经济环境变化下储能设施的最优控制

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英文标题：
《Optimal Control of an Energy Storage Facility Under a Changing Economic
  Environment and Partial Information》
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作者：
Anton A. Shardin, Michaela Sz\\\"olgyenyi
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we consider an energy storage optimization problem in finite time in a model with partial information that allows for a changing economic environment. The state process consists of the storage level controlled by the storage manager and the energy price process, which is a diffusion process the drift of which is assumed to be unobservable. We apply filtering theory to find an alternative state process which is adapted to our observation filtration. For this alternative state process we derive the associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation and solve the optimization problem numerically. This results in a candidate for the optimal policy for which it is a-priori not clear whether the controlled state process exists. Hence, we prove an existence and uniqueness result for a class of time-inhomogeneous stochastic differential equations with discontinuous drift and singular diffusion coefficient. Finally, we apply our result to prove admissibility of the candidate optimal control.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了一个有限时间内的能量存储优化问题，该问题是一个考虑了经济环境变化的部分信息模型。状态过程包括由存储管理器控制的存储水平和能源价格过程，这是一个扩散过程，其漂移被认为是不可观测的。我们应用过滤理论来寻找一个适合我们观察过滤的替代状态过程。对于这种交替状态过程，我们推导了相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并用数值方法解决了优化问题。这就导致了一个最优策略的候选者，对于这个候选者，事先不清楚受控状态过程是否存在。因此，我们证明了一类具有不连续漂移和奇异扩散系数的时间非齐次随机微分方程解的存在唯一性。最后，我们应用我们的结果证明了候选最优控制的可容许性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Optimal_Control_of_an_Energy_Storage_Facility_Under_a_Changing_Economic_Environm.pdf (868.2 KB)

2022-5-10 18:54:10 上传

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关键词：环境变化 最优控制 经济环境 Optimization Mathematical

在变化的经济环境和部分信息下的储能设施最优控制Anton a.Shardin和Michaela Sz"olgyenyiPreprint，2016年4月摘要本文在一个具有部分信息的模型中考虑一个有限时间内的储能优化问题，该模型考虑了变化的经济环境。状态过程包括由存储管理器控制的存储水平和能源价格过程，这是一个扩散过程，其漂移被认为是不可观测的。我们应用过滤理论，找到一种适合我们观察过滤的替代状态过程。对于这种交替状态过程，我们推导了相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并用数值方法求解优化问题。这就导致了一个最优策略的候选者，对于这个候选者，事先不清楚受控状态过程是否存在。因此，我们证明了一类具有不连续漂移和奇异扩散系数的时间非齐次随机微分方程解的存在唯一性。最后，我们应用我们的结果证明了候选最优控制的可容许性。关键词：储能优化、隐马尔可夫模型、随机微分方程、不连续漂移、退化扩散数学学科分类（2010）：93E20、93E11、60H10JEL分类：C61、G1A。A.沙丁数学研究所，BTU Cottbus Senftenberg，03044 Cottbus，德国。

维也纳经济与商业大学统计与数学学院，澳大利亚维也纳1020。szoelgyenyi@wu.ac.at1本文研究了有限时间范围内的储能管理随机优化问题。为了将不可观测的经济变化纳入我们的模型，我们允许能源价格取决于无法直接观察到的单一因素。我们的模型通过以下方式扩展了文献中的现有方法：我们允许政权转换和有关能源价格过程的部分信息。假设代理只有关于能源市场的不完整信息，则该模型更现实，更适合实际应用。代理的目的是通过选择最佳的储能设施充电或放电速率，最大限度地提高储能设施的效益。这是通过低价买进和高价卖出来实现的。Thompson等人[34]指出了“投资分析和优化方法的必要性，这些方法能够准确地说明实际存储设施的各种运营特征”，并提到了“存储运营商的巨大利润机会”。卡莫纳和卢德科夫斯基[4]证实了这一点：“随着能源商品的重要性日益增加，对储能的复杂估值成为金融市场运作的一个不可或缺的方面。”“存储允许商品跨时间转移，并允许利用波动的市场价格。”[4] 解决储能管理器最优控制问题的动机是双重的。storagemanager希望在市场上采取最佳行动。为此，她需要知道最佳存储策略。因此，Sheesential的目标是在价格较低时购买能源，在价格较高时出售能源。

此外，能源市场中的一个代理想要知道最优控制的储能设施的价值，这与优化问题的结果相对应。Chen和Forsyth[5]、Carmona和Ludkovski[4]、Thompson等人[34]和Ware[37]等研究了储能设施的随机优化问题。他们考虑了天然气储存，并研究了确定最佳充电/放电策略的问题，在有限的时间范围内最大化预期折扣回报。与之相反，Thompson等人[33]和Zhao及Davidson[41]研究了抽水蓄能设施在有限时间范围内的随机最优控制问题。他们控制应泵送/释放的最佳水量，以最大化消耗/生产能源的预期折扣回报。所有这些模型都假设一个固定的经济环境以及有关能源价格过程的完整信息。Chen和Forsyth[7]对[5]进行了扩展，以考虑漂移建模的变化。为此，他们假设漂移是由一个可观测的两状态马尔可夫链驱动的。能源价格显然取决于决定供应和需求的外部因素，而外部因素意味着这些因素独立于能源价格过程中不确定性的驱动源。永久能源需求和供应的变化导致能源价格的结构性变化。造成这种变化的一个原因可能是季节性差异。例如，冬季用于制冷，夏季用于取暖。此外，还有日内波动。然而，安等人。

[1] 发现“从季节性差价中提取的存储价值明显低估了通过最佳注入/提取策略获得的价值。”季节性因素不能解释所有的能源价格变化，这就需要关注价格波动的其他决定因素。虽然可以清楚地观察到季节性，但其他类型的影响可能并不明显。能源价格取决于经济环境和地缘政治形势。这些是我们希望在模型中关注的效果。因此，有必要考虑能源价格过程模型中的状态依赖性。此外，随着能源市场的自由化，能源价格也取决于金融风险。因此，我们使用数学金融的建模方法。我们将能源价格建模为一个扩散过程，其漂移由不可观测状态的马尔可夫链驱动。假设潜在状态过程是不可观测的，这有经济原因和统计原因。经济环境的变化往往在发生的那一刻无法追踪，而只能随着时间的推移。因此，我们希望考虑到当前经济状况的不确定性。从统计学的角度来看，扩散过程的漂移随着时间的推移尤其难以估计，参见罗杰斯[27，第4.2章]。部分信息下的随机优化问题，尤其是那些状态过程受外生隐马尔可夫链影响的问题，已经在数学金融文献和保险数学文献中进行了深入研究，参见Elliott等人[10]、Lakner[17]、Honda[14]、Sass和Haussmann[29]、Riederand B"auelle[26]、Frey等人[12]，Leobacher等人。

[20] ，以及舍尔杰尼[31]。Shardin和Wunderlich[30]在不断变化的经济环境中对抽水蓄能进行建模，并假设了有关能源价格过程的部分信息。然而，为了研究它们的优化问题，出于技术原因，它们需要规范它们的基本过程。在此，我们可以省去这一步。我们的模型的一个结果是，最优控制策略的候选对象是阈值类型的，也就是说，在一定的能源价格水平下，储能经理会改变其行为。因此，受控地下过程具有不连续漂移系数。此外，由于模型的结构，扩散系数退化。因此，关于随机微分方程（SDE）解的存在唯一性的标准结果不适用。因此，为了证明由此产生的控制策略的可容许性，我们需要证明一个存在唯一性定理，将Leobacher等人[21]的结果推广到时间不均匀的情况。关于这个问题的详细介绍载于第4节。本文的主要贡献在于，我们研究了一个模型中部分信息下的随机优化问题，该模型考虑了储能设施不断变化的经济环境，并对该模型的结果，即价值函数以及最优政策的候选对象进行了广泛的数值研究。在技术方面，我们的贡献是，尽管我们的问题导致了一个退化的基本过程，但所有结果都是在没有任何正则化技术的情况下获得的。（对于应用正则化的示例，请参见[12,30]。）为了验证最优策略的候选者，基本受控过程的存在是至关重要的。

我们证明了一类具有不连续漂移和退化扩散系数的时间非齐次随机微分方程存在唯一性的理论结果，推广了文献[21]的结果。论文的结构如下。在第二节中，我们提出了储能优化问题，描述了目标函数和潜在的状态过程，并推导了相关的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。然后，我们在第3节中用数值方法解决优化问题。我们的目标是对我们模型的结果进行广泛的研究。在第4节中，我们给出了一类具有不连续漂移和退化扩散系数的时间非齐次SDE的存在唯一性结果。（建设性）证据移至附录A。请注意，第4节和附录A是独立的，因此可以与第2节分开阅读。在第5节中，我们应用我们的结果证明了第3节中提出的最优控制策略的候选者的可容许性，即，我们证明了由该策略控制的底层状态过程系统具有唯一的全局强解。第6节对应用数学的不同领域进行了展望，在这些领域中，本文给出的SDE结果可能会得到应用。2储能优化问题：过滤概率空间（E，F，F，P）中的过滤满足通常条件，包含此处出现的所有随机变量。此外，让（eBt）t≥0是标准的布朗运动。我们对能源价格过程S=（St）t进行建模≥0作为一种Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程，dSt=κ（u（Yt）+K（t）- St）dt+σdeBt，S=S，（1）具有恒定的平均回归速度κ，（无季节性）平均回归水平u：RD-→ R、 季节性函数k:[0，T]-→ R、 和常数扩散参数σ。

u（Yt）+K（t）是长期均衡价格。对于季节性函数，我们假设K∈ C（[0，T]），并满足线性增长条件，即存在常数C，C>0，使得| K（T）|≤ c+c | t |代表所有t∈ [0，T]。选择此循环组件isK（t）=KScos的示例2π（t）- tS）,其中Ks决定季节性价格趋势，Ts代表均衡价格的季节性峰值时间，以及 是一季的长度，c.f.[6，第2.2节]和[33，第3节]。Y=（Yt）t≥0是一个具有D维状态空间的外生马尔可夫链，它是w.l.o.g.由ED={e，…，ED}给出，其中ei是RD中的第i个单位向量，i=1，D.我们将给定的Y强度矩阵表示为∧=（λij）Di，j=1，并假设知道Y的初始分布。我们假设u（ei）=ui，i=1，D、 也就是说，u是每个州的常数。W.l.o.g.我们假设u>…>uD.能源价格在现货市场上是可以观察到的，而平均回归水平很难估计。因此，我们假设储能经理可获得的信息包含在能源价格过程FS=（FSt）t生成的增强过滤中≥0，其中FSt=σ{Sr，r≤ t} 。我们选择OU过程对能源价格进行建模，因为在能源市场上，有必要考虑负价格，而且均值回归是能源价格的一个程式化事实。根据这一能源价格，储能设施的管理者必须决定何时对储能进行充电或放电，以及充电速率。因此，充电率u=（ut）t≥0用作控件。排放量为负。我们对储能水平Q=（Qt）t进行建模≥0asdQt=utdt，Q=Q。（2）由于u是不可直接观察的，我们处于部分信息的情况下。为了克服这个问题，我们应用过滤理论。过滤问题。

由于u不适用于观察过滤FS，因此S的整体漂移不适用于FS。为了方便起见，我们将这种漂移表示为asat:=a（St，Yt，t）：=κ（u（Yt）+K（t）- St）=DXi=1κ（ui+K（t）- St）1{Yt=ei}=：DXi=1a（St，ei，t）1{Yt=ei}。设Y的初始分布表示为ν=（ν，…，νD），且对于所有i=1，…，设νi>0，现在，我们估计漂移（a（St，Yt，t））t≥0根据能源价格过程产生的信息[23,39]：bat:=Ea（St，Yt，t）FSt= EDXi=1a（St，ei，t）1{Yt=ei}FSt=DXi=1a（St，ei，t）PYt=eiFSt=DXi=1a（St，ei，t）πit，（3）其中πit，i=1，D、 t≥ 0是Y在时间t处于状态i的条件概率。我们进一步表示π=（πt）t≥0和πt=（πt，…，πDt）。以下命题可以在Liptser和Shiryaev[23，Theorem9.1]中找到。提议2.1。条件概率πit:=P（Yt=ei | FSt），ei∈ ED，i=1，D，解下列SDE方程组：πit=νi+tZDXk=1λkiπkrdr+tZπira（高级、高级、高级）- 酒吧σdBr，i=1，D，（4）式中B=（Bt）t≥0是由BT=tZdSr给出的FS适应的布朗运动- bardrσ，通常被称为创新过程。特别是这意味着ba是马尔可夫的，bat=ba（St，πt，t）=κu，πt+ K（t）- 圣,u，πt:=DXi=1uiπit。（5） 最后，我们找到了能源价格过程（1）在创新过程B中的等效表示：dSt=ba（St，πt，t）dt+σdBt，S=S，其中ba在（5）中定义。

这种表示法的优点是，现在我们模型的所有成分都适用于观察过滤，因此优化问题得到了很好的定义。因此，我们将部分信息下的原始模型转换为完全信息下的以下模型：dSt=ba（St，πt，t）dt+σdBt，S=S，dQt=utdt，Q=Q，dπt=∧>πtdt+σ-1.diag（πt）at- 蝙蝠πtdBt，π=ν。（6） 如果S，Q，π在时间t开始∈ [0，T]，我们分别用s，q，ν=（ν，…，νD）表示起始值。最后我们指出，通过设置πDt=1，我们可以将（6）的维数减少1-警察局-1i=1πITT≥ 因此，过滤器的正确状态空间是单纯形S:={（ν，…，νD）-1) ∈ （0,1）D-1:PD-1i=1νi<1}带闭包S:={（ν，…，νD）-1) ∈ [0,1]D-1:PD-1i=1νi≤ 1}. 因此，获取完整信息的成本降低- 1过滤器的附加尺寸。优化问题。我们引入了能量存储设施0的容量下限和上限≤ Q≤Qt≤ 假设储能是满的，或者分别在q或q时是空的。对于控制u，我们假设u∈ U、 其中，U是一组可接受的控制，强制要求U是渐进可测量的，且为反馈类型（参见[4，第2.1节]和[37，第2节]）。此外，由u控制的过程（S，Q，π）需要存在，即系统（6）需要有一个解决方案。此外，我们对控制装置施加条件，以便从运行角度正确建模储能设施。具体来说，如果储能设施分别接近满或空，充电和放电不应达到最大速率。出于技术原因，这些边界是以连续的方式建模的，即我们施加平滑过渡（参见[5，第2.1节]，[34，第3节]和[37，第4.1节]）。