专家意见与多元函数的对数效用最大化

只有完全知情的投资者才能观察漂移过程（ut）∈[0，T]直接。其他投资者没有观察到这种趋势，但必须根据他们可以获得的信息进行估计。让我们来看看FHH∈ {R，E，C}是前一小节中定义的隐藏投资者过滤。在均方意义下，部分信息下漂移utat时间t的最佳估计器是条件经验^uHt=E[ut | FHt]。这些估计器也称为滤波器，本小节的目的是找到描述其动态的滤波方程。此外，我们还研究了条件协方差矩阵γHt=E（ut）- ^uHt）（ut- ^uHt）TFHt对于H∈ {R，E，C}这是一种度量u与其过滤器^uhHT之间距离的方法。拥有部分信息的投资者无法直接观察到趋势。我们考虑的第一位投资者的唯一信息来源是回报过程，这意味着FRI是投资者过滤的正确来源。引理2.2。过滤器^uRt遵循动态D^uRt=α（δ- ^uRt）dt+γRt（σσT）-1（dRt）- ^uRtdt），其中γrti是普通微分方程的解ddtγRt=-αγRt- γRtαT+βT- γRt（σ∑T）-1（γRt）T。初始值为^uR=mandγR=∑。证据这种动态立即来自著名的卡尔曼滤波器，例如，见Liptser和Shir yaev[15]的orem 10.3。注意，γRt遵循一个普通的微分方程，称为Riccati方程，因此具有确定性。通过定义，γrti是对称正半定义。在一维情况下，可以写出一个普通微分方程的封闭形式的解，该解可导出γRt的显式形式，见Gabih等人[9]中的等式（3.3）。在多维情况下，我们没有γRtin-general的这种显式形式。

我们将利用Riccati微分方程的基本性质，如Bucy[4]、Kucera[12]、Martensson[16]和Wonham[26]等。作为下一步，我们考虑一个过滤为FE的投资者，这意味着她知道专家的意见，但不观察股票回报。引理2.3。（i） 让我们∈ [0，T]并用k表示最大指数j，如tj6t，然后T∈ [tk，tk+1）或在k=N的情况下- 1.我们没有∈ [tN-1，T]，它认为^uEt=e-α（t）-tk）μEtk+身份证件- E-α（t）-（tk）δ、 γEt=e-α（t）-（tk）γEtk+Zttkeα（s）-tk）βTeαT（s-tk）dsE-αT（T-tk）。这里，Id表示信息日期tk，k=0，…，的单位矩阵，单位为Rd×d.（ii），N- 1，我们得到了公式^uEtk=∧Ek^uEtk-+ （Id）- ∧Ek）Zk，γEtk=∧EkγEtk-.这里，∧Ek=Γk（γEtk-+ Γk）-1.我们设定^uE0-= mandγE0-= Σ.多元股票回报的专家意见。（i） 注意，我们可以将漂移utat时间t写成ut=δ+e-α（t）-（tk）utk- δ+Zttkeα（s）-tk）β-dBs.此外，TK和t之间没有传入信息，因此FEt=FEtk。因此，μEt=E[μt | FEt]=E[μt | FEtk]=Eδ+e-α（t）-（tk）utk- δ+Zttkeα（s）-tk）β-dBs费克= δ+e-α（t）-（tk）^uEtk- δ+EhZttkeα（s-tk）β-dBsi= E-α（t）-tk）μEtk+身份证件- E-α（t）-（tk）δ、 在这里，我们使用了随机积分与费特无关，并且它的期望值为零。对于条件协方差矩阵，我们得到γEt=E（ut）- ^uEt）（ut- ^uEt）T场效应晶体管= E“δ+e-α（t）-（tk）utk- δ+Zttkeα（s）-tk）β-dBs- ^·δ+e-α（t）-（tk）utk- δ+Zttkeα（s）-tk）β-dBs- ^T场效应晶体管#。当插入刚刚证明的^uett公式时，有些术语会取消。

剩下的条件期望就可以写成asE了E-α（t）-tk）（utk- ^uEtk）+e-α（t）-tk）Zttkeα（s）-tk）β-dBs·E-α（t）-tk）（utk- ^uEtk）+e-α（t）-tk）Zttkeα（s）-tk）β-dBsT场效应晶体管.该产品的扩展E-α（t）-tk）（utk- ^uEtk）（utk- ^uEtk）Te-αT（T-（tk）场效应晶体管+ EE-α（t）-tk）（utk- ^uEtk）Zttkeα（s）-tk）β-dBsTe-αT（T-（tk）场效应晶体管+ EE-α（t）-（tk）Zttkeα（s）-tk）β-dBs（utk）- ^uEtk）Te-αT（T-（tk）场效应晶体管+ EE-α（t）-（tk）Zttkeα（s）-tk）β-dBsZttkeα（s）-tk）β-dBsTe-αT（T-（tk）场效应晶体管= E-α（t）-tk）γEtk+EZttkeα（s）-tk）β-dBsZttkeα（s）-tk）β-dBsT!E-αT（T-tk）。在最后一步中，由于独立性，混合条款取消。对于剩下的预期，我们可以证明Zttkeα（s）-tk）β-dBsZttkeα（s）-tk）β-dBsT=Zttkeα（s）-tk）βTeαT（s-（tk）DSA，索赔如下。（ii）对于信息日期的更新公式，我们将情况解释为具有时间点tk的退化离散时间卡尔曼滤波器- 还有tk。根据Elliott中的公式（5.12）和（5.13），多变量股票收益的专家意见Saggoun和Moore[6]我们得到^uEtk=^uEtk-+ γEtk-（γEtk）-+ Γk）-1（Zk- ^uEtk-)=身份证件- γEtk-（γEtk）-+ Γk）-1.^uEtk-+ γEtk-（γEtk）-+ Γk）-1Zk=∧Ek^uEtk-+ （Id）- 条件期望的∧Ek）zk和γEtk=E[（utk）- ^uEtk）（utk- ^uEtk）T |FEtk]=γEtk-- γEtk-（γEtk）-+ Γk）-1γEtk-=身份证件- γEtk-（γEtk）-+ Γk）-1.γEtk-= ∧EkγEtk-对于条件协方差矩阵。以下是信息日期过滤器和条件协方差矩阵的更新公式。

或者，我们也可以计算估计器^uEtk及其条件协方差矩阵，作为^uEtk的贝叶斯更新-给定N（utk，Γk）分布的专家意见Zk，参见Shiryaev[24]中的定理II.8.2。从前面引理的第二部分可以看出，在信息日期tkt，filter^uEtkis是filter^uEtk的加权平均值-在更新之前，请与专家o Zk联系。矩阵Γk上的相应权重，该矩阵是专家小齿轮的共变矩阵。提议2.4。固定k∈ {0，…，N- 1} 它持有γEtk6Γ和γEtk6γEtk-.证据使用γEtk的更新公式，并通过Γkwe展开一项，得到γEtk=Γk（γEtk）的表示形式-+ Γk）-1γEtk-= Γk（γEtk）-+ Γk）-1（γEtk）-+ Γk- Γk）=Γk- Γk（γEtk）-+ Γk）-1Γk.自（γEtk）-+ Γk）-1.对称正定义存在一些矩阵AK，例如（γEtk-+Γk）-1=AkATk。然后是Γk（γEtk）-+ Γk）-1Γk=ΓkAkATkΓk=ΓkAk（ΓkAk）t通过Γk的对称性。因此，Γk（γEtk-+ Γk）-1Γkis是产生γEtk6Γk的对称正sémide fine。同样，在加和减γEtk时-相反，γEtk=Γk（γEtk-+ Γk）-1γEtk-= （Γk+γEtk）-- γEtk-)（γEtk）-+ Γk）-1γEtk-= γEtk-- γEtk-（γEtk）-+ Γk）-1γEtk-.如上所述，我们还可以证明γEtk-（γEtk）-+ Γk）-1γEtk-是正半限定，因此γEtkγEtk-.到目前为止，我们将弗兰德·费斯视为投资者。然而，市场上理性的投资者会使用所有可用的信息。因此，我们最感兴趣的案例是投资者过滤，其中包括回报观察和专家意见。滤波器^uC和条件协方差矩阵γC的公式可以类似于仅返回观测或仅经验意见的情况推导。引理2.5。多元股票收益的专家意见（i）Let t∈ [0，T]并用k表示最大指数j，使得tj6 T在T=T的约定下。

那么对于t∈ [tk，tk+1）它保持μCt=α（δ- ^uCt）dt+γCt（σσT）-1（dRt）- ^uCtdt），其中γctt遵循普通微分方程ddtγCt=-αγCt- γCtαT+βT- γCt（σ∑T）-1（γCt）T。初始值分别为μuCtk和γCtk。（ii）信息日期tkare^uCtk=∧Ck^uCtk的更新公式-+ （Id）- ∧Ck）Zk，γCtk=∧CkγCtk-,式中∧Ck=Γk（γCtk-+ Γk）-1.在这里，我们设置^uC0-= mandγC0-= Σ.证据（i） 在两个信息日期之间，没有其他专家到达。因此，只有回归观察有助于过滤，这意味着FCt=FCtk∨ σ（Rs | tk<s6t）。因此，在[tk，tk+1]中，k=0，…，N- 2和[tN]-1，T]我们处于卡尔曼滤波器的标准状态。动力学遵循引理2.2。（ii）在信息日期tkwe使用退化离散时间卡尔曼滤波器或贝叶斯upda te公式，如引理2.3的证明。对于观察股票回报和专家意见的投资者，命题2.4的结果也可以以类似的方式进行陈述。提议2.6。固定k∈ {0，…，N- 1} 它持有γCtk6Γ和γCtk6γCtk-.证据该证明使用引理2.5中的更新公式，并与命题2.4的证明类似。为完整起见，我们将完整信息的情况视为最后一种情况，即投资者过滤为FF=G。这种情况对应于能够直接观察漂移过程的投资者。这种情况在实践中不会发生。然而，我们将其视为参考案例，将其与其他信息设置进行比较。很明显，在这种情况下，^uFt=E[ut | FFt]=uandγFt=E[（ut- ^uFt）（ut- ^uFt）T | FFt]=所有T∈ [0，T]。这里，0dDenotes在条件协方差矩阵的Rd×d.3性质中的零矩阵我们已经看到，对于任何一种情况∈ {R，E，C，F}滤波器的条件协方差矩阵γHt是确定性的。

由于它提供了有关过滤器质量的信息，作为漂移的估计，我们有兴趣说明γHt的一些性质。假设3.1。在第3节和第4节中，我们认为α是对称的正定义矩阵，ββ也是正定义矩阵。对于H∈ {R，E，C，F}人们可以很容易地证明E[uHt（uHt）T]=E[uTuTt]- γHt=∑t+mtmTt- t的γHt（1）∈ [0，T]。这种等式将有助于将滤波器与其协方差矩阵连接起来。多元股票回报的专家意见3。1不同投资者的比较首先，我们将观察回报和专家观点的投资者的协方差矩阵与仅能获得其中一种信息来源的投资者的协方差矩阵进行比较。可以预期，额外的信息会对漂移ut.命题3.2产生更精确的估计。尽管如此，t∈ [0，T]我们有不等式γCt6γrta和γCt6γEt的证明。修理一些x∈ Rd.我们使用的事实是，对于任何随机变量X和σ-代数H，条件期望E[X | H]是X的最佳均方估计，这意味着（十）- E[X | H]）6 E（十）- Y）对于所有H-mea可测随机变量Y。现在，xTγCtx=xTE（ut）- ^uCt）（ut- ^uCt）TFCtx=ExT（ut）- ^uCt）（ut- ^uCt）TxFCt= ExT（ut）- ^uCt）FCt= ExTut- E[xTut | FCt]FCt.自第一次 fct对于所有的t>0，它遵循[xTγCtx]=ExTut- E[xTut | FCt]6 ExTut- E[xTut | FRt]= E[xTγRtx]。我们已经知道γcta和γrta是确定性的，因此xTγCtx 6 xTγRtx。第二个不等式xTγCtx 6 xTγEtx的证明完全类似。现在，我们已经为市场上不同的投资者确定了过滤方程，并说明了条件协方差矩阵的一些第一属性，我们来简要地看看γHTH的动力学∈ n个例子中的{R，E，C}。例3.3。

我们假设我们有一个一年的投资水平，每个月都有相等的专家意见，对应于s=12。我们考虑一个d=3只股票且m=d的金融市场。漂移动力学的模型参数为α=0.11-0.48 0.65-0.48 2.28 -3.060.65 -3.06 4.18和β=0.87-0.53-0.22-0.53 0.87 -0.02-0.22-0.02 0.29,矩阵σ=0.09-0.13 0.160.14 0.03 -0.170.05 -0.13-0.06和∑=0.16 0.12 0.010.12 0.19 -0.040.01 -0.04 0.27分别是收益的波动性矩阵和u的协方差矩阵。专家的可靠性由协方差矩阵Γk给出=1.14 0.15 0.580.15 1.67 -0.730.58 -0.73 2.67对于每个k=0，N- 1，尤其是专家估计值的协方差矩阵不依赖于当前时间点。在图1中，针对上述参数，绘制了γRt、γE和γCTA的光谱规范与时间的关系图。对于只观察股票收益的投资者，我们可以看到γRt的谱范数从k∑k开始，似乎随着t的增加而收敛到某个值。注意，映射t7→ kγRtk不是单调的，一维情形除外。当观察只观察专家意见的投资者时，人们会意识到，在每个信息日期，多元股票收益率的专家意见都会减少。这是由于我们在命题2.4中所展示的。对于大k，我们看到在信息日期tk和tk+1之间γt的范数增加。γEtk的范数和γEtk的范数-近似某个固定值。对于观察股票收益和经验的投资者，我们发现γC的范数始终低于γR的nor m o和γEt的范数。与仅针对专家意见的情况一样，范数在每个信息日期都会降低，见命题2.6。

此外，还讨论了γCtk的范数和γCtk的范数-似乎是收敛的，而且对于所有的k大值，范数在信息日期tk和tk+1.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.20.30.4k∑k之间严格增加→kγRkkγEkkγCK图1:t用kγHtk的开发∈ [0，T]，H∈ {R，E，C}，在例3.33.2中，越来越多的专家意见的渐近性我们现在要解决的问题是，当专家意见到达确切的日期时，会发生什么。显然，当增加专家意见的数量，使任意两个信息日期之间的时间变为零时，我们可以任意准确地估计漂移过程，至少在我们假设专家的可靠性达到最低水平时是如此。Gabih等人[9]的命题4.3证明了金融市场中一只股票的相应陈述。在一个有d个股票的市场中，结果形式化为以下定理。定理3.4。设0=t（N）<t（N）<·t（N）N-1<T是区间[0，T]的一系列划分。为了缩短符号，我们将t（N）N=t表示所有N。假设对于网格大小N=maxk=1，。。。，Nt（N）k- t（N）k-1.我们有limN→∞N=0。用Γ（N）k表示，k=0，N- 1，t（N）k时专家意见的协方差矩阵，并假设存在一些C>0，使得对于所有N∈ N、 k=0，N- 1，它持有kΓ（N）kk6c，并且Γ（N）=Γ不依赖于d∈ （0，T]与这些专家意见完全一致的条件协方差矩阵γE，nuan和γC，nut→∞γE，Nu= 画→∞γC，Nu= 0.证明。通过证明，我们写出了任意对称矩阵A的最大和最小特征值的λmax（A）和λmin（A）。这是很好的定义，因为对称矩阵的所有特征值都是实数。

此外，由于kAk是fATA最大特征值的平方根，我们可以得出结论，对于对称正半限定矩阵A，它保持kAk=λmax（A）。首先，我们注意到γC，Nu= λmax（γC，Nu）=vTγC，nuvvvt多元股票收益的专家意见对于γC的特征向量v，Nuto特征值λmax（γC，Nu）。现在，根据命题3.2vTγC，nuvvvtγE，nuvvvv6 maxx∈Rd，x6=0xTγE，NuxxTx=λmax（γE，Nu）=γE，Nu.因此，必须证明γE，Nu的说法。为了缩短符号，我们在下面为γE写γnu。我们还为时间点t（N）k编写tk，记住对N的依赖性。让N∈ N和k∈ {0，…，N- 1}. 无论如何∈ [tk，tk+1）我们已经在引理2.3中证明了γNt=e-α（t）-tk）γNtke-α（t）-tk）+Zttke-α（t）-s） β-Te-α（t）-s） ds。（2） 回想一下，我们假设α是一个对称的正定义矩阵。在信息日期，更新由γNtk=λNkγNtk给出-, 式中∧Nk=Γ（N）kγNtk-+ Γ（N）k-1.由于次乘法性，在（2）满填充中第一个和的谱范数E-α（t）-tk）γNtke-α（t）-（tk）E-α（t）-（tk）γNtkE-α（t）-（tk）. （3） 因为α是对称的正定义，对于矩阵指数的谱，它保持σ（eα）={eλ|λ∈ σ（α）}，我们可以得出结论，eα也是对称的正定义。因此E-α（t）-（tk）=λmin（eα（t-tk）=minλ∈σ（α）eλ（t）-tk）=eλmin（α）（t-tk）6.1。将其与（3）的产量相结合E-α（t）-tk）γNtke-α（t）-（tk）γNtk. （4） 通过同样的论证，我们可以得出第二次求和的范数在（2）中Zttke-α（t）-s） β-Te-α（t）-s） dsZttkE-α（t）-（s）βTE-α（t）-（s）dsβT（t）- tk）6βTN.这一点，连同（4）项，适用于任何t∈ （0，T]与T∈ [tk，tk+1）那γNtγNtk+ NβT=∧NkγNtk-+ NβT. （5） 注意，由于βTis阳性定义了矩阵γNtk-对于所有的k>1都是可逆的。通过我们对网格大小的假设，我们可以得出任何t∈ （0，T）T>T=T（N）对于所有N个较大的值。

（5）c中的第一个总结可以写成∧NkγNtk-=Γ（N）kγNtk-+ Γ（N）k-1γNtk-=Γ（N）khγNtk-Id+（γNtk）-)-1Γ（N）k我-1γNtk-=Γ（N）kId+（γNtk）-)-1Γ（N）k-1.=Γ（N）kh（Γ（N）k）-1+（γNtk）-)-1.Γ（N）ki-1.=（Γ（N）k）-1+（γNtk）-)-1.-1.=λmin（Γ（N）k）-1+（γNtk）-)-1..多元股票收益的专家意见斯维尔定理，例如霍恩和约翰逊[11]中的定理4.3.1，表明对于任何对称矩阵A和B，我们有不等式λmin（A+B）>λmin（A）+λmin（B）。这意味着λmin（Γ（N）k）-1+（γNtk）-)-1.λmin（Γ（N）k）-1.+ λmin（γNtk）-)-1.=kΓ（N）kk+kγNtk-k=Γ（N）kγNtk-Γ（N）k+γNtk-抄送+γNtk-γNtk-,当我们使用kΓ（N）kk6c时，将其插入（5）中，我们γNt抄送+γNtk-γNtk-+ NβT. （6） 接下来，我们迭代（6）以获得γNtkYj=1抄送+γNtj-γN+ NβTkXj=0jYl=1抄送+γNtk+1-L-.设置LNk=maxj=1，。。。，KCC+kγNtj-K, 我们得出结论γNt6（LNk）kγN+ NβTkXj=0（LNk）j.（7）现在让u∈ （0，T]和ε>0.对于所有N∈ N让kNdenote为你的∈ [tkN，tkN+1），或者，在u=T的情况下，设kN=N。假设所有N∈ 有一些γNt-, . . . ,γNtkN-> ε/2.那么对于所有的j=1，针织套衫+γNtj-CC+ε/2，因此LNKCC+ε/2。现在，等式（7）意味着γNtkN-CC+ε/2千牛-1.γN+ NβT千牛-1Xj=0CC+ε/2JCC+ε/2千牛-1.γN+ NβT2C+ε。因为我们对网格大小的假设意味着limN→∞kN=∞ γN=Γ（∑+Γ）-1∑不依赖于N，当N趋于一致时，这个不等式的右边变成zero。所以这里有一些∈ N使得对于所有N>Nit的情况，都保持kγNtkN-k<ε/2。这与我们的假设相矛盾。因此，有一些N∈ 因此，对于所有N>N，都存在一些指数1 6 lN6 knw和kγNtlN-k<ε/2。我们用Ln表示最大指数小于或等于该性质的KNW。