随机动态未知市场中的期权定价

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英文标题：
《Option Pricing in Markets with Unknown Stochastic Dynamics》
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作者：
Hanno Gottschalk, Elpida Nizami and Marius Schubert
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider arbitrage free valuation of European options in Black-Scholes and Merton markets, where the general structure of the market is known, however the specific parameters are not known. In order to reflect this subjective uncertainty of a market participant, we follow a Bayesian approach to option pricing. Here we use historic discrete or continuous observations of the market to set up posterior distributions for the future market. Given a subjective physical measure for the market dynamics, we derive the existence of arbitrage free pricing rules by constructing subjective option pricing measures. The non-uniqueness of such measures can be proven using the freedom of choice of prior distributions. The subjective market measure thus turns out to model an incomplete market. In addition, for the Black-Scholes market we prove that in the high frequency limit (or the long time limit) of observations, Bayesian option prices converge to the standard BS-Option price with the true volatility. In contrast to this, in the Merton market with normally distributed jumps Bayesian prices do not converge to standard Merton prices with the true parameters, as only a finite number of jump events can be observed in finite time. However, we prove that this convergence holds true in the limit of long observation times.
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中文摘要：
我们考虑Black-Scholes和Merton市场中欧式期权的无套利估值，其中市场的总体结构已知，但具体参数未知。为了反映市场参与者的这种主观不确定性，我们采用贝叶斯方法进行期权定价。在这里，我们使用对市场的历史离散或连续观察来建立未来市场的后验分布。给出市场动态的一个主观物理度量，通过构造主观期权定价度量，我们得到了无套利定价规则的存在性。这种测度的非唯一性可以用先验分布的自由选择来证明。因此，主观市场衡量标准被证明是一个不完全市场的模型。此外，对于Black-Scholes市场，我们证明了在观测的高频极限（或长时间极限）下，贝叶斯期权价格收敛于标准BS期权价格，且具有真实的波动性。与此相反，在具有正态分布跳跃的默顿市场中，贝叶斯价格不收敛于具有真实参数的标准默顿价格，因为在有限时间内只能观察到有限数量的跳跃事件。然而，我们证明了这种收敛在长观测时间的限制下是成立的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Option_Pricing_in_Markets_with_Unknown_Stochastic_Dynamics.pdf (560.67 KB)

2022-5-10 18:56:55 上传

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关键词：期权定价 Quantitative Mathematical distribution observations

具有未知随机动态的市场中的期权定价hanno Gottschalk，Elpida Nizami和Marius SchubertFachgruppe f¨ur Mathematik and Informatik，Bergische Universit¨位于德国Wuppertal{hanno.Gottschalk，Elpida.Nizami，Marius.schubert}@uni Wuppertal。2018年9月19日摘要我们考虑Black-Scholes和Merton市场中欧洲期权的无套利估值，市场的总体结构已知，但具体参数未知。为了反映市场参与者的这种主观不确定性，我们采用贝叶斯方法进行期权定价。在这里，我们使用对市场的历史离散或连续观察来建立未来市场的后验分布。在给出市场动态的主观物理度量的情况下，我们通过构造主观期权定价度量来推导无套利定价规则的存在性。然后，可以使用先验分布的自由选择来证明这种测度的非唯一性。因此，主观市场衡量标准被证明是一个不完全市场的模型。此外，对于Black-Scholes市场，我们证明了在观测的高频极限（或长时间极限）下，贝叶斯期权价格收敛到具有真实波动性的标准BS期权价格。与此相反，在具有正态分布跳跃的默顿市场中，贝叶斯价格不收敛于具有真实参数的标准默顿价格，因为在有限时间内只能观察到一定数量的跳跃事件。

然而，我们证明了这种收敛在长观测时间的限制下是成立的。关键词：贝叶斯无套利期权定价，贝叶斯统计，贝叶斯一致性数学主题分类（2010）91G20，62F151简介我们考虑的是思想实验，其中市场参与者基于市场模型为基础资产定价期权，市场的一般结构已知，但模型参数未知。这里考虑的模型是Black-Scholes[2,18]（纯指数扩散）和Merton[19]（指数跳跃扩散）模型。参数的校准基于前一时间间隔内的离散（低频）2 Gottschalk、Nizami、Schubertor连续（高频）观测[-τ、 0]，其中τ>0是观察时间。因此，我们处理布莱克斯科尔斯模型的历史波动率，以及默顿模型的历史跳跃频率和高度分布。此外，市场参与者遵循贝叶斯方法，以表达其对基础模型St参数的不确定性。因此，市场的主观市场度量P（A）=RPθf（θ）dθ是关于模型参数θ的市场度量的参数族和后验分布f（θ）给出的权重的混合。本文的主要结果如下：首先，我们证明了对于BlackScholes和Merton市场，无套利定价规则（或等价鞅测度）Q=RQθf（θ）dθ存在，并且可以从依赖参数的等价鞅测度族Qθ中得到。

在定义ofQ时，f（θ）不一定与定义ofP时的后验分布相同，而Q仍然是关于P的等价鞅测度，只要后验分布是等价的，我们得出结论，即使在一组固定参数的对应市场是一个完整市场的情况下，主观市场也是不完整的，就像Black-Scholes市场的情况一样。虽然这个结果似乎很自然，但文献中似乎缺少证据。其次，我们证明了在给定频率的高频观测或长时间观测极限下，由价格测度Q得到的欧式期权价格几乎肯定收敛于Black-Scholes价格。我们使用鞍点参数（这是贝叶斯一致性的一种变体[3,11]）对规范化和非规范化先验分布的结果给出了完整的证明。然而，在默顿市场中，Q是作为后验混合得到的，例如，平均修正的等价鞅测度Qθ，Q-价格不会在高频极限下收敛。对于Qθ的任何其他构造，结果都是相同的，例如通过Esscher变换[4]，我们选择均值校正只是为了方便。然而，在长时间观测的限制下，qprice几乎肯定会收敛到关于Qθ的平均修正价格，其中θ是参数的“真”集合。经过一段时间的观察，价格上涨的原因∞ > τ>0仍然不同于标准默顿价格，这是因为（几乎可以肯定）在一定时间内只能观察到一定数量的跳跃。因此，在对市场进行明确观察后，关于跳跃的真实分布和频率的主观不确定性并没有消失。

这意味着贝叶斯期权定价在Black-Scholes市场的情况下有些不一致，因为结果在很大程度上取决于观察频率，而对于跳跃扩散型市场，如默顿市场，情况并非如此。在长时间渐近过程中，Q-价格收敛到Qθ价格的事实不太相关，因为经验市场数据的统计规律通常在几年内发生显著变化——在一个时间跨度内，通常只能观察到一手主要的跳跃事件。期权定价的贝叶斯方法以前曾在各种出版物中被考虑过，有关早期文献的回顾，请参见[5,12,21]。[12]中得到的结果与我们在第2节中关于Black Scholes市场的发现接近。然而，这种方法有些相反，因为主观市场衡量标准是从具有未知动态的市场中的子选项衍生出来的，而我们反过来进行。关于等价鞅性质的一个明确的陈述是缺失的，尽管这篇论文包含了一些朝着这个方向的观察结果。论文[5,14]也处于类似的背景下，但重点是数字和应用，而不是底层的数学结构。本文[8]将Baesian Black-Scholes市场中的期权定价应用于实际市场数据。然而，本文包含了布莱克-斯科尔斯案件的一致性证明。在[9]中，随机波动率模型是在贝叶斯框架下处理的，但重点是随机波动率的过滤技术。[17]还讨论了贝叶斯框架下的随机波动率（Heston）模型。在[22]中，Baesian风险中性动力学是在时间序列框架中考虑的，GARCH模型是主要关注点。此外，这项工作[16]遵循了类似的方法，但也包含了拓扑组合管理的应用程序。

其中任何一篇论文都没有讨论跳跃差异的更一般情况，但最近的一项数值研究见[10]。如前所述，跳跃扩散案例具有独立的概念意义，尤其是在高频观测的背景下。本文的结构如下：在第二节中，我们介绍了主观BlackScholes市场和定价测度，并证明了等价性和定理2.2中的鞅性质。为了方便读者，我们还证明了在OREM 2.4中观察的高频（和长观察时间）极限下，Q-价格收敛于通常的BlackScholes价格，基本上重现了[12]中的先验发现。我们还提供了一项数值收敛性研究，该研究表明，通常的20-200日历史波动率估计确实存在充分的贝叶斯不确定性，因此贝叶斯价格仍然与标准BS价格存在显著差异。这强调了在BS案例中，日内报价对于消除贝叶斯不确定性的重要性。第3节讨论了高频（连续）观测的主观默顿市场，即默顿模型的BS部分是通过对一小段轨迹的观测确定的。然而，跳转部分并非如此。我们通过复合泊松过程[4，第10.5章]的Grisanovlike定理，从市场的连续观察中构造后验分布Q。在长观测时间的限制下，证明了主观默顿价格收敛于平均修正鞅测度Qθ。附录中提供了一些技术细节。虽然这在数学上与BS的情况非常相似，但主要的经济差异在于，由于跳跃事件仍然很少，不可能从更高的观测频率生成更多信息。

一个数字样本也说明了这一点，该样本显示，即使在观测时间为两年后，贝叶斯-默顿价格也比没有贝叶斯不确定性的默顿价格高得多。在最后一节中，我们给出了我们的结论。为了保持论文的自一致性，我们的贝叶斯一致性鞍点方法的公式在附录A中给出。Gottschalk、Nizami、Schubert2波动性未知的Black Scholes市场2。1 Black-Scholes市场的一些基础知识我们首先收集Black-Scholes（BS）模型的一些众所周知的事实[2,18]。因此，我们考虑一种资产，其价格St由指数布朗运动St=SeXtwith Xt=ρt+σWt，t给出∈ [-τ、 [T]。（1） 这是一个标准的布朗运动，在t=0时条件为零，在-τ ≤ T≤ 0.ρ是假定已知的利率，例如伦敦银行同业拆借利率。σ>0是必须计算的波动率，如公开期权价格日期中隐含的那样，或者必须从历史日期开始进行统计估计。在这里，我们遵循后一种方法。τ>0是市场参与者认为市场动态没有显著变化的过去时间。当前时间为t=0。T是我们将要考虑的某个期权的到期时间。让(Ohm, （Ft）t∈[-τ、 T]，Pσ）是一个经过过滤的概率空间，使得通常的条件被填满，并且作为适应的过程被实现。

设（F+t）t∈[0，T]是第二次过滤，使F+T FT0≤ T≤ T，（St）T∈[0，T]和（St）T∈[0，T]是关于（F+T）T的自适应过程∈[0，t]和过去x的增量x-Xt，-τ ≤ s<t≤ 0生成一个σ代数，使F+在Pσ下独立于它。从期权定价的基本定理[6,23]或[4，命题9.2]可知，F+T-可测量的非负报酬的或有权益的套利费用价格：Ohm → 到期时的R+T在当前时间T=0byV（H，σ）=e时给出-ρTEQσ[H]，（2）其中Qσ是一个与Pσ等价的度量，使得^St=e-ρtSt，t∈ [0，T]是关于Ft的（局部）Qσ鞅∈[0，T]。此外，只有当Qσ由鞅条件唯一确定时，市场才是完整的[4，第9.2章]。对于波动率为σ的BS市场，等价鞅测度可由Grisanov公式Qσ=LTPσ和LT=e构造-σWT-σT.（3）此外，随着BS市场的完善，Qσ是唯一的。我们考虑到期日T>0、履约价格K>0、C（K，T）和P（K，T）的欧洲看涨期权和看跌期权，这些期权由支付函数（±（ST-K） ）+。然后，众所周知的BS公式提供了这些期权的公平价格v（C（T，K）|σ）=SΦ（d（σ））- E-ρTKΦ（d（σ））V（P（T，K）|σ）=e-ρTKΦ(-d（σ））- SΦ(-d（σ））（4）动态未知的市场中的期权5，d1/2（σ）=[logSK+ (ρ ±σ)]/(σ√T）。右边是非负的，分别以Sand K为界，并持续依赖于波动率σ。2.2未知波动率的定价对于本节的其余部分，我们假设市场参与者希望在时间t=0时根据观察结果St，观察时间的Stn+1（正）市场配额-τ=t<t<··<tn+1=0。

由于波动率的最终值不是由这组观察值确定的，她/他采用贝叶斯方法，在PσXj=log下使用该方法Stj+1Stj- ρtjptj~ N（0，σ），tj=tj+1- tj，（5）对于j=1，n、 其中n（0，σ）代表均值和方差均为零的正态分布σ。设π（σ）≥ 0是σ）的某个先验函数，我们假设它是连续且有界的。设^σn=nPnj=1Xj>0，则众所周知的高斯数据方差σ的后验分布为n≥ 2fn（σ）=fn（σ|π）=σne-Nσnσπ（σ）RR+sne-N^π（s）ds。（6） 这里我们抑制了fn（σ）对实际观测值Stjand和前π（σ）的依赖性，以简化符号。注意，非信息优先π（σ）=1的分母与可能性成正比，给定σn。从贝叶斯的角度来看，以下定义是自然的：定义2.1（主观BS市场模型）假设σ>0时，Pσ是一系列关于(Ohm, （Ft）t∈[-τ、 T]），使发育迟缓Pσ按（1）分布，并满足上述条件。此外，为了∈ F+T，σ7→ Pσ（A）可以用R+上的σ来度量。LetSt，Stn+1是过去的观测结果，fn（σ）是与某些先验π（σ）相关的后验分布，见（6）。然后Pπ（A）=ZR+Pσ（A）fn（σ）dσ，A∈ F+T，（7）定义了一种概率度量，我们称之为BS市场的主观市场度量（鉴于过去的观察结果St，…，Stn+1）。此外，定义主观BS定价度量Qπ（A）=ZR+Qσ（A）fn（σ）dσ，A∈ F+T。

（8） 对于非信息先验π（σ）=1，我们还写了P=Pand Q=Q.6 Gottschalk，Nizami，Schubertnormalization Pπ(Ohm) = 1（Qπ）(Ohm) = 1） 根据Pσ（Qσ）和fn（σ）的归一化，σ可加性是Pσ（Qσ）的σ可加性和dσ-Lebesgue积分单调收敛的一个简单结果。注意，σ中Pσ（A）（Qσ（A））的可测性可以通过以下构造进行验证：设pB为具有Borel-sigma代数的连续函数（C（R+），B（C（R+）的标准度量。设f（σ）是（R+，B（R+）上的一个正的、可测的函数，设φ：C（R+）×R+→ C（R+）由（ω（·），σ）7给出→ ω(·/σ). 然后，PB的图像测量f（σ）dσ在P的映射φisa构造下。B的可测核Pσ（A）的存在性∈ B（C（R+）现在遵循应用于乘积测度PB的Fubini定理[13] f（σ）dσ。定理2.2（主观BS市场的无套利定价）设π（σ）和π（σ）是R+上的两个函数，使得π（σ）dσ和π（σ）dσ等价。qπ是关于Pπ的等价鞅测度。此外，Pπ定义的主观BS市场是不完整的。证据第二种主张是第一种主张的简单结果，也是鞅测度的唯一性与资产定价的第二基本定理[4，命题9.3]的市场完备性之间的等价性。注意，π（σ）的不同选择会导致不同的度量Qπ。对于Pπ和Qπ的等价性，设A∈ F+Tbe是一个Pπ零集。然后，对于fn（σ|π）dσ，几乎所有的σ，我们都有Pσ（A）=0，否则σ积分将是正的。通过Pσ和Qσ的等价性，这意味着Qσ（A）=0几乎可以肯定地保持fn（σ|π）dσ和thusfn（σ|π）dσ，因为（R+，B（R+）上的这两个测度与由π（σ）π（σ）给出的正常数的radon-Nikodyn导数是等价的。