专家意见与多元函数的对数效用最大化

如果n=kN，那么γ-Nu∧NkNγNtkN-+ NβTγNtkN-+ NβT< ε/2 + NβT.多元股票收益的专家意见如果lN<kN，那么对于j=lN+1，kNit拥有kγNtj-k>ε/2。如上所述，我们得到了γ-NuCC+ε/2千牛-自然对数∧NlNγNtlN-+ NβT2C+εγNtlN-+ NβT2C+ε<ε/2+NβT2C+ε。我们可以选择对于所有N>N，NkββTk2C+εε<ε/2。然后对于所有N>N，kγNuk<ε。回想一下，对于所有t∈ [0，T]，上述定理表明，当[0，T]上的专家数量趋于一致时，在完全信息的情况下，协方差矩阵γe，nt和γC，nt收敛于协方差矩阵。由于协方差矩阵包含有关漂移估计器质量的信息，这意味着通过增加专家意见的数量，我们可以得到任意好的估计器。在这种情况下，我们是否有一个观察股票回报和专家意见的投资者，或者一个唯一信息来源是专家意见的投资者并不重要。注意，假设kΓ（N）kk 6 C表示所有N∈ N和k=0，N- 1是一种确保e xp e rts的漂移时间不会被任意限制的方法。相反，我们假设专家的可靠性达到最低水平。4有限时间范围内的渐近结果在下文中，除之前外，我们考虑有限时间范围T=∞. 通过本节，我们假设专家意见在t等距离时间点tk=k到达 对某些人来说 > 0和常数协方差矩阵Γ。我们的目的是推导出关于t在实际情况下的条件协方差矩阵γhtt的收敛性的一些结果。4.1仅返回观测首先，我们考虑γRt。

Wonham[26]和Kucera[12]中的以下定义在分析γ射线定义4.1的渐近行为时证明是有用的。如果一个矩阵的所有特征值都有负实部，我们称之为稳定矩阵。矩阵A，B的一对（A，B）∈ 如果存在矩阵L，则Rn×nis称为可稳定的∈ Rn×Nsucht表明A+BL是稳定的。如果存在矩阵F，则称为可检测∈ Rn×Nsch thatF A+B是s表。现在我们证明了，当t趋于完整时，γRc收敛到某个有限矩阵。这里，我们利用了Kucera[12]的结果。定理4.2。考虑与之前相同的模型，但时间范围T=∞.从任何初始协方差矩阵∑开始→∞γRt=γR∞对于有限正半有限矩阵γR∞. 此外，γR∞是代数Riccati方程的唯一正半定性解-αγ - γα+βT- γ（σσT）-1γ=0d。证据我们利用了Kucera[12]关于矩阵Riccati方程的综述文章中的结果。在对本文所考虑的微分方程进行简单的时间反演后，定理17指出微分方程的解P（t）ddtp（t）=-P（t）BBTP（t）+P（t）A+ATP（t）+CTC，P（t）=S，多元股票回报的专家意见→∞P（t）=P∞假设（A，B）是可稳定的，（C，A）是可检测的。定理5确保p∞是二次代数Ricca-ti方程的唯一正半定解-BBTP+PA+ATP+CTC=0d。在我们的模型中，γRt遵循动态DdtγRt=-αγRt- γRtα+βT- γRt（σ∑T）-1γRt，γ=∑。设τ表示矩阵的对称正定义根（σσT）-1，即τ=（σT）-1.因此，有必要证明：(-α、 τ）是可稳定的，且（βT，-α） 是可检测的。注意(-α) + τ(-Id）=-（α+τ）是对称的，这意味着它的所有特征值都是实的。

现在λmax-(α + τ)= -λmin（α+τ）6-λmin（α）+λmin（τ）< 0，其中我们使用了Horn和Johnson[11]中m 4.3.1理论中的Wey l不等式，以及α和τ都是正定义的事实。因此，公共关系(-α、 τ）是可稳定的。毛皮thermore，thematrix(-β） βT+(-α) = -（βT+α）也是对称的，λmax-（βT+α）= -λmin（βT+α）6-λmin（ββT）+λmin（α）< 0，我们再次使用了α的正不确定性和βT的正半确定性。因此，-α） 是可检测的。在一维情况下，我们得到了γR的显式公式∞, 见提案4.6 inGabih等人[9]。4.2返回观察结果和专家意见既然我们已经看到了γRTT趋于一致时的情况，我们考虑了γETA和γCt的渐近行为。引理4.3。假设专家意见到达等距离的时间点tk=k 对某些人来说 > 0，而Γk=Γ是某个常数的正微分∈ {E，C}。如果γHt-6γ-羟色胺-, 然后（γHtk-)k> 0和（γHtk）k>0是单调的非递减序列。如果γHt-> γ-羟色胺-,然后（γHtk-)k> 0和（γHtk）k>0是单调非递增的。证据我们首先考虑H=E的情况。假设对于某些k>1的情况，γEtk-1.-6γEtk-. 然后呢-1.-+ Γ6γEtk-+ Γ因此（γEtk-1.-+ Γ)-1> （γEtk）-+ Γ)-1.允许γEtk- γEtk-1=Γ（γEtk）-+ Γ)-1γEtk-- Γ（γEtk）-1.-+ Γ)-1γEtk-1.-=Γ - Γ（γEtk）-+ Γ)-1Γ-Γ - Γ（γEtk）-1.-+ Γ)-1Γ= Γ（γEtk）-1.-+ Γ)-1.- （γEtk）-+ Γ）-1.Γ>0d。将这个结果与引理2.3中的公式相结合，我们得出γEtk+1-- γEtk-=E-αγ埃克-α+Ztk+1tke-α（tk+1）-s） β-Te-α（tk+1）-s） ds-E-αγEtk-1e-α+Ztktk-1e-α（tk）-s） β-Te-α（tk）-s） ds= E-α（γEtk）- γEtk-1） e-α+ZeαsβTeαsds-ZeαsβTeαsds=e-α（γEtk）- γEtk-1） e-α> 0d。多元股票收益率的专家意见归纳起来是（γEtk-)k> 0和（γEtk）k>0是单调非递减的。

结果表明，在γEt-> γ-内皮素-以类似的方式进行。其次，我们考虑H=C的情况，并再次假设对于某些k>1，γCtk-1.-6γCtk-.如上所述，根据更新公式，γCtk-16γCtk。在引理2.5中，我们已经看到，在两个信息日期之间，γCt遵循dyna micsddtγCt=-αγCt- γCtα+βT- γCt（σ∑T）-1γCt。（8） 我们考虑时间间隔[tk]-1，tk）和[tk，tk+1）。在这两个区间，γCtk以相同的动力学演化，但对于初始值，我们有γCtk-16γCtk。由于微分方程（8）是Aricati方程，因此从Kucera[12]中的orem 10可以得出γCtk-1+h6γCtk+HF任何时间h∈ [0, ), 尤其是γCtk-6γCtk+1-. 从归纳的角度来看，可以得出（γCtk-)k> 0和（γCtk）k>0是单调的非递减序列。另一种情况下的证据也是完全相似的。在这些单调性假设下，我们可以证明序列（γHtk）的收敛性-)k> 0和（γHtk）k>0，当k进入单位时。提案4.4。让H∈ {E，C}。在引理4.3的假设下，假设-6γ-羟色胺-或γ-羟色胺-> γ-羟色胺-, 在Rd×dsuch thatlimk中存在有限矩阵Uh和Lh→∞γHtk-= UHand limk→∞γHtk=LH。证据通过引理4.3，序列（γHtk-)k> 0和（γHtk）k>0是单调的。从Lemma 2.3中回忆两个信息日期之间的时间，即t∈ [tk，tk+1）它保持γEt=e-α（t）-（tk）γEtk+Zttkeα（s）-tk）βTeα（s-tk）dsE-α（t）-tk=e-α（t）-tk）γEtke-α（t）-tk）+Zttke-α（t）-s） β-Te-α（t）-s） ds。因此对于任何t∈ [tk，tk+1）我们有DDTγEt=-αe-α（t）-tk）γEtke-α（t）-（tk）- E-α（t）-tk）γEtke-α（t）-tk）α- αe-α（t）-（tk）Zttkeα（s）-tk）βTeα（s-tk）dsE-α（t）-tk）+βT- E-α（t）-（tk）Zttkeα（s）-tk）βTeα（s-tk）dsE-α（t）-tk）α=-αγEt- γEtα+ββT。这是一个退化的Riccati微分方程，其中四次项消失。从定义4.1中可以看出(-α、 0d）是可稳定的。

因此，根据定理11 inKucera[12]，这个微分方程的解是有界的。因为在每个信息日期，命题2.4确保γEtk6γEtk-, 通过应用[12]中的定理10，我们可以得出一个矩阵M∈ Rd×dsuch，xTγEtx 6 xTMx用于ll x∈ rdt>0。根据命题3.2，γCt也是如此。因此，对于H∈ {E，C}，序列（γHtk-)k> 0和（γHtk）k>0是单调且有界的。因为它们是对称的，所以可以显示Limk→∞γHtk-= UHand limk→∞γHtk=lh，用于有限矩阵uh和LHin Rd×d。注：自γHt以来-= ∑，条件γHt-6γ-羟色胺-在∑=0d的特殊情况下，即初始漂移u已知的情况下，是微不足道的填充。多元股票收益率的专家意见对于d=1的一维情况，Gabih等人[9]的建议证明4.6表明，存在一些指数k>0，使得γE和γC在所有区间内增加[tk，tk+1）表示k>k。问题在于，当我们研究γEt和γCt的一些范数时，这个说法是否可以推广到多维情况。首先，我们可以证明存在一些k>0，使得γEt的谱范数，尤其是γCt，在所有时间间隔内都在增加[tk，tk+1）对于k>kif，我们假设单个股票独立演化。如果我们假设参数矩阵α、β和σσTas以及∑和Γar e对角矩阵，则情况就是这样。然而，当市场上有多个股票且不假设单个股票的独立性时，上述陈述通常是不正确的。可以找到在信息日期之间，中心标准不会变得单调。这种构造的基础是，多变量情况下Riccati微分方程解的范数不一定是单调的。例4.5。

我们考虑一些特定的模型参数，并绘制t的kγEtk∈ [0, 5]. 参数矩阵α、β和∑的选择方式如下：映射图t7→ k~γtkis不是单调的，其中矩阵~γt解普通矩阵微分方程ddt~γt=-α∧γt- ~γtα+ββt，~γ=∑。这只有在多元情况下才可能，因为在一维情况下，Riccati微分方程的解是单调的。现在通过选择合适的 和n个适当的协方差矩阵Γ，我们可以构造一种情况，其中γeti是一个周期函数。更详细地说，我想是这样 > 选择0时，应加上∧γ> γ，在这个例子中 = 1.Le t L=~γ和U=~γ. 现在我们要找到一个矩阵Γ和Γ（U+Γ）-1U=L。假设ua和L都是可逆的，则设置Γ=（L-1.- U-1)-1.如图2所示，通过选择表1中所述的参数，我们得到了一种情况，即kγEtk在信息日期之间是周期性的，而不是单调的。相反，γEt的标准值在每个间隔开始时略有下降，然后上升。为了得到kγEtk的周期解，必须选择的专家协方差矩阵Γ近似为5.68 4.52 7.584.52 3.75 6.187.58 6.18 10.37.注意，该矩阵的特征值约为0.05、0.11和19.65。这是一个极大协方差矩阵。

它对应的是一个投资者，他很好地估计了一些股票组合，但给出了与最大特征值的特征向量相关的一些特定股票组合的模糊估计。α =2.34-1.27 1.50-1.27 1.06 -1.431.50 -1.43 3.16β =1.32-0.53 0.12-0.53 1.30 -0.350.12 -0.35 0.96Σ=0.44-0.05-0.09-0.05 0.93 0 .16-0.09 0.16 0 .27表1：示例4.5的模型参数对于观察股票收益和专家意见的投资者，可以采用与示例4.5相同的结构。多元股票回报专家意见0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4.5 50.20.40.60.8← 克莱克← kUEkkγEK图2：例4.5例4.6中kγEtk的开发。图3给出了一个周期函数映射t到kγCtk的例子，其中信息日期之间的范数不是单调的。表2列出了本例的基础模型参数s。在本例中，我们绘制了矩阵γc在三年时间内的范数，其中假设两个信息日期之间的时间跨度代表一年。在这里，范数在任何时间间隔的开始处轻微增加，然后甚至在低于其起始值时减少，最后再次增加。特别是，在本例中，它不提供LIM inft→∞γCt= 林克→∞γ-Ctk.所得专家协方差矩阵Γ的计算方法与示例4.5中的相同。差不多是这样10.30 8.44 -2.668.44 7 .06 -2.30-2.66-2.30 0.82.我们再来看看Γ的特征值。它们分别约为0.02、0.17和17.99。可以观察到与例4.5相同的现象。其中一个fΓ的特征值明显大于其他特征值，这对应于一位专家，他非常精确地估计了股票的某些组合，至少有一个相当不精确。

专家无法估计的股票组合由最大特征值的特征向量给出。α =1.36-2.04 0.75-2.04 3.31 -0.810.75 -0.81 0.94β =1.37 0 .20 -0.390.20 0 .82 -0.02-0.39-0.02 0.45σ =0.08-0.13 0.15-0.07-0.10 0.130.12 0 .04 0.04Σ=0.19 0 .11 -0.030.11 0 .11 -0.01-0.03-0.01 0.03表2：示例4.60 0.5 1 1.5 2 2.5 30.2650.270.275的模型参数← 笨蛋← kUCkkγck图3：例4.6中kγCtk的发展多元股票收益的专家意见下一个引理确定了一组参数，可以证明nor mofγEt的行为与一维情况下的γEt一样。在下文中，letGh=e-αhLE+ZheαsβTeαsdsE-αh或h∈ [0, ], 特别是G=LEand G= 嗯。然后它保持SDDHGH=e-αh-阿尔法勒- LEα+βTE-αh引理4.7。假设α=Aid，其中a是一个正实数。在极限矩阵UE和LEexist的假设下，-阿尔法勒- LEα+ββ为阳性半定义。证据注意，矩阵-阿尔法勒-LEα+ββ是对称的。假设它有一个负的eig值。让v∈ Rdbe是对应于特征值θ<0的归一化d特征向量，即vT-阿尔法勒- LEα+βTv=θ<0。定义f:[0，] → R、 h 7→ vTGhv。Thenf′（h）=vTe-αh-阿尔法勒- LEα+βTE-αhv。因此，vtuev- vTLEv=vTG五、- vTGv=f() - f（0）=f′（h）*)有一段时间*∈ (0, ) 根据中值定理。Nowf′（h）*) = vTe-αh*-阿尔法勒- LEα+βTE-αh*v=e-2ah*及物动词-阿尔法勒- LEα+βTv=e-2ah*θ.因此，vTUEv- vTLEv=e-2ah*θ < E-2aθ < 但这与LE6 UE是矛盾的。所以-阿尔法勒- LEα+ββ为阳性半定义。我们还需要（γEtk+h）k的一致收敛性∈引理4.8。让命题4.4中的假设得到充分满足。特林克→∞最大值嘘∈[0,)γEtk+h- 生长激素,γEtk+1-- G= 0.证明。正如在第4.4条提案的证明中一样，它是站不住脚的→∞γEtk+h=所有h的GH∈ [0, ) 还有limk→∞γEtk+1-= G.

设ε>0和＠k∈ N带kγEtk- LEk<ε表示所有k>k.然后表示所有h∈ [0, ) 我们有γEtk+h- 生长激素=E-αh（γEtk）- LE）e-αhE-αhγEtk- LE公司< ε表示所有k>~k。同样适用于kγEtk+1-- Gk、 下面是声明。利用前面的引理，我们可以证明，在假设α=Aid的情况下，当k趋于完整时，kγEtk在tk和tk+1之间的任何下降高度都变为零。多元股票回报的专家意见建议4.9。让Lemm a 4.7的假设得到充分满足。设ε>0和fix时间点0<h<h<. 然后存在一些k∈ N这样γEtk+h>γEtk+h- ε表示所有k>k证明。假设存在一些ε>0和0<h<h< 以及一个递增序列（kn）∈N和limn→∞kn=∞ 以至于γEtkn+h<γEtkn+h- ε表示所有n∈ N.定义函数gn:（0，) → R、 h 7→ kγEtkn+hk表示n∈ 那么-ε >γEtkn+h-γEtkn+h= gn（h）- gn（h）=g′n（h）*n） ·（h）- h） =vTn-αγEtkn+h*N- γEtkn+h*nα+βTvn·（h）- h） 有一段时间*N∈ （h，h），其中vn表示γEtkn+h的最大特征向量的归一化特征向量*n、 但无论如何∈ NvTn-αγEtkn+h*N- γEtkn+h*nα+βTvn<-εh- h、 这是一个矛盾的统一收敛-αγEtk+h- γEtk+hα+ββTto-α-生长激素- Ghα+βT=e-αh-阿尔法勒- LEα+βTE-αH为正的s emide。根据前面的引理，我们可以特别得出结论，在给定的假设下→∞γ-内皮素=LE公司和林苏普→∞γ-内皮素=UE.与spectr al或m类似，对于γEt和γCt，都存在参数集，其Fro-benius范数在信息日期之间不会变得单调。然而，当考虑γEt平方根的Frobenius或m时，我们可以证明渐近界。为此，请注意（γEt）1/2的Frobenius范数的平方是γEt的变换。定理4。10.仅考虑专家意见的情况，并假设存在极限矩阵。

然后我们有了信息→∞trγ-内皮素= 林克→∞trγEtk,林监督→∞trγ-内皮素= 林克→∞trγEtk-.证据我们首先注意到，在信息日期之间的所有时间，γETI的踪迹都与DDTTR不同γ-内皮素=ddtdXi=1γ-内皮素ii=dXi=1-αγEt- γEtα+βTii=tr-αγEt- γEtα+βT= -2 trαγEt+ trβT.因此，迹的导数是非负的当且仅当tr（αγEt）6tr（ββT）。现在，让（~γEt）t>0为矩阵Riccati微分方程的解ddt~γEt=-α∧γEt- ~γEtα+ββT，~γE=∑。多元股票收益率的专家意见指出γe遵循与γe相同的动态，但我们认为γe没有更新。如定理4.2所示，它遵循Kucera[12]thatlimt中的定理M17→∞~γEt=~γE∞式中γE∞∈ Rd×dis是对称正半定解-α∧γE∞- γE∞α+βT=0d。因此，我们也有tr(-α∧γE∞- γE∞α+βT）=0，即tr（αγe）∞) =tr（βT）。在下文中，我们证明了∧γE的最小特征值的渐近界∞- γEtk+hwhere h范围从0到 然后k进入到单位。为了避免繁琐的符号，我们将编写γEtk+当实际值为γEtk+1时-, i、 e.更新发生前协方差矩阵的极限。使用Weyl’sinequality，例如Horn and Johnson[11]中的orem 4.3.1中所述，我们将tminh∈[0,]λminγE∞- γEtk+h= 明∈[0,]λminγE∞- 生长激素+生长激素- γEtk+h> 明∈[0,]λminγE∞- 生长激素+ λmin生长激素- γEtk+h> 明∈[0,]λminγE∞- 生长激素+ 明∈[0,]λmin生长激素- γEtk+h.现在我们使用∧γE∞= 极限→∞γEt=limk→∞~γEtk+手部Gh=limk→∞γEtk+HF适用于任何h∈ [0, ] 以及γEt6γEt对于所有t>0的事实。这源于Kucera[12]中的定理10，以及引理4.3和命题4.4。结合这些结果，我们得到了XTγE∞- 生长激素x=limk→∞xTγEtk+h- γEtk+hx>0表示所有x∈ RDH和h∈ [0, ]. 当然，明∈[0,]λminγE∞- 生长激素> 在L emma 4.8中，我们得到了（γEtk+h）k的一致收敛性∈N