哪些符合条件的资产与Comonomonic capital兼容

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英文标题：
《Which eligible assets are compatible with comonotonic capital
  requirements?》
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作者：
Pablo Koch-Medina, Cosimo Munari, Gregor Svindland
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  Within the context of capital adequacy, we study comonotonicity of risk measures in terms of the primitives of the theory: acceptance sets and eligible, or reference, assets. We show that comonotonicity cannot be characterized by the properties of the acceptance set alone and heavily depends on the choice of the eligible asset. In fact, in many important cases, comonotonicity is only compatible with risk-free eligible assets. The incompatibility with risky eligible assets is systematic whenever the acceptability criterion is based on Value at Risk or any convex distortion risk measure such as Expected Shortfall. These findings qualify and arguably call for a critical appraisal of the meaning and the role of comonotonicity within a capital adequacy context.
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中文摘要：
在资本充足率的背景下，我们从理论的原语：接受集和合格资产或参考资产的角度研究风险度量的共单调性。我们证明了共单调性不能仅用接受集的性质来表征，而且在很大程度上取决于合格资产的选择。事实上，在许多重要情况下，共名性仅与无风险合格资产兼容。当可接受性标准基于风险价值或任何凸形失真风险度量（如预期短缺）时，与风险合格资产的不相容性是系统性的。这些发现符合资本充足率背景下对共名性的意义和作用进行批判性评估的条件，并有争议地提出了这一要求。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Which_eligible_assets_are_compatible_with_comonotonic_capital_requirements?.pdf (228.15 KB)

2022-5-10 19:43:45 上传

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关键词：Capital capita Capi Mon OMO

哪些符合条件的资产符合共同货币资本要求？Pablo Koch Medina，Cosimo MunariCenter for Finance and Insurance and S wiss Fin a Institute of Zurich，SwitzerlandGregor Svinds Institute，LMU Munich，Germany 2021年1月21日摘要在资本充足率的背景下，我们从理论的原语：接受集和合格资产或参考资产的角度研究风险度量的共单调性。我们证明了共单调性不能单独用接受集的性质来表征，并且在很大程度上取决于合格资产的选择。事实上，在许多重要的情况下，同一性仅与无风险合格资产兼容。当可接受性标准基于价值风险或任何凸形失真风险度量（如预期不足）时，与风险合格资产的不相容性是系统性的。这些发现符合资本充足率背景下的共同声誉的含义和作用，可以说需要对其进行批判性评估。关键词：共名性、风险度量、承兑集合、合格的资产证券交易系统1简介承兑集合和风险度量理论在当前保险界和银行界关于偿付能力制度的争论中占有重要地位。自Artzner等人（1999）发表开创性著作以来，人们对风险度量的各种理论性质进行了研究，其中共单调性的性质受到了相当大的关注。Kusuoka（2001年）和Delbaen（2002年）在数学金融文献中以及Dhaene等人（2002年）在精算文献中首次研究了共单调风险度量。

我们参考F¨ollmerEmail:pablo。koch@bf.uzh.chEmail：科西莫。munari@bf.uzh.chEmail: svindla@mathematik.uni-明辰。deand Schied（2011）和其中关于全面处理共单调风险度量的参考文献，以及Denuit et al.（2005）和McNeil et al.（2015）关于共单调性的深入讨论，以期在金融和保险领域的应用。为了强调本文的信息，我们首先以一种非正式的方式回顾了共单调风险度量的概念。考虑单周期经济，并假设金融机构在终止日期的资本头寸（资产减去负债）由属于适当有序向量空间的随机变量表示，与大部分风险度量数据一致，我们认为该空间为L∞本质上有界的随机变量（在给定的概率空间上）。在资本充足率的背景下，风险度量被解释为资本要求，并用于确定公司必须持有的资本量，以应对意外的未来损失（我们在松散意义上使用术语“监管”来包含任何外部或内部强加的要求）。从数学上讲，一个风险度量可以用一个映射ρ：L来表示∞→ R.如果风险度量ρ是对共单调的随机变量的加性，即作为公共风险驱动因素的递增函数的随机变量“完全正相关”，则我们说风险度量ρ是共单调的。共单调风险度量的主要思想是，合并两个共单调位置不会产生分散效益，因此，总位置所需的风险资本量应与各自的资本要求之和相对应。

如果要求ρ是次加性的，那么这种解释尤其有吸引力，因为单个资本要求的总和总是构成多元化投资的资本要求的上限。这是文献中提出的标准论点，认为在资本充足率框架中，共单调性可能是一种自然且可取的规范性要求，参见F¨ollmer and Schied（2011）中关于共单调性风险度量的章节。关于资本充足率的精算文献主要集中于共单调性，尤其是与次可加性相结合，以得出总头寸资本要求的近似值和界限。我们参考t o Dhaene等人（2002）和Dhaene等人的调查文章。（20 06）详细介绍此类技术。请注意，正如inEmbrechts et al.（2002）所指出的，对于具有给定边际的股份分置头寸，共单调风险度量下的最高资本要求不需要通过共单调copula实现，除非风险度量是次加性的。我们参考Embrechts等人（2005年）、Kaas等人（2009年）和Embrechts等人（2013年）的调查文章，了解关于风险值最坏界限的一些结果。本文的目的是研究Artzner等人（1999）在论文中介绍的广泛风险度量类别的共单调性性质。

该文件的基本思想是通过强调两个基本对象的作用，提供风险度量的操作定义：o接受集 L∞, 代表从监管角度被视为可接受的一组资本头寸，以及o合格资产S=（S，S），代表价格S>0且收益S的流动性交易金融资产∈ L∞+用于表示每种可接受性。验收集起到资本充足率测试的作用，用于区分资本充足的金融机构（即资本状况属于a的金融机构）和资本不足的金融机构（即资本状况不属于a的金融机构）。如果一家公司未通过资本充足率测试，然后，其管理层需要实施预先指定的补救措施，即筹集资本并将其投资于合格资产，以使其成为可接受的。为了达到充分的通用性，我们不会固定市场模型，而是将任何对S=（S，S）视为潜在的流动交易资产，即合格资产的候选对象。值得强调的是，监管机构的主要利益应该是金融机构的资本状况是可接受的，原则上，他们不应该担心公司如何达到可接受程度。特别是，正如Art zner et a l.（2009）所观察到的，公司通过风险资产而不是无风险资产来达到可接受性可能不那么困难，因为无风险资产可能根本不存在。与A和S相关的风险度量是针对每个X定义的∈ L∞通过设置ρA，S（X）：=inf{m∈ R | X+mSS∈ A} 。如果S是现金流，也就是S=S=1，我们只需写出ρA（X）：=inf{m∈ R | X+m∈ A} 。最后，数量ρA，S（X）有一个非常清晰的操作解释。

如果为正，则ρA，S（X）是“最低”资本额，如果筹集并投资于符合条件的资产，将使头寸X可接受。如果是否定的，-ρA，S（X）是在保持可接受性的情况下，可以返还给所有者的最大资本额。如第2节所述，在本文中，我们通过对支付进行适当的假设，排除了ρA没有确定价值的情况。我们的目的是描述ρA，S形式的风险度量的协整性。到目前为止，文献中只针对无风险合格资产的特殊情况讨论了这个问题。如命题2.15所述，形式为ρa，Sis的风险度量是共单调的，当且仅当相应的基于现金的风险度量ρAis是共单调的，且与ρa，S（最多一个）重合。因此，我们的问题归结为研究何时可以将基于现金的共单调风险度量表示为适用于风险合格资产S的ρa，SFO。如我们的示例所示，ρa的共单调性不足以表示ρa，而是共单调的。因此，现有文献并未解决这个问题。众所周知，见Delbaen（2002）定义2.1后的标记或F¨ollmerand Schied（2002）中的备注2.2，ρA形式的风险度量可以用适用于“贴现”头寸的基于现金的风险度量来表示。实际上，如果我们使用S作为一个新的数，我们可以为每个X写ρa，S（X）=Sρa′（X′）∈ L∞, 其中X′=X/Sis是X的“折扣”版本，A′={X/S|X∈ A} 。新的风险度量ρA′仍在L上定义∞假设Sis从零开始。因此，人们很自然地会问，关于共单调性f或ρA的研究是否最终不能简化为基于现金的标准案例。

然而，数量的变化并不能保持共单调性，因此ρa，S的共单调性（在“未贴现”的世界中）也不意味着ρa′的共单调性（在“贴现”的世界中）。因此，折扣无助于解决我们的问题。关于共单调性的主要结果记录在定理2.18中。这一结果表明，共名性本身并不与风险合格资产不相容。然而，如推论2.19和推论RY 2.20所示，对于大多数常见示例，ρA，Sis comonoto nic的合格资产类别是相当严格的。例如，只要验收集是一致的且法律不变的，合格资产就必须是无风险的，除非验收集由所有具有非负期望的位置组成（在这种情况下，ρA是线性的，因此，无论S的选择如何，都是协单调的）。特别是，在预期短缺制度下，共名性永远不会与风险合格资产兼容。对于最显著的非相干情况，即基于风险价值的接受集情况，结论类似。这里，如果潜在的概率空间是非原子的，ρA，对于任何有风险的合格资产，都不可能是共单调的。在潜在概率空间有限的情况下，共单调性仅与引理3.3中所述的接近无风险的合格资产兼容。本文的结构如下。在第2节中，我们描述了基本框架并确定了我们的主要结果。在第3节中，这些结果应用于各种示例，其中包括最常用的可接受性标准。第4节总结。2风险度量和共单调性在本节中，我们对Artzner等人提出的风险度量类别的共单调性进行了全面研究。

(1999).在整个过程中，我们考虑一个固定的概率空间(Ohm, F、 P）。所有的概率陈述，如“几乎肯定（a.s）”，“基本”等，都被默默地理解为对P的迷惑。我们总是用Borelσ-代数装备R。回想一下随机变量X：Ohm → 当kxk:=inf{m时，R被认为是基本的y有界的∈ R | P（|X |>m）=0}<∞.具有λ值的常数随机变量∈ R、 它仍然由λ表示，并且是事件E的指示函数∈ F、 用1E表示，是本质上有界随机变量的例子。向量空间L∞:= L∞(Ohm, F、 P）由关于a.s.等式的基本有界随机变量的等价类组成。按照惯例，我们在∞和他们的任何代表。空间L∞当满足上述范数和部分序X时，是一个Banach格≥ Y:<==> P（X）≥ Y）=1。子集L的拓扑概念∞始终理解为符合上述规范。对于序列（Xn） L∞收敛到X∈ L∞我们写Xn→ X.L的正元素集∞被授予诺贝尔奖∞+:= {X∈ L∞| 十、≥ 0}.而且，每X∈ L∞我们用px表示P下X的概率定律。接下来的两个定义收集了函数和随机变量集的各种属性，以便于参考，这些属性将在本文中自由使用。定义2.1。

函数ρ：L∞→ R可以满足以下性质：（1）ρ（λX+（1）- λ） Y）≤ λρ（X）+（1）- λ） ρ（Y）表示所有λ∈ [0,1]和X,Y∈ L∞（凸性）。（2） ρ（λX）=所有λ的λρ（X）∈ R+和X∈ L∞（正h同质性）。（3） ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y）对于所有X，Y∈ L∞（次可加性）。（4） ρ（X）≤ ρ（Y）对于所有X，Y∈ L∞和X≥ Y（单调递减）。（5） ρ（X）=所有X，Y的ρ（Y）∈ L∞这样PX=PY（定律不变性）。（6） |ρ（X）- ρ（Y）|≤ ckX- YK代表所有X，Y∈ L∞还有一些c∈ [0, ∞) （利普希茨连续性）。定义2.2。一套 L∞可以满足以下性质：（1）λA+（1）- λ） A A代表所有λ∈ [0,1]（凸性）。（2） λA A全部λ∈ [0, ∞) （圆锥度）。（3） A+A A（加法下的紧密度）。（4） A∩ (-（A） {0}（指向ess）。（5） A+L∞+ A（增加单吨）。（6） X∈ A代表所有X∈ L∞这样PX=py对于某些Y∈ A（法律不变性）。备注2.3。回想一下，一个正齐次函数ρ：L∞→ R是凸的，当且仅当R是次可加的。同样地，一个锥是凸的当且仅当它在加法下是闭合的。在本导言部分的结尾，我们回顾了共名性的概念。Schmeidler（19 86）引入了术语，Denneberg（1994）发现了一种常见的风险驱动因素。关于资本充足率的财务解释，请参见引言。定义2.4。

我们说这是X，Y∈ L∞当有P时，是科莫诺通吗 P-null集 F F使得（X（ω）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）≥ 0表示所有（ω，ω′）∈ Ohm × Ohm \\ 这相当于Z的存在∈ L∞两个增函数f，g:R的和→ RsatisfyingX=f（Z）和Y=g（Z）。A集C L∞如果X和Y不是X，Y中的任意一个，则称为como notonic∈ C.A泛函ρ：L∞→ 当ρ（X+Y）=ρ（X）+ρ（Y）表示所有共单调X，Y时，R称为共单调∈ L∞.下面的结果收集了共单调映射的一些重要性质。提议2.5。设ρ：L∞→ R是一个非零的共单调d-退化映射。然后，ρ（1）<0，下面的陈述成立：（i）ρ（X+m）=ρ（X）+mρ（1）对于每X∈ L∞每∈ R.（ii）ρ是带常数的Lipschitz连续-ρ(1).（iii）ρ是正齐次的。证据我们很容易看到，共单调性意味着ρ（0）=0，因此，ρ(-1) = -ρ(1). 此外，我们还有ρ（1）≤ 单调性为0。我们认为ρ（1）<0成立。为了证明这一点，假设ρ（1）=0，取X∈ L∞. 因为1是一个与自身和≥ 十、≥ -a换a∈ 最后，我们得到0=aρ（1）=ρ（a）≤ ρ（X）≤ ρ(-a） =aρ(-1） =0，只有当ρ是零函数时才可能。总之，我们看到ρ（1）<0必须成立。现在，以X为例∈ L∞和两个整数a，b∈ N.由于每个随机变量本身都是共单调的，所以我们有ρ（abX）=aρ（bX）=abρ（bbX）=abρ（X）。因此，对于每一个有理数m∈ Q它遵循ρ（X+m）=ρ（X）+ρ（m）=ρ（X）- mρ(-1） ，我们用m表示X和ρ的共单调(-1) = -ρ(1).以任意的m为例∈ R和let（m+n）和（m）-n） 是从上到下分别收敛到m的有理数序列。利用ρ的单调性，我们最终得到ρ（X）- m+nρ(-1） =ρ（X+m+n）≤ ρ（X+m）≤ ρ（X+m）-n） =ρ（X）- M-nρ(-1） 对于任意n∈ N