RiskRank：衡量相互关联的风险

就我们的目的而言，重要的是理解上述公式中的术语所代表的交互类型之间的差异，以及如何将交互转换为我们的网络表示和系统风险分析。在我们的2-加性模型中，除了要评估的与中心节点相连的节点的个体重要性外，我们还想考虑中心节点上两个节点的联合影响。就网络而言，这意味着我们考虑长度为2的路径，其结束于具有正联合效应的中心节点，并且每隔一条路径或其他边子集的交互值为0。这对应于无交互或I（ci，cj）=0的情况。Choquet积分意义上的负相互作用代表了析取效应的情况，这在我们的模型中并不存在：一个节点值的增加也会通过路径间接影响中心节点，包括另一个节点。这意味着在我们的聚合过程中，我们只考虑。此外，在我们的应用中，最小算子与风险沿着路径在整个网络中传播的直观想法相矛盾；虽然正交互表示合取行为，但使用最小运算符，较高节点值的增加不会影响两个节点的联合效应。因此，我们进一步修改了上述公式，用乘法运算符替换最小运算符。3.2. Riskrank为了查看所提出的Choquet积分与Tarashev等人[41]的Shapley指数方法之间的对应关系，我们首先注意到，Choquet积分的最一般形式要求在所考虑的实体集合的所有子集上指定模糊测度。

从这个意义上讲，模糊测度可以看作是托比·塔拉舍夫等人提出的特征测度的一个例子。。然而，在一般情况下，基于Choquet的聚合计算不能简化为单个实体的Shapley指数的函数。为了能够利用Shapley指数，我们可以将可测量的相互关联限制为成对的单个实体，这意味着我们不会定义基数大于2的子集的风险贡献。虽然与充分利用Choquet积分和Shapley指数法相比，这是一种简化，但它允许以网络的形式进行自然表示，并确保拟议度量的（2-）可加性。此外，我们的方法允许将实体的个人贡献进一步分解为直接和间接影响。这有助于更深入地理解系统内的风险结构。同时，除了互联性度量之外，我们还关注分析中组件的单个风险水平。基于上述讨论，将使用类似于离散2-可加Choquet积分结构的函数来聚合网络中的值，以估计系统风险。对于节点I和j之间的风险等级（节点值）和互连I（ci，cj），结合节点I和目标节点之间以及节点I和j之间的互连值，RiskRank定义为RR（x，…，xn）=nXi=1（v（ci）-XjI（ci，cj）xi |{z}组分i的直接影响+xi（ci，cj）Y（xi，xj）|{z}组分i的间接影响。公式的组分表示一个节点影响另一个节点的两种方式。RiskRankfunction估计特定节点的风险水平。

因此，符号CStu通常应用作节点St的风险等级，但在下文中，我们将不使用索引，除非它对计算风险等级的节点很重要。对于中心节点和网络中的任何其他节点，RiskRank的计算和解释略有不同；下面我们将讨论这两种情况之间的差异。正如我们将在第4节中看到的，与直接影响相比，间接影响（即两个实体的互联性产生的影响）通常可以忽略不计。RiskRank度量在分析所描述的分层网络时的一个重要用途是向顶层节点S分配一个值，代表系统风险水平。在这种情况下，由于该特定节点没有初始值，可以直接应用RiskRank公式：在计算中考虑连接到S的节点或从节点到S的路径长度为2的节点。对于层次结构第二层的节点，由于它们只与第一层的单个节点相连，因此只有一个交互项，而对于第一层的节点，由于它们形成一个完整的子网络，因此有- 1 everynode的交互术语，其中t是第一级上的节点数。节点S的最终值提供了对网络中存在全系统风险的可能性的估计。至于网络中的其他节点，通常我们在执行聚合过程之前会分配一个节点值（风险级别），例如基于市场估计。根据这一点，除了它们的传入链接，我们还需要在aggregationprocess中考虑这个观察到的节点值。

作为一个简单的解决方案，这可以通过计算该节点值的加权平均值和基于网络中节点的连接从RiskRank函数获得的值来实现。或者，为了保持统一的形式主义，我们可以通过在网络中引入一个新的链接来使用RiskRank方程，而无需任何额外的聚合：为被评估节点引入一个自循环。链路重量根据相应系统组件对系统元件的整体暴露来确定；在不同的应用中，暴露的测量可能会有所不同。被评估节点和其他节点的相互作用设置为0，以防止额外链接作为长度为2的路径的一部分，从相邻节点开始产生间接影响。我们可以写出公式asRRc（x，…，xn，xc）=n+1Xi=1（v（ci）-XjI（ci，cj）xi |{z}组分i+xi的直接影响，jI（ci，cj）Y（xi，xj）|{z}组分i的间接影响=v（c）xc |{z}组分c+nXi=1（v（ci）-Xj6=iI（ci，cj）xi |{z}组分i对c的直接影响+nXinXj6=iI（ci，cj）Y（xi，xj）|{z}组分j通过i对cwc的间接影响，其中c是评估的中心节点，xc是其关联的节点值。所获得的数字是可归因于节点的风险的“真实金额”的估计，并且可以用作对未来时间点的风险的估计。对聚合过程的进一步修改可以是将权重v（c）指定为1，而不是通过考虑网络结构和以c结尾的链路的权重计算出的值。这一点的主要动机是，一般来说，我们不希望新的估计值因节点与网络的其他节点基本互连而变小。

对于一个与风险水平较低的其他节点有很多连接的节点，原始公式会过分强调互联性，因此，即使从非常高的起始值开始，个体风险水平也可能显著降低。在这种情况下，上述公式可能导致估算值大于1。因此，当在估算与节点相关的风险水平时应用该修正权重时，RiskRank的最终值应计算为min（RRc，1）。建议的措施可以扩展到考虑更复杂的交互作用。在上述讨论中，长度不大于2的路径被视为影响分析节点的潜在连接集。通过修改公式并考虑长度大于2的路径，我们可以考虑间接影响，可能会考虑风险在整个系统中传播的速度。通过考虑在长度最多为k的路径上到达中心节点的节点的间接影响，可以通过调整更长的未来时间段来估计风险水平。在这方面，示例中获得的综合系统性风险评估了未来时间点将发生的情况；如果我们假设风险从一个节点传播到相邻节点的延迟是一个时间单位，那么该示例将在两个时间单位内估计系统的发展。形式上，为了从现在开始根据时间点t的网络表示来估计系统k时间单位的状态，可以通过考虑路径上节点的非零交互值来定义不同的RiskRank度量，该路径的长度不大于k，并且我们将其风险水平估计为路径终点的节点。

基于每个度量，我们可以获得从现在到以后k个时间单位之间的任何时间点网络不同节点的风险值估计。与长度为2的路径一样，这里一个更重要的问题是定义交互值，以组合与不同长度路径上的边相关的值。在Choquet积分的原始公式中，这可以通过将模糊测度ukT指定为[14]中描述的k-可加单调测度，并超越2-可加Choquet积分的复杂性来实现。例如，将值的乘积视为大k的最终路径值通常会导致低影响值，这意味着在某一点之后，我们不会通过增加所考虑路径的可能长度来获得任何新信息，而使用路径上单个值的最大值会在每一步后显著增加系统风险值。它总是取决于对基础领域的理解，以确定根据当前情况预测多少步骤仍然有意义。在高度流动和快速变化的系统中，建议值应低于静止系统。4.RiskRank：欧洲的应用本节说明了在欧洲环境中使用RiskRank来聚合风险。值得注意的是，RiskRank不要求对“联系”和“个人风险”进行具体定义，但不要求对这两个指标进行任何定义，以得出最终的综合总额。本文所示的应用程序旨在实现欧洲总量的最终目标。该应用程序提供了层次结构中更高级别（从单个国家到欧洲）的集合，并说明了在同一级别测量风险时的相互关联。

为了测试风险的附加值与仅测量个人风险相关，我们在以下样本外测试中进行了性能比较。我们首先描述样本外的练习和测量，然后讨论应用程序。4.1. 评估模型性能为了判断在现实环境中一个指标优于另一个指标的程度，我们需要非常复杂且精心设计的练习和指标。评估练习既需要在应用真实设置时测量信号质量，也需要使用模拟当前问题的测量来测量性能。本文使用递归实时样本外测试来评估性能。在实践中，这意味着使用递归练习，在每个季度仅使用截至该时间点的可用信息导出新模型。在我们的案例中，通过考虑出版滞后和以增加窗口的方式使用信息，这使得我们能够测试衡量标准是否能够提供预测2007-2008年全球金融危机的手段，以及衡量标准在任务绩效方面的排名。按照Sarlin[39]中预警模型的标准评估框架，我们的目标是模拟一个理想的领先指标Cn（h）∈ {0，1}用于观测n（其中n=1，2，…，n）和预测视界h。这意味着除了在脆弱期为1，否则为零的二元指标外，没有其他含义。为了检测事件Cn，我们需要一个连续的度量来指示脆弱状态pn中的成员身份∈ [0,1]，然后将其转换为二进制预测BN，如果Pn超过特定阈值τ，则取值1∈ [0,1]否则为零。

然后，预测BN和理想领先指标Cn之间的对应关系可以总结为所谓的连续性矩阵，该矩阵将每个分类分为四类：真阳性（TP，危机时的纠正信号）、真阴性（TN，平静时的正确沉默）、假阳性（FP，假警报）和假阴性（FN，错过危机）。根据权变矩阵的要素，我们可以区分决策者可能涉及的两种不同类型的分类错误：遗漏危机和发出假警报。为了将有用性和相对有用性的概念表述为Sarlin[39]中分类绩效的衡量标准，我们将I类错误定义为错过危机与危机频率之比，即T=Fn/（Fn+TP），将II类错误定义为发出假警报与平静期频率之比，即T=Fp/（Tn+Fp）。此外，我们需要两个术语：政策制定者对I型和II型错误（u）的相对偏好，以解释错误的潜在不平衡成本和危机的无条件概率，并解释这两个类别的规模的潜在差异。基于这些值，我们可以将损失函数定义为：L（u）=uTP+（1- u）TP。此外，基于该损失函数，预测模型的绝对有用性可以通过将其与决策者的最佳猜测（始终或从不发信号，取决于类别频率和偏好）进行比较来确定：Ua（u）=min（uP，（1- u）P）- L（u）。最后，我们计算相对有用性，以比较模型的绝对有用性和具有完美性能（L（u）=0）的模型的绝对有用性。

此外，为了评估预测性能，我们还根据分类和机器学习文献计算标准测量值，特别是接收器工作特性（ROC）曲线（AUC）下的面积。这些技术既提供了根据决策者偏好定制的度量，也提供了评估模型性能的更通用的度量。评估模型时使用的其他性能指标包括：（i）信号的精度tp/（fp+tp），即正确信号与信号频率的比例；（ii）平静预测的精度tn/（fn+tn），即平静时间的正确沉默与预测平静时间的频率之间的比例；（iii）召回信号tp/（fn+tp），即与危机时间频率对应的正确信号份额；（iv）回忆平静的预测T N/（fp+T N），即平静时期正确的沉默与平静时期的频率之比；（v） 模型TP+TN/（FN+FP+TN+TP）的准确性，即正确分类的份额。4.2. RiskRank for Europe and It countries本节衡量单个欧洲国家的系统性风险，以及apan-European水平的总体风险。在本应用中，我们重点关注国家层面宏观金融失衡指标衡量的个人风险，以及实际跨境联系衡量的实际联系。在描述了基础数据和模型之后，我们在本文中评估了模型性能，并简化了模型输出（有风险等级和没有风险等级）。为了能够计算RiskRank，我们需要建立一个包含节点和链接值的国家网络。因此，我们指定了国家的风险水平（概率xc），以及所有节点对之间的互联性度量（互联I（ci，cj））。计算每个经济体的个人风险的方法遵循Holopainen和Sarlin[18]。

为了利用预警模型得出个人风险，我们需要危机事件和脆弱性指标。危机事件基于Laeven和Valencia的IMF数据库[24]。所使用的脆弱性指标包括对广泛失衡的最常见衡量指标，如过度信贷增长、股票和房价过度上涨、GDP增长、贷款与存款和债务偿还率，以及更多结构性指标，如政府债务、经常账户赤字和通货膨胀。我们使用标准逻辑回归法，对14个国家的宏观金融指标进行回归，并对危机事件的预测范围为5-12个季度，这在文献中很常见。根据银行业对其他经济体的外国债权，利用国际银行统计数据来衡量网络维度。从系统性银行危机的角度来看，这为通过真正的联系捕捉脆弱性的跨境传播提供了充足的手段。然而，这些只是衡量系统性风险的周期性和横截面维度的一种手段，因此显然也有一些不足之处。因此，值得注意的是，给出了模型和数据，重点是RiskRank与独立预警模型的相对性能。首先，我们首先分别估计每个经济体的个人风险和风险等级。在RiskRank的情况下，这涉及通过考虑互联性在同一层级上进行聚合，然后我们评估单个风险模型和RiskRankvis相对于危机事件数据库的性能。这提供了表1中的结果。正如许多著作（如Sarlin[39]，Betz等人[5]）所指出的，具有不平衡类别的样本的一个特点是，人们需要更加关注缺失的危机，这样模型才有用。