二元寿命模型在人寿保险中的应用

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英文标题：
《On bivariate lifetime modelling in life insurance applications》
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作者：
Fran\\c{c}ois Dufresne, Enkelejd Hashorva, Gildas Ratovomirija and
  Youssouf Toukourou
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Insurance and annuity products covering several lives require the modelling of the joint distribution of future lifetimes. In the interest of simplifying calculations, it is common in practice to assume that the future lifetimes among a group of people are independent. However, extensive research over the past decades suggests otherwise. In this paper, a copula approach is used to model the dependence between lifetimes within a married couple \\eH{using data from a large Canadian insurance company}. As a novelty, the age difference and the \\eH{gender} of the elder partner are introduced as an argument of the dependence parameter. \\green{Maximum likelihood techniques are} thus implemented for the parameter estimation. Not only do the results make clear that the correlation decreases with age difference, but also the dependence between the lifetimes is higher when husband is older than wife. A goodness-of-fit procedure is applied in order to assess the validity of the model. Finally, considering several products available on the life insurance market, the paper concludes with practical illustrations.
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中文摘要：
涵盖多个寿命的保险和年金产品需要对未来寿命的联合分布进行建模。为了简化计算，在实践中通常假设一群人的未来寿命是独立的。然而，过去几十年的广泛研究表明情况并非如此。在本文中，使用copula方法对已婚夫妇的寿命之间的依赖性进行建模{使用加拿大一家大型保险公司的数据}。作为一个新颖的概念，年长伴侣的年龄差异和性别作为依赖参数的参数被引入。\\因此，格林{最大似然技术}被用于参数估计。研究结果不仅表明，这种相关性随着年龄的差异而降低，而且当丈夫比妻子大时，寿命之间的依赖性也更高。为了评估模型的有效性，采用了拟合优度程序。最后，考虑到人寿保险市场上的几种产品，本文最后给出了实际的例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> On_bivariate_lifetime_modelling_in_life_insurance_applications.pdf (470.91 KB)

2022-5-10 15:35:44 上传

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关键词：人寿保险 Applications distribution illustration Calculations

关于人寿保险应用中的双变量寿命建模Fran,cois Dufresne、Enkelejd Hashorva、Gildas Ratovomirija1、2和Youssouf Toukouroua涵盖多个寿命的人寿保险和年金产品需要对未来寿命的联合分布进行建模。为了简化计算，在实践中通常假设一群人的未来寿命是独立的。然而，过去几十年的广泛研究表明情况并非如此。本文利用加拿大一家大型保险公司的数据，采用copula方法对已婚夫妇的生活时间之间的依赖性进行建模。作为一种新奇的现象，年长伴侣的年龄差异和性别被引入到依赖参数的论证中。因此，最大似然技术被用于参数估计。研究结果不仅表明，这种相关性随着年龄的差异而降低，而且当丈夫比妻子大时，寿命之间的依赖性也更高。为了评估模型的有效性，采用了拟合优度程序。最后，考虑到人寿保险市场上的几种产品，本文最后给出了实际的例子。关键词：相依寿命、Copula和相依性、拟合优度、最大似然估计、人寿保险。1简介涵盖多个寿命的保险和年金产品需要对未来寿命的联合分布进行建模。通常在精算实践中，假设一群人的未来寿命是独立的。大量调查表明，真实的保险数据并不支持这种简单化的假设。向已婚夫妇发放的联合终身年金很好地说明了这一事实。

众所周知，丈夫和妻子往往面临类似的风险，因为他们可能有相同的生活习惯。例如，Parkes等人[21]和Ward[25]揭示了鳏夫死亡率的增加，通常被称为心碎综合征。许多贡献表明，根据依赖性或独立性假设评估的风险相关数量（如风险溢价）之间可能存在显著差异。Denuit和Cornet[9]测量了终生依赖性对寡妇养老金福利现值的影响。根据墓地收集的数据，他们的估计结果不仅证实了死亡风险取决于婚姻状况，而且还表明，与假设独立的模型相比，保费金额减少了约10%。根据加拿大一家大型保险公司的数据，Frees等人[11]证明，洛桑大学商业与经济学院精算学联合系与瑞士洛桑联合多里尼1015Lausanne SwitzerlandVaudoise Assurances，Place de Milan CP 120，1001 Lausanne Switzerlandlives之间存在强烈的正相关性。他们的估算结果表明，与具有独立性的模型相比，年金价值降低了约5%。由Sklar[24]提出，copulas已被广泛用于建模随机向量的依赖结构。在双变量寿命的特殊情况下，脆弱性模型可以用来描述夫妻之间的共同风险因素。Oakes[20]已经证明，由脆弱模型生成的二元分布是阿基米德连接函数的一个子类。这使得这个特殊的copula家族对于模拟二元生命周期非常有吸引力。

我们参考[19]了解copula的一般介绍，参考[1,7]了解阿基米德copula在风险理论中的应用。阿基米德copula家族已被证明在众多人寿保险应用中具有价值。g、 ，[11,4,6]。在[17]中，边际分布和copula分别进行了拟合，结果表明，依赖性随着年龄的增长而增加。众所周知，变量之间的关联程度由dependenceparameter的值来表征。本文特别关注这个相关参数。Youn和Shemyakin[26]引入了配偶之间的年龄差异，作为copula依赖参数的一个参数。此外，年龄差异的迹象在我们的模型中非常有趣。更准确地说，我们假设夫妻中年龄较大的成员的性别会影响他们一生之间的依赖程度。为了证实我们的假设，我们讨论了阿基米德连接函数的四个家族，即Gumbel、Frank、Clayton和Joe连接函数，所有这些都是在Gompertz分布假设下进行的。参数估计基于最大似然法，使用来自加拿大一家大型保险公司的数据，与Frees等人使用的数据集相同。[11]。在[15]和[20]之后，应用了两步技术，分别估计边缘词和copula。结果表明，当丈夫比妻子大时，依赖性更高。一旦估计了边际参数和copula参数，就需要评估模型的优度。例如，在[6]中使用了似然比检验，而Youn和Shemyakin[26]的模型基于Akaike信息标准（AIC）。在本文中，在[14]和[16]之后，我们实现了一个完整的拟合优度程序来验证模型。

基于Cram`er von Mises统计，Gumbel copula的依赖性参数是年龄差异的函数，其符号给出了最好的结果。本文的其余部分组织如下。第2节讨论了数据集的主要特征，并提供了一些推动我们研究的关键事实。第3节描述了估计边际分布的最大似然法。第4节对依赖模型进行了研究。首先，我们描述了参数被估计的copula模型。其次，提出了一种bootstrap算法来评估模型的拟合优度。考虑到寿险市场上的几种产品，第5节介绍了真实数据的数值应用，包括负债的最佳估计、风险资本和止损保费。第6节总结全文。2.如[18]所示，已婚夫妇对死亡率有显著影响。此外，这对夫妇中男性和女性的剩余寿命是相互依赖的，例如[6,11]。在这篇文章中，我们的目标是建立一对已婚夫妇中一个男人和一个女人的一生之间的依赖关系模型。我们研究中使用的常见依赖性指标有：皮尔逊相关系数、肯德尔τ和斯皮尔曼ρ。为了开发这些方面，我们使用了来自加拿大一家大型人寿保险公司的数据。数据集包含观察期（即1988年12月29日至1993年12月31日）内有效政策的信息。因此，我们有14947份合同，其中14889对夫妇（一男一女），其余5889份合同的年金受益人均为男性（22对）或女性（36对）。

[11,6,26,14]中分析的数据与其他数据一样，也是在双变量寿命建模的框架内分析的。因为我们对夫妻之间的依赖感兴趣，所以我们把注意力集中在男性和女性之间的契约上。我们请读者参考[11]了解数据处理过程。数据集被截断，因为仅从进入研究之日起记录辅助信息；这意味着在观察期开始前死亡的被保险人在研究中没有被考虑在内。数据集也被右删，因为大多数被保险人在研究结束时还活着。考虑到我们上述的样本，一些有几份合同的夫妇可能会多次出现。通过只考虑每对夫妇一次，我们的数据集由12856对不同的夫妇组成，我们可以得出以下信息：o男性和女性的进入年龄分别为XM和XF，男性和女性分别为Tm和Tf，以及o男性和女性分别为二元右删失指标δ和δffo，o在最后一份幸存者合同中，夫妻双方以加元（CAD）金额受益。入职年龄是年金受益人进入研究的年龄。进入年龄时的寿命与个体在研究期间的存活时间相对应。因此，对于进入时年龄分别为xm（分别为xf）且其数据未经审查的男性（分别为女性），即δm=0（分别为δf=0），xm+tm（分别为xf+tf）为死亡年龄。当数据被右删失时，即δm=1（分别为δf=1），数字xm+tm（分别为xf+tf）是研究期结束时的年龄（1993年12月31日）。寿命通常等于5.055年，相当于研究期的持续时间；但这有时会减少，因为有些人可能会晚些入学或在研究结束前死亡。

福利金每年支付一次，直到最后一名幸存者去世。其价值将作为第5.2节中模型应用于保险产品的输入。表2.1显示了我们数据集年龄分布的一些汇总统计数据。可以看出，整个人口的平均入职年龄为66.4岁，我们要感谢精算师协会，通过爱德华（Jed）Frees和埃米利亚诺·瓦尔迪兹的介绍，允许使用本文中的数据。男性年龄女性年龄统计条目死亡条目死亡人数12856134912856484平均67.974.4164.9573.76Std。发展6.38 7.18 7.26 7.87中位数67.68 74.18 65.27 73.09百分位60.34 66.00 55.92 64.24百分位75.41 83.21 73.42 83.92表2.1：单变量分布统计汇总。男性为67.9，女性为64.9；90%的年金受益人入职时年龄超过57.9岁，男性平均比女性大3岁。在考虑的12856对夫妇中，有1349对男性和484对女性在研究期间死亡。此外，在观察结束时，共有11228对夫妇的年金受益人均活着，而205对夫妇的配偶均已死亡。基于这205对，表2.2的最后一行显示了经验相关性度量。

这些数值表明，配偶死亡时的年龄正相关。依赖性测量值rρτxm>xf154 0.90 0.88 0.72xm<xf51 0.88 0.86 0.69总计205 0.82 0.80 0.62表2.2：关于老年伴侣性别的经验依赖性测量值。从现有文献来看，例如[9,26,10]，夫妻之间的依赖性通常受到三个因素的影响：o丈夫和妻子遵循的共同生活方式，例如他们的饮食习惯，o同时影响丈夫和妻子的共同灾难，因为灾难事件发生时，他们可能在同一地区，o心碎的因素，其中一个人的死亡会导致伴侣的死亡，这通常是由于伴侣去世造成的真空。基于共同的灾难和破碎的心，Youn和Shemyakin[26]引入了配偶之间的年龄差异。他们的结果表明，该模型捕捉到了配偶寿命之间的一些额外关联，而这些关联不会在没有年龄差异的模型中反映出来。还观察到，年龄差异越大，依赖性越低。参考同一数据集，表2.3证实了他们的结果，其中| d |是d的绝对值，d=xm- xf。相关性度量数rρτ0≤ |d |<2 83 0.97 0.96 0.842≤ |d |<450 0.94 0.94 0.82 | d |≥ 4.72 0.72 0.63 0.50表2.3：与年龄差异有关的经验依赖性测量。我们的研究遵循与这些作者相同的思路。除了年龄差异之外，我们认为年长伴侣的性别可能会影响他们一生的依赖性。事实上，丈夫比妻子年长这一事实可能会影响他们的关系，并间接影响上述受抚养人。

表2.2中显示的结果清楚地表明，当d为阳性时，即丈夫比妻子大时，配偶终生依赖性更高。通过年龄差异d的符号测量老年人的可变性别。表2.4显示了与年龄差异和老年伴侣性别相关的经验肯德尔τ。人们可以注意到，根据夫妻中年龄较大的成员的不同，伴侣之间的差异可能超过30%。τ总计0≤ |d |<2≤ |d |<4 | d |≥ 4毫米≥ xf0。720.890.890.55不。of（xm）≥ xf）154 53 41 60xm<xf0。69 0.86 0.86 0.74否。（xm<xf）51 30 9 12表2.4:Kendal\'Tau相关系数（按老年伴侣的年龄和性别）。接下来，一个双变量寿命模型将验证我们的假设。为了做到这一点，首先定义了男性和女性寿命的边际分布，然后介绍了copula模型。估算方法将在第3节和第4.3节边际分布3中详细说明。1背景新生儿的寿命应由一个正的连续随机变量来建模，比如X，带有分布函数（df）F和生存函数S。符号（X）将用于表示活年龄dx和T（X）=（X- x） |x>x是（x）的剩余寿命。精算符号分别是T（x）的生存函数和df。事实上，对于一个活的（x）来说，剩余t年的概率由tpx=P（x>x+t | x>x）=P（x>x+t）P（x>x）=S（x+t）S（x）给出。当X具有概率密度函数f时，则T（X）具有由fx（T）=tpxu（X+T）给出的概率密度函数。其中u（.）是哈萨德速率函数，也称为死亡力。文献中使用了一些参数死亡定律，如德莫伊夫定律、恒力死亡定律、戈姆佩兹定律、逆格姆佩兹定律、马克汉姆定律、伽马定律、对数正态定律和威布尔定律；见[3]。

aspeci fic死亡率模型的选择主要取决于可用数据的特征和研究的目的。众所周知，De Moivre定律和死亡率恒力假设在理论上很有趣，而Gompertz和Weibull更适合拟合真实数据，尤其是30岁以上的人口。本文利用的数据集对至少中年的基本政策持有者进行了重组。这就是为什么在我们的研究中，人们对Gompertzlaw感兴趣，它的特征定义如下u（x）=bcx和S（x）=exp-大厦c（cx）- 1)B>0，c>1，x≥ 0.此外，Frees等人[11]和Carriere[6]表明，Gompertz死亡率定律非常适合我们的数据集，见图3.1。出于估算目的，Gompertz定律重新参数化如下（见[5]）-m/σ=Bln c和e1/σ=c从中我们得到u（x+t）=σexpx+t-mσ,tpx=exp前任-mσ1.- etσ,fx（t）=exp前任-mσ1.- etσσexpx+t-mσ,Fx（t）=1- 经验前任-mσ1.- etσ, （3.1）其中模式m>0和色散参数σ>0是分布的新参数。3.2最大似然法在下文中，我们将使用以下符号：o指数j表示个体的性别，即男性为j=m，女性为j=fθj=（mj，σj）表示给定性别j的未知Gompertz参数向量。on是我们数据集中的夫妻总数。此后，一对夫妇是指两个异性签署了保险合同的群体，我是1的夫妇指数≤ 我≤ n、 o对于一对i，tijis是在收集的数据中观察到的剩余寿命。