经济环境变化下储能设施的最优控制

[21]，其中扩散系数需要一致非退化的条件被扩散系数和漂移不连续的超曲面之间几何关系的条件所取代。他们的证明扩展了ideafrom Zvonkin[42]，然而，不要求系数有界，也不要求漂移增加。Leobacher等人[21]考虑时间均匀的SDE。我们将Leobacher等人[21]的结果推广到时间不均匀的情况，在这种情况下，系数的条件可以放宽。Leobacher和Sz"olgyenyi[18]将Leobacher等人[21]的结果推广到一维环境。对于具有不连续漂移和可能退化扩散系数的时间齐次SDE，最普遍的结果是Leobacher和Sz"olgyenyi[19]，这是Leobacher和Sz"olgyenyi[18]对多维SDE的推广。证明d维SDE（12）具有唯一的全局强解等价于证明DXT=α（Xt）dt+β（Xt）dWt，X=（X，0），（13）具有唯一的全局强解，其中α：Rd×R+-→ Rd+1，αi=αifor i=1，d、 和αd+1≡ 1，β：Rd×R+-→ R（d+1）×d，其中βij=i的βij，j=1，d、 和β（d+1），j≡ 0表示j=1，d、 研究系统（13）而不是（12）似乎有点艺术化，但我们希望应用[21]的结果，因此必须将我们的问题融入其中。假设4.1。考虑一个函数f:Rd×R+-→ R（f1）f∈ C3,5,3（R×Rd）-1×R+；（f2）|Fx |>0。在这些假设下，存在e∈ C3,5,3（R×Rd）-1×R+）使得e（f（x，t），x，xd，t）=x，f（e（u，x，…，xd，t），x，xd，t=u。稍后，我们将允许α沿超曲面{（x，t）不连续∈ Rd×R+：f（x，t）=0}。为此，我们定义了α（u，x，…，xd，t）=Ft+dXi=1αi（u，x。

，xd，t）Fxi+dXi，j=1（ββ>）ijFxiαi（u，x，…，xd，t）=αi（u，x，…，xd，t），i=2，d+1，^β1j（u，x，…，xd，t）=dXi=1βijFxi，j=1，d，^βij（u，x，…，xd，t）=βij，i=2，d+1；j=1，d，（14）和d^Xt=^α（^Xt）dt+^β（^Xt）dWt，^X=（f（X，t），X，xd，t），（15），其中所有缺少的参数都是（e（u，x，…，xd，t），x，xd，t）。我们做出以下假设：假设4.2。Let（c1）β∈ C1,3,2（R×Rd）-1×R+；（c2）β是指^β是Lipschitz；（c3）f（x，t）·β（x，t）≥ 对于某些常数c和所有（x，t）c>0∈ Rd×R+；（c4）α存在函数α+，α-∈ C1,3,2（R×Rd）-1×R+，使得α（u，x，…，t）=α+（x，x，…，t）如果f（x，t）>0α-（x，x，…，t）如果f（x，t）<0；（c5）α，β满足线性增长，即存在常数c，c≥ 使得k^α（x，t）k+k^β（x，t）k≤ c+ckxk。备注4.3。f和系数α、β的下列条件意味着假设4中的（c2）和（c5）项。2等一下。然而，假设4.1和4.2对系数的限制条件较少（14）。（f3）F对于i=1，…，xi是有界的和Lipschitz，d、 存在常数c，c>0，使得kFt（x，t）k≤c+ckxk；（f4）存在常数c，c>0，使得kFxixj（x，t）k≤ 对于所有i，j=1，D（c2’）β是有界的和Lipschitz；（c5’）α满足线性增长，即存在常数c，c≥ 使得kα（x，t）k≤ c+ckxk。备注4.4。假设4.2（c3）是一个关键条件，在退化扩散系数β的情况下，它具有良好的几何解释。这意味着扩散不能平行于漂移不连续的超曲面。我们参考[21]了解更多细节。定理4.5。假设4.1和4.2成立。

然后（13）有一个独特的全局强解。关于证明，我们参考附录A.5储能过程的应用。现在，我们应用第4节的结果来证明第2节研究的储能优化问题的阈值策略的可接受性。我们在数值研究中考虑了D=2的情况，以获得更多的直观性，但注意到第4节的结果也可以应用于一般情况。由此产生的策略的可接受性问题归结为基础过程是否存在的问题，或者等价地，描述基础过程的SDE系统是否有解决方案的问题。在第4节的注释中，使用π=1- π、 该系统具有以下形式dxt=α（Xt，t）dt+β（Xt，t）dWt，（16）α（Xt，t）=κμπt+u（1- πt）+K（t）- 圣u（Qt）1{St≥s（St，Qt，πt，t）}+u（Qt）1{St≤s（St，Qt，πt，t）}λπt- λ(1 - πt）, β（Xt，t）=σ 0 00 0 0κσ(u- u）πt（1）- πt）0,X=（S，Q，π）>，X=（S，Q，ν）>，W=（B，W，W）>是一个三维标准布朗运动。通过第二节的研究，我们得出最优控制可以达到三种状态，即售能状态、等待状态和购能状态。s、 s描述了最佳充电率在这些状态之间切换时的临界能源价格。为了应用我们的存在唯一性结果，我们需要以下关系：≥ s（St，Qt，πt，t）<=> 圣≥ b（Qt，πt，t），St≤ s（St，Qt，πt，t）<=> 圣≤ b（Qt，πt，t），其中b，b是策略在状态之间切换的结果级别，即切换级别实际上是（q，ν，t）的函数。

在图8中，b是绿色和蓝色区域之间的边界，b是绿色和红色区域之间的边界。图8：切换级别b和b。理论上，可以通过应用隐函数定理证明函数b和b的存在，其中关键条件是ss- 1 6= 0,ss- 1 6=0，或等价于（s，q，ν，t）的Vsq6=1∈ R×[q，q]×[0，1]×[0，T]，对于开关电平附近的T=T，Φsq=cS6=1。图9显示了结果值函数V的混合导数。在我们的数值例子中，该条件总是在全球范围内得到满足。图9：混合导数Vsq。存在唯一性证明。现在我们用第4节的结果证明了系统（16）唯一解的存在性。首先，我们定义函数f（s，q，ν，t）=s- b（q，ν，t）和f（s，q，ν，t）=s- b（q，ν，t）。有了这个，我们可以重写系统（16），使α（Xt，t）=κμπt+u（1- πt）+K（t）- 圣u（Qt）1{f（St，Qt，πt，t）≥0}+u（Qt）1{f（St，Qt，πt，t）≤0}λπt- λ(1 - πt）. （17） 现在，我们准备检查假设4.1和4.2是否已完成。我们首先检查α是否属于不连续面以外的C1,3,2类（R×（[q，q]×[0，1]）×0，T]）。根据假设K，这是成立的∈ C（[0，T]），由于函数u，u足够平滑。此外，βi，j∈ C1,3,2（R×（[q，q]×[0，1]）×[0，T]）对于i，j=1,2,3。对于下一个条件，我们必须检查f，f∈ C3,5,3（R×（[q，q]×[0，1]）×[0，T]）。清晰地Fs=Fs=0。然而，为了满足这个条件，我们还需要b，b∈ C5,3（（[q，q]×[0，1]）×[0，T]）。此外Fs,Fs= 1.

对于这两个（f，b）而言，非平行性条件都成立是至关重要的∈ {（f，b），（f，b）}:kf（s，q，ν，t）·β（s，q，ν，t）k=k（1，-bq（q，ν，t），-bν（q，ν，t），-bt（q，ν，t））·σ 0 0 00 0 0 0κσ(u- u)ν(1 - ν) 0 0 00 0 0 0k=|σ-κσ(u- u)ν(1 - ν） 如果bν（q，ν，t）6=σκ（u），则bν（q，ν，t）|为正-u)ν(1-ν） 适用于所有（q，ν，t）∈ [q，q]×（0，1）×[0，T]，其中β是β由零行和零行的延伸。请注意，我们在所有的数值例子中都检查了这个条件，并且一直都是确定的。此外，我们需要^β是Lipschitz，并且线性增长条件适用于^α和^β，如果b，b是有界域上充分光滑的函数，并且因为K通过假设满足线性增长，这两个条件都是完全满足的。提议5.1。如果两者都是b∈ {b，b}，b∈ C5,3（[q，q]×[0，1]）×[0，T]）和bν（q，ν，T）6=σκ（u-u)ν(1-ν） 适用于所有（s，q，ν，t）∈ R×[q，q]×（0，1）×[0，T]，则系统（16）具有唯一的全局强解。证据仍然需要将第4节的结果扩展到两个不连续的情况。由于b，b是不同的，即它们在[q，q]×[0，1]×[0，T]中不相交或收敛，我们可以找到一个超曲面γ∈ C∞此外，由于定理4.5，系统（16）的一个唯一全局强解存在于γ以下区域和γ以上区域。在γ中，上限和下限的系数相同。因此，由于强马尔可夫性，从上到下的解可以粘贴在γ中。因此，由此产生的策略确实是可以接受的。注意，在研究实际观测结果时，我们发现最优值函数是相对不变的w.r.t.b，b的微小变化。

因此，我们乐观地认为，我们可以找到C5,3（[q，q]×[0，1]）×[0，T]）函数，这些函数充分接近真实的——可能不太平滑的——切换障碍，从而在这些C5,3（[q，q]×[0，1]）×函数上的策略切换产生非常接近最优的奖励函数。6.展望一方面，我们研究了部分信息下储能设施的优化问题。另一方面，我们已经展示了如何在一般情况下处理由reshold类型的策略控制的过程的唯一性的存在性问题。我们强调，此类SDE出现在广泛的应用数学中。我们将列出我们的结果或[18,19,21]中给出的结果适用的其他领域。库存管理中出现的一个问题是最优库存问题，参见[32]。这里是存储文件L=（Lt）t≥0建模为asdLt=（ut- Dt）Dt，L=`，t∈ [0，T]，其中D=（Dt）T≥0是对库存商品的需求，可以建模为独立于L.ut的扩散过程∈ [0，Mu]是在时间t为库存订购的货物数量，以Mu为界，作为控制。对于得到的阈值型控制，我们的结果需要证明二维过程（L，D）的存在性和唯一性。[3]研究了电力市场上摆动期权的估值。在这里，出现了与第5节类似的SDE：dZt=utdt，Z=0，t∈ [0，T]，其中zt是T.ut时的可用能量量∈ [0，Mu]也是控制权，以Mu为界，它描述了行使期权时购买的能源量，除Z外，还取决于能源价格，参见第5节。在此设置中，控件再次为阈值类型，具有一个阈值级别。

因此，我们的结果也可能适用于此。总的来说，我们看到阈值策略出现在应用数学的广泛领域，因此本文给出的结果可能解决了大量问题。存在性和唯一性结果的证明我们希望应用[21]中的结果，其中只考虑时间齐次情况，以证明时间非齐次情况下的存在性和唯一性。在此，时间维度上的条件限制较少。为了证明定理4.5，我们需要根据我们的情况调整[21]中介绍的技术。为此，我们证明了两个引理。首先，我们假设α仅沿{x=0}不连续，即特例f（x，t）=x。对于这种情况（13）和（15）重合。然后，我们试图消除漂移中的不连续性，使剩余系数为局部Lipschitz。为此，我们用G:Rd×R定义了一个变换Z=G（X）+-→ Rd×R+byG（x，…，xd，t）：=（g（x），x+g（x），xd+gd（x），t），然后选择g，以这样的方式Gkxi（0，x，…，xd，t）=δi，kfor i，k=1，d+1。然后G与局部逆H是局部可逆的。因此，我们现在可以考虑变换后的SDEdZt=G（H（Zt））α（H（Zt））+trβ（H（Zt））>G（H（Zt））β（H（Zt））dt+G（H（Zt））β（H（Zt））dWt。（18） 引理A.1。让假设4.2保持不变。然后存在函数g，gd:Rd×R+-→ R使得（18）的系数是局部Lipschitz，并且G在{x=0}附近是局部可逆的。下面的证明是建设性的，但请注意，提出的结构不是唯一的。引理A.1的证明。g的构造，GDI的做法与[21]中的类似。对于GConSiderZT=αGx+（β>）G十、dt+dXi=2αiG西德+Gtdt+dXi，j=1（1- δ（i，j））（ββ>）ijGxixjdt+dXi，j=1βijGxidWjt。（19） 现在选择seg（x，t）=Zxexp-Zξ2α（s，x，…，xd，t）（ββ>）（s，x。

，xd，t）dsdξ，确保αGx+（β>）Gx全局消失，k>1时，αkGxkare局部Lipschitz自αkis局部有界且G{x=0}上的xkvanishes。此外G这是局部的利普希茨，因为假设4.2的时间维度。（19）第二行中的术语是局部Lipschitz，它来自假设4.2和[21，引理2.7]。对于k>1考虑因素dzkT=αk+αgkx+（β>）gk十、dt+dXi=2αigk西德+gktdt+dXi，j=1（1- δ（i，j））（ββ>）ijgkxixjdt+dXi，j=1βij1 +gkxi这里我们选择k（x，…，xd，t）：=ZxCk（ξ，x，…，xd，t）exp-Zξ2α（s，x，…，xd，t）（ββ>）（s，x，…，xd，t）dsdξ，带ck（ξ，x，…，xd，t）：=-Zξ2αk（η，x，…，xd，t）（ββ>）（η，x，…，xd，t）expZη2α（s，x，…，xd，t）（ββ>）（s，x，…，xd，t）dsdη。这保证了ZK的漂移也是局部的Lipschitz。在时间方向上，我们设置dZd+1t=dt。这就终结了证据。自从H/∈ C2,1（Rd×R+）我们需要证明它的公式仍然适用于一类包含h的函数。引理A.2。让我们来看看γ：D Rd×R+-→ R、 γ∈ C（D），γxixj（x，t）∈ C（D）对于所有i=1，d、 j=2，Dγx（x，t）∈ C（（R×Rd）-1×R+）∩ D） ，sup{x|x6=0}|γx（x，t）|<∞. 对于It流程Y=（Yt）t≥0，设ζ=inf{t>0 | Yt/∈ D} 。那么不管怎样≥ 0γ（Yt，t）=γ（Y，0）+γs（Ys，s）ds+dXi=1Zt∧ζγyi（Ys，s）dYis+dXi，j=1Zt∧ζγ易yj（Ys）d[Yi，yj]s.证明。这一证明与[21]中的证明是一致的。此外，我们使用的事实是，对于常规It公式，我们只需要γ∈ 时间的方向。现在，我们准备好证明第4节的主要定理。定理4.5的证明。我们从α沿{x=0}不连续的情况开始。

由于引理A.1，（18）的系数是局部Lipschitz，这保证了变换后的SDE具有唯一的局部解。此外，由于引理A.2，它的公式适用于变换的逆H。通过设置X=H（Z）并将其公式应用于H，我们得到（13）具有唯一的局部解。现在，我们可以直接应用[21，定理3.2]，通过连接局部解，保证（13）的唯一最大局部解的存在唯一性。此外，我们可以直接应用[21，定理3.3]来获得爆炸不会在限定时间内发生。因此，当α沿{x=0}不连续时，（13）有唯一的全局强解。对于一般情况，其中α沿{（x，t）不连续∈ Rd×R+：f（x，t）=0}，由于假设4.1和4.2，系统（15）有唯一的全局强解^x。设置x=e（^x）并应用经典的It^o公式，我们得到（13）有唯一的全局强解。感谢作者感谢Rüdiger Frey（WU Vienna）、Gunther Leobacher（Johannes Kepler University Linz）和Ralfunderich（BTU Cottbus Senftenberg）为改进本文所做的有价值的讨论。M.Sz"olgyenyi得到了维也纳科学和技术基金（WWTF）的支持：MA14-031项目。本文的一部分是在M.Sz"olgyenyi担任奥地利林茨市4040号约翰内斯·开普勒大学林茨金融数学与应用数论系成员期间撰写的。在此期间，M.Sz"olgyenyi得到了奥地利科学基金（FWF）项目F5508-N26的支持，该项目是特别研究项目“准蒙特卡罗方法：理论与应用”的一部分。参考文献[1]H.Ahn、A.Danilova和G.Swindle。储存Arb。威尔莫特，1:78-832002。[2] 巴勒斯和苏加尼迪斯。完全非线性二阶方程近似格式的收敛性。

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