随机投资组合理论框架下的投资组合优化

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Portfolio Optimization in the Stochastic Portfolio Theory Framework》
---
作者：
Vassilios Papathanakos
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  I discuss some theoretical results with a view to motivate some practical choices in portfolio optimization. Even though the setting is not completely general (for example, the covariance matrix is assumed to be non-singular), I attempt to highlight the features that have practical relevance. The mathematical setting is Stochastic Portfolio Theory, which is flexible enough to describe most realistic assets, and it has been successfully employed for managing equity portfolios since 1987.
---
中文摘要：
我讨论了一些理论结果，以期激发投资组合优化中的一些实际选择。尽管设置并不完全通用（例如，协方差矩阵被假定为非奇异），但我试图强调具有实际相关性的特征。数学背景是随机投资组合理论，它足够灵活，可以描述最现实的资产，自1987年以来，它已成功地用于管理股票投资组合。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
PDF下载：
--> Portfolio_Optimization_in_the_Stochastic_Portfolio_Theory_Framework.pdf (509.41 KB)

2022-5-10 16:31:49 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：随机投资组合理论 投资组合优化 投资组合理论 投资组合 Optimization

随机投资组合理论框架下的投资组合优化Vassilios-Papathanakos*2021年6月28日内容1简介12固定宇宙22.1模型和基本定义。22.2极端投资组合。42.3高效前沿。52.4风险调整回报率。效率边界以下72.5。72.6波动稳定的市场。82.6.1熵加权投资组合。92.6.2 n=3例。103可变宇宙103.1模型和定义。113.2简单的Atlas模型。123.2.1多样性加权投资组合。134讨论141简介投资组合优化是投资中的一个基本概念，但它带来了许多技术挑战。两个最重要的问题是市场特征估计的不完善性和优化目标的模糊性。由于市场变化的速度通常不允许积累足够的相关数据来实现统计和非奇异收敛，因此无法高精度地估计市场特征，例如：*电子邮件：VPapathanakos@intechjanus.comthe协方差矩阵的估计。一种前进的方法是利用估计中的统计相关性，以确定比基础数据更能抵抗不确定性的统计组合。另一种方法是假设一个市场模型，该模型使用强大的结构假设来弥补拉科夫的数据。

这种方法的成功在很大程度上取决于这些假设的稳健性和简约性。专有的统计方法对于实现这些目标通常是必要的，尤其是在为机构投资者设计投资流程时，因为机构投资者重视长期稳定性。此外，即使专注于一个狭窄的投资者群体，优化目标通常也是流动的、模糊的。即使是固定投资者，在不同的市场环境下，表现优异潜力和风险保护之间的相对可取性也存在巨大差异，不容易量化。部分原因是，为很长的期限（如十年期）设定优化是不现实的。另一方面，也不建议只在很短的时间范围内进行优化（例如，每小时或每天），而没有一个明确的计划，在将连续优化的投资组合结合在一起时，如何避免不必要的营业额和其他风险。在这篇文章中，我讨论了一些理论结果，以期在投资组合优化中激发一些实际的选择。尽管设置并不完全通用（例如，协方差矩阵假定为非奇异），但我试图强调具有实际意义的特征。特别是，前两部分包含应用于随机投资组合理论（SPT）框架下的投资组合优化的数学结果。这种设置足够灵活，可以描述最现实的资产，自1987年以来，它已成功地用于管理股票投资组合。最后一部分讨论了这些理论结果对投资组合优化实践的一些启示。2固定的普遍性在本节中，我假设模型参数（即漂移和波动率）是固定的。

这就为优化问题提供了一个明确的、独立于时间的解决方案。2.1模型和基本定义按照随机投资组合理论[1,2,3]的标准公式，考虑一个由n种证券组成的股票市场，其市场资本化通过ln Vi（t）=γi（t）dt+dXl=1ξil（t）dWl（t），（1）随着非负It过程而演变，其中n≥ 2，d≥ n、 W’s是独立的标准布朗运动，γ’s和ξ’s是可测量的，适合于W’s产生的过滤，并且表现良好。ξ是非退化的。定义1。V的协方差矩阵为σ，元素为σij（t）≡dXk=1ξik（t）ξjk（t）；（2） 因为σ是非退化的，所以它有逆σ-1.此外，e表示1的列向量，0表示0的列向量，and≡√e |σ-1·e.（3）此外，α表示单个股票算术收益的列向量：α≡ γ+diagσ，（4）其中γ是单个股票增长率的列向量，diagσ是协方差矩阵σ对角线元素的列向量。最后，定义a和S≡ se |σ-1·α，（5）和≡rα|σ-1· α -as+s.（6）引理1。S的平方根是正的；此外，S≥ s（7） 证据。柯西-施瓦兹不等式意味着α|· σ-1· αe |σ-1·e≥e |σ-1· α, （8） 这意味着α|σ-1· α -像≥ 0 . （9） 我考虑的是通过权重表示的证券投资组合，而不是股票。每个投资组合π都有充足的资金，nXi=1πi（t）=1，（10）基本上，假设它们不会在有限的时间内以不可积的方式爆炸，并且不会随着时间的推移增长得太快；有关更多详细信息，请参阅[2]。但我并不坚持权重都是非负的。

投资组合满足的对数回报率ln Vπ（t）=nXi=1πi（t）d ln Vi（t）+γ*π（t）dt，（11）其中超额增长率γ*π由γ给出*π（t）=nXi=1σii（t）πi（t）-nXi，j=1σij（t）πi（t）πj（t）= （12） =（diagσ|π）- π|· σ · π) . （13） 以下所有结果都是在Vπ在所考虑的时间t内保持正的条件下理解的。2.2极值投资组合考虑以下两个极值投资组合：oν（0）：最小波动率投资组合，oν（1）：最大增长投资组合。它们的存在性、唯一性和基本性质是下面两个命题的主题。提议1。最小波动率投资组合ν（0）存在且唯一。由ν（0）=sσ给出-1·e，（14）具有波动率σν（0）=s（15）和增长率γν（0）=a-s、 （16）证据。ν（0）是σ-范数的最小值，因此它是唯一的。利用拉格朗日乘子导出了σ（0）的显式表达式。ν（0）的波动率和增长率的表达式是定义不等式（3）和等式（5）的直接结果，这是它们的动机。提议2。最大增长组合ν（1）存在且唯一。由ν（1）=σ给出-1·α +s- A.E= ν(0)+ σ-1· (α - a（e）。（17） 该投资组合的波动率σν（1）=S，（18）和增长率γν（1）=a+S- s=γν（0）+s- s. （19） 证据。ν（1）的唯一性伴随着矛盾：假设有第二个投资组合ξ，它也满足γξ=γν（1）。（20） 然后，考虑投资组合π（λ）π（λ）=λν（1）+（1）- λ) ξ ; （21）该投资组合的增长率为γπ（λ）=γν（1）+λ（1）- λ)ν(1)- ξ|· σν(1)- ξ, （22）对于任何λ，严格大于γν（1）∈ （0，1），除非ξ≡ ν（1），由于σ的非简并性。利用拉格朗日乘子导出了σ（1）的显式表达式。最后，ν（1）的波动率和增长率表达式直接遵循方程式（6）中的定义，这是他们的动机。引理2。

ν（0）和ν（1）的协方差等于ν（0）的方差。这一直接计算得出的观察结果可以解释为，通过ν（1）使增长率最大化有助于使投资组合暴露于特殊风险源，这与不可分散的股权风险（由最小方差投资组合表示）正交。2.3有效前沿定义2。设ν（p）表示插值ν（0）和ν（1）的单参数投资组合族：ν（p）=（1）- p） ν（0）+pν（1）。（23）提案3。对于每个投资组合波动率σ∈ [σν（0），σν（1）]，有一个使增长率最大化的唯一投资组合，其值由ν（p）给出∈ [0,1]其中σν（p）=σ。证据证明ν（p）是唯一最大化子的一种方法是使用ν（0）和ν（1）的显式公式来计算插值的组合等于ν（p）=σ-1·pα+s- a pE= ν（0）+pσ-1· [α - a e]，（24），这意味着其波动率等于σν（p）=p（1）- p） s+pS（25）及其增长率γν（p）=a+P-Ps-p+1- Ps、 （26）使用拉普拉斯乘数和ν（p）的显式表达式意味着它是使给定波动率的增长率最大化的投资组合。另一种显示相同结果的方法是通过差异投资组合ξ（p）、ξ（p）对最优投资组合η（p）进行参数化≡ η（p）- 所以ξ（p）必须满足以下两个条件：1。投资组合权重的标准化表示|·ξ（p）=0，（28）2。ν（p）和η（p）的投资组合方差相等意味着2ν（p）+ξ（p）|· σ·ξ（p）=0。（29）用等式（29）中等式（24）的显式表达式替换ν（p），并使用等式（28）意味着第二个条件与2pα|·ξ（p）+ξ（p）|·σ·ξ（p）=0等价。

（30）由于η（p）和ν（p）的增长率之差等于γη（p）- γν（p）=α|·ξ（p）=-2pξ（p）|σ·ξ（p）≤ 0，（31）ξ（p）的增长率最大≡ 引理3。有效边界在ν（0）处有一个有限的坡度，在ν（1）处有一个零坡度。证据这是评估的直接结果σν（p）p=pS- sσν（p）（32）和γν（p）p=（1）- p）s- s（33）在p=0和p=1.2.4风险调整收益率时，值得引入夏普比率[4]的SPT模拟值：假设存在一项基准投资，即无风险资产，其在零波动率下提供收益率b（在这种情况下，收益率和增长率相等）。然后，量化投资组合投资效率的一种方法是通过相对增长率除以相对波动率的比率：θπ≡γπ- bσπ。（34）在有效前沿的情况下，这个比率等于θp=a- b+P-Ps-p+1-Psp（1）- p） s+pS；（35）其取值范围为θ=a- 学士学位-s≤ θp≤ θ=a- B+S-党卫军。（36）2.5在有效前沿以下考虑两支股票，在不丧失普遍性的情况下，分别取指数1和2，并通过在它们之间插入权重x和1来构建投资组合π- 分别是x。其增长率等于凹函数γπ=xγ+（1- x） γ+x（1）- x） （σ+σ）- 2σ），（37），其最大值等于γ*π=γ+ γ+(γ- γ)2 (σ+ σ- 2 σ)+σ+ σ- 2σ，（38）atx*=+γ- γσ+ σ- 2 σ. （39）类似地，这两种股票组合的方差等于凸函数σπ=xσ+（1）- x） σ+2x（1）- x） σ，（40），最小值等于σ*π=σ(σ- σ)+ σ(σ- σ)+ 2 σ(σ- σ) (σ- σ)(σ+ σ- 2σ）（41）0.5 1 1.5 20.511.52σγ图1：σ=0（连续线），σ=-1（虚线）和σ=1（虚线）。我假设γ=，γ=2，σ=1和σ=4，并改变间隔[-1, 2].

所有直线在与标的股票相对应的两点相交。atx*=σ- σσ+ σ- 2 σ. （42）这些计算允许我们追踪两种股票组合的参数曲线，因为两种股票的相对权重不同，如图1所示。很明显，表现最差的长期投资组合是只投资增长率最低的股票的组合。类似地，仅在多头情况下的最大波动率是通过专门投资最具波动性的股票实现的。同样的论点可以递归地应用于两支以上的股票，这意味着只做多的投资组合的最低增长率是通过只投资表现较差的股票来实现的。类似地，只做多的投资组合的最大波动性是通过专门投资最具波动性的股票来实现的。另一方面，对于多空投资组合，增长没有下限，波动也没有上限。2.6波动率稳定的市场当模型参数不固定时，上述结果需要调整。其中一个最简单的扩展是当模型参数连续变化时，因此投资组合优化可以在一个不断更新的监视器中执行。作为这种情况的一个例子，考虑波动率稳定市场模型[5]的情况，其中ln Vi（t）=dWi（t）pui（t），（43），其中u是市场投资组合权重，即ui（t）≡Vi（t）Pnj=1Vj（t）。（44）该模型中的协方差矩阵等于σij=δijui，（45），其中δ是Kroneckerδ。其逆矩阵等于σ-1.ij=δijui，（46），最小方差组合等于ν（0）=u，（47），其中u是市场权重的列向量；ν（0）具有σν（0）=s=1，γν（0）=n的性质- 1.

（48）关于ν（1），由ν（1）=e给出+1.-Nu，（49）具有σν（1）=S=qD的性质-1.-1+ 4 - n、 γν（1）=4N+D-1.-1.- N- 4、（50）在哪里-1.≡Pni=1ui；（51）注意在表达式D中-1.-上标表示指数。2.6.1除熵加权投资组合外，考虑权重为ζi（t）=ui（t）（c）的唯一长期投资组合ζ- lnui（t））Z（u（t）），Z（x）≡ C-nXi=1xiln xi，（52），因为它在波动稳定市场理论中的作用[5]。其挥发性和生长速率为σζ=Pni=1uilnui+2 cz（u）- cZ（u），γζ=n c-Pni=1lnui2 Z（u）-σζ. （53）2.6.2 n=3个案例在所有可能的市场配置等式n=3中，最大的n，其中v（0）和v（1）都是长的。（54）在这种情况下，最大增长投资组合变成了简单的等权重投资组合，上述公式可以简化为ν（0）=u，σν（0）=1，γν（0）=1，（55）和ν（1）=（e）- u），σν（1）=qD-1.-1.- 5，γν（1）=D-1.-1.- 1.（56）D的最大值-1对于等权市场投资组合，出现了“和”。在这种情况下，最小波动率和最大增长率组合重合，有效前沿退化到一个点。此外，风险调整后的回报率等于（参见等式（63））θ=1- B（57）有效前沿由（σp，γp）=1给出+P- P9- D-1.-1.（58）其中p∈ [0,1]，它是通过只做多的投资组合实现的。3可变普遍性在模型参数（即漂移和波动率）以随机方式随时间变化的市场中，不可能像前一节那样进行长期优化。一般来说，最好的情况是参数不断变化，这样优化问题的解决方案也可以不断更新，如前一小节所述。这种情况可以在动态控制的框架内处理。

从数学角度来看，结果分析非常有趣；然而，以一种全新的方式将其融入实际的投资过程带来了巨大的挑战。尽管如此，在市场结构仅取决于各种证券等级的模型中，有可能恢复与市场投资组合绩效相关的长期优化问题。这是本节的主题。3.1模型和定义考虑比亚迪描述的Atlas模型[6]的一个版本ln Vi（t）=gri（t）dt+dXl=1ξri（t）ldWl（t），（59），其中ri（t）是股票i的排名（按市值降序排列；按字典顺序排列）。在这个市场模型中，股票定期交换其增长率和波动率，但排名参数是固定的。为了进行投资组合优化，我依赖于功能生成投资组合理论[8,2]。该理论采用的主要结果是，与市场投资组合相关的、按秩固定的投资组合π的绩效，πi（t）=pri（t），（60）由比亚迪lnVπ（t）Vu（t）=d ln Fp（u（·）（t））+dΘ（t），（61）给出，其中u（·）（t）=u（i）（t）ni=1是排名市场权重的向量，F是生成函数，F（x）=nYi=1xpii，（62）和dΘ（t）=γ*pdt+n-1Xi=1（pi+1- pi）d∧i（t），（63）式中γ*p=nXi=1piσ（ii）（t）-nXi，j=1pipjσ（ij）（t）; （64）最后，∧是连续排名市场权重[2,9]的当地时间，∧i（t）=∧lnu（i）-lnu（i+1）（t）。（65）Atlas模型的稳定性要求[2,3]g<0，g+g<0。g+…+gn-1<0，g+…+gn=0。（66）此外，《地方时报》对增长率[2,3]有一个简单的表述→∞∧i（T）T=-2iXj=1gj。（67）提案4。Limt给出了固定等级投资组合π相对于市场的长期表现→∞TlnVπ（T）Vu（T）= g |·p+γ*P