+β| d |，β，β表示∈ R.（4.7）由于Gumbel和Joe copulas中的copula参数α被限制为大于1，因此（4.8）中相应的依赖参数被允许具有1的截距，我们写下α（d）=1+β1+βd+β| d |，β，β，β∈ R.（4.8）可以看出，如果β<0，则丈夫比妻子年轻时，依赖参数较低，即d<0。此外，当d趋于独立时，Frank和Clayton的依赖性参数变为0，Gumbel copula的依赖性参数变为1，因此倾向于独立性假设。

顺便注意，我们在（4.7）和（4.8）中使用| d |来表示绝对差异，而不是在等式（4.6）中使用das。4.2参数估计最大似然法已被广泛用于将寿命数据拟合到copula模型中，例如[16,23,6]。先验地，这种方法包括同时估计边际参数和copula参数。然而，由于同时需要估计大量参数，这种方法需要大量计算。因此，我们采用了一种程序，可以分别确定边缘参数和copula参数。在这方面，Joe和Xu[15]提出了一种两步技术，在第二步中首先估计边际参数θj，j=m，f和copula参数α（d）。这被称为边际推理函数（IFM）方法。具体而言，通过最大化（3.3）中的似然函数来评估每个生命周期的存活函数。对于带有xim和xif的每一对i，让ui:=timpxim（^θm）和vi:=tifpxif（^θf）分别为男性和女性的边际生存函数。考虑到δi和δif所表示的两个生命周期的右截尾特征，通过最大化似然函数L（α（d））：=L（α）=nYi=1”获得copula参数的估计值dα（d）~Cα（ui，vi）用户界面vi#（1）-δim）（1-δif“~Cα（ui，vi）ui）#（1）-δim）δif×”~Cα（ui，vi）vi#δim（1）-δif）~Cα（ui，vi）#δimδif.（4.9）Oakes[20]还引入了一种类似的两步技术，称为综合半参数过程或伪最大似然法。在这个过程中，边际分布被视为copula模型的干扰参数。第一步包括使用KM方法非参数地估计两个边际剩余函数。

在通过nn+1重新调整结果估计后，我们获得伪观测值（Ui，n，Vi，n），其中Ui，n=^Sm（xim+tim）^Sm（xim）和Vi，n=^Sm（xif+tif）^Sm（xif）。在第二步中，copula估计是通过最大化以下函数L（α（d））：=L（α）=nYi=1“~Cα（Ui，n，Vi，n）Ui，nVi，n#（1）-δim）（1-δif“~Cα（Ui，n，Vi，n）Ui，n#（1）-δim）δif×”~Cα（Ui，n，Vi，n）Vi，n#δim（1）-δif）~Cα（Ui，n，Vi，n）#δimδif.（4.10）Genest等人[12]和Shih and Louis[23]已经证明了copula参数的有杆估计是一致的，并且是渐近正态分布的。由于其计算优势，IFM和综合方法被用于我们的估计。通过比较这两种技术的结果，我们可以分析某个copula在多大程度上是一对夫妇内双变量生命周期的可靠模型。表4.1和表4.2显示了基于我们的数据集的copula估计。对于Gumbel、Offrank和Joe copulas，来自IFM和综合估计的估计值非常接近。在克莱顿案例中观察到的重要差异表明，这个copula可能不适合在我们的数据集中对双变量寿命进行建模。在所有情况下，^β的负信号表明，如果丈夫年龄大于妻子（即d>0），他们的寿命更有可能相关。^β的阳性标志表明，年龄差异越大，两个生命周期之间的依赖程度越低。参数β和β对α（d）有相反的影响。这就是为什么当d=0时，依赖性达到最大水平，即。

当妻子和丈夫的年龄完全相同时。Copula参数α（d）α^β^β^α(-2） ^α（0）^α（2）^α甘贝尔1.027-0.024 0.036 1.917 2.027 2.003 1.993弗兰克7.359-0.017 0.023 6.813 7.359 7.272 7.065克莱顿2.461-0.302 0.464 0.972 2 2.461 1 1 1.857 1.9602.488-0.063 0.063 2 2.1892.488 2.488 2.389表4.1：IFM方法（αd）和参数估计。Copula参数α（d）α^β^β^α(-2） ^α（0）α（2）α冈贝尔0.976-0.0220.0301.8841.9761.9601.924Frank 7.294-0.0160.0216.7917.2947.2236.828Clayton 1.924-0.1690.2960.9971.9241.5341.117Joe 1.409-0.0550.0581 2.1582.409 2.388 2.352表4：综合方法（αcopula）和参数估计。我们在Gumbel copula下对α（d）的估计与Youn和Shemyakin[26]模型中的结果非常相似，其中β=1.018，β=0和β=0.021。第8列包含依赖性参数α不依赖于d时的估计输出。当d=0时，α（0）=β（或对于Gumbeland Joe为1+β），这相当于依赖性参数不依赖于年龄差异的情况。通过比较第六列和第八列，可以看出，没有年龄差异的模型低估了配偶之间的终生依赖水平。4.3为了评估我们的模型的稳健性，执行了fit优度fit程序。为此，将该模型（包括α（d）夫妇中年长成员的年龄差异和性别）与其他两种类型进行比较，即copula参数不依赖于d的模型以及Youn和Shemyakin[26]的模型。文中提出了许多测试copula模型优度的方法，例如[13,2]。

我们参考[13]了解现有方法的概述。有几篇文章强调了经验copula的性质，尤其是当数据被右删失时，这些文章[8,22,14]就是一些例子。在我们的框架中，goodnessof Fit方法基于Gribkova等人[14]引入的非参数copula，如下所示CN（u，u）=nnXi=1（1）- δim）（1- δif）Win{T（xim）6^F-1m，n（u），T（xif）6^F-1f，n（u）}，（4.11），其中Win=SBm（max（Tim，Tif-（一）-)SBmis是用KM方法估计的右删失随机变量BMM的生存函数；i=Bif- 比姆。^F一词-1j，nis是T（xij）的分位数函数的KM估计量，j=m，f。方程（4.11）的特殊性在于，未经检测的观测值不太可能是原始经验copula的两倍加权（1/n和Win），其中每个观测值都被赋予相同的权重1/n。该权重用于补偿右翼审查。基于p值，拟合优度检验表明某个参数copula在多大程度上接近经验copula Cn。我们采用Cram`er von Mises统计量来评估假设的copula与经验copula的差异，即vn=Z[0,1]Kn（v）dKn（v），（4.12），其中Kn（v）=√n（Cn（v）- C^α（d）（v））是经验copula过程。Genest等人[13]提出了方程（4.12）的经验版本，由bvn=nXi=1（Cn（u1i，u2i）给出- C^α（d）（u1i，u2i））。（4.13）然后在零假设H下测试断言，即所研究的copula描述了夫妻内的双变量寿命。由于Cram`er von Mises统计量不具有明确的df，因此执行bootstrap过程来评估p值，如以下伪算法所示。对于一些大整数K，每K=1重复以下步骤。

，K:o步骤1从假设的copula生成生命期，即（Ubi，Vbi），i=1，n由C^α（d）生成。如果使用IFM方法确定^α（d），则两个寿命由Gompertz分布（tb，im=F）产生-1xm（Ubi，^θm），tb，if=F-1xf（Vbi，^θf）），其中^θj，j=m，f取自表3.1，而对于综合系统，相应的寿命是用T（xj），j=m，f（tb，im=^f的分位数函数的KM估计值生成的-1m，n（Ubi），tb，if=^F-1f，n（Vbi））。o第2步生成截尾变量Bb、i和Bb，如果i=1，n分别来自BM和BF的经验分布第3步考虑与评估使用的数据相同的数据，通过计算b（xim）=min（tb，im，Bb，im），δb，im={tb，im>Bb，im}，tb（xif）=min（tb，if，Bb，if），δb，if={tb，if>Bb，if}来复制保险组合步骤4如果在步骤1中选择了IFM方法，则通过最大化（3.2）和（4.9）从自举数据（Tb（xim）、Tb（xif）、δb、im、δb、If）估计边缘参数和假设copula参数，而在综合方法下，通过最大化等式（4.10）从自举数据估计假设copula参数第5步计算Cram`er von Mises统计量BVBN，kusing（4.13）。o步骤6评估p值的估计值，如下所示^p=K+1KXk=1{bVbn，K>bVn}。基于1000个自举样本，fit优度的结果总结在表4.3中。可以看出，对于IFM和Omnibus，我们的模型比没有年龄差异的模型具有更大的p值，表明配偶之间的年龄差异是他们共同生活时间的一个重要依赖因素。根据Youn和Shemyakin[26]的Gumbel模型，其中β=0，p值被评估为0.678。

对于表4.3中的Gumbel copula，带有α（d）的模型中的p值略高，这进一步证明了d的符号捕获了配偶之间的一些额外关联。IFM OmnibusCopula参数αα（d）αα（d）Gumbel 0.647 0.679 0.639 0.670 Frank 0.518 0.525 0.521 0.530Clayton 0.111 0.163 0.120 0.158Joe 0.321 0.338 0.318 0.329表4.3：拟合优度检验：每个copula模型的p值。在5%的临界水平下，三个copula家族被接受，尽管Clayton copula表现相当。事实上，正如[14]中指出的那样，采样器中审查数据的重要百分比导致了任何GoF测试的巨大损失。因此，这些结果不能有效地评估一对夫妇的寿命依赖性。然而，计算出的p值可能会给出一个方向。在这方面，由于Gumbel和Frank Copula具有最高的p值，因此它们是解决加拿大人寿保险公司组合中夫妻未来寿命依赖性的最佳候选。5.保险申请。1联合人寿保险合同在保险实践中，多次人寿精算计算很常见。此后，（x）代表x岁的丈夫，而（y）代表妻子。考虑到一对夫妇（xy），T（xy）描述了在（x）和（y）之间直到第一次死亡的剩余时间，称为联合寿命状态。相反，T（xy）是最后一个幸存者死亡的时间。变量T（xy）和T（xy）是随机的，我们可以写（xy）=min（T（x），T（y）），而T（xy）=max（T（x），T（y））。在单生命模型中，生存概率由tpxy=P（T（xy）>T）和tpxy=P（T（xy）>T）给出。

（5.1）很明显，如果T（x）和T（y）是独立的，那么tpxy=tpx tpyandtpxy=1-tqx-tqy。T（xy）和T（xy）的缩短预期寿命分别由exy=E（T（xy））给出=∞Xt=1tpxyand exy=E（T（xy））=∞Xt=1tpxy，具有以下关系exy=ex+ey- exy公司。图5.1和图5.2比较了exyas的演变，这是年龄差异d=x的函数-y、 在以下模型下：o模型A:T（x）和T（y）是独立的；o模型B:T（x）和T（y）依赖于一个常数copula参数α=α模型C:T（x）和T（y）依赖于copula参数α（d），如（4.7）和（4.8）所述。在左边（和右边），这些图表是在假设丈夫（和妻子）的x=65（和y=65）和年龄差异d从-20到20，因为我们99%以上的投资组合属于这个区间。固定年龄设置为65岁，因为这是许多国家的退休年龄。分析是在第4节描述的四个copula家族下进行的。一般来说，当exy=e65:65时，可以看出最后一个幸存者的预期寿命exy增加-当exy=e65+d:65时，其下降。这一结果强化了d的符号对年率值有影响的证据。