扩展池中的稳健最优风险分担和风险溢价

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英文标题：
《Robust Optimal Risk Sharing and Risk Premia in Expanding Pools》
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作者：
Thomas Knispel and Roger J. A. Laeven and Gregor Svindland
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider the problem of optimal risk sharing in a pool of cooperative agents. We analyze the asymptotic behavior of the certainty equivalents and risk premia associated with the Pareto optimal risk sharing contract as the pool expands. We first study this problem under expected utility preferences with an objectively or subjectively given probabilistic model. Next, we develop a robust approach by explicitly taking uncertainty about the probabilistic model (ambiguity) into account. The resulting robust certainty equivalents and risk premia compound risk and ambiguity aversion. We provide explicit results on their limits and rates of convergence, induced by Pareto optimal risk sharing in expanding pools.
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中文摘要：
我们考虑合作代理池中的最优风险分担问题。我们分析了与帕累托最优风险分担契约相关的确定性等价物和风险溢价随着池的扩展的渐近行为。我们首先用一个客观或主观给定的概率模型来研究预期效用偏好下的这个问题。接下来，我们通过明确考虑概率模型的不确定性（模糊性），开发了一种稳健的方法。由此产生的稳健确定性等价物和风险溢价复合了风险和模糊厌恶。我们提供了关于它们的极限和收敛速度的明确结果，这是由扩展池中的帕累托最优风险分担引起的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Robust_Optimal_Risk_Sharing_and_Risk_Premia_in_Expanding_Pools.pdf (348.34 KB)

2022-5-10 16:25:48 上传

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关键词：风险分担 风险溢价 Applications Quantitative Differential

稳健最优风险分担和风险溢价扩展池运行标题：稳健最优风险分担和风险溢价汉诺威大学塔兰克斯阿甘公司风险和保险竞争中心邮件：莱布尼茨大学汉诺威概率统计研究所Welfengarten 1D-30167德国汉诺威电子邮件：knispel@leibniz-拉平实验室*阿姆斯特丹大学，欧洲和中东中心邮件：阿姆斯特丹大学经济学院邮政信箱158671001新泽西州阿姆斯特丹，荷兰邮箱：R.J.A。Laeven@uva.nl*相应作者：路德维希·马克西米利安市政大学数学研究所。39D-80333德国慕尼黑电子邮件：svindla@math.lmu.deOctober28，2018Abstracts我们考虑合作代理池中的最优风险分担问题。我们分析了与帕累托最优风险分担契约相关的确定性等价物和风险溢价随着池的扩展的渐近行为。我们首先用一个客观或主观给定的概率模型在预期效用偏好下研究这个问题。接下来，我们通过明确考虑概率模型的不确定性（模糊性），开发了一种r-obust方法。由此产生的鲁棒确定性等价和风险溢价复合了风险和模糊厌恶。我们提供了关于扩展池中帕累托最优风险分担所导致的收敛极限和收敛速度的明确结果。关键词：歧义；凸风险度量；大型水池；帕累托最优；风险溢价；风险分担；强壮的人优先。AMS 2010分类：初级：91B06、91B16、91B30；第二个y:60E15，62P05。JEL分类：D81、G10、G20。1简介风险分担是经济和数学风险理论的主要原则。

它是指通过在参与池的合作个体之间交换和重新定位风险，对池中的总风险进行细分。风险分担为个人降低风险提供了一种手段，在潜在的最佳意义上。自Borch[9]的最后一部作品以来，许多作者在各种各样的环境中对其进行了研究；例如，见Arrow[2]、Wilson[67]、DuMouchel[22]、Gerber[33,34]、B¨uhlmann and Jewell[10]、Landsberger and Meiligson[49]，以及最近的Carlier and Dana[11]、Heath and Ku[43]、Barrieu and El Karoui[4,5]、Dana and Scarsini[17]、Jouini、Schachermayer and Touzi[45]、Kiesel and R¨uschend orf[46]、Ludkovski and R¨uschendorf[50]、Filipovi]和Svind land[25]、Dana[18,18]，Ravanelli和Sv indland[55]，以及其中的参考文献。本文探讨了当帕累托最优风险分担与扩大风险池相结合时会发生什么。在不断扩大的独立同分布（i.i.d.）风险池中，总风险的分布会扩大，但平均风险遵循拉根姆伯定律，并收敛于其预期（有关详细讨论，请参见Samuelson[59]、Diamond[20]和Ross[56]）。我们分析了帕累托最优风险分担所导致的个人风险降低何时可以被充分利用：当根据帕累托最优风险分担规则在i.i.d.风险的扩展池中，与具有相同偏好的合作个体细分和分配总风险时，风险分担最终会导致超越预期的风险消失吗？在一般情况下，我们通过分析帕累托最优风险分担下不断扩大的风险池中确定性等价物和风险溢价的渐近行为来回答这个问题。

普拉特[54]采用冯·诺依曼（Von Neumann）和摩根斯坦（Morgenstern）[65]的经典预期效用模型，研究了风险溢价（定义为agiven r isk的预期价值减去其确定性等价物（使一个代理人不受风险影响的货币金额）与效用函数之间的关系。他表明，在所有财富水平上，更大的局部风险厌恶（小风险厌恶）意味着更大的全球风险厌恶（大风险厌恶），反之亦然，因为风险溢价随局部风险厌恶强度而变化。此外，Pratt[54]还为一个较小且精算公平的风险提供了风险溢价的扩展，由局部风险规避乘以风险方差的一半得出。因此，随着大数定律所暗示的i.i.d.风险扩大池中平均风险方差的消失，与帕累托最优风险分担规则相关的风险溢价也可以被视为消失。我们正式地分析了这种收敛性，并得到了关于风险溢价收敛速度的结果。我们首先考虑了与Pratt[54]中类似但结果明确的预期效用模型的相关例子，然后转向更先进的决策模型，对于这些模型，问题被证明更加微妙。近年来，风险（已知概率）和模糊性（未知概率）之间的区别受到了广泛关注。根据萨维奇[60]的主观预期效用模型，由于主观概率的分配，这种区分是不存在的。明确承认特定概率模型可能存在误判的建模方法被称为稳健（参见Hansen和Sargent[41,42]）。多先验模型（Gilboa和Schm-eidler[36]；另见Schmeidler[61,62]）提供了一类在风险和模糊性下决策的流行模型。

它是丰富的变量和同位旋p参考模型的特例（Maccheroni、Marinacci和R ustichini[51]、Cer reia Vioglioet al[13]和Chateauneuf and Faro[14]）。当在classicalAnscombe和Au mann[1]设置中解决了歧义时，这些模型都简化为冯·诺依曼和摩根斯坦[65]的预期效用模型。金融数学中的一个相关文献是由F¨ollmer和Sch ied[26]、Frittelli和RosazzaGianin[32]以及Heath和Ku[43]引入的风险凸度量，概括了Artzner等人[3]；另见早期的瓦尔德[66]、胡伯[44]、德佩兹和格伯[19]、本塔尔和特布勒[6,7]，以及最近的卡尔、杰曼和马丹[12]、鲁兹茨基和夏皮罗[58]以及本塔尔和特布勒[8]。F¨ollmerand Schied[29,30]和Laeven and Stadje[47,48]在文学的两股线之间提供了精确的联系。我们探讨了在真实概率模型存在不确定性的情况下，最优风险分担和不断扩大的风险池的组合。更具体地说，我们在本文中首先考虑了经典的预期效用，因此风险X的确定性等价物U由U（X）=U给出-1（E[u（X）]，（1.1）带有u效用函数和E[·]客观或主观给定概率模型下的期望。

在这种情况下，我们分析了与平均风险Sn/n相关的风险溢价的精确限制行为和收敛性，其中Sn=Pni=1XI对于i.i.d.risks Xi，n∈ N、 由π（v，Sn/N）=E[v+Sn/N]给出- U（v+Sn/n），（1.2）对应于n个具有相同效用函数U和初始财富v的合作个体之间总风险的比例（相等，1/n）风险分担，我们证明在温和条件下，在这种情况下是帕累托最优的。接下来，我们明确地考虑了概率模型的不确定性，并采用了robus t方法。事实证明，这种设置在elicate中更有趣。它最好是以概率模型为特征，即产品概率测度族的Kolmogorov扩展。我们首先考虑在一类概率模型P:UP（X）=infQ上“可靠”的确定性等价物∈PUQ（X）+α（Q），（1.3）与UQ（X）=u-1（式[u（X）]），其中α：P→ R∪{∞} 是一个度量概率模型Q可编性的开放函数∈ P.我们证明了在这种情况下，比例风险分担规则仍然是帕累托最优的。此外，我们证明，在不断扩大的风险池中，与平均风险相当的稳健确定性收敛于稳健预期，并且我们提供了相应收敛速度的明确界限。

我们特别发现，收敛速度取决于个体的绝对风险厌恶系数和前两个时刻的稳健性，即预期和方差。最后，通过考虑π（v，X）=W（v+X），我们自然地将Pratt[54]的风险溢价扩展到我们的风险和歧义设置中- WP（v+X）和π（v，X）=U（v+X）- VP（v+X），分别在同位语偏好和变分偏好的情况下，w（X）=infQ∈PEQ[X]β（Q）和WP（X）=u-1.infQ∈PEQ[u（X）]β（Q）,式中β：P→ [1, ∞] 是一个惩罚函数，andU（X）=infQ∈PEQ[X]+α（Q）和VP（X）=u-1.infQ∈PEQ[u（X）]+α（Q）.稳健的确定性等价物和风险溢价复合了风险和模糊厌恶（Ghirardato和Marinacci[37]）。我们证明了在扩大风险池的帕累托最优风险分担下，稳健风险溢价在同位旋情况下收敛于零，但对于非平凡α，在变分情况下不会在极限处消失，在这种情况下收敛于U（v+X）- V（V+X），其中V（X）=u-1.infQ∈Pu（式[X]）+α（Q）,并分析了相应的收敛速度。我们的收敛结果可以与F¨ollmerand Knispel[27,28]得到的收敛结果进行比较。这些作者在计算大型和不断扩大的投资组合的资本要求时，分析了每个财务状况的风险资本的限制行为。i、 d.在缺乏最佳风险分担的情况下（以及在更严格的凸风险度量设置中，而不是如本文所考虑的，由同质和可变偏好提供的一般设置中），财务状况。这个看似相关的问题需要许多不同的技术，并导致完全不同的结果。例如，在没有最优风险分担的情况下，NID扩张投资组合中每个头寸的确定性等价物。

r isk sunder expected utility with expected utility（指数效用）的r isk sunder（指数效用）的r isk sunder（指数效用）的r isk sunder（指数效用）的r isk sunder expected utility与指数效用的r isk sunder（指数效用）的r isk sunder sunder expected utility（指数效用），在不断扩大的NID风险池中，平均风险的确定性等价于低于预期效用的指数效用（以及所有n个人的绝对风险厌恶系数相同）收敛于普通预期，因为n趋于一致。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们分析了在预期效用模型下，在扩张池中具有最优风险分担的确定性等价物和风险溢价的渐近行为。在第3节中，我们研究了模糊度下的最优风险分担，并研究了鲁棒确定性等价物的渐近行为。在第4节中，我们考虑稳健风险溢价，并分析其极限和收敛率。结论见第5.2节“最佳风险分担：确定性等价物和风险溢价u:R”→ [-∞, ∞) 这是一个效用函数。除非另有明确说明，否则我们假定本文中考虑的效用函数在其域domu:={x上严格递增∈ R|u（x）>-∞ }, 凹面的，两次连续可微的，在其主域u的内部。我们用u表示-1 u的倒数。u的倒数在图像上有很好的定义∩ 因为u在domu上严格递增，所以我们扩展了u-1通过设置向您发送即时消息-1(-∞) := -∞ . 此外，我们假设-1在int dom u上持续变化-1.让我们(Ohm, F、 P）表示一些固定的概率空间，E[·]关于P的期望。此外，让X∈ L:=L(Ohm, F、 P）。考虑一个代理人，其偏好由预期效用标准E[u（X）]描述，主观效用函数为u。

对应于u的确定等价物由u（X）：=u给出-1（E[u（X）]），X∈ 五十、 （2.1）其中包含了[-∞, ∞) （詹森的不平等）。假设代理拥有最初的财富≥ 0，并考虑承担额外的风险X。然后获得相关的风险溢价π（v，X），作为等效效用方程u（v+E[X]的解- π（v，X））=E[u（v+X）]，即π（v，X）=v+E[X]- U（v+X）。（2.2）风险溢价使代理人在一方面承担风险，另一方面在确定风险溢价的基础上了解风险预期之间有所不同。我们允许你接受价值-∞ 为了将效用函数与边界域（如幂效用或对数效用等）结合起来。在本文中，为了简洁起见，我们将坚持不区分随机变量和它们诱导的P-几乎确定等价类的惯例。如果我们考虑指数效用u（x）=1，就会出现一种特殊情况- 经验(-γx），γ>0，表现出恒定的绝对风险规避（CARA），因为-u′（x）/u′（x）=γ。然后确定性等价物由u（X）=-γ对数E[exp(-γX）]，（2.3），当γ↓ 0和U（X）=当γ↑ ∞, 这在γ中是不增加的。它对应于减去风险的熵度量（F¨ollmer and S chied[29]），或减去损失的指数溢价-X（Gerber[34]、Goovaerts、de Vylder和Haizendonck[39]以及Goovaerts等人[40]）。它在决策理论（参见Gollier[38]）和数学（参见Rouge and El Karou i[57]、Mania and Schweizer[52]和参考文献）中尤其流行。

相应的风险溢价由π（v，X）=E[X]+γloge[exp]给出(-γX）]，它独立于v.在预期效用模型下的最优风险分担是由Borch[9]、Wilson[67]、DuMouchel[22]、Gerber[33,34]、B¨uhlmann and Jewell[10]和Gerber and Pafumi[35]研究的。我们考虑了一个市场或池的n个期望效用最大化者，它们具有相同的效用函数，且总r和W。我们感兴趣的问题是在n个代理中找到W的“最有效”细分。我们让A（W）：{（Y，…，Yn）∈L | PiYi=W}是W的所有可能（完整）分配的集合。下面的引理和命题证明了比例（相等，1/n）风险分担规则在温和条件下的帕累托最优性和唯一性：引理2.1假设所有n个代理应用相同的预期效用准则E[u（X）]，X∈ 五十、 且总随机捐赠满足W/n∈ int dom u P-a.s.安第斯[u（W/n）]∈ R.然后，将W/n的份额分配给每个代理的分配是最优的。事实上，我们已经做到了UWn= 麦克斯（Y，…，Yn）∈A（W）nXi=1E[u（Yi）]。（2.4）此外，如果u在domu上是严格凹的，那么分配（W/n，…，W/n）是（2.4）的唯一解。证据设（Y，…，Yn）是W的一个分配，使得pni=1E[u（Yi）]∈ R（显然，（2.4）在Pni=1E[u（Yi）]=-∞). 那我们一定要有易建联∈ dom u P-a.s.对于alli=1，n、 现在应用詹森不等式得到：nnXi=1E[u（Yi）]≤ E“unnXi=1Yi！#=EUWn.关于唯一性的最终断言是美国严格凹性的直接结果。命题2.2假设所有n个代理应用（2.1）中相同的确定性等价标准Uas。此外，假设总随机捐赠满足W/n∈ int d om uP-a.s.和E[u（W/n）]∈ R