随机动态未知市场中的期权定价

现在，Qπ（A）消失是Fn（σ|π）dσ上的一个积分，几乎肯定是σ中的消失函数。在上述论证中，我们将Pπ和Qπ的r^ole互换，得到了等价性。为了证明^Stunder Qπ的鞅性质，我们选择了A∈ F+沙漏-τ ≤s<t≤ T然后，通过^St在所有Qσ下都具有鞅性质的事实，我们得到了EQπ[1AEQπ[1AEQπ[^St|F+s]=EQπ[1A^St]=ZR+EQσ[1A^St]fn（σ）dσ=ZR+EQσ[1AEQσ[1A^St|F+s]]fn（σ）dσ=ZR+EQσ[1A^Ss]fn（σ）dσ=EQπ[1A^Ss]。（9） 作为一个∈ F+sis任意和^Ssand EQπ[^St | F+s]都是F+s-可测的，因此^Ss=EQπ[^St | F+s]Qπ-a.s，这是鞅性质。从定理和（4）我们现在可以推断：未知动态市场中的期权7推论2.3（主观BS期权价格）关于鞅测度Qπ的无套利价格由v（C（T，K）|π，n）=ZR+[SΦ（d（σ））给出- E-ρTKΦ（d（σ））]fn（σ|π）dσ，V（P（T，K）|π，n）=ZR+[e-ρTKΦ(-d（σ））- SΦ(-d（σ））]fn（σ|π）dσ，（10），我们再次抑制了对过去观测的依赖。2.3高频或长时间观测的限制当过去观测的数量趋于一致时，我们考虑限制，并且对于某些固定的σ>0，市场动态如下（1），但市场参与者不知道。设Pσ为相关的市场指标。极限n→ ∞ 观测结果的数量可以通过以下两种方法实现：→ ∞ 以及保持观测频率固定，或通过增加观测频率保持τ固定。从技术上讲，这个问题属于贝叶斯一致性领域，参见。g、 [3,11]。我们证明：定理2.4（期权价格与标准BS价格的收敛性）在极限条件下，当过去观察的数量n趋于一致时，欧洲期权的主观BS价格收敛于波动率σ的BS价格，前提是π（σ）>0。

我们有v（C（T，K）|π，n）-→ V（C（T，K）|σ）V（P（T，K）|π，n）-→ V（P（T，K）|σ），作为n→ ∞, （11） 收敛发生的地方Pσ——几乎可以肯定。证据注意，我们可以把密度fn（σ）写成fn（σ）=e的形式-nhn（σ）π（σ）RR+e-nhn（σ）π（σ）dσ与hn（σ）=^σnσ+对数（σ）. （12） 设h（σ）=^σ+对数（σ）它在σ中有一个唯一的最小值，值β=（1+log（σ））。因此，我们将（11）确定为附录a意义下的鞍点问题，其中g（σ）由括号[…]中的表达式给出在（10）中。更重要的是，这个g（σ）函数满足引理A.2的条件。当我们希望应用带有Θ=R+和θ=σ的引理A.2时，我们必须验证存在的条件。根据大数定律，^σn→ σPσ几乎可以肯定，很容易看出hn（θ）→ R+中紧集的h（θ）一致地保持Pσ-几乎肯定。接下来我们选择函数a（σ）=1{σ>1}2 log（σ）。E-a（θ）以1为界，并像大σ的σ一样衰减，因此相对于dσ是可积的。让我们考虑n的8个Gottschalk，Nizami，Schuberthn（σ）函数≥ 5~hn（σ）=^σnσ+对数（σ）-{σ>1}4对数（σ）n≥σσ+1.- 1{σ>1}对数（σ）,（13） 带σ≥ σ=infn≥5^σn>0 Pσ-a.s。。σ的正性来源于σn>0和σn→σ> 0（Pσa.s.）我们现在设置n=5，γ=1，并构造环境U（σ）=（l）-, 使我-< min（1，σ）非常小，以至于σ+对数（σ）> β+1和l+>max（1，σ）足够大，如对数（l+）≥ β+ 1. 这是（13）的一个简单的推论，~hn（σ）≥ σ的β+1∈ R+\\U（θ）。因为这是引理A.2的最后一个条件，所以（11）中的陈述如下。2.4 BS市场的数值示例我们提供了一个根据（10）的非信息性先验π（σ）=1的主观BS价格动态的数值示例。有效资产的初始值固定为S=100，年波动率设置为σ=15.8%，每年的漂移率为ρ=0.002。

3个月到期的欧式看涨期权的履约价格K的计算范围为K=80到K=134，分别作为2到30或150的观察次数N的函数。模拟了对BS市场实现的观察。使用R 3.3.1进行模拟，使用R函数积分中实现的一维自适应数值积分进行（10）中的积分。图1显示了欧洲对固定到期时间、不同履约和观察次数的呼吁的价格面。经过30次观察，价格与标准BSprice的偏差已经相当低，这是短期接近接近波动率估值器的常见观察次数，见图2。对于150个观察值，其接近长期接近接近接近接近波动率估值器中常用的观察值数量，在给定情景下，价格差异小于5%，但对于短期20天波动率估值器，其差异约为25%。这证实了定理2.4中收敛分析与高频观测的相关性。但通常对历史波动性的日常估计并不足够“高频率”，从而忽略了该数量的测量误差造成的价格差异。这当然证实了之前关于时间序列背景下贝叶斯期权定价的研究。然而，请注意，至少在理论上，使用日内数据可以在一天内逐渐增加观测次数。具有未知动态的市场中的期权9图1：3个月到期的欧式看涨期权的主观BS价格的定价面（z轴，到顶部），作为行使K（y轴，到前面）和观察次数（x轴，到右边）的函数。

浅灰色表面给出了相同执行价格的BS参考价格。3跳跃分布未知的默顿市场3。1默顿市场的一些基本原理在本节中，我们将默顿市场[19]视为指数L’evy型市场的一个简单例子。因此，我们考虑了一个市场动态，其中添加了复合泊松类型的跳跃项：St=SeXtwith Xt=ρt+σWt+NtXj=±1Yj。（14） 这里是一个泊松过程，具有强度λ和Yjare i.i.d.随机变量。Weassume N=0，且NTN取非正整数值[-τ、 0]，在这种情况下，总结以-1并向下移动。（14）的所有组件都是相互独立的。设ν表示（R，B（R））上的概率测度，使得Yj~ ν. 我们假设ν（{0}）=0，并且Lν（α）=RReyαdν（y）<∞ 无论如何∈ [0, 1]. Levy测量10 Gottschalk，Nizami，Schubert图2：主观BS价格（红色）与实际BS价格（蓝色）的收敛，作为观察次数的函数。罢工金额为K=S=100欧元。与（14）有关的是ν=λν。为了得到默顿模型，我们设置ν=N（m，δ），其中m∈ R和δ>0。设Pθ，θ=（λ，δ，m）。衡量(Ohm, （F+t）t∈[-τ、 T]）这样的过程是根据给定的分布进行调整的。在这里，我们从θ中省略了参数ρ，σ，因为它们要么由公共数据给出，要么（在模型设定的理想世界中）可以分别通过连续（“高频”）观测来确定，而不会产生估计误差。接下来，我们来讨论默顿模型中的期权定价。这里经常选择两个选项，均值校正和埃舍尔变换[4,20]和[15]。然而，构造等价鞅测度θ还有很多进一步的选择。为了简单起见，这里我们选择均值校正。

我们设置θ=-σ- λeδ+m- 1.（15） 我们将格里萨诺夫公式应用于市场测度PθQθ=LTPθ和LT=e的高斯部分，得到了一个鞅测度-σWt-(uθσ). （16） 利用Qθ进行期权定价，我们得到了未知动态市场中欧式看涨期权的以下表达式：11put[4，10.1默顿方法]VMC（C（T，K）|θ）=e-λT∞Xn=0（λT）nn！五、C（K）- nm，T）| rσ+nTδVMC（P（T，K）|θ）=e-λT∞Xn=0（λT）nn！五、P（K）- nm，T）| rσ+nTδ（17） 平均修正（MC）默顿价格再次为非负，并分别以Sand K为界。此外，对于θ∈ Θ=R+×R+×R它们连续依赖于参数θ=（λ，δ，m）。使用每个表达式V（…）的连续性和一致性可以很容易地看出这一点在（17）的右侧，将支配收敛定理应用于求和。注意，λ的局部边界可用于构造支配序列。3.2跳跃强度和跳跃分布未知的定价我们现在考虑一个相信默顿模型（14）结构正确的市场参与者。此外，她或他遵守了STT的资产配额∈ [-τ、 0]连续不断。我们假设路径（St）t∈[-τ、 0]由模型（14）生成，参数为ρ，σ和θ=（λ，δ，m），其中θ未知。设νθ为与参数θ相关联的Levy测度∈ Θ并设νθ，1为归一化L’evy测度。我们回顾了复合泊松过程的Grisanov公式，如[1，第5.4.3章]或[4，第10章]。我们定义了包含时间间隔信息的西格玛代数F上的测度Pθ[-τ、 0]Pθ=Lτ（θ|θ）Pθ与L（θ|θ）=exp（τ（λ）- λ） +X-τ≤s≤0logdνθdνθ(Xs）), （18） 我们使用约定日志的地方dνθdνθ（0）= 0和Xs=Xs- Xs-是在时间s观察到的跳跃高度。

众所周知，（Xt）t∈[-τ、 0]以θ=（λ，δ，m）跟随动力学（14）。正如人们通常在连续过程的统计中所做的那样，我们将L（θ|θ）解释为θ相对于某些固定背景测度Pθ的可能性。由于θ的依赖性在极大似然估计和贝叶斯形式主义中消失，只要Pθ相对于Pθ是绝对连续的，我们就可以在不丧失一般性的情况下选择真参数集θ作为参考度量，即使θ未知。设π（θ）是Θ上的某个连续的有界先验。后验密度定义为fτ（θ）=fτ（θ|π）=L（θ|θ）π（θ）RΘL（ξ|θ）π（ξ）dξ。（19） 12 Gottschalk，Nizami，SchubertHere对观测路径（St）t的依赖性∈[-τ、 0]被抑制。下面的引理给出了一个更明确的后验分布公式：引理3.1（默顿模型的后验分布）让Y=Xs，YN=Xswhere-τ ≤ s<s<…<锡≤ 0是观察到的跳跃高度，N=-N-τ是从t=-τ直到时间t=0。设δN=nPNj=1（Yj- ^mN）与^mN=NPNj=1Yj。此外，设λ=Nτ。那么，如果N≥ 2，fτ（θ）=e-Nλ^λNλNδNe-NδNδ+^mN-mδπ（λ，δ，m）RR+×Re-N′λ^λN′λN′δNe-N^δN′δ+^mN- \'m\'δπ（′λ，′δ′，m）d′λd′δd′m.（20）证明。注意，对于默顿模型和y6=0，我们有logdνθdνθ（Y）= 对数（λ）- 对数（δ）-Y- mδ- 对数（λ）+对数（δ）+Y- mδ.（21）将其插入测量公式（18）中，用Yjin代替Y，我们注意到正是N个这样的项出现在指数中。

现在（20）后面是项的直接向前重新排序，以及（20）中依赖于θ的项由于归一化而消失的观测。以下定义和定理与BS案例中的定义和定理相同。然而，请注意，尽管假设在时间间隔内进行连续观测[-τ、 0]，在这种情况下，主观市场指标和主观定价指标不同于标准的默顿市场和定价指标。定义3.2（主观默顿市场和定价度量）假设Pθ和Qθ分别是定义默顿市场和平均修正默顿定价度量的度量。然后，给定一个有界的连续先验π（θ）和连续观测值（St）t∈[-τ、 过去，主观默顿市场测度Pπ和主观默顿均值修正定价测度定义为asPπ（A）=ZΘPθ（A）fτ（θ|π）dθ和Qπ（A）=ZΘQθ（A）fτ（θ|π）dθ，A∈ F+T.（22）我们注意到核Pθ（A）在θ中是可测的：事实上，由于（18）和勒贝格的支配收敛定理，这些表达式在θ中是连续的。定理3.3设π（θ）和π（θ），θ∈ Θ是两个先验函数，使得π（θ）dθ和π（θ）dθ是等价的测度。然后，主观平均修正的默顿定价测度Qπ是主观默顿市场测度pπ的等价鞅测度。具有未知动态的市场中的期权。这个证明完全类似于定理2.2的证明。3.4（主观默顿期权价格）3.4（主观默顿期权价格）3.4（主观默顿期权价格）3.4（主观默顿期权价格）3.4（主观默顿期权价格）3.4（主观默顿期权价格）套利无套利无套利的MC价格。3.4（主观默顿市场价格）3.4（主观默顿市场价格）无套利无套利的市场价格，市场模型Pπ（Pπ）是VMC（C（C（C（T，K，K）C（T，K）C（T，K）C（T，K）和（T，K）和（T，K）124，K）是，K）和（T，T，K）是，K）和（T，T，K）和（T，K）n）是（K）和（K）是（K）和（K）124）是）的）是（K）的）的）是（K）的）是（T）是）是（)。

通常，对（St）t的依赖∈[τ，0]在符号中被抑制。3.3长观测时间的限制我们已经看到，同样在高频观测的情况下，默顿模型的适当校准存在相当大的不安全性。在这一节中，我们考虑了有限性，当市场动态自τ一段时间以来保持不变时，我们拥有自该时间以来的连续观测，并且我们考虑了长观测时间τ的限制→ ∞.由于波动水平在几年的时间尺度上发生了根本性的变化，并且在一年中只观察到了少量重大跳跃事件，因此τ→ ∞ 限制实际重要性。尽管如此，我们还是证明了用主观MC-Merton价格公式（23）定价的欧式期权的以下贝叶斯一致性结果。定理3.5（主观默顿MC期权价格的收敛性）Letθ∈Θ，θ=（λ，δ，m），是一组参数，使得St遵循动力学（14）。然而，对于市场参与者来说，θ是未知的，他们根据（23）对欧式期权进行定价，具有一些连续的、有界的先验知识，使得π（θ）>0。在大观测时间的限制下，τ→ ∞, 欧式看涨期权和看跌期权的主观MC-Merton价格几乎肯定收敛于参数集为θ的MC-Merton价格，即VMC（C（T，K）|π，τ）-→ VMC（C（T，K）|θ）VMC（P（T，K）|π，τ）-→ VMC（P（T，K）|θ），asτ→ ∞. （24）证据。我们把问题写成鞍点形式，见附录A。首先，函数G（θ）在（17）中给出。如前所述，这些函数是有界且连续的。函数fτ（θ）可以重写为e-NhN（θ）π（θ）/RΘe-NhN（\'θ）π（\'θ）dθ与hn（θ）=λ^λN- 对数（λ）+^δNδ+对数（δ）+^mN- mδ!, θ=（λ，δ，m）∈ Θ. （25）用λ、δ和m替换估计量^λN、^δ和^mn，我们得到函数h（θ）。

很容易验证h（θ）在θ=θ时是最小的，在这里它达到值β=（1）- log（λ））+（1+log（δ））.14 Gottschalk，Nizami，SchubertWe N=-N-τ→ ∞ asτ→ ∞ Pθ-a.s.，因此^λN→ λ、 ^δN→ δ和^mN→ mPθ——几乎可以肯定是由强大的大数定律决定的。因此很容易检查hN（θ）→ 紧集上的h（θ）一致成立。接下来，我们根据引理a.2的假设定义辅助函数a（θ）。a可能的选择isa（θ）=1{λ≥1} 2 log（λ）+1{δ>1}2 log（δ）+1{m}>1}2 log（m）。（26）设λ=supτ≥τ*λN（τ）<∞ 有一个停止时间τ*足够大[-τ*, 0]至少会发生六次跳跃。τ*< ∞ 几乎可以肯定地保持Pθ。进一步设置δ=infτ≥τ*^δN>0且¨δ=supτ≥τ*^δN<∞, m=infτ≥τ*^mN∈ R和最终的¨m=supτ≥τ*^mN∈ R所有这些陈述都必须从Pθa.s.的意义上理解。Wesee在定理2.4的证明中给出了一个类似的论点，即以下估计在τ中是一致的≥ τ：~hN（θ）=hN（θ）-a（θ）N≥λλ-1 +{λ≥1}对数（λ）+δδ+1.-{λ≥1}对数（δ）+距离（m，[m，\'m]）δ-{m |>1}log（|m |）！（27）我们选择γ=1。我们现在根据上述估计构造有界开放环境U（θ）。首先，在定理2.4的证明中选择lδ±as，然而β=h（θ）。如果δ大于β+1，则中间项大于β+1∈ R+\\[lδ-, lδ+]。其次，选择0<lλ-< min{1，λ}，则（27）右侧的第一个therm对于0<λ<lλ为正-在这种情况下，对数（λ）<0。如果我们选择lλ+>最大{1，λ}足够大，使得λ>λlog（λ）对于λ>lλ+，右边的第一项对于该λ也大于零。因此，λ的边界为零∈ R+\\[lλ-, lλ+]。最后选择足够大的lm>| m |以便距离（m，[m，\'m]）δ≥如果|m |>lm，则记录（|m |）。如果我∈ R\\[-那么（27）中的第三项也是正的。因此我们可以选择环境U（θ）=（lλ）-, lλ+×（lδ）-, lδ+×(-lm，lm）并得到≈h（θ）≥ θ的β+1∈ Θ\\U（θ）。

由于这是引理A.2要验证的最后一个假设，收敛声明（24）现在遵循引理A.2.3.4默顿市场的一个数值示例。我们再次使用默顿市场的非信息先验。我们将市场BS部分的数据保留在2.4小节中，但我们将跳跃N（m，δ）的高斯分布与m=0和δ=0相加- 05.跳跃频率设置为λ=4，相当于平均每年四次跳跃事件。期权价格采用默顿平均修正法计算。图3显示了打击范围K的结果∈ [60140]基于底层默顿模型的模拟轨迹。图3：默顿模型中的定价面（灰色）及其贝叶斯扩展（红色）作为观察时间（以年为单位）的函数。当标的资产价格出现跳跃，并且跳跃分布的新信息被揭示时，价格出现时间的不连续性就会出现。图4提供了一个K=100的价格曲线图。在两年的观察期结束时，默顿期权和贝叶斯默顿期权价格之间的定价差异仍然约为期权价格的10%，这当然是一个显著的偏差。4结论在目前的工作中，我们对Black-Scholes和Mertonmarket期权定价中的贝叶斯方法进行了系统和严格的数学解释。特别地，我们证明了这些贝叶斯市场模型的等价鞅测度和市场不完全性的存在性。在时间序列模型的背景下，对波动率估计不确定性导致的期权价格的贝叶斯修正进行了深入研究，参见。