哪些符合条件的资产与Comonomonic capital兼容

这意味着ρ（X+m）=ρ（X）- mρ(-1） 并建立（i）。我们已经建立了正有理数的正同质性。现在取λ∈(0, ∞) 设（λ+n）和（λ-n） 是从上到下分别收敛到λ的正数序列。鉴于f（i），我们可以假设X∈ L∞+不失概括性。然后，ρ的单调性产生λ+nρ（X）=ρ（λ+nX）≤ ρ（λX）≤ ρ(λ-nX）=λ-nρ（X）每n∈ N.得出ρ（λX）=λρ（X）并得出（i）的证明。为了证明Lipschitz连续性，我们遵循[13]中引理4.3的证明。为此，takeX，Y∈ L∞注意，Y- kX- Y k≤ 十、≤ Y+kX- 那么，它紧随着单调性和（i）ρ（Y）+kX- ykρ(-1) ≥ ρ（X）≥ ρ（Y）- kX- ykρ(-1).这建立了（ii）并总结了命题的证明。备注2.6。上述命题的另一种证明依赖于Schmeidler（1986）中的Choquet表示，并利用Choquet积分的性质，参见命题5.1 inDenneberg（1994）。上述证明的优点是直接。我们的结论是，递减映射是共单调的当且仅当它与每个最大共单调集上的非负线性泛函一致。定义2.7。我们说C L∞如果C是共单调的，并且对于每一个共单调集C′，是一个m极大共单调集 L∞满意的C C′我们有C=C′。极大单调集的类用Cmax表示。下一个引理表明，L中的每个随机变量∞包含在某个极大共单调集合中。显然，这个集合通常不是唯一的，因为常数随机变量包含在每个共单调集合中。引理2.8。每X∈ L∞存在一个极大共单调集C∈ Cmaxsuch thatX∈ C.证据。用CxO表示L的共单调子集的类∞包含X的。

因为集合{X}是同调的，所以这个类是非空的，可以通过包含进行部分排序。如果S是链inCX，即cx的子集，那么对于每个C，C∈ S、 我们要么有C Cor C C、 那么很容易看到C∪=联合国安全理事会∈SC是一个包含X的共单调集合。换句话说，C∪是S的上界。它源自Zorn引理，参见Aliprantis and Border（2009）中的引理1.7，该引理允许一个极大元素。提议2.9。对于每一个非零递减的m apρ：L∞→ R以下陈述是等效的：（a）对于每个C∈ Cmax这里是一个正线性泛函πC:L∞→ R使得ρ=-πCon C.（b）ρ是共单调的。如果ρ是凸的，我们可以添加以下等价条件：（c）对于每个c∈ Cmax是一个正线性函数πC:L∞→ R使得ρ=-πCon和ρ≥ -πCon L∞.证据为了建立第一个等价性，我们只需要证明t（b）意味着（a）。为此，假设ρ不是共弦的，并且对于每一个固定的C∈ Cmaxde fine V=C- C.因为C很容易被视为凸锥，所以集合V是L的线性子空间∞. 现在，定义一个映射πC:V→ R通过设定πC（X）=-ρ（X）+ρ（X），（2.1），其中X=X- X和X，X∈ C.注意πCis在V上定义得很好。事实上，假设X=X- X=X′- X′代表X，X，X′，X′∈ C.由于C是一个凸锥，随机变量X+X′=X′+X延伸到C，因此ρ（X）+ρ（X′）=ρ（X+X′）=ρ（X′）=ρ（X′+X）=ρ（X′））+ρ（X）通过共单调性。此外，π顺式明显呈线性，在V上也是正的。后者是由于X=X的事实- 十、∈ 五、∩ L∞+暗示X≥ X和ρ（X）≤ ρ（X）由ρ的单调性决定，这最终意味着πC（X）=-ρ（X）+ρ（X）≥ 0

从1∈ 五、 我们可以应用Kanto rovich的扩张标准，参见Aliprantis and Border（2006）中的定理8.3 2，以得出πCto L存在（不一定唯一）正线性扩张的结论∞.为了结束证明，假设ρ是凸的和共单调的，并且C是L中的固定极大单调集∞. 然后，对于每一个X=X- X和X，X∈ 我们有πC（X）+πC（X）=πC（X）=-ρ（X）≥ -ρ（X）- ρ（X）=-ρ（X）+πC（X），其中π是（2.1）中定义的泛函，不等式来自ρ的次可加性（命题2.5是正齐次的）。这意味着ρ≥ -πCon the linear subspace V.现在，Hahn-Banach扩张定理，参见Aliprantis and Border（2006）中的定理5.53，确保了πCto对整个L的线性扩张的存在∞, 我们也注意到πC，ρ≥ -πCon全L∞. 部分原因是π-顺式反应阳性∈ L∞+我们有πC（X）≥ -ρ（X）≥ 0，因为ρ随ρ（0）=0而减小。这意味着（b）意味着（c）并得出结论。备注2.10。（i） 注意，如果是正的，每个线性泛函πCI根据Aliprantis和Border（2006）中的定理9.6自动连续。（ii）让Ohm = {ω，…，ωN}并假设F是离散的σ-代数，P（ωi）>0∈ {1，…，N}。在此设置中，最大共单调集的形式为cp={X∈ L∞| X（ωp（k））≤ X（ωp（k+1）），k∈ {1，…，N- 1} }对于某些双射p:{1，…，N}→ {1，…，N}。在某种程度上，我们有N！极大单调集。要了解这一点，请注意，每一组形式的Cpis确实是一个最大共单调集。相反，设C是L中的最大余子集∞注意C必须包含arandom变量Z∈ L∞使得Z（ωi）6=Z（ωj）对于所有i，j∈ 设p是{1，…，N}的双射，它对Z的值进行排序，使Z（ωp（k））<Z（ωp（k+1））对所有k进行排序∈ {1, . . .

N- 1} . 然后，每X∈ C必须满足X（ωp（k））≤ X（ωp（k+1））叉∈ {1，…，N- 1} 所以C Cp。因此，通过极大值，我们得到C=Cp。（iii）很明显，与（ii）中的极大共单调集相似的特征也适用于Ohm 是一个可数集。引入风险度量我们考虑一个日期为t=0和t=1的单周期经济，其中未来的不确定性由概率空间建模(Ohm, F、 P）。金融机构在时间1的资本，即公司资产负债净额的价值，由L中的随机变量表示∞.我的每一个元素∞将被称为资本头寸。定义2.11。（1）任意非空真子集A L∞这是封闭的，增加被认为是一个可接受的状态。（2）任何一对S=（S，S）∈ ( 0, ∞) ×L∞+和S≥ εa.s.对于某些ε>0的情况，称为可分辨集。我们说S是无风险的。否则，我们说S是有风险的。（3） 与A和S相关的风险度量是映射ρA，S:L∞→ 每X定义一次∈ L∞通过ρA，S（X）：=inf{m∈ R | X+mSS∈ A} 。（Farkas等人（2014a）提出的Sbe界远离零的要求确保了ρA的绝对值）。如果S=（1，1），当我们简单地写ρA（X）：=inf{m∈ R | X+m∈ A} 。在本文的其余部分中，我们定义了验收集A和合格资产定义2.12。（1）我们说一个映射ρ：L∞→ 当ρA，S（X+λS）=ρA，S（X）时，R是S-可加的- λs对于所有X∈ L∞λ∈ R.如果S=（1，1），那么我们说的是现金增值。（2） 对于每ρ：L∞→ 设A（ρ）：={X∈ L∞| ρ（X）≤ 0}.由于接受集的单调性和定价规则的线性，风险度量ρa很容易被认为具有以下基本性质，这些基本性质将在续集中自由使用；参见Artzner等人（1999年）和Farkas等人（2014a）目前的情况。提议2.13。

ri-sk测度ρA具有以下性质：（i）ρA，Sis S-ad ditive。（ii）ρA，Sis减小。（iii）A（ρA，S）=A.表征共单调性我们开始研究ρA形式的共单调风险度量，强调任何共单调递减函数都可以表示为与共单调接受集和无风险资产相关的风险度量。引理2.14。设ρ：L∞→ R是一个非零的共单调递减映射。然后，ρ（1）<0且ρ（X）=ρA（ρ），R（X）为每X∈ L∞, 其中A（ρ）是一个圆锥接受集，R=(-ρ(1), 1).证据根据命题2.5，ρ（1）<0成立，ρ是R-可加的。现在，以任意X为例∈ L∞. 因为X+mRR的情况∈ A（ρ）显然等同于ρ（X）≤ 我永远∈ 通过R-可加性，我们很容易看到ρ（X）=inf{m∈ R | X+mRR∈ A（ρ）}=ρA（ρ），R（X）。A（ρ）是圆锥接受集是命题2.5的直接结果。该结果允许我们为风险度量ρa提供必要且充分的条件，该风险度量ρa在验收集和合格资产的性质方面是协单调的。首先，我们证明了ρA不可能是协单调的，除非现金加性风险度量ρA本身是协单调的。提案2.15。假设ρA是共单调的。那么，ρAis共单调且ρA，S（X）=ρA，R（X）=-ρA，S（1）ρA（X）每X∈ L∞, 式中R=（-ρA，S（1），1）。证据回想命题2.13，A（ρA，S）=A。因此引理2.14暗示ρA，S（X）=ρA，R（X）=inf{m∈ R | X-mρA，S（1）∈ A} =-ρA，S（1）ρA（X）对于所有X∈ L∞. 这也表明ρAis是共单调的。从上述结果可以看出，ρa，Sis that的共单调性的必要条件，除了对于合格资产S是可加的外，对于无风险资产R=(-ρA，S（1），1）（记住，尽管我们使用术语，R不一定在市场上交易）。

这自然会导致对两个风险度量ρA，和ρA，rw的相等性的研究，这两个风险度量是关于相同的接受集，但不同的合格资产。下面的引理为等式建立了一个必要且有效的条件。这里，我们用span（X）表示X生成的线性空间∈ L∞.引理2.16。对于每个符合条件的资产R，以下陈述是等效的：（a）ρa，S（X）=ρa，R（X）每X∈ L∞.（b） A+span党卫军-RR= A.证据。为了证明（a）意味着（b），假设ρa，S=ρa，R。显然，我们只需要证明结论。”” 在（b）中。为了达到这个效果，任何X都可以∈ L∞还有m∈ R而不是e，ρA，SX+m党卫军-RR= ρA，S（X），在这里，我们使用ρA，Sis加法，假设S和R。断言现在来自A（ρA，S）=A。为了证明相反的含义，取X∈ L∞假设（b）成立。如果X+mSS∈ 一个为数不多的m∈ R、 然后我们很容易看到X+mRR=X+mSS- M党卫军-RR∈ 嗯。这意味着ρA，R（X）≤ ρA，S（X）。由于参数在S和R中是对称的，我们得出结论：ρA，S=ρA，R。上述引理可以从Far kas等人（2014 a）的命题5.1中导出，也可以参见Ar t zner等人（2009）在凸环境中的命题1-a。为了完整起见，我们提供了一个简短的证明。我们现在可以对mρa，S的风险度量的共名性进行首次描述。该结果确定了验收集和合格资产的组合导致共名性。特别是，它表明，共单调性不能仅用接受集的性质来表征：对于给定的接受集，风险度量ρa，仅适用于合格资产的特殊选择。定理2.18。假设ρAis是共单调的。

然后，下列陈述是等价的：（a）ρa，是共单调的。（b） A±1+ρA，S（1）SS A.特别地，ρA，仅当S+SρA，S（1）时是共单调的∈ A.∩ (-A） 。证据首先，假设（a）成立，所以ρa是共单调的。然后，根据命题2.15，我们得到ρA，S（X）=-ρA，S（1）ρA（X）=每X的ρA，R（X）∈ L∞, 其中R=(-ρA，S（1），1）。因此，引理2.16立即产生（b）。相反，假设（b）成立。作为ρAis共单调函数，A必须是引理2.14的二次曲线。此外，请注意，ρA，S（1）<0借助于相同的引理。因为条件（b）很容易被认为与A+span等效党卫军--ρA，S（1） A、 我们可以依赖引理2.16得出结论，ρA，Scoincides，上升到常数-ρA，S（1），具有共单调风险度量ρA，因此其本身是共单调的。这建立了（a）并得出了等价性的证明。最后一个断言紧随其后，因为0∈ 附带条件。为了解释上述定理中的条件（b），假设ρA，S（1）=-1并且该现金是一种无风险资产（即零利率的无风险资产）。在这种情况下，条件归结为±1.-党卫军 A.这意味着，我们可以在任何可接受的头寸上增加完全杠杆化投资组合的收益，在不影响可接受性的情况下，如果以无风险利率借款，则购买风险资产，或者购买无风险资产，则通过做空合资格资产来完全融资。特别是，因为A是一个圆锥体，所以我们必须有跨度1.-党卫军 A.这表明ρA，只有在每个完全杠杆位置都是可接受的情况下，才可以是共单调的。然而，可靠的接受集往往对高风险的完全杠杆化头寸敏感，因为此类头寸可能意味着巨大的下行风险。

这意味着，对于偏离无风险资产太多的符合风险条件的资产，不可能持有共同债务。当专门研究凸接受集时，上述定理可以用一个更简单的条件来描述，如下所示。回想一下，如果A是凸的且ρAis是共单调的，那么A是自动的凸锥。推论2.19。假设A是conv-ex和ρAis共单调的。那么，下列陈述是等价的：（a）ρa，是共单调的。（b） ±1+ρA，S（1）SS∈ A.（c）S+SρA，S（1）∈ A.∩ (-A） 。证据从0开始∈ A通过圆锥度，直接从定理2.18得出（A）意味着（b）。为了验证相反的含义，假设（b）保持并取任意的X∈ A.由于A是凸的和圆锥的，在加法下是闭合的，我们从（b）得到X±（1+ρA，S（1）SS）∈ A.ρA是协单调的，现在遵循定理2.18。（b）和（c）之间的等价性是圆锥度的直接结果。在上述推论的背景下，他设定了∩ (-A） 是一个线性空间，其元素可能被称为“风险不变量”，因为将它们添加到资本头寸X中不会影响ρA（X），即A∩ (-A） ={X∈ L∞| ρA（X+Y）=ρA（Y），Y∈ L∞}.这是ρa次可加性的直接结果。从这个意义上说，前面的结果告诉我们ρa是共单调的当且仅当“充分杠杆”位置S+Sρa，S（1）的支付是arisk不变的。作为上述推论的结果，我们看到，如果接受设置了满足点条件a∩ (-A） ={0}，即如果不存在非零风险不变量，则风险度量ρA不能是共单调的，除非符合条件的资产S是无风险的。正如我们在下一节中的例子所说明的，这种情况远非例外。事实上，对于应用程序中使用的绝大多数接受集，指向性是规则，而不是例外。推论2.20。

假设A是指向的。那么，ρA，Sis comonotonic only if=-SρA，S（1）。特别是，ρA，Sis从不共单调i f S是一种风险资产。描述无风险资产下的共单调性是已经观察到的，从定理2.18可以看出，ρA的共单调性取决于可接受集A和合格资产S之间的相互作用。因此，与凸性或正同质性等风险度量的许多其他重要性质相比，comonotonicity不能仅由验收集的属性来表征。本节的目的是说明，如果我们将注意力限制在凸现金加性风险度量上，这种特征是可能的。定理2.21。假设A是con v exn，则下列语句等价：（A）ρAis共单调。（b） 对于每个C∈ Cmax这里是一个正线性泛函πC:L∞→ R使得πC≥ πDon Cfor all D∈ CmaxandA=\\C∈Cmax{X∈ L∞| πC（X）≥ 0}.在这种情况下，每X∈ L∞我们有ρA（X）=maxC∈CmaxπC(-十） 。（2.2）证据。假设（b）成立，并注意到，对于每个X∈ L∞, 我们必须有ρA（X）=inf{m∈ R |πC（X+m）≥ 0，C∈ Cmax}=supC∈CmaxπC(-十） 。自πC（X）≥ 所有D的πD（X）∈ Cmax，我们推断ρA=πCon C。总之，命题2.9意味着ρAis是共单调的。相反，假设ρAis是共单调的。由于ρAis是凸的，因此根据命题2.9，对于每个C∈ Cmax我们找到一个正线性函数lπC:l∞→ R使得ρA=-πConC和ρa≥ -πCon L∞. 这会立即产生（2.2）。A在（b）中的表示现在是A=A（ρA）通过命题2.13的直接结果。备注2.22。定理2.21可被视为Rieger（2017）中共单调性的有限维特征的推广。

这源于备注2.10，在备注2.10中，我们观察到，在有限概率空间的情况下，可以通过（有限多个）置换来表示最大的共单调集。3例在最后一节中，我们通过将结果应用于各种明确的接受集（包括最常见的例子）来说明我们的结果。这些具体的例子突出表明，对于有风险的合法资产，共名性是例外，而不是规则。基于风险价值的资本充足率资本头寸X的风险价值（VaR）∈ L∞在α级∈ （0，1）由varα（X）：=inf{m定义∈ R | P（X+m<0）≤ α}.注意，VaRα（X）是X的上α-分位数。相应的接受集是Avar（α）给出的闭锥：={X∈ L∞| VaRα（X）≤ 0}={X∈ L∞| P（X<0）≤ α}.我们感兴趣的是研究风险度量S-VaRα：L的共单调性∞→ R由VaRα（X）给出：=ρAVaR（α），S（X）=inf{m∈ R | P（X+mSS<0）≤ α}.由于VaRα是众所周知的共单调的，我们很容易看到，只要S是无风险的，S-VaRα就会自动地是共单调的。在这种情况下，S-VaRα实际上只是VaRα的倍数。同时，不难验证验收集AVaR（α）是否为通用的，因此推论2.20不适用于基于VaR可接受性的风险度量。第一个结果是通过将定理2.18应用于VaR可接受性得出的，并表明S-VaRα只有在支付常数具有足够高的可接受性的情况下才能是协单调的。实际上，从实用的角度来看，αclose to 0的值是有趣的，所以（3.1）中给出的界接近于1。提议3.1。假设S-VaRα是共单调的。然后，我们有了S=-VaRα（1/S）≥ 1.- 2α。（3.1）证据。从0开始∈ AVaR（α），根据定理2.18，S-Varα只能是ifP的共单调函数1+S-VaRα（1）SS<0≤ α和P- 1.-S-VaRα（1）SS<0≤ α.