RiskRank：衡量相互关联的风险

在不同的环境和应用中，可能需要聚合值来满足不同于最小化平方偏差之和的标准。例如，我们可以通过使用不同的分类技术，如最低、最高、中位数和平均收入，来观察人口的总体财务状况。本节从所涉及的聚合程序的角度来看系统性风险的两个维度，因为系统性风险的两个组成部分通常使用与指标和网络结构相关的不同聚合程序进行估计。将风险指标转化为概率。按照上一节关于周期性系统性风险的思路，早期预警指标以各种方式用于获得风险估计。这本质上只是一个聚合过程。在本文中，我们将它们分为三类，并从聚合运算符的角度来看待它们。第一类模型表示信号方法，用于监控单个指标，并在指标值超过预定阈值时识别风险。同样，多变量信号方法通过几个指标的性能加权平均值同时监测一组指标，并监测阈值超标情况。这完全不涉及聚合或简单的加权平均。第二类模型使用不同的统计和机器学习方法来估计将指标组合成最终概率的最佳权重。其中一些方法依赖并导致建模过程中指标值的线性聚合（即加权平均），以线性判别分析为例。然而，在大多数情况下，我们在聚合中获得一些非线性，即使在简单的逻辑回归中也是如此。

用于将指标聚合为概率的不同方法的数量很大，例如分类树Duttagupta和Cashin[11]、逻辑回归Lo Duca和Peltonen[26]、人工神经网络Sarlin[40]和k近邻Holopainen和Sarlin[18]。第三类估计模型依赖于第二类方法通过集成学习的组合。生成集合模型的典型步骤主要是估计大量单个模型，这些模型将被聚合为最终模型（有关集合的更多详细信息，请参见Holopainen和Sarlin[18]）。模型聚合可能发生在两个不同的层面：通过多数票（即中位数）聚合二元模型输出，或通过算术或加权平均值聚合概率模型输出。为此，我们可以得出这样的结论：用于推导预警模型的每一种多元方法都依赖于指标的集合。相互联系成为中心。根据有关互联性和网络的文献，该文献显然提出了大量旨在揭示网络特性的措施。考虑到网络中的单个节点，传统的方法是查看不同的中心性度量，这有助于理解特定节点在网络中的作用。中心性度量在系统性风险分析中起着关键作用，因为它们提供了指示节点的互联性或整体重要性的方法。除了图论中的标准度量，文献中还包括更多定制的度量，如DebtRank Battiston等人[3]，作为使用反馈中心度度量识别金融系统中系统重要节点的方法。

人们也可以从分解风险贡献的角度来处理问题，而不是聚合实体之间的相互联系，例如塔拉舍夫等人的Shapley指数方法。塔拉舍夫等人[41]。他们的提案使用Shapley指数，利用实体系统所有子集上定义的特征函数来估计实体的系统风险贡献。他们建议使用各种特征度量，主要关注风险价值（VaR）和预期缺口（ES），但也注意到任何风险度量都可以用作计算Shapley指数的基础。各种中心性度量的目的通常是从两个角度描述网络的节点：（i）它们如何直接或间接影响其他（如相邻）节点，以及（ii）它们如何受到其他节点的影响。这两种不同的视角可以通过节点的进出度（强度）来衡量。更复杂的度量从不同的角度关注节点的中心性：一个节点连接其他节点的重要性（中间性中心性）以及它与所有其他节点的平均距离（接近中心性）。从总体上看，大多数中心性度量基本上是一种聚合度量：对于每个节点，我们收集关于其他节点子集（例如相邻节点或所有节点集）的特定信息（例如，度或最短路径），并将信息组合成单个“平均值”。这与将一组数值汇总为一个数字的一般概念相对应，该数字传达了原始数值集的一些预先定义的特征。根据这一点，中心度度量是一个函数，它为给定邻接矩阵a的网络的每个节点分配一个实值。

一个重要的问题是，在获得节点所需的特征时，应该考虑哪些信息（邻接矩阵的哪个子矩阵）。例如，在一个节点的度数中，只使用对应于该节点的列，度数中心性使用一行和一列（节点的入度和出度），而我们可能需要整个矩阵来计算最短路径或接近中心性。此外，不同的度量使用不同的函数将单个值聚合为最终（中心性）度量，例如值的总和、最小运算符或这两者的组合。最后，我们可以注意到，在形式上，几乎所有在实践中使用的中心性度量都满足一个定义良好的聚合过程所需的属性：单调性。例如，如果我们增加网络中一条链路的权重，一个节点的偏心度或两个节点之间的最短可能距离就永远不会减少。文献中的大多数度量在确定中心性时只依赖于链接值，而不考虑与节点本身相关的值。下一节的目的是将重点放在网络中心性度量的聚合过程上，并指定一个可以在计算不同节点和网络特征时合并节点和链路值的操作符。3.RiskRank作为一个聚合算子本节描述了我们同时测量相互关联的风险，特别是周期性和横向系统性风险的方法。所考虑的系统被表示为一个有向图，该图基于系统的层次分解，将系统分解为一个由未解决的参与者组成的互联网络。在我们的模型中，参与者可以指金融机构、金融系统、国家、个人银行等。

如前一节所讨论的，分析网络有许多方法，关注单个节点的重要性或中心性，以及衡量网络某些通用属性的互联程度。为了表示和评估所讨论的系统性风险的两个维度，在下文中，我们将描述如何利用聚合函数来结合有关个体风险可能性和网络内互联性的信息来评估系统性风险。为了展示我们衡量系统性风险的方法，我们在本节中使用了以下符号。该系统被表示为具有层次结构的网络。层次结构的最高级别（0级）由单个节点S组成，代表系统性风险。第一级由系统的主要组件S1,1、S1,2等组成。。。，S1，n（例如国家或一个国家的不同金融部门）。n个节点构成一个完整的子网络（每个节点到所有其他节点都有一个定向链接），此外，所有节点都连接到节点S。第二级由n个完整的、成对不相交的子网络组成，每个子网络从第一级仅连接到一个节点，方式与第一级节点连接到S的方式相同。根据该方案，在创建层次结构的新级别时，会为上一级别中的每个节点创建一个完整的子网络。此外，网络中的每个节点和链路都有一个数值：系统相应组件中风险的可能性作为节点值，起始节点对结束节点的影响作为链路权重。在下文中，Siwill表示i级上的节点数量，Sjide表示i+1级完整子网络中与i级节点j对应的节点数量，即。

Si+1=PSij=1Sji，ck和lk，j将分别表示与节点k相关联的值和与节点k和j之间的链路相关联的权重。最后，由于我们对系统中发生的变化感兴趣，网络被视为在不同的时间点，具有相同的结构，但节点和链接值不同。3.1. 从上面讨论的聚合算子到RiskRankAs，我们模型的主要目标是提供系统风险的度量，同时估计系统不同组成部分的脆弱性水平；由于系统本身作为一个整体被表示为一个节点，因此任务是在给定节点和链路的先前值的情况下，估计未来时间点中节点的值。其基本思想是，系统组件（网络中的节点）的状态，至少在短时间内，由给定组件的先前状态和直接影响该组件的状态决定。这个问题可以重新表述为应用某种聚合过程来总结节点及其邻域中的值，以预测节点的未来值，自然选择是一个平均函数。MOSTStraghtForward解决方案可以看作是一种程度中心性，它可以作为网络中传入链路的总和来获得。尽管该度量包含一条重要的信息（系统的一个组件受其他组件的影响越大，问题就越有可能通过其连接传播），但它没有利用与节点相关的值的附加信息。例如，使用加权平均将计算影响权重风险度量值，作为度中心性的推广；如果所有节点值均等于1，则获得原始定义。

为了改进这一度量，可以考虑Yager-Yager[44]引入的OrderedWeighted Average（OWA）操作符。此平均函数将要聚合的值重新排序为降序，并根据此顺序将相关权重分配给值。作为特例，OWA包括最小值、最大值、加权平均值和许多最常用的平均函数，它们在确定聚合过程的结构时提供了更多的自由度。尽管如此，在许多应用中，OWA的特性不足以对潜在现象进行适当建模。为了解释传统方法忽略的最重要的信息，可以将聚合视为一种决策工具：通过考虑几个重要性不同的标准来评估决策方案。在许多问题中，所考虑的标准不是相互独立的，而是一个标准的积极/消极表现增加/降低了其他标准的重要性。一个典型的例子是医疗诊断：为了评估患者的状态，检查不同症状的存在。虽然单独出现不同症状并不一定意味着患严重疾病的风险很高，但同时出现症状表明风险很高。决策标准在各种应用中的这种相互关联的性质导致决策文献Labreuche和Grabisch[23]中使用了基于Choquet积分的聚合。

在使用网络方法估计系统风险的问题中，这个问题可能是相关的，因为系统的一个组成部分（决策方案）不仅直接受到相关组成部分（标准）的影响，而且还通过两个或多个相连组成部分（相关标准）的联合作用间接受到影响。在讨论聚合的具体用途以获得网络中心性度量来估计系统风险之前，我们引入离散Choquet积分的概念，作为表示相互依赖和非线性行为的有效通用平均算子。当我们试图对不同成分的联合效应建模时，除了考虑单个成分（这是一个成分联合效应的特例），作为聚合的基础，需要一个初始函数来表示这些联合效应。在最复杂的情况下，需要考虑所考虑组件（功率集）的每个可能子集。这种表示基于单调或模糊测度[31]的构造：定义1。有限集N={1，2，…，N}上的单调测度u是一个集函数u：P（N）→[0,1]（其中P（N）是N的幂集）满足以下两个条件：ou（）=0，u（N）=1A. B意味着u（A）≤ u（B）。在聚合过程中使用模糊度量表示的最通用公式之一是离散Choquet积分[9,28]。为了制定定义，我们假设需要考虑n个标准（应用程序中的连接系统组件）、c、。。。，cn，根据其执行评估，从而得出相应的x。。。，xNI重要性值（组件对所考虑的中心组件的影响）。定义2。关于单调测度u的离散Choquet积分定义为asCu（x。

，xn）=nXi=1x（一）- x（i）-1)uC（一）其中x（i）表示xiv值的排列，使得x（1）≤ x（2）≤ . . . ≤ x（n）和C（i）=c（i），c（i+1），c（n）.虽然并非所有情况都可以直接看到，但前面提到的所有平均函数，特别是OWA，以及加权平均值、最小值和最大值，都是这个一般定义的特殊情况，并有适当的模糊度量选择。由于需要在模糊测度中估计可能的2个系数，因此一般的Choquet积分在最近几年才开始在不同的应用中流行起来[32]。正如所指出的，与传统的平均函数相比，Choquet积分在许多应用中具有吸引力的关键方面是聚合过程中建模交互的能力。在Choquet积分应用的一般多准则公式中，这可以转化为准则之间的相互关系：在同时存在准则B的情况下，根据准则A对备选方案进行不同的评估，而不是只考虑不含B的A。在拟议的应用中，实体（国家、银行）的风险水平将根据其当前风险水平及其与其他实体的联系进行估计。为了缓解评估所有考虑的标准（系统中的连接组件）的联合影响的复杂性，但仍然超越了假设独立的简单表示，可以只考虑特定子集的联合影响，并假设其他子集可以忽略不计。

文献中广泛讨论的一种前瞻性方法是2-可加Choquet积分。在这个公式中，除了单独的影响之外，只考虑标准之间的成对相互作用（两个连接组件的联合影响）。这种情况下的Choquet积分可以表示为（见Grabisch[14]）：Cu（x，…，xn）=nXi=1（v（ci）-XI（ci，cj）XI+XI（ci，cj）>0I（ci，cj）min（XI，xj）+XI（ci，cj）<0 | I（ci，cj）| max（XI，xj）。可以通过将成对的度量转换为[-1，1]，详细的讨论可以在Marichal[27]中找到。正如Keeney和Raiffa[21]中所指出的，互动指数和标准的重要性可以在博弈论的背景下使用传统效用理论进行解释，公式可以作为Shapley指数的一种形式在该基础上推导。该公式可以通过使用模糊测度Grabisch和Roubens的M¨obius变换的概念来推导[15]。Shapleyindex定义为asv（xi）=XKX\\i（n）- |K|- 1)!|K |！N（u（K）∪ 十一）- u（K））Shapley指数可以解释为节点i对包括i在内的点的所有可能子集的平均贡献，此外，它从[0,1]区间和pni=1vi=1取其值。在我们分析的问题中，这转化为一个节点对另一个节点的整体影响，直接（通过链接）或间接（作为与另一个节点交互的结果）。例如，在最简单的情况下，节点仅通过直接链路连接到中心/分析节点，而两个节点之间没有其他路径。在这种情况下，计算Shapleyindex时唯一的非零项是K=, 公式简化为u（xi）/n。