扩展池中的稳健最优风险分担和风险溢价

首先，UP（Sn/n）在n和UP（Sn/n）中增加的事实≤ U（X）随f的作用，即UQ（Sn/n）在n和UQ（Sn/n）中增加≤ 所有Q的等式[X]∈ P见引理2.3。让Qn∈ 使得UQn（Snn）+α（Qn）≤ 向上（Snn）+n，n∈ N.ThenU（X）- 向上的Snn≤ EQn[X]- UQnSnn+N≤n+supQ∈P等式[X]- UQSnn. （3.6）回顾（2.14），我们进一步估计：supQ∈PEQ[X]- UQSnn≤ L supQ∈PσQ（X）√N≤ L2kXkP，∞√n、 我们在第一个不等式中使用H¨older和L:=（u）-1） \'（u（ess supPX）+u\'（ess infPX）2kXkP，∞)u′（ess-infPX）是一个常数。（此处ess SUPPE的定义与ess infPabove类似。）在导致L的粗略估计中，我们使用了函数int dom u x7→ （u）-1） ′（x）=u′（u）-1（x））是正的，且d在增加，并且Yn和ynin（2.14）的已知界是正的。命题3.4也表明，在明确考虑模糊性的一般稳健框架中，最佳组合和重新定位风险减少了（绝对）预期和（稳健）确定性等价物U（X）之间的差异- 向上（序号/序号）；它最终消失在极限为n的范围内→ ∞.定理3.5 Let（Xi）i∈N L∞所有Q下的Pbe i.i.d∈ P、 假设ess infPX∈int dom u。同样，让Sn:=Pni=1Xi。此外，假设u是int dom u上连续可微的三倍，而u-1在int dom u上可连续两次微分-1.那么，林尊→∞NU（X）- 向上的Snn≤supQ∈PR（等式[X]）σQ（X）。（3.7）此外，如果Q∈ P满足U（X）=EQ[X]+α（Q）（见引理3.3），然后→∞NU（X）- 向上的Snn≥R（等式[X]）σQ（X）。（3.8）注意supQ∈PR（等式[X]）σQ（X）≤ L4kXkP，∞< ∞ 其中L>0是连续函数int dom u的上界 x7→ 紧集[ess infPX，ess supPX]上的R（x）。证据首先我们证明（3.7）。为此，回顾命题3.4的证明，尤其是（3.6）。还记得（2.13）和（2.15）。

当Xis有界时，我们估计（2.13）forQ中的最后一项∈ P按以下方式使用（2.15）：（n，Q）：=（u）-1） ′（zQn）EQ“（u′（zQn）- u′（等式[X]））Snn- 等式[X]#≤ 2L（4kXkP，∞+ kXkP，∞)nEQ|u′′（ZQn）- u′（等式[X]）|≤ 2L（4kXkP，∞+ kXkP，∞)nEQ|u′′（ζQ）|ZQn- 等式[X]|.这里L是连续函数int dom u的上界 x7→ 1/u′（x）在紧集[ess infPX，ess supPX]上，我们使用了这个zQn≤ u（等式[X]）（因为u′）≤ 0）当函数在dom u中时 x7→ （u）-1） ′（x）=u′（u）-1（x））是正的，增加的，并且继续，所以（u-1） ′（zQn）≤ 1/u′（等式[X]）。我们还使用了粗略估计mq（X）+σQ（X）≤ 16kXkP，∞+ 4kXkP，∞.此外，ζQis是一个随机变量，取值于zqn和EQ[X]之间。请注意，Zqn是一个随机变量，取值于等式[X]和对应于Znin（2.13）的Sn/n之间。用domu中连续函数的上界^L从上面估计|u′′（ζQ）|x7→ |紧集[ess infPX，ess supPX]上的u′（x）|，并使用| ZQn-等式[X]|≤ |序号-EQ[X]|我们得出结论：|u′′（ζQ）|ZQn- 等式[X]|≤^LEQ“Snn- 等式[X]#≤^LnσQ（X）≤4kXkP，∞^Ln。因此，有一个常数K>0，取决于x和u，但依赖于n和Q，例如（n，Q）≤Kn3/2。通过上述类似论点，我们观察到（2.13）中的第二项满足Γ（n，Q）：=（u）-1） ′（zQn）- （u）-1） ′（u（等式[X]））|u′（等式[X]）|σQ（X）2n≤（u）-1） \'u（EQ[X]）+EQ“u\'（ZQn）Snn- 等式[X]#!- （u）-1） ′（u（等式[X]））对于某些常数，ln仅取决于x和u。在系数中，我们使用了（u-1） 在（2.13）之后，′i递增和zQngiven的界。

作为你-冰是连续变化的吗有ηQn∈ [u（EQ[X]）+EQhu′（ZQn）（Snn）- EQ[X]）i，u（EQ[X]）这是什么（u）-1） \'u（EQ[X]）+EQ“u\'（ZQn）Snn- 等式[X]#!- （u）-1） ′（u（等式[X]））≤ |（u）-1） ′（ηQn）|EQ“|u′（ZQn）|Snn- 等式[X]#.考虑估算公式“u′（ZQn）Snn- 等式[X]#≥ -“LEQ”Snn- 等式[X]#≥ -\'L2kXkP，∞n、 在哪里-L是紧集[ess infPX，ess supPX]上u′的下界（回想一下u′）≤ 0). 因此，对于n∈ N大到足以容纳所有N≥ n、 我们有ESS infPX-\'L2kXkP，∞N∈ int domu，并选择连续函数（u）的上界^K-1） 紧集[u（ess-infPX）上的‘-\'L2kXkP，∞n） 我们可以进一步估计|-1） ′（ηQn）|EQ“|u′（ZQn）|Snn-等式[X]#≤^KKL2kXkP，∞n、 综上所述，我们已经证明存在一个依赖于x和u的康斯坦特克，但不依赖于Q和n，因此Γ（n，Q）≤eKn。因此，使用（3.6）和我们上面的估计，我们推断出U（X）- 向上的Snn≤n+n supQ∈P等式[X]- UQSnn≤supQ∈PR（EQ[X]）σQ（X）+1+eKn+K√n、 这证明了（3.7）。至于（3.8），让Q∈ 使得U（X）=EQ[X]+α（Q）。然后，U（X）- 向上的Snn≥ 等式[X]- UQSnn.因此，（3.8）遵循定理2.5。备注3.6注意，UP（Sn/n）的极限，即U（X），取决于惩罚函数α，但定理3.5中推导的收敛速度不取决于此；只要P和u保持不变，每个α都是一样的。此外，P类引起的鲁棒性仅通过最坏情况下的第一矩和方差影响收敛速度。注3.7如果P={P}，则定理3.5简化为定理2.5。因此，定理3.5中的边界一般不能明确。此外，在表3.3中所述的条件下，我们知道（3.8）总是满足的，因此在这种情况下，下界总是尖锐的。显然，在特定情况下，上限（3.7）可能是尖锐的，也可能不是尖锐的。如前所述，它是三尖的i f P={P}。

但是，例如，假设xit只生成两个值，1和-在这个意义上，P是足够丰富的，它包含概率测量，把所有的质量放在任何可能的原子上。此外，假设α≡ 0.那么，U（X）=-1也向上（序号/n）=-1，所以（3.7）的左手边等于0。另一方面，（3.7）的右边大于R（等式[X]）σQ（X）=R（0），其中Q∈ P是一个概率度量，使得等式[X]=0。因此，在这种情况下，如果u′小于0，上界是不尖锐的。例3.8考虑u（x）=1- E-对于某些γ>0，相应的鲁棒确定性等价物为负熵凸（相干）风险度量。然后（3.7）变得苗条→∞NU（X）- 向上的Snn≤supQ∈PγσQ（X）。此外，如果Q∈ P满足U（X）=EQ[X]+α（Q）（见引理3.3），然后（3.8）变细→∞NU（X）- 向上的Snn≥γσQ（X）。类似地，对于示例2.7中考虑的power和logutilities，可以很容易地明确推导出边界（3.7）和（3.8）。示例3.9（风险的熵相干和熵凸度量的风险分担）假设n个具有熵一致性风险测度ρP，γ在某个水平γ>0的风险和模糊规避主体将其风险X，Xnand优化重新定位总风险SN=X+…+Xn。面对模型的不确定性，我们假设随机变量X，从Xnbelong到L∞Pand是任何Q下的i.i.d∈ P.风险的最优再分配由Y给出*i=Sn/n，i=1，n、 设γn=γ/n。然后，类似于非稳健情况（见示例2.9），nρP，γ（Y*i） =nγsupQ∈普洛格EQhe-γY*ii=γnsupQ∈扑通E-γnSn= ρP，γn（Sn）。（3.9）因此，每个位置，ρP，γ（Y*i） =ρP，γn（X）。根据命题3.4，ρP，γ（Y*（一）≤ ρP，γ（X），即从风险的熵一致性度量的角度来看，最优地汇集和重新定位总SNI是有益的。

在这种情况下，这也很容易直接验证，因为γn<γ（当n≥ 2） Jensen不等式意味着ρP，γ（Y*i） =γnsupQ∈扑通E-γnX≤γsupQ∈扑通E-γX= ρP，γ（X）。此外，根据命题3.4，我们得到了thatlimn→∞nγnsupQ∈扑通E-γnSn= supQ∈佩克[-十] ，收敛速度如例3.8所示。现在假设n个风险规避和模糊规避代理在某个水平γ>0时应用了风险ρP，γ，α的熵凸度量。根据引理3.2，最优再分配再次等于Y*i=Sn/n，nxi=1ρP，γ，α（Yi）=n supQ∈P{ρQ，γ（Sn/n）- α（Q）}=supQ∈P{ρQ，γn（Sn）- nα（Q）}。注意，这对应于具有惩罚函数nα的γ/n级熵凸风险度量。此外，每个职位，nsupQ∈P{ρQ，γ/n（Sn）- nα（Q）}=supQ∈Q{ρQ，γn（X）- α（Q）}，根据命题3.4，我们得到了thatlimn→∞supQ∈P{ρQ，γn（X）- α（Q）}=supQ∈P{EQ[-X]- α（Q）}，收敛速度如例3.8所示。例3.10（埃舍尔密度和相对熵）正如well-k所知（Csisz\'ar[15]），我们可以将熵风险度量ρP，γ表示为一个稳健的期望，其上确界覆盖了由P={Q]给出的Esscher密度集<< P | dQ/dP=e-γX/EPE-γX, 十、∈ L∞(Ohm, F、 P）}，（3.10）且惩罚α（Q）=γH（Q | P），Q∈ P、 γ>0，其中h（Q | P）=情商日志dQdP, 如果Q<< P∞, 否则是相对熵或库尔贝克-莱布勒散度。相对熵是概率测度Q和P与一种特殊情况下的α-散度（BenTal和Teboulle[6,7]）之间距离的度量。它广泛应用于宏观经济学（Hansen和Sargent[41,42]）、决策理论（Strzaleck i[63,64]）和金融数学（Frittelli[31]和F¨ollmer and Schied[29]）。注意，（3.10）中的P是表示ρP，γ所需的最小集合。在（3.10）的特定情况下，假设XI是任何Q的i.i.d∈ P相当于toX=Xibeing常数。

事实上，要看到这一点，首先请注意，P包含所有Q<< 这样，dQ/dP从上面有界，从零开始有界（简单地让X=-γlogdQdP）。接下来，假设R有一个Borel集，使得0<P（X∈ A） <1，考虑Q givenbydQdP=c（21{X∈A} +1{X6∈A} ），式中c=2P（X∈ A） +P（X6）∈ A） 。然后，作为P∈ P、 在P和P（X）下，X和X是独立的∈ A） =P（X）∈ A） 。同时，对于Q，我们得到Q（X）∈ A） =cP（X）∈ A） andQ（X）∈ A） =c（2P（X）∈ A） P（X）∈ A） +P（X6）∈ A） P（X）∈ A） ）=c（P（X）∈ A） P（X）∈ A） +P（X）∈ A） ）=cP（X∈ A） （P（X）∈ A） +1）<cP（X）∈ A） 所以X和X不能在Q下相同地分布，这与这样一个集合A的存在相矛盾。因此，Xi=Xis常数。因此，由于allQ所需的i.i.d.假设∈ P、 本节的收敛结果在鲁棒确定性与（主观给定的）线性效用等价且P由（3.10）给出n的情况下诱导简并。

然而，回想一下，第2节的结果已经适用于ρP，γ，当被视为在预期指数效用（2.3）下减去确定性等价物时，不会导致简并；参见示例2.9。此外，调用本节开头讨论的Kolmogorov扩展，对于给定的随机变量X on（σ，a），leteP={Pγ|γ≥ 0}其中Pγ由Esscher密度dPγdP=e生成-γXEP[e-γX]关于某些参考概率模型P。最后，我们注意到，尽管相对熵与（3.10）有关，但不排除在本节的主要结果中使用相对熵作为惩罚函数的例子（参见F¨ollmer and Schied[29]，第3.2节）；只是集合P必须小于（3.10）。备注3.11（风险和模糊性）当n→ ∞, 通过PoolGIS实现并最大限度地利用风险降低，在这个意义上，鲁棒预期和鲁棒确定性之间的差异相当于U（X）- UP（Sn/n），消失（就像上一节中的风险溢价，其中P={P}），模糊性仍然存在：鲁棒确定性等价物UP（Sn/n）由鲁棒期望U（X）而不是aplain期望规范化。本着Marinacci[53]的精神（另见Epstein和Schneider[24]第2.2节），从长远来看，合作代理库可以从损失分布得出的观察结果中了解Xi的真正共同损失分布。事实上，采用这样一种设置，即代理人可以从其常见但未知的损失分布中观察实现情况，随着观察次数趋于一致，人们期望代理人了解真实的损失分布。这种直觉在Marinacci【53】中通过从模棱两可的urns中进行替换采样，在预测参数设置中正式化。

然后，当采样足够频繁时，模糊性消失，风险（明确的不确定性）保持在极限。我们的设置自然适用于短期（er）视角，在这种视角下，最多只能观察到有限数量的平局，这并不能合理地解决歧义。4稳健风险溢价与第3节所述的稳健确定性等价物相比，在通过等效效用方程确定风险溢价时，可以考虑考虑模糊性。就像稳健确定性等价物一样，由此产生的稳健风险溢价会加剧风险和模糊厌恶。我们首先考虑同感偏好理论，然后考虑变分偏好作为决策风险和模糊性的模型。4.1同音格P是一组非空的概率测度(Ohm, F） （不一定是预兆），如第3节。此外，让β：P→ (0, ∞) 是惩罚函数（模糊度指数），带infq∈Pβ（Q）=1和supQ∈Pβ（Q）∈ R.（4.1）同质偏好下的稳健风险溢价，π（v，X），初始财富为≥ 0和x∈ L∞那是ess infPX∈ dom u作为infq的解得到∈P{u（EQ[v+X]β（Q）- π（v，X））}=infQ∈P{EQ[u（v+X）]β（Q）}，或等价地，通过u，u（W（v+X）的连续性和单调性- π（v，X））=infQ∈P{EQ[u（v+X）]β（Q）}，其中w（X）：=infQ∈PEQ[X]β（Q），X∈ L∞这里的标准nw（u（X））=infQ∈PEQ[u（X）]β（Q），X∈ L∞P、 （4.2）对应于Cer reia Vioglio等人[13]和Chateauneuf and Faro[14]提出的同感偏好模型；另见Dana[16]。LetWP（X）：=u-1.infQ∈PEQ[u（X）]β（Q）= U-1（W（u（X））），X∈ L∞P.那么，π（v，X）=W（v+X）- U-1.infQ∈PEQ[u（v+X）]β（Q）= W（v+X）-可湿性粉剂（v+X）。（4.3）使用与引理3.2和3.3的证明类似的论点，可以证明以下结果：引理4.1考虑具有相同鲁棒确定性等价准则（4.2）的n个代理。

让∈ L∞Pbe使W/n∈ int d om u P-a.s.和ess infPW/n∈ dom u.此外，假设W（u（W/n））=minQ∈PEQ[u（W/n）]β（Q）。然后，将W/n的份额分配给每个代理的分配是帕累托最优的。引理4.2假设P由上的概率测度P控制(Ohm, F） 。此外，假设P在引理3.3的意义上是弱紧的，β是弱连续的，即σ（L）(Ohm, F、 P），L∞(Ohm, F、 P）连续的。那么，W（X）=minQ∈PEQ[X]β（Q），X∈ L∞(Ohm, F、 P）。此外，对于所有X∈ L∞(Ohm, F、 P）使用ess inf{P}X∈ dom u，我们有wp（X）=u-1.明克∈PEQ[u（X）]β（Q）= 明克∈聚氨基甲酸酯-1（等式[u（X）]β（Q））。显然，如果在支配的情况下，P是弱紧的，β是弱连续的，那么（4.1）自动满足我们范数为1的乘法常数的模。注意wp（X）=infQ∈聚氨基甲酸酯-1.EeQ[u（X）],其中eq是测量的单位(Ohm, F） 由β（Q）Q和回忆（4.1）给出。利用β有界的性质，我们发现人们可以像命题3.4和定理3.5那样用α来论证≡ 0以查找以下结果。为此，请注意W（v+Snn）=W（v+X）。（为了节省空间，我们省略了详细的证明。）提议4.3让（Xi）i∈N L∞所有Q下的Pbe i.i.d∈ P、 假设ess infPX∈int dom u。也让Sn:=Pni=1Xi。然后WP（v+Sn/n）随WP的增加而增加v+Snn≤ W（v+X）和Limn→∞可湿性粉剂v+Snn= W（v+X），即limn→∞πv、 Snn= 此外，还有一个常数K依赖于x和u，使得lim supn→∞√nπv、 Snn= 林尚→∞√NW（v+X）- 可湿性粉剂v+Snn≤ K.定理4.4设（Xi）i∈N L∞所有Q下的Pbe i.i.d∈ P、 假设ess infPX∈int dom u。也让Sn:=Pni=1Xi。

此外，假设u是int dom u上连续可微的三倍，而u-1在int dom u上可连续两次微分-1.那么，林尊→∞nπv、 Snn= 林尚→∞NW（v+X）- 可湿性粉剂v+Snn≤supQ∈PR（EQ[v+X]β（Q））σQ（X）β（Q）。此外，如果Q∈ 满足度W（v+X）=EQ[v+X]β（Q），然后→∞nπv、 Snn≥R（EQ[v+X]β（Q））σQ（X）β（Q）。因此，在帕累托最优风险池和风险重新分配时，同质偏好下的稳健风险溢价会减少，并最终在限制范围内消失，因为大量风险服从于一致性，收敛速度可以根据定理4.4进行控制。例4.5假设引理4.2适用。考虑u（x）=xp，x形式的幂u效用族的子族≥ 0，其中0<p<1，（u（x）=-∞, x<0），使u（0）=0。那么，WP（X）=infQ∈P（EQ[Xp]β（Q））1/P=infQ∈Pβ（Q）（等式[Xp]）1/P=infQ∈β（Q）kXkQ，P，其中β（Q）=β（Q）1/pand kXkQ，P=（EQ[Xp]）1/P。也就是说，在这种情况下，WP（X）是一个最坏情况下的“β（Q）-应计”P-范数，并且表现出收敛极限s upn→∞πv、 Snn= 0，适用定理4.4中的收敛边界。4.2变分小壳P和α：P→ R∪ {∞} 如第3节所述，为便于阐述，假设∈Pα（Q）=0。我们定义了可变偏好下的稳健风险溢价π（v，X），初始财富为≥ 0和风险X∈ L∞Pwith ess infPX∈ domu，作为infq的解决方案∈P{u（v+EQ[X]+α（Q）- π（v，X））}=infQ∈P{EQ[u（v+X）]+α（Q）}，或等价地，u（v+u（X）- π（v，X））=infQ∈P{EQ[u（v+X）]+α（Q）}，其中，与前面一样，u（X）=infQ∈PEQ[X]+α（Q），X∈ L∞P、 是相应的稳健预期。这里，标准（X）：=U（U（X））=infQ∈PEQ[u（X）]+α（Q），X∈ L∞P、 （4.4）对应于Maccheroni、Marinacci和dRustichini[51]引入的变分偏好模型。