扩展池中的稳健最优风险分担和风险溢价

然后，从确定性等价物的角度来看，将W/n的份额分配给每个人的分配是帕累托最优的。此外，如果n≥ 3，domu=R，E[u（W）]∈ R、 然后Wn= 麦克斯（Y，…，Yn）∈A（W）nXi=1U（Yi），（2.5），任何帕累托最优W分配都必须最大化（2.5）的右侧。在这种情况下，如果U是严格凹的，也就是说，如果P（x6=Y）>0意味着U（λX+（1）- λ） Y）>λU（X）+（1- λ） 所有λ的U（Y）∈ （0，1），则W/n是W的唯一帕累托最优分配。如果U是确定性等价物givenby（2.3），那么W/n是唯一的帕累托最优分配W直到现金再分配，也就是说，所有帕累托最优分配都是{（W/n+m，…，W/n+mn）|Pni=1mi=0}的元素。证据从确定性等价的角度来看，W/n是帕累托最优的，这一事实来源于引理2.1和u-1在dom u上严格增加-1=我是你∩ R、 接下来，对于任何Par eto最优分配（X，…，Xn），都有权重λ，λn≥ 0，不等于0，因此nxi=1λiU（Xi）=sup（Y，…，Yn）∈A（W）nXi=1λiU（Yi）；参见例如Gerber[34]。假设n≥ 3，domu=R，E[u（W）]∈ R.那么，特别是ru（m）=m代表所有m∈ R.假设λ>λ，thennXi=1λiU（Xi）=sup（Y，…，Yn）∈A（W）nXi=1λiU（Yi）≥ supm>0（λ）- λ） m+λU（3W/n）+（n）- 3） U（W/n），其中U（3W/n）>-∞ 由u和E[u（W）]∈ R.让我→ ∞ yieldsa矛盾。因此，λ=λ，同样地，也可以得出λ=λ=…=λn。因此，我们可以假设λi=1表示所有i。这证明了（2.5）。现在假设U是严格凹的，并且存在另一个不同于（W/n，…，W/n）的帕累托最优分配（X，…，Xn）。然后至少有一个j∈ {1，…，n}这样p（Xi6=W/n）>0。通过U的严格凹度，我们得到了nxi=1U（Xi+W/n）>nXi=1（U（Xi）+U（W/n））=nU（W/n），这与（2.5）相矛盾。

如果U是（2.3）给出的确定性等价物，那么U严格地凹到常数，如果X-Y 6∈ R、 然后U（λX+（1-λ） Y）>λU（X）+（1-λ） 所有λ的U（Y）∈ (0, 1). 这证明了最后一个断言。在本节剩余部分中，我们让Xi∈ 五十、 i=1，2。，是一个风险的i.i.d.序列，由Sn=Pni=1Xi，n给出∈ N、 是池中的总风险。那么，Sn/n→ E[X]P-a.s.作为n→ ∞ 根据强大的大数定律。考虑到这个ben chmark结果，并使用引理2.1和命题2.2，我们分析了确定性等价物和风险溢价的行为，这是由具有相同预期效用偏好的n个合作代理之间的总风险帕累托最优风险分担引起的，随着池的扩大。引理2.3考虑确定性等价于（2.1）中的U。然后U（序列号/序号）≤ E[X]和u（Sn/n）在n中增加，因此π（v，Snn）在n中减少。由Jensen不等式可知，总是U（Sn/n）≤ E[X]。接下来，我们证明u（Sn/n）在n中增加。实际上，我们可以重写Sn+1=nn+1Xi=1Sin，其中Sin:=n+1Xj=1，j6=iXj，因此通过u，E的凹度USn+1n+1= E“un+1n+1Xi=1Sinn#≥n+1n+1Xi=1EU辛恩= EUSnn, （2.6）因为Sinand snar在P下分布相同。因此，U（序号/n）≤ U（Sn+1/（n+1））自U-1正在增加。最终声明如下：将Lemma的第一个声明应用于i.i.d.序列v+Xi，并回顾了（2.2）中对风险溢价的定义。引理2.3表明，最优地汇集和重新定位总风险可以降低风险溢价。

此外，以下结果表明，通常为U（Sn/n）→ E[X]as n→ ∞,i、 例如，风险溢价π（v，Snn）在极限内消失（收敛到0）：命题2.4假设X∈ 五十、 X∈ int dom u P-a.s.，E[u（X）]∈ R、 u′（Sn/n）是由一个独立于n的平方可积随机变量从上面限定的。然后，林爽→∞√nπv、 Snn= 林尚→∞√Nv+E[X]- Uv+Snn≤ σP（X），（2.7），其中σP（X）：=pE[（X- E[X]）]表示X的标准偏差。特别是，如果u只有一次连续可微分（而不是两次），则（2.7）已经成立。然而，在一些额外的假设下，我们可以对收敛速度说得更多：定理2.5假设X∈ 五十、 X∈ int dom u P-a.s.，E[u（X）]∈ R、 u′可以被下面的人控制∈ 按以下方式确定Sn/n的范围：eY≤ ess infu′（v+Y）|Y是一个随机变量s.t.Y（ω）∈E[X]，Sn（ω）nP-a.s。, （2.8）按照约定，对于a<b，我们设置[b，a]：=[a，b]。那么，林→∞nπv、 Snn= 画→∞Nv+E[X]- Uv+Snn=R（v+E[X]）σP（X），（2.9），其中R（X）：=-u′（x）/u′（x）是绝对风险规避的Arrow-Pratt系数。请注意，（2.7）右侧的边界不取决于效用函数u，与（2.9）的最右侧相反。此外，请注意，如果（2.8）总是满足，例如，如果X带有ess inf X∈ int dom u是有界的，因为u′是连续的，因此在紧致集{v}+[ess inf X，ess sup X]上有界。证据【关于命题2.4和定理2.5】在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设v=0，因为如果X满足命题2.4或定理2.5的要求，那么X+v和σP（X+v）=σP（X）。

我们计算了u在E[X]附近的泰勒展开式，即第一阶或第二阶的泰勒展开式Snn= u（E[X]）+u′（Yn）Snn- E[X], （2.10）安度Snn= u（E[X]）+u′（E[X]）Snn- E[X]+u′′（Zn）Snn- E[X], （2.11）其中yn和zn是取值于E[X]和snn之间的随机变量。（请注意序号/n∈ int dom u as X∈ 带着（2.10）和（2.11）中的期望，我们到达了atEUSnn= u（E[X]）+Eu′（Yn）Snn- E[X],安第斯山脉USnn= u（E[X]）+0+E“u′（Zn）Snn- E[X]#.调用u的泰勒展开式-1围绕点u（E[X]）验证Snn= U-1.EUSnn= U-1.u（E[X]）+Eu′（Yn）Snn- E[X]= U-1.o u（E[X]）+（u-1） ′（yn）Eu′（Yn）Snn- E[X]= E[X]+（u）-1） ′（yn）Eu′（Yn）Snn- E[X], （2.12）对于u（E[X]）和u（E[X]）+E之间的一些实数ynu′（Yn）（Snn）- E[X]）, 安度Snn= U-1.EUSnn= U-1u（E[X]）+E“u′（Zn）Snn- E[X]#!= U-1.o u（E[X]）+（u-1） ′（zn）E“u′（zn）Snn- E[X]#= E[X]+（u）-1） ′（zn）u′（E[X]）σP（X）2n+（u-1） ′（zn）E“（u′（zn）- u′（E[X]））Snn- E[X]#, （2.13）其中：∈ [u（E[X]）+Eu′（Zn）（Snn）- E[X]）, u（E[X]）。通过对（2.12）中的误差项应用H？older的正弦性质，我们得到|（u）-1） ′（yn）|E|u′（Yn）Snn- E[X]|≤ |（u）-1） ′（yn）|pE[u′（yn）]σP（X）√n、 （2.14）支配收敛定理意味着pe[u′（Yn）]→ u′（E[X]），因为→E[X]P-a.s.和d.0≤ u′（Yn）≤ u′（E[X]）∨ u′（Sn/n），其中u′（Sn/n）由与n无关的平方可积随机变量通过假设来限定。还有艾琳→ u（E[X]），因此（u-1） ′（yn）=u′（u）-1（yn））→u′（E[X]），证明了（2.7）。如果Xhas定义了四阶矩，那么将H¨older不等式应用于（2.13）yieldsE“|u′（Zn）中的误差项- u′（E[X]）|Snn- E[X]#≤rEh（u′）（Zn）- u′（E[X]）iqnMP（X）+3n（n- 1） σP（X）n≤nrEh（u′）（Zn）- u′（E[X]）iqMP（X）+σP（X），（2.15），其中MP（X）：=E（十）- E[X]）.

我们有Eh（u′）（Zn）- u′（E[X]）i→ 0由主导收敛sin ce|u′（Zn）- u′（E[X]）|≤ |eY |+|u′（E[X]）|对于某些平方可积eY by（2.8）。还有锌→ n的u（E[X]）→ ∞, 使用（u-1） ′（zn）=1/u′（u）-1（zn）），我们从（2.13）得出USnn- E[X]→u′（E[X]）u′（E[X]）σP（X）。备注2.6（与普拉特[54]相关）在他的开创性论文中，普拉特[54]表明风险溢价满足π（v，X）=R（v+E[X]）σP（X）+o（σP（X））。（2.16）然而，请注意（2.9）并不是从（2.16）开始的，因为（2.16）意味着πv、 Snn=2nR（v+E[X]）σP（X）+onσP（X）,而o（nσP（X））的估计太粗略了。例2.7考虑指数效用u（x）=1- E-γx对于某些γ>0。然后（2.9）变瘦了→∞nπv、 Snn=γσP（X）。对于电力设施u（x）=x1-χ-11-χ、 x>0，其中χ>0，χ6=1，（u（x）=-∞, 十、≤ 0），（2.9）变瘦→∞nπv、 Snn=χ2（v+E[X]）σP（X）。对于对数效用u（x）=logx，x>0，（且u（x）=-∞, 十、≤ 0），（2.9）变瘦→∞nπv、 Snn=2（v+E[X]）σP（X）。备注2.8假设随机变量序列（施加在引理2.3上方）的i.i.d.假设不满足。例如，假设X为标准正态随机变量，并考虑序列Xi=(- 1） 九、我∈ 然后，所有的人都分布相同，但显然不是独立的。显然，Sn=Pni=1Xi=-当n为奇数且Sn=0时为X，否则为。因此，Sn/n→ 0=E[X]表示n→ ∞. 取u（x）=1- E-γx.那么对于奇数nwe，计算nU（Sn/n）=-γ/（2n），而对于偶数n，我们有nU（Sn/n）=0。因此，在这种情况下，（2.9）的左边等于limn→∞-nU（Sn/n）=0。然而，（2.9）的右边是γ/2；参见示例2.7。因此，要求序列的独立性在定理2.5中至关重要。

（这个反例也推广到下一节中考虑的健壮情况。）示例2.9（熵风险度量的最佳风险分担）考虑n个代理之间的最优风险分担，这些代理应用相同的确定性等价标准U，具有指数效用和总风险Sn。那么，ρP，γ（X）：=-U（X）=γ对数EE-γX,就是所谓的熵风险度量。根据命题2.2，最优安置，Y*i、 是由Y驱动的吗*i=Sn/n，i=1，n、 因此，在风险的最优交换和重新定位之后，所有使用相同风险熵度量的合作代理池也可以在聚合级别上使用风险熵度量，参数γn:=γ/n，即nρP，γ（Y*i） =n（1/γ）对数E[exp(-γY*i） ]=n（1/γ）对数E[exp(-γ（1/n）Sn）＝（1/γn）loge[exp(-γnSn）]=ρP，γn（Sn）。因此，P-position 2.4意味着，在帕累托最优风险分担下，不同于F¨ollmer和Knispel[27,28]，风险的汇集、交换和重新定位的效果是，每个头寸的总熵风险度量降低到负预期，如下所示：→∞nρP，γn（Sn）=limn→∞ρP，γ（Sn/n）=E[- 十] 。相比之下，在F¨ollmer和Knispel[27,28]中，他们认为nρP，γ（Sn），nρP，γ（Sn）=n（1/γ）log E[exp(-γSn）＝（1/γ）对数E[exp(-γX）]=ρP，γ（X）和hencelimn→∞nρP，γ（Sn）=ρP，γ（X）。3模糊条件下的最优风险分担：稳健的确定等价性到目前为止，我们已经确定了一个参考概率模型P，该模型被假定为（客观或主观）kn。现在让我们考虑模型不确定性的情况，其中P被可测空间上的一类概率模型P取代(Ohm, F） 。这种情况自然会发生，如下所示。效用函数u仅由constantsR上的偏好决定，因此我们假设它（主观上）是给定的。

假设风险序列（Xi）i∈Nis i.i.d.是典型且普遍采用的，当然取决于数据的收集，并与上一节的设置相对应。然而，选择“正确”的概率模型/分布可能是一个非常微妙的问题。因此，我们可以考虑所有的概率模型，使得（Xi）i的i.i.d.假设∈如果不满意，可能会由于一些额外的概率信息而进一步减少此类，但最终得到一类P概率模型，被认为是观察到的（Xi）i的可能生成器∈N、 它不仅仅包含一个元素。在概率模型术语中，我们可以从一些可测量的s空间（σ，A）上的任何一类概率测度，以及我们想要考虑的（σ，A）上随机变量X的相应分布开始。现在，人们可能会认为P是产品空间概率度量的集合(Ohm, F） ：=（N，A）N） 这样每个P∈ P是某些Q的Kolmogorovextension∈乘积概率测度{Q]族的ePn | n∈ N} ，即P | An=QN例如，见达德利[21]第8.2节。然后，序列Xi：OhmN→ Rgiven by Xi（ω，ω，…）=X（ωi）是每个P下的i.i.d.u∈ P.P的典型例子是：例如：例子3.1（i）一组离散的概率测度。在这种情况下，代理考虑了很多概率测度Pj∈ P、 j=1，J、 J∈ N.此类离散集在稳健优化和操作研究等领域尤其流行。（ii）参数族P={Pθ|θ∈ Θ}. 在这种情况下，代理将注意力限制在i.i.d.序列上，该序列的概率分布属于给定的概率分布参数族（例如。

β分布），该分布由全参数空间的一组可能参数Θ中的参数向量θ（例如，平均值或形状参数）索引。从今往后，我们让P是一个非空的概率测度集(Ohm, F） （不一定是显性的）。在本节中，我们仅限于模型空间∞P:={X:Ohm → R | X是F-可测的，m>0: P∈ P:P（|X|）≤ m） =1}/~,X在哪里~ Y当且仅当P（X=Y）=1时∈ P.（L）∞P、 k·kP，∞) 其中kxkp，∞:= inf{m∈ R|P∈ P:P（|X|）≤ m） =1}，是一个Banach空间。注意，在P占主导地位的情况下，即，如果存在概率测度Pon(Ohm, F） 这样Q<< P代表所有Q∈ P、 然后我∞P可以被视为L的子集∞(Ohm, F、 P）与L∞P=L∞(Ohm, F、 P）如果P≈ P.在续集中，我们说，如果一个属性设置为∈ ω的F∈ Ohm 对于所有的P，满足P（A）=1的某些性质∈ P.每个人∈ P、 we letUQ（X）：=u-1（等式[u（X）]），X∈ L∞P、 与效用函数u相关的Q下的相应确定性等价物。在下文中，我们考虑形式（参见La偶数和Stadje[47]中的等式（2））UP（X）：=infQ的鲁棒确定性等价物∈PUQ（X）+α（Q），X∈ L∞P、 （3.1）式中α：P→ R∪ {∞} 是一个罚函数，使得infQ∈Pα（Q）>-∞ . 后一种假设确保了对于任何X∈ L∞Psuch thaess infPX:=sup{m∈ R|P∈ P:P（X）≥ m） =1}∈ dom u，我们有（X）≥ ess infPX+infQ∈Pα（Q）>-∞,其中我们使用了明显的估计UQ（X）≥ ess infPX。罚函数代表了概率模型的可信性。它也被称为歧义指数。稳健的确定性等价物在Ghirardato和Marinacci的意义上复合了风险和模糊厌恶[37]。任何稳健确定性等价物upu都有一个相关的稳健预期（或稳健货币效用）U，由U（X）：=infQ给出∈PEQ[X]+α（Q），X∈ L∞P

（3.2）请注意，詹森的不平等性意味着UP（X）≤ U（X）代表所有X∈ L∞P.作为一个特殊的兴趣案例，我们在这里考虑确定性等价物的稳健版本，Q<< P表示A的全部∈ 我们有P（A）=0意味着Q（A）=0。给，P≈ P意味着对于所有A∈ F我们有P（A）=0当且仅当（Q（A）=0表示所有Q∈ P） 。指数效用，由infq给出∈P-γ测井方程E-γX= - supQ∈Pγ测井方程E-γX.它等于减去（凸）熵风险度量的稳健版本ρP，γ，ρQ，γ，由ρP，γ（X）定义：=supQ∈PρQ，γ（X）=γsupQ∈扑通E-γX, （3.3）属于熵一致性风险度量（La偶和Stadje[47]）；另请参见F–ollmer和Knispel[27]。更一般地说，我们可以考虑风险的熵凸度量（La偶和Stadje[47]）：映射ρP，γ，α：L∞P→ 如果存在惩罚函数α：P，则R称为风险的γ熵凸度量→ [0, ∞] 用infQ∈Pα（Q）=0，使得ρP，γ，α（X）=s upQ∈P{ρQ，γ- α（Q）}，γ>0。（3.4）我们陈述了以下引理，它证明了在这种具有模糊性的一般情况下，比例风险分担规则仍然是帕累托最优的：引理3.2考虑具有相同鲁棒确定性等价标准（3.1）的n个代理。让∈ L∞Pbe使W/n∈ int d om u P-a.s.和ess infPW/n∈ dom u.此外，假设thattup（W/n）=minq∈PUQ（W/n）+α（Q）。（3.5）那么将W/n的份额分配给每个代理的分配是帕累托最优的。证据设（Y，…，Yn）是W的一个分配，使得UP（Yi）≥ 对于所有i=1，…，向上（W/n），n、 假设存在一个Q∈ P使得up（W/n）=UQ（W/n）+α（Q）。然后UQ（易建联）≥ UQ（W/n）对于所有i=1，n表示所有i=1，…，的UQ（Yi）=UQ（W/n），n根据命题2.2。因此，阿尔苏（易）≤ UQ（Yi）+α（Q）=UQ（W/n）+α（Q）=UP（W/n），所以对于所有i=1，N

下一个引理规定了条件（3.5）自动满足的情况。引理3.3假设P由某个概率测度P支配(Ohm, F） 。此外，假设P是弱紧的，即密度的set为ndqdp | Q∈ 泊松弱紧，即σ（L(Ohm, F、 P），L∞(Ohm, F、 P））-紧，α是弱下半连续的，在这个意义上，低层密度集Ek：=dQdP | Q∈ P、 α（Q）≤ K, K∈ R、 （3.1）中的惩罚函数α的(Ohm, F、 P），L∞(Ohm, F、 P））。然后，UP（X）=minQ∈所有X的PUQ（X）+α（Q）∈ L∞(Ohm, F、 P）suc h the ess inf{P}X∈ dom u，andU（X）=minQ∈所有X的PEQ[X]+α（Q）∈ L∞(Ohm, F、 P）。证据让X∈ L∞(Ohm, F、 P）使用ess inf{P}X∈ dom u.选择一个序列（Qn）n∈N P suchthatUP（X）=limn→∞（UQn（X）+α（Qn））。由于P是弱紧的（根据Eberlein-Smulian定理；参见Dunford和Schwartz[23]），有一个子序列，为了简单起见，我们也用（Qn）n表示∈Nsuch thatdQndPconver弱到a Q∈ P.因此，EQ[u（X）]=EPdQdPu（X）= 画→∞EPdQndPu（X）= 画→∞EQn[u（X）]，因为u（X）∈ L∞(Ohm, F、 P）。通过α的下半连续性，我们得到了α（Q）≤ 林恩芬→∞α（Qn）。因此我们得出结论：uq（X）+α（Q）≤ 林恩芬→∞UQn（X）+α（Qn）=UP（X），因此UP（X）=UQ（X）+α（Q）。f或U的结果如下所示。在本节的剩余部分中，我们将分析与帕累托最优风险分担契约相关的鲁棒确定等价物的渐近行为，因为该集合扩展到包含越来越多的风险。提案3.4让（Xi）i∈N L∞所有Q下的Pbe i.i.d∈ P、 假设ess infPX∈int dom u。同样，让Sn:=Pni=1Xi。然后UP（Sn/n）在n中随UP而增加Snn≤ U（X），andlimn→∞向上的Snn= U（X），其中U是与UP相关的稳健货币效用。除此之外，X和u上有一个常数K，因此→∞√NU（X）- 向上的Snn≤ K.证据。