二元寿命模型在人寿保险中的应用

例如，当Gumbel copula下的| d |=10时，e65:55=32.62≥ e55:65=28.82。-20-10 0 10 2020 25 30 35 40x=65 y=65-ddexyModel A Model B Model C（A）Gumbel copula:x=65-20-10 0 10 2024 26 28 30 32 34 36 38x=65+Dy=65dexyModel A Model B Model C（B）Gumbel copula:y=65-20-10 0 10 2020 25 30 35 40 dexymodel A Model B Model C（C）Frank copula:x=65-20-10 0 10 2024 26 28 30 32 34 36 38 Dexymodel A Model B Model C（d）Frank copula:y=65图5.1:exyunder Model A、B和C的比较：Gumbel和Frank copulas-20-10 0 10 2020 25 30 35 40 dexymodel A Model B Model C（A）Clayton copula:x=65-20-10 0 10 2024 26 28 30 32 34 36 38dexyModel A Model B Model C（B）Clayton copula:y=65-20-10 0 10 2020 25 30 35 40 dexymodel A Model B Model C（C）Joe copula:x=65-20-10 0 10 2024 26 28 30 32 34 36 38 Dexymodel A Model B Model C（d）Joe copula:y=65图5.2:exyunder Model A、B和C的比较：Clayton和Joe copula在比较模型A、B和C时，可以看出，在独立假设的模型A下，预期寿命明显高估，从而证实了[11、26、9]中获得的结果。现在，让我们把注意力集中在模型B和C上，只考虑Gumbel、Frank和Joe copulas，因为上一节已经表明，Clayton copula可能不适合加拿大保险公司的数据。在所有图表中，模型B下的预期寿命总是较低或相等，并且衰退率可能超过2%。当d<0时，即丈夫比妻子年轻时，下降幅度最大。为了说明这些差异的重要性，我们考虑了四种类型的多重人寿保险产品。首先，产品1是联合终身年金，在两位年金受益人中的第一位去世之前支付福利。

对于连续获得1利率的丈夫（x）和妻子（y），未来债务的现值及其预期值由‘（xy）=1给出- 经验(-δT（xy））δ和¨axy=E\'\'在（xy）其中δ是恒定的瞬时利率（也称为利息力）。变量“aT（xy）”可视为与（xy）有关的保险人责任。产品2是在第二次死亡T（xy）之前支付一定金额的最后一笔幸存者年金。在这种情况下，未来年金的现值及其预期值由“aT（xy）=1给出- 经验(-δT（xy））δ和¨axy=E\'\'在（xy）在实践中，当两项福利都有效时，支付通常从更高的水平开始。当其中一个死亡时，它会下降到一个较低的水平，并持续到幸存者死亡。副产品3强调了这种情况，其中当两名年金受益人都活着时，比率为1，并在第一次死亡后降低。Product3实际上是两种第一年金的组合。因此，保险人的负债及其预期由V（xy）=aT（xy）+aT（xy）和E（V（xy））=Vxy=\'axy+\'axywhere E给出\'\'在（xy）= “阿克西。第四，想象一个家庭或夫妇的收入主要由丈夫支付。家庭可能希望为丈夫的最终去世提供收入来源保障。为此，夫妻可以购买所谓的复归年金，从（x）去世后开始支付，直到（y）去世。如果（y）在（x）之前死亡，则不支付任何款项。至于产品3，复归年金（产品4）也是一些特定年金保单的组合，保险人的总义务及其预期计算如下‘（x）| T（y）=’aT（y）- \'aT（xy）和\'ax | y=E在（x）| T（y）= 是的- “阿克西。（5.2）在下文中，考虑到保险产品1、2、3和4，将讨论模型A、B和C的比较。

分析将包括对保险公司可聚合性的最佳估计（BE）的估值，以及风险资本和止损保费的量化。5.2风险资本和止损溢价在企业风险管理框架下，保险公司需要持有一定的资本。这一数额被称为风险资本，用于抵御意外的巨额损失。该资本的价值以保险公司能够高概率承担其负债的方式进行量化。例如，在Solvency II中，它是保险公司总可偿付能力99.5%的风险价值（VaR），而在瑞士偿付能力测试（SST）中，它是99%的预期差额。我是保险人的综合责任。在置信水平α下，VaR由V aRL（α）=inf{l给出∈ R:P（L）≤ l）≥ α} 而ES-isESL（α）=E（L | L>V-aRL（α））。这些风险度量将用于比较每种类型产品的模型A、B和C。由于保险组合由n名投保人组成，我们定义为nXi=1Li，其中lii代表应付给（xi）和（yi）两个i的总金额。计算中使用的数据集与第2节中描述的用于模型估计的数据集相同。原则上，我的夫妇每年年初都会收到这笔钱，直到最后一个幸存者去世。然而，在我们的应用中，BI将是每种产品在CAD中的持续收益率。例如，在产品3的特殊情况下，Li=biV（xiyi）=bi“aT（xi，yi）+”aT（xi，yi）.由于L的分布没有明确的形式，模拟方法将用于评估保险人的总负债。

用于模拟的伪算法在以下步骤中给出：o步骤1：对于每对i，从copula模型（模型A或模型B或模型C）生成（Ui，Vi）。o步骤2：对于每个具有xind yi的偶i，从Gompertzdistribution生成未来寿命T（xi），T（yi），如下所示：T（xi）=F-1xi（Ui，^θm）和T（yi）=F-1yi（Vi，^θf），（5.3），其中^θj，j=m，f取自表3.1.o第3步评估每对夫妇的责任LIF i=1，n、 o第4步评估保险人的总负债L=Pni=1Li。由于其良好的性能，Gumbel copula将用于模型B和C的计算。假设死亡风险是不确定性的唯一来源，我们认为δ=5%的恒定关注力。对于第5.1小节中描述的每种产品，重复步骤1-4 1000次，以生成L的分布。除了根据Solvency II和SST框架测量的风险资本外，保险人的总负债（即BE=e（L））、变异系数（CoV）和止损保费SL=e（（L））的BE- ζ） +）也进行了评估，其中ζ是免赔额。对于产品1、产品2、产品3和产品4的组合，ζ的百万CAD含量分别为4、4.5、4.2和1.7。结果如表5.1所示- 5.4根据每种产品。为便于理解，所有数值均已转换为每种型号a（相应金额见附录a）。正如我们可以预料的那样，具有独立寿命假设的模型A错误地判断了保险人的总责任。在产品4中可以观察到最大的差异，BE的差异达到20%，风险资本的差异达到30%，止损保费的差异达到71%。通过比较模型B和模型C，发现有细微差异。

图5.1（当d<0时）中注意到的变化在大多数受调查产品的总价值中几乎不存在。换句话说，虽然年龄差异及其标志对个人责任的影响不明显（见第5.1小节），但对总责任的影响很小。这是由于大数定律和d>0的夫妇在我们的投资组合中所占比例很高（70%）。实际上，在整个投资组合中，年龄差异对终生依赖性的正面和负面影响的补偿减轻了其对总负债的影响。然而，应注意的是，表5.4中V aRL（0.95）的相对差异超过1.4%。产品1 BE CoV SL V aRL（99.5%）ESL（99%）A型1.0000 0.6497 1.0000 1.0000 1.00001 B型1.0708 0.6279 1.4072 1.0235 1.0223 C型1.0721 0.6276 1.4157 1.0240 1.0228表5.1：联合人寿年金组合的相对BE和风险资本。产品2 BE CoV SL V aRL（99.5%）ESL（99%）A型1.0000 0.5039 1.0000 1.0000 1.0000 B型0.9518 0.5251 0.9220 0.9988 0.9991 C型0.9510 0.5257 0.9204 0.9989 0.9991表5.2：最后一位幸存者年金（产品2）组合的相对BE和风险资本。产品3 BE CoV SL V aRL（99.5%）ESL（99%）A型1.0000 0.5039 1.0000 1.0000 1.0000 B型0.9820 0.5425 1.2148 1.0154 1.0146 C型0.9818 0.5431 1.2191 1.0159 1.0150表5.3：最后一位幸存者年金（产品3）组合的相对BE和风险资本。产品4 BE CoV SL V aRL（99.5%）ESL（99%）A型1.0000 0.5039 1.0000 1.0000 1.00001 B型0.8072 1.0692 0.2877 0.7077 0.7222 C型0.8039 1.0586 0.2731 0.6978 0.7135表5.4：或有年金组合的相对BE和风险资本。6结论在本文中，我们提出了参数和半参数技术来模拟联合寿险实践中常见的双变量寿命。

研究了一生之间的依赖因素，即配偶之间的年龄差异和夫妻中年长伴侣的性别。利用真实的保险数据，我们利用copula模型开发了一个合适的保险寿命联合分布估计，其中关联参数允许包含上述依赖因子。优度程序清楚地表明，引入的模型在没有年龄因素的情况下表现良好。

我们的插图侧重于联合人寿保险产品的估值，其结果表明，在评估涉及配偶的年金产品的最佳估值时，应考虑终身依赖因素。附录A保险人总负债的风险度量。产品1平均CoV SL V aRL（99.5%）ESL（99%）模型A 1\'815\'490 0.649 31\'3935\'031\'4305\'083\'090模型B 1\'944\'105 0.628 44\'177 5\'149\'873 5\'196\'529模型C 1\'946\'400 0.627 44\'443 5\'152\'233 5\'199\'015表A.1：CAD中联合人寿年金组合的风险资本。产品2平均CoV SL V aRL（99.5%）ESL（99%）模型A 2\'663\'056 0.487 61\'826 5\'557\'880 5\'590\'822模型B 2\'534\'628 0.525\'007 5\'551\'368 5\'585\'636模型C 2\'532\'504 0.526 56\'906 5\'551\'814 5\'585\'818表A.2：CAD中最后存活者年金（产品2）组合的风险资本。产品3平均CoV SL V aRL（99.5%）ESL（99%）模型A 2\'380\'534 0.504 50\'205 5\'275\'035\'316\'415模型B 2\'337\'787 0.543 60\'990 5\'356\'069 5\'394\'256模型C 2\'337\'1360.543 61\'206 5\'358\'722 5\'396\'062表A.3：CAD中最后一名幸存者年金（产品3）组合的风险资本。产品4平均CoV SL V aRL（99.5%）ESL（99%）模型A 667\'479 1.248 93\'413 4\'123\'250 4\'200\'646模型B 538\'811.069 26\'871 2\'918\'125 3\'033\'624模型C 536\'592 1.059 25\'514 2\'877\'347 2\'997\'130表A.4：CAD中的或有人寿年金组合的风险资本。致谢作者感谢瑞士国家科学基金会（Swiss National Science Foundation）的部分资助和罕见项目318984（FP7 Marie Curie-IRSES奖学金）。Gildas Ratovomirija得到了沃多瓦兹保证的部分支持。作者还想感谢Nicolas Salani在准备这篇文章的过程中进行了有趣的讨论。参考文献[1]H.Albrecher、C.Constantinecu和S.Loisel。风险依赖模型的显式破产公式。保险数学。

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