随机投资组合理论框架下的投资组合优化

（68）其中g是基于排名的增长率的列向量。证据将等式（67）替换为等式（63）的第二项，并在IMT中应用部分结果求和→∞Tn-1Xi=1（pi+1- pi）d∧i（T）=N-1Xi=1pigi- pnn-1Xi=1gi。（69）利用等式（66）的最后一个，并利用市场的稳定性，limT→∞TlnFp（u（·）（T））Fp（u（·）（0））！=0，（70）完成证明。上述命题意味着，第一部分关于最小方差和最大增长投资组合的结果可以扩展到模型参数基于排名的情况。唯一的变化是a）它们是渐进的，而不是任何特定的瞬间；b）性能基准是市场投资组合，而不是现金。3.2简单的Atlas模型作为一个应用，考虑比亚迪ln Vi（t）描述的简化Atlas模型(-g+ngi[ri（t）=n]）dt+σdWi（t），（71），其中g和σ是正常数。基于秩的协方差矩阵等于σ（ij）=σδij，（72），其逆矩阵为σ-1.（ij）=δijσ。（73）最小方差投资组合为ν（0）=en，（74），且具有σν（0）=s=σ√n、 γν（0）=σ1.-N; （75）请注意，在基于姓名和职级的公式中，这是一个恒定的组合，而不是仅在基于职级的公式中（这是一般情况）。最大增长组合为ν（1）=N- λe+λnb，（76）式中λ≡gσ，（77）和b是列向量，其唯一的非消失元素，对于最低秩的stock，等于1:bi=δin。（78）ν（1）的性质是σν（1）=S=σ√np1+n（n- 1) λ, γν(1)=σ1.-n+n（n- 1)λ. （79）对于所有可能的市场配置，ν（0）和ν（1）都很长，ifg≤σn，（80）或相当于λ≤N

（81）然而，λ=仅投资于底部股票的ν（1）结果；这是最终的小型股投资组合。3.2.1除多样性加权投资组合外，考虑权重为ζi（t）=upi（t）Dp（u（t）），Dp（x）的唯一长期投资组合ζ≡nXi=1xpi（t）！p、 （82）这种多样性加权投资组合有助于探索规模对稳定市场绩效的影响[7]；请注意，p=1对应于marketportfolio，而p=0对应于等权投资组合。其波动性和增长率为σζ=σPni=1u2pi（Pni=1upi）=σd2p2p（u）d2pp（u）（83），增长率γζ=σ“1”-D2 p2 p（u）D2 pp（u）！- λ+nλup（n）Dpp（u）#。（84）4讨论关于资产类别的一个重要观察结果是，它们表现出绩效机制：可投资领域的漂移和波动性在不同时期之间发生显著变化。这给正确实施投资组合优化带来了严重挑战，包括：o在估计模型参数变化时平衡准确性和及时性协调投资者评估业绩、市场发展和投资组合实施的不同时间尺度避免因投资组合变化而产生的摩擦成本，这可能会影响投资策略的短期和长期绩效。没有一种方法可以解决所有这些问题。尽管如此，采用一些广泛多元化的投资组合作为每次优化的回报基准，似乎是确保长期业绩稳定的一个重要组成部分。到目前为止，有三条主要的证据支持这一观点，所有这些证据都是经验性的：1。使用广泛的基准为投资于一个类别可以合理实现的回报建立了背景，同时避免极端集中或过度依赖模型参数的估计。2.

此外，当使用相对量（相对于广义基准计算）而不是绝对量时，各种估计的准确性会提高。3.最后，通过使用相对目标函数（例如，相对于广泛基准的超额回报），可以方便地将多个连续周期的优化解决方案联系起来。上述结果，尤其是第二部分中包含的结果，为这一观点提供了新颖的理论支持，至少在股票市场的情况下，Atlas模型已被证明是合理的近似值。感谢Bob Fernholz撰写了一个激发这些笔记的问题集。我还与阿德里安·班纳、伊奥尼斯·卡拉萨斯和菲利普·惠特曼进行了有益的讨论。参考文献[1]E.R.Fernholz，B.Shay，《随机投资组合理论与股市均衡》，金融杂志37（2），615–6211982年。[2] E.R.Fernholz，《随机投资组合理论》，斯普林格，2002年。[3] E.R.Fernholz，I.Karatzas，《随机投资组合理论：概述》，载于《金融学中的数学建模和数值方法》（A.Bensoussan，Q.Zhang Eds），《数值分析手册》专刊，2009年。[4] W。F.Sharpe，共同基金绩效，商业杂志39（S1），119-138，1966年。[5] E.R.Fernholz，I.Karatzas，《波动稳定市场中的相对套利》，金融年鉴1149-1772005。[6] T.Ichiba，V.Papathanakos，A.Banner，I.Karatzas，E.R.Fernholz，HybridAtlas模型，应用概率年鉴21（2），609–6442011。[7] E.R.Fernholz，I.Karatzas，C.Kardaras，多样性和相对套利不平等市场，金融和随机9（1），1-27，2005年。[8] E。R.Fernholz，《投资组合生成函数》，预印本，1995年（1998年修订），www.intechjanus。com/intech/insight and research。[9] I.卡拉萨斯，S。E

《布朗运动与随机微积分》，斯普林格，1991。