哪些符合条件的资产与Comonomonic capital兼容

（3.2）通过重新排列，上述不平等很容易被认为是简单的S=-VaRα（1/S）= 1.- PS<-VaRα（1/S）- PS>-VaRα（1/S）≥ 1.- 2α，其中我们使用S-VaRα（1）=SVaRα（1/S）。备注3.2。条件（3.1）通常不适用于共焦张力。为了看到这个，让{A，B，C}是Ohm 使得P（A）=P（B）=α，P（C）=1- 2α.考虑一个S>0且符合条件的资产S=（子A∪ C、 2关于B.很容易验证VaRα（1/S）=-1/因此，（3.1）是令人满意的。但是-1A∈ AVaR（α）和- 1A+1.-党卫军= -1A∪B/∈ AVaR（α），根据定理2.18，S-VaRα不是协单调的。鉴于之前的结果，我们很自然地会怀疑，共名性是否与风险合格资产完全相容。下一个命题描述了所有潜在的概率模型，其中S-VaRα对于某些风险合格资产是协单调的。引理3.3。以下陈述是等价的：（a）存在风险合格资产S，因此S-VaRα是协单调的。（b） 这里有一个∈ F使得0<P（A）≤ α和每B∈ F我们有p（B）≤ α ==> P（A）+P（Ac）∩ B）≤ α .证据为了证明（a）意味着（b），假设S-VaRα对于一些具有非恒定收益的合格资产是协单调的。考虑随机变量Z=1+S-VaRα（1），并注意，通过（3.2），它满足最大{P（Z<0），P（Z>0）}≤ α.由于Z是非常数，上述概率之一必须严格为正。在不损失一般性的情况下，假设P（Z<0）>0，setA={Z<0}∈ F.现在，任何B∈ F满足P（B）≤ α. 自从-1B∈ AVaR（α），定理2.18暗示了t hatZ- 1B必须属于AVaR（α），因此P（Z<1B）≤ α. 注意P（Z<1）=1是因为VaRα（1）<0。

那么，很容易看出P（A）+P（Ac∩ B） =P（A）∪ （Ac）∩ B） )≤ P（Z<1B）≤ α.因此，（a）意味着（b）。为了证明相反的含义，假设（b）通过设置=1和=（1在Ac上，2在A上）持有并定义合格资产S。此外，考虑r和OM变量Z=1+S-VaRα（1）SS。很容易验证S-VaRα（1）=-所以Z=-1A。现在取一个任意的X∈ AVaR（α）。通过将（b）与b={X<0}相加，我们得到P（X+Z<0）=P（a）∩ {X<1A}）+P（Ac∩ {X<1A}）≤ P（A）+P（Ac）∩ {X<0}）≤ α.此外，我们很容易看到that（X- Z<0）=P（X<-1A）≤ P（X<0）≤ α.因此，定理2.18暗示S-VaRα是协单调的，我们得出结论（b）暗示（a）。这就完成了等价性的证明。当特定于非原子概率空间的公共集时，上述结果具有以下明确的结果，即支持具有任何规定分布的随机变量的概率空间：除非符合条件的资产是无风险的，否则基于VaR可接受性的风险度量永远不会是同一的。提议3.4。假设(Ohm, F、 P）是非原子的。那么，S-VaRα是协单调的，如果S是无风险的。证据“如果”的含义总是正确的。为了证明“仅当”的含义，必须注意引理3.3中的条件（b）在非原子环境中永远不能满足。的确，如果P（A）≤ α、 然后我们总能找到B∈ F使B Acandα- P（A）<P（B）<非原子性α。因为我们很容易得到P（A）+P（Ac∩ B） =P（A）+P（B）>α，引理3.3告诉我们，S-VaRα只有在Sis不变的情况下才能是共弦的。备注3.5。众所周知，VaRα不是次可加的。然而，由于是共单调的，对于任何一个共单调的X，Y，它的特征是VaRα（X+Y）=VaRα（X）+VaRα（Y）∈ L∞. 这允许通过单独的资本要求来控制一个共单调随机变量的合计头寸所需的资本。

由于VaRα通常不是共单调的，如果S是一种风险资产，人们可能会想知道，共单调随机变量的合计头寸所需的资本是否仍然可以根据单独的资本要求或不需要t进行控制。在这里，我们表明，VaRα（X+Y）>S-VaRα（X）+S-VaRα（Y）的不良情况对于共单调X，Y也是可能的∈ L∞, 因此，对单一随机变量的单个资本要求进行汇总，无助于找到综合头寸所需资本的界限。我们在上面示例3.2的设置中提供了一个示例。如果我们考虑共单调随机变量=-2月1日-3对B2对Y=-4月1日-9在C上的B0上，则不难证明S-VaRα（X+Y）=6>+4=S-VaRα（X）+S-VaRα（Y）。基于预期缺口的资本充足率资本头寸X的预期缺口∈ L∞在α级∈ （0，1）定义为α（X）：=αZαVaRβ（X）dβ。相应的接受集是由aes（α）：={X定义的闭凸锥∈ L∞| ESα（X）≤ 0}.我们的目的是描述风险度量S-ESα：L的共单调性∞→ R由S ESα（X）给出：=ρAES（α），S（X）=inf{m∈ R | ESα（X+mSS）≤ 0}.我们证明了基于ES可接受性的风险度量是共单调的，当且仅当可接受集是无风险的。这个结果将是下面引理的直接结果。引理3.6。对于每一个非常数X∈ L∞我们有ESα（X）>-E[X]。证据因为VaRβ（X）是，对于每个X∈ L∞, 作为β的递减函数，它的结果是α（X）-ZαVaRβ（X）dβ=1- αZαVaRβ（X）dβ≥ (1 - α） VaRα（X）≥ZαVaRβ（X）dβ，当且仅当所有β的VaRβ（X）=VaRα（X）时，左右两侧相等∈ （0，1）或等价地，当且仅当X为常数。

因此，通过重新排列，我们得到α（X）≥ZαVaRβ（X）dβ+ZαVaRβ（X）dβ=ZVaRβ（X）dβ=-E[X]，当且仅当X为常数时相等。前面的引理意味着基于ES的可接受集是指向的，因此，我们可以应用推论2.20，并得出结论，除非合格资产是无风险的，否则基于ES可接受性的风险度量不能是共单调的。提案3.7。ri s k测度s-ESα是共单调的当且仅当s是无风险的。证据“如果”的含义是明确的，因为在这种情况下，S-ESα只是ESα的倍数，而ESα是众所周知的非共弦的。为了证明“仅当”的含义，请注意ESα（X）+ESα(-十） >-E[X]+E[X]=0（3.3）对每一个非常数X保持不变∈ L∞引理3.6。因此，可接受集AES（α）满足预期条件AES（α）∩ (-AES（α））={0}。要看到这一点，假设X∈ AES（α）∩ (-所以ESα（X）≤ 0和ESα(-十）≤ 0两倍。由于ESα（X）+ESα(-十）≤ 由（3.3）可知，X必须是常数。然而，唯一的常数随机变量是AES（α）∩ (-AES（α））显然是零随机变量。总之，AES（α）是明确的，推论2.20意味着S-ESα只有在S无风险的情况下才是共单体。基于扭曲风险度量的资本充足率我们用P（[0,1]）表示所有概率度量的集合u：[0,1]→ [0, 1].

与u关联的失真风险度量∈ P（[0,1]）是dru：L的映射∞→ 由dru（X）定义的R:=ZESα（X）u（dα）。这里，正如通常所做的那样，我们通过设置（X）来扩展ES:=- inf{m∈ R | X≥ m} 和ES（X）：=-E[X]。相应的接受集是由adr（u）：={X给出的闭凸锥∈ L∞| u（X）博士≤ 0}.基于失真风险度量的接受集是一个庞大的类，在非原子集中，包括所有凸的、定律不变的、与共单调性兼容的接受集。在下一个命题中，这是定理4.93 inF–ollmer and Schied（2011）的直接结果。提案3.8。假设(Ohm, F、 P）是非原子的，A是凸的，且律i是变的。然后，以下语句是等价的：（a）ρAis共单调。（b） A=某些u的ADR（u）∈ P（[0,1]）。备注3.9。在非原子环境中，失真风险度量可以通过与凹形失真函数相关的Choquet积分等效识别，直到符号，参见F¨ollmer and Schied（2011）中的定理4.70。我们的目的是描述风险度量S-DRu：L的共单调性∞→ R由DRu（X）给出：=ρADR（u），S（X）=inf{m∈ R | DRu（X+mSS）≤ 0}.下一个命题表明，基于失真的风险度量永远不会是共单调的，除非它们降低到标准预期或合格资产被认为是无风险的。提案3.10。风险度量S-DRu是共单调的，如果d仅在以下条件之一成立：（i）u（{1}）=1（因此DRu（X）=-E[X]表示所有X∈ L∞).（ii）S是无风险的。证据“如果”的含义是明确的，因为在这两种情况下，风险度量S-DRu只是DRu的倍数，这是共单调的。特别是，如果u（1）=1，那么我们显然有dru（X）=-E[X]表示任何X∈ L∞这就是DRu（X）=inf{m∈ R | E[X+mSS]≥ 0} = -SE[S]E[X]=所有X的SE[S]DRu（X）∈ L∞.

为了证明“仅当”含义，假设S-DRu是共单调的，但u（{1}）<1。然后，从引理3.6得出，任何非常数X∈ L∞满意度DRu（X）>-E[X]因此DRu（X）+DRu(-十） >-E[X]+E[X]=0。与命题3.7的证明一样，这产生了指向性条件nADR（u）∩ (-ADR（u））={0}。因此，我们可以应用推论2.20，得出S必须是无风险的结论。这就完成了“只有如果”含义的解释。4结论通过详细的讨论和结果可以得出以下两个结论：o共名性在很大程度上取决于合格资产。与风险度量的其他重要属性（如凸性、次可加性和正同质性）相比，我们的结果表明，共单调性不能单独用潜在接受集的属性来表征，而是关键取决于可接受集的特定选择。要求可接受性是关键的“监管”目标，合格资产只是实现这一目标的工具。因此，在资本平等的背景下，共名性似乎是一种附带的属性，而不是一种基本的属性共名性通常与风险合格资产不兼容。Comonomonicity仅与有限范围的合格资产兼容，这些资产通常需要接近无风险。事实上，对于许多重要的可接受集，例如基于风险价值或扭曲风险度量（如非原子概率空间中的预期短缺）的可接受集，共单调性仅与无风险合格资产兼容。一方面，这意味着对监管风险度量施加共名性要求隐含地限制了车辆的选择以达到可接受性。这与可接受性是主要监管问题这一前提背道而驰。

事实上，正如Artzner et a l.（20 09）所指出的，限制可转让资产的选择最终会降低资本效率。另一方面，共单调性与风险合格资产的不相容性意味着，在没有无风险资产的经济体中，不可能存在与运营相关的共单调风险度量。这些发现符合资本充足率背景下对单调性的意义和作用的批判性评价，并且可以说是一种批判性评价。参考文献[1]Aliprantis，Ch.D.，Border，K.C.：有限维分析is，第三版。柏林：Springer（2006）[2]Artzner，Ph.，Delba en，F.，Eb er，J.-M.，Heath，D.：一致的风险度量。《数学金融》9，203–228（1999）[3]Artzner，Ph.，Delbaen，F.，Koch Medina，P.：风险度量和资本的有效使用，ASTIN Bulletin，39（1），101–116（2009）[4]Delbaen，F.：一般概率空间上的一致风险度量，载于：Sandmann，K.，Sch¨onbucher，P.J.（编辑），《金融与随机学的进展：纪念迪特尔·桑德曼的论文》，第1–37页，Springer（2002）[5]Denneberg，D.：非加性测度和积分，Kluwer（1994）[6]Denuit，M.，Dhaene，J.，Goovaerts，M.J.，Kaas，R.：相依风险的精算理论：测度，顺序和模型，Wiley（2005）[7]Dhaene，J.，Denuit，M.，Goovaerts，M.J。，Kaas，R.，Vyncke，D.：精算学和金融学中的共单调性概念：理论，保险：数学和经济学，31（1），3-33（2002）[8]Dhaene，J.，Vandu uffel，S.，Goovaerts，M.J.，Kaas，R.，Tang，Q.，Vyncke，D.：风险度量和共单调性：一种观点，随机模型，22，573-606（2006）[9]Embrechts，P.，H¨onig，A.，Puccetti，G.：最坏的VaR情景，保险：数学与经济学，37115-134（2005）[10]Embrechts，P.，McNeil，A.J.，Straumann，A.：风险管理中的相关性和依赖性：属性和陷阱，摘自：M.A.H.Dempster。

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