随机动态未知市场中的期权定价

[6, 8, 9, 12, 14, 16, 21, 22].我们已经证明，这一概念在很大程度上取决于观测频率。特别是，由于贝叶斯一致性，它在高频观测中已经过时。相比之下，如果考虑指数L’evy型市场模型，即使在连续观察的情况下，贝叶斯价格也不同于非贝叶斯价格。与BS市场存在这种关键差异的原因在于，人们无法增加16个Gottschalk，Nizami，Schuberts。图4：默顿模型中的贝叶斯期权价格在2年的观察时间内收敛于罢工K=100。这六条垂直线对应于底层的跳跃事件。默顿价格之间的最终差异仍在1欧元或期权价格的10%之间。只需增加观测频率，即可获得跳跃分布的信息。因此，跳跃分布的不确定性在几年的时间跨度内普遍存在，并对期权价格产生重大影响。

尽管这种差异在发送到实体的观察时间内收敛到零，但由于资产市场的统计特性在几年的时间尺度上肯定是非平稳的，因此这种数学结果不是很相关。尽管资产定价中的贝叶斯方法主要应用于具有高斯对数回报的市场中的波动率估计，但我们认为，指数L’evy市场中的贝叶斯估计和期权定价是贝叶斯方法在金融中更有趣的应用。具有未知动力学的市场中的期权17A贝叶斯一致性的鞍点法我们给出了一种为期权价格的贝叶斯一致性量身定制的鞍点法变体，有关贝叶斯一致性的综合评述，请参见[3,11]。让我来 Rdbe是一个开域，设π（θ）是Θ上的一个连续的、有界的、非负的函数，使得rΘπ（θ）dθ<∞. 让h，hn:Θ→ R是从下面有界的连续函数，使得hn（θ）→ h（θ）在紧集上一致。此外，h（θ）假设一个唯一的全局极小值θ∈ Θ其中它达到值β=h（θ）。此外，还存在一个正数γ>0和一个开放的有界邻域U（θ），\'U（θ） Θ和n∈ N使得所有θ∈ Θ\\U（θ）我们有hn（θ）>β+γN≥ n、 最后我们假设π（θ）>0。引理A.1（具有可积先验的鞍点方法）设h，hnbe如上所述，设g:Θ→ R是有界连续函数。然后，RΘe-nhn（θ）g（θ）π（θ）dθRΘe-nhn（θ）π（θ）dθ-→ g（θ），如果n→ ∞. （28）证据。我们从以下关于占位符收敛速度的界开始证明：让β>β，让γ=β-β> 0. 作为hn→ 在紧集上，存在一个ε>0和一个数n∈ N使得| hn（θ）- h（θ）|<γ/2对于所有θ∈\'Bε（θ）和n≥ n、 这里Bε（θ）是围绕θ的球，半径为ε。因此，hn（θ）- β < -βε（θ）上的γ。

现在我们来看看βZΘe-nhn（θ）π（θ）dθ≥ en′γZBε（θ）π（θ）dθ-→ ∞ 作为n→ ∞. （29）这里我们还使用π（θ）>0，因此π（θ）对Bε（θ）的积分为正。设next为ε>0任意值。设γ=infθ∈Θ\\Bε（θ）[h（θ）- β] 最小值>0是唯一的，θ上的h（θ）>β+γ∈ Θ\\U（θ）与假设中的γ和U（θ）相同。如果n>max{n，n}，根据假设，n足够大，使得|hn（θ）- h（θ）|≤ 在紧集U（θ）\\Bε（θ）上的min（γ，’γ）/2，我们看到对于这样的nhn（θ）>β=β+min（γ，’γ）/2在Θ\\Bε（θ）上。因此，ZΘ/Bε（θ）e-nhn（θ）g（θ）π（θ）dθ≤supθ∈Θ| g（θ）| ZΘπ（θ）dθE-βn.（30）将其与（29）结合，我们得到rΘBε（θ）e-nhn（θ）g（θ）π（θ）dθRΘe-nhn（θ）π（θ）dθ-→ 0作为n→ ∞. （31）18 Gottschalk，Nizami，Schubert因此，将（31）一次用于g（θ）本身，并将一次用于g（θ）替换为一，我们得到的事实是，将收敛到零的序列相加不会改变lim sup或lim inflim infnRΘe-nhn（θ）g（θ）π（θ）dθRΘe-nhn（θ）π（θ）dθ=lim infnRBε（θ）e-nhn（θ）g（θ）π（θ）dθRΘe-nhn（θ）π（θ）dθ≥ infθ∈Bε（θ）g（θ）lim infnRBε（θ）e-nhn（θ）π（θ）dθRΘe-nhn（θ）π（θ）dθ=infθ∈Bε（θ）g（θ）lim infnRΘe-nhn（θ）π（θ）dθRΘe-nhn（θ）π（θ）dθ=infθ∈Bε（θ）g（θ）。（32）同样地，我们也向您推荐supnRΘe-nhn（θ）g（θ）π（θ）dθRΘe-nhn（θ）π（θ）dθ≤ supθ∈Bε（θ）g（θ）。（33）由于这些不等式（32）和（33）适用于任意ε>0，我们可以在（32）中取ε>0的上确界，在（33）中取ε>0的上确界。通过g（θ）的连续性，我们得到（θ）作为（33）中lim-sup的上界，以及（32）中lim-inf的下界，由此收敛（28）。为了处理不可积先验的情况，例如非信息先验，下面的引理处理了前一个引理的一些修改：引理a.2（具有不可积先验的鞍点方法）考虑附录开头的情况，其中先验π（θ）是连续且有界的，但不一定是可积的。

设a（θ）是一个连续函数，使得rΘe-a（θ）dθ<∞.假设，如果我们将函数hn（θ）替换为函数hn（θ）=hn（θ）-a（θ）/n，这些修正函数仍然满足以下条件：存在正计数γ>0，θ的开放环境U（θ）和一个数n∈ N使得所有θ∈ Θ\\U（θ）我们有~hn（θ）>β+γN≥ n、 然后，（28）仍然有效。证据注意，在（28）的左边，我们可以用e代替π（θ）-a（θ）π（θ）和hn（θ），其中∧hn（θ）=hn（θ）-a（θ）/n而不改变积分的值。显然，~hn（θ）在紧集上也一致收敛于h（θ），因为连续函数a（θ）在紧集上有界，因此a（θ）/n→ 0在紧集上一致。我们可以利用引理A.1得出结论。具有未知动力学的市场中的期权19参考文献[1]D.Applebaum，Levy过程和随机演算，剑桥大学出版社，2004年。[2] F.Black和M.Scholes，《期权定价和公司负债》，政治经济杂志，1973年第3期。[3] T.Choi和R.V.Ramamoorthi，《关于后验分布一致性的评论》，国际监测系统收藏第3卷（2008）170-186。[4] R.和P.Tankov，带跳跃过程的金融建模，Chapman和Hall/CRC，[5]T.Darsinos和S.Satchell，Black-Scholes期权价格的贝叶斯分析，预测金融市场的预期收益（2007）：117。[6] F.Delbaen，W.Schachermayer，资产定价基本定理的一般版本，Mathematische Annalen，Springer Verlag，1994[7]P.Diakonis，D.Freedman，关于Bayes估计的一致性，安。统计14（1）1-26（1986）。[8] D.B.Flynn，S.D.Grose，G.M.Martin和Vance L.Martin，澳大利亚andS和P200期权定价：基于广义分布形式的贝叶斯方法，Aust。《纽约时报》第47（1）号，2005年，第101-117页。[9] C.S.福布斯、G.M.马丁和J。

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