基于G-期望的稳健均值-方差套期保值

接下来我们通过下面的表示定理给出G-鞅的另一个特征。定理2.16（文献[11]中的定理2.2]）。让H∈ 嘴唇(OhmT） ，然后是每一个人≤ T≤ 我们有EG[H | Ft]=EG[H]+ZtθsdBs+Ztηsdhbs- 2ZTG（ηs）ds，（2.6）式中（θt）t∈[0，T]∈ MG（0，T）和（ηT）T∈[0，T]∈ MG（0，T）。特别是非对称部分-Kt:=ZtηsdhBis-Zt2G（ηs）ds，（2.7）t∈ [0，T]是一个G-鞅，它是连续的且非递增的，其二次变化等于零。对于LβG（FT）中的所有G-鞅，当β>1时，都可以得到类似的分解。定理2.17（文献[16]中的定理4.5]）。设β>1和H∈ LβG（FT）。然后G-鞅M与Mt:=EG（H | Ft），t∈ [0，T]具有以下表示mt=X+ZtθsdBs- Kt，其中K是一个连续的、递增的过程，K=0，Kt∈ LαG（FT），（θt）t∈[0，T]∈ MαG（0，T），α ∈ [1，β），以及-K是G-鞅。然后很容易得出这样一个推论：G-鞅是对称的当且仅当过程K等于零，因此每个对称的G-鞅都可以表示为G-布朗运动中的随机积分。最后，我们提供了一些关于Gmartingale（例如（H | Ft））的表示方式的见解∈[0，T]链接到（例如(-H | Ft）t∈[0，T]。我们关注（2.7）中出现的过程η是逐步常数的特定随机变量类。为了简化符号，我们明确地证明了ηs=I（t，t）（s）η的情况，其中0<t<t，s∈ [0，T]和‘η∈ 嘴唇(Ohmt） ，但对nsteps的推广很简单。引理2.18。LetH=EG[H]+ZTθsdBs+’η（hBiT- hBit）- 2G（°η）（T）- t） ，其中（θs）s∈[0，T]∈ MG（0，T）和η∈ Lip（Ft）是指|η|=EG[|η|]+ZtusdBs+Ztξsdhbs- 2ZtG（ξs）ds，对于某些过程（us）∈[0，t]∈ MG（0，t）和（ξs）s∈[0，t]∈ MG（0，t）。

然后是-他靠-H=EG[-H] +ZT\'usdBs+ZT\'ξSDHBs- 2ZTG（‘ξs）ds，其中‘us=（us（σ- σ） （T）- （t）- θs，如果s∈ [0，t]，-θs，如果s∈ （t，t]和¨ξs=（ξs（σ- σ） （T）- t） ，如果∈ [0，t]，-η，如果s∈ （t，t）.证明.对于s<t，我们有hBi和条件G期望的性质[-H | Fs]=EG-例如[H]-ZTθudBu- η（hBiT）- hBit）+2G（°η）（T- （t）财政司司长= - 例如[H]-ZsθudBu+EG[-η（hBiT）- hBit）+2G（°η）（T- t） |Fs]=- 例如[H]-ZsθudBu++EG[EG][-η（hBiT）- hBit）+2G（°η）（T- t） |Ft]|Fs]=- 例如[H]-ZsθudBu+（σ- σ） （T）- t） 例如[|η| Fs]=- EG[H]+（σ）- σ） （T）- t） EG[|η|]+Zsuu（σ- σ） （T）- （t）- θudBu+（σ）- σ） （T）- t） ZsξudhBiu- 2ZsG（ξu（σ）- σ） （T）- t） ）du=[-H] +Zsuu（σ）- σ） （T）- （t）- θudBu++（σ）- σ） （T）- t） ZsξudhBiu- 2ZsG（ξu（σ）- σ） （T）- t） 在上一个等式中，我们使用了以下事实[-H] =EG[KT]=EG[-η（hBiT）- hBit）+2G（°η）（T-t） ]。另一方面，当s>tEG[-η（hBiT）- hBit）+2G（°η）（T- t） |Fs]=2G（η）（t- t） +ηhBit+EG[-ηhBiT | Fs]=2G（η）（T）- t） ++ηhBit++η+如-hBiT+σT财政司司长- σT++ η-如hBiT- σT财政司司长+σT=2G（°η）（T）- t） ++ηhBit++η+(-hBis+σs- σT）+η-（哈佛商学院）-σs+σT）=2G（η）（T- t） +ηhBit- ηhBis+2G(-η（T）- s） =2G（°η）（T）- （t）- η（hBis）- hBit）+2G(-η（T）- （t）- 2G(-η（s）- t） =|η|（σ）- σ） （T）- （t）- η（hBis）- hBit）- 2G(-η（s）- t） ，我们使用了2G（x）+2G的事实(-x） =|x |（σ）-σ)  十、∈ R.这就完成了证明。2.3 G-Jensen不等式用s（d）表示d维对称矩阵的空间。在G-期望的框架下，通常的Jensen不等式不成立。然而，在这种情况下，也可以证明与这个结果类似的结果，引入了G-凸性的概念。定义2.19。

C-函数h:r7→ 如果以下条件对每个（y，z，A）都成立，则R称为G-凸∈ R:G（h′（y）A+h′（y）zz) - h′′（y）G（A）≥ 0，其中h′和h′分别表示h的一阶导数和二阶导数。利用这一定义，[9]中的命题5.4.6给出了以下结果。提案2.20。以下两个条件是等价的：o函数h是G-凸的。o以下Je-nsen不等式成立：例如[h（X）| Ft]≥ h（例如[X | Ft]），t∈ [0，T]，每X∈ LG（FT）使h（X）∈ LG（FT）。作为一个特例，我们证明了Jensen不等式h在h（x）=x的G框架中成立，证明了该函数是G-凸的。引理2.21。在一维情况下，函数x 7→ xis Gconvex。证据根据定义，我们必须检查每个（y、z、A）∈ R、 G（2yA+2z）≥ 2yG（A），也就是（yA+z）+σ- （yA+z）-σ≥ y（A+σ）- A.-σ). （2.8）这可以通过案例来实现。当A和y都大于零时，条件是明显的。如果A是正的，但y是负的，那么最需要研究的情况是当yA+z<0时。在这种情况下，条件（2.8）变成（yA+z）σ≥ yAσyA（σ-σ） +zσ≥ 0，自yA（σ）以来一直满足-σ) > 0. A为负的情况是类似的。2.4一些估计由于我们在处理均值-方差套期保值时遇到的问题，我们在这里展示了对适当过程（θt）t的EGhRTθtdBtRTηtdhBiti值的估计∈[0，T]和（ηT）T∈[0，T]。提案2.22。设（θt）t∈[0，T]和（ηT）T∈[0，T]是MG（0，T）中的过程，使得（ηtRtθsdBs）T∈[0，T]和（θtRtηsdhBis）T∈[0，T]都属于MG（0，T）。然后它认为ZTθtdBtZTηtdhBit≤ 如ZT2G（ηsZsθudBu）ds.证据

通过应用G-布朗运动的It^o公式（见[10]第5.4节），我们得到ZTθtdBtZTηtdhBit=如ZTηsZsθudBudhBis+ZTθsZsηudhBiu星展银行=如ZTηsZsθudBudhBis.结果是通过注意到ZTηsZsθudBudhBis=EGhZTηsZsθudBudhBis+ZT2G（ηsZsθudBu）ds+-ZT2G（ηsZsθudBu）dsi≤如ZT2G（ηsZsθudBu）ds.作为推论，我们应用命题2.22的结果来估算EG[BthBit]的值。感谢G-布朗运动的I t^o公式，我们看到这个问题等价于EG的计算英国电信.由于bt=3ZtBsdBs+3ZtBsdhBis（2.9）和bthbit=ZtBsdhBis+zthbisbs（2.10），我们有英国电信= 3EGZtBsdhBis= 3EG[BthBit]。EG的显式计算B2n+1t, 为了n∈ N、 已经在[4]中进行了广泛的研究，但仍然没有检索到封闭形式。因此，以下估计可能会引起兴趣。推论2.23。对于每个t∈ [0，T]它认为≤ 如Zt2G（Bs）ds=σ- σ√2πσt3/2。（2.11）证据。我们只需要证明（2.11）中的等式，为此我们使用了一个近似参数。为此，设{ti}i=0，。。。，nbe[0，t]的一部分，t=0，tn=t和ti-ti公司-1=Tn对于每个i=1，n、 然后这个过程（Bns）就开始了∈[0，t]∈ M1,0G（0，T）定义为：nXi=1Bti-1I[ti-1，ti）（t）收敛于MG（0，t）到（Bs）s∈[0，t]。事实上，通过直接计算，例如|Zt（英国）- Bns）ds|≤ 如Zt | Bs- Bns | ds≤ nZtEG[|Bs |]ds=nZtσ√2秒√πds=σ√√πtnN---→N→∞0，（2.12），其中我们使用了[10]中示例19的结果来论证EG[|Bs |]=E[|N（0，σs）|]，以及G-布朗运动增量的平稳性。

利用这个结果，我们可以证明th atnXi=1G（Bti-1） （ti- ti公司-1） LG（0，t）----→N→∞ZtG（Bs）ds。事实上”ZtG（Bs）ds-nXi=1G（Bti-1） （ti）- ti公司-1)#例如“Zt（（B+sσ）- B-sσ）ds-nXi=1（B+ti-1σ- B-ti公司-1σ）（ti）-ti公司-1)#= 如Ztσ（B+s）- （Bns）+）ds-Ztσ（B）-s- （Bns）-)ds≤ 如Ztσ（B+s）- （Bns）+）ds+ 如Ztσ（B）-s- （Bns）-)ds≤ 如Ztσ（B+s）- （Bns）+）ds+ 如Ztσ（B）-s- （Bns）-)ds,当n变为| X时，这两个期望值都趋于零+- Y+|≤ |十、- Y |，| X-- Y-| ≤ |十、- 是的，因为（2.12）。Wenow evaluateEG“nXi=12G（Bti-1） （ti）- ti公司-1） #-1Xi=02G（Bti）-1） （ti）- ti公司-1） +EG2G（Btn）-1） （tn）-tn-1)Ftn-2.#.（2.13）要计算（2.13）中条件期望内的项，请注意2G（Btn）-1） （tn）- tn-1)Ftn-2.= f（Btn）-2） 式中f（x）：=EG2G（Btn）-1.- Btn-2+x（总氮）- tn-1)Ftn-2.= 如2G（Btn）-1.- Btn-2+x（总氮）- tn-1)= EPσ2G（Btn）-1.- Btn-2+x（总氮）- tn-1)自2G（Btn）-1.-Btn-2+x（总氮）-tn-1） 是Btn的凸函数-1.-Btn-2.通过归纳法进行，并让n→ ∞ 我们得到了Zt2G（Bs）ds= EPσZt2G（Bs）ds=ZtσEP“ZsσdWu+#- σEP“ZsσdWu-#!ds=ZtσσZ∞十、√2π√东南方-xdx++ σσZ-∞十、√2π√东南方-xdx!ds=σ- σ√2πσZt√sds=σ- σ√2πσt3/2。最后请注意，我们可以用同样的方法计算[-BthBit]=例如-ZtBsdhBis≤ 如-ZtG(-Bs）ds= EPσZt2G(-Bs）ds=σ- σ√2πσt3/2，与EGhRt2G（Bs）dsi完全相同。3稳健均值-方差分析3。1设置我们首先确定有限的时间范围T和可测量的空间(Ohm, F） ，在哪里Ohm := {ω ∈ C（[0，T]，R）：ω（0）=0}，F:={Ft，T∈ [0，T]}是标准过程B和F=FT产生的过滤。备注3.1。这种可测空间的选择将允许我们使用随机演算的结果，关于G-布朗运动，特别是第2节中提出的G-鞅表示定理2.17。

这个假设可以在不损失一般性的情况下进行，对于任何概率测度P(Ohm , F） 用`FP:={`FPt，t表示∈ [0，T]}对于P-增强过滤，我们有以下引理（参见[15]中的防范）。引理3.2。对于任何“FPt可测量的随机变量ξ”，存在一个唯一（P-a.s.）Ft可测量的随机变量ξ，使得∧ξ=ξ，P-a.s。。类似地，对于每个“FPt渐进可测过程X”，存在一个唯一的“Ft渐进可测过程”~X，使得~~X=X，dt dP a.e。。此外，如果X是P-几乎肯定连续的，那么我们可以选择Xto是P-几乎肯定连续的。我们考虑以下贴现资产（dXt=XtdBt，X>0，dγt=0，γ=1，其中（γt）t∈[0，T]表示贴现的无风险资产。类似于[14]中所做的，我们考虑了以下g类型的策略空间。定义3.3。交易策略φ=（φt，ηt）t∈[0，T]称为可容许的，如果（φT）T∈[0，T]∈ Φ，式中Φ：=（φpr）例如“ZTφtXtdBt#< ∞),η是自适应的，并且是自融资的，即Vt（ν）=ηtγt+φtXt=V+ZtφsdXs， T∈ [0，T]。这些策略的价值∈ Φ随时t∈ [0，T]完全由（V，φ）决定，这样我们就可以为所有T写出Vt（φ）=Vt（V，φ）∈ [0，T]。我们考虑对未定权益进行套期保值的问题∈ L2+G（FT），对于>0，使用可接受的策略。为了能够使用G-鞅表示定理，H上的可积性条件是必需的。由于索赔H只有在对称的情况下才能用这种策略完全复制，对于一般衍生产品H，稳健均值方差对冲的想法是最小化剩余终端风险定义为asJ（V，φ）：=EGh（H- VT（V，φ））i=supP∈佩普（H）- VT（V，φ））i（3.1），通过选择（V，φ）。

这就是我们希望解inf（V，φ）∈R+×ΦJ（V，φ）=inf（V，φ）∈R+×ΦEGh（H- VT（V，φ））i，（3.2），正如[14]中在存在唯一先验的经典情况下所做的那样。如果异常（V*, φ*) ∈ 问题（3.2）存在R+×Φ，我们称之为φ*最优均值-方差策略，最优均值-方差portfolioVt=V*+Ztφ*sdXs，t∈ [0，T]。（3.2）中的函数可以解释为代理和市场之间的随机博弈，后者显示最坏情况下的波动性场景，前者选择最佳可能策略。当我们有P={P}时，这个问题可以通过Galtchouk KunitaWatanabe分解来解决，方法是将H投影到线性空间{I=x+RTφsdXs | x上∈ R和φ∈ Φ}（关于经典情况下的更多信息，请参见[14]）。这里的情况在几个方面都比较麻烦。首先，L2+G-可积G-鞅空间不存在正交分解。此外，对称标准并不能区分买方和卖方，所以最好的套期保值策略应该是最优的-H.这使我们无法直接使用G-鞅表示定理，因为分解H的系数与分解H的系数是先验不同的-H、 见引理2.18。然而，我们可以从它的直接应用中获得一些见解。引理3.4。i.i.V*区间内最优均值-方差组合的估计[-例如[-H] ，例如[H]]。证据LetH=EG[H]+ZTθsdBs- KT（3.3）-H=EG[-H] +ZT′θsdBs-\'KT，是H和的G-鞅分解-对于合适的过程（θt）t∈[0，T]，（°θT）T∈[0，T]，（Kt）T∈[0，T]和（\'Kt）T∈[0，T]，分别如定理2.17所示。

然后它就跟在后面了H- 五、-ZTφsXsdBs#=例如“例如[H]- V+ZT（θs）- φsXs）dBs- KT#=（例如[H]- 五） +EG“ZT（θs）- φsXs）dBs- KT+- 2KT（例如[H]- 五） #、（3.4）和类似的-H+V+ZTφsXsdBs#=例如“例如[-H] +V+ZT（°θs+φsXs）dBs-\'KT#=（例如[-H] +V）+EG“ZT\'\'θs+φsXs星展银行-\'KT+- 2千吨（例如[-H] +V）#，关于G-布朗运动和命题2.8的随机积分的性质。从上面的表达式中，我们可以看到，由于KT和¨KT是严格正的ran dom变量，最优初始财富V*正在休息[-例如[-H] ，例如[H]]。这与[18]中给出的关于无套利的结果是一致的，多亏了这一点，我们可以认为VS确实应该存在(-例如[-H] 只要-例如[-H] <EG[H]。当声明是对称的，例如[H]=-例如[-H] ，它也是完全可复制的，然后我们就有了V*=EG[H]和（φ）*t） t∈[0，T]=（θT/Xt）T∈[0，T]，与经典情况一样。至于初始值，也可以确定最优交易策略必须属于MG范数中的某个有界集。引理3.5。让我们给出一个或有索赔H∈ L2+G（FT）带H=EG[H]+ZTθsdBs- KT，对于某些（θt）t∈[0，T]∈ MG（0，T）和KT∈ LG（FT）。然后就有了aR∈ R+使得inf（V，φ）∈R+×ΦJ（V，φ）=inf（V，φ）∈R+×ΦkRT（θs）-φsXs）dBsk≤RJ（V，φ）。证据我们首先注意到最优均值-方差组合（V*, φ*)明显令人满意（V*, φ*) ≤ 如H（3.5）和putA:=EG[H]- 五、- KT，D:=ZT（θs）- φsXs）dBs。我们可以推导出以下g链的不等式j（V，φ）=EGh（A+D）i=EGA+D+2AD≥ 如D- 如-D- 例如[-2AD]≥ 如D- 如-A.- 2EGA.如D.这表明EG的巨大价值D, i、 e.对于任何V，RφSXSDBs与RθSDBSs的距离是否太大∈ (-例如[-H] 终端风险J（V，φ）不能小于（3.5）中的上限。这就完成了证明。定理3.6。

让我们提出索赔∈ L2+G（FT）和随机变量序列（Hn）n∈那是什么- Hnk2+→ 0作为n→ ∞. 然后asn→ ∞ 我们有*N→ J*,在哪里，每n∈ N、 J*n:=inf（V，φ）∈R+×ΦEGh（Hn）- VT（V，φ））iandJ*:= inf（V，φ）∈R+×ΦEGh（H- VT（V，φ）i.证明。作为证明的第一步，我们研究了terminalriskEGh（Hn）的收敛性- VT（V，φ））i→ EGh（H）- 对于某些策略（V，φ），VT（V，φ））i（3.6）。在不丧失一般性的情况下，我们假设H具有如（3.3）所示的代表性。同样地，对于每一个n∈ N、 我们声称Hn=EG[Hn]+ZTθnsdBs- KnT，对于a（θnt）t∈[0，T]∈ MG（0，T）和KnT∈ LG（FT）。我们首先证明，对于一个有界的交易策略类别，我们可以限制自己研究（3.6）中的收敛性。从[16]中的T heorem 4.5可以看出，（Hn）n的lg收敛性∈Nto H意味着alsokZT（θns- θs）dBsk→ 0和kKnT- KTk→ 0作为n→ ∞. 这些事实，再加上引理3.4和引理3.5，使我们能够∈ R+如此*n=inf（V，φ）∈R+×ΦkV+RT（θs）-φsXs）dBsk≤雷格（Hn）- VT（V，φ））iJ*= inf（V，φ）∈R+×ΦkV+RT（θs）-φsXs）dBsk≤雷格（H）- VT（V，φ）i.这又意味着收敛egh（Hn- ·)我→ EGh（H）- ·)策略集（V，φ）∈ R+×Φ，使得kV+RT（θs-φsXs）dBsk≤R.事实上，表示x:=V+RTφsxsdbs这类策略中的任何一种，对于任何δ>0，我们都可以找到n∈ N所有人都是这样的N>\'NEGh（Hn）- x） 我- EGh（H）- x） 我≤EGh（Hn）-十）- （H）- x） 我≤埃格|（Hn）- 十）- （H）- x） |i=EG[|（Hn）- H） （Hn+H）- 2x）|]≤EGh（Hn）- H） iEGh（Hn+H）- 2x）我≤EGh（Hn）- H） 我EGh（Hn+H）i+EG（2x）< δ. （3.7）这一点很清楚，因为（3.7）中的第二个因子是有界的。考虑到集合kxk上x的上确界，前面的不等式链也成立≤ R、 这反过来又意味着一致收敛。我们现在可以证明主要陈述。对于任何δ>0的情况，从J的定义*, 存在（\'V，\'φ）∈ R+×Φ使得k′V+RT（θs-\'\'φsXs）dBsk≤ R和J*+ δ ≥ 例如“H-\'V-ZT′φsXsdBs#.

（3.8）此外，来自（3.7）的一致收敛允许我们考虑足够大的n，以便例如“H-\'V-ZT′φsXsdBs#- 例如“嗯-\'V-ZT′φsXsdBs#< δ.（3.9）从（3.8）和（3.9）中我们可以得出结论*+ 2δ ≥ J*n、 （3.10）类似地，也可以找到（~V，~φ）这样的j*n+δ≥ 例如“嗯-~V-ZT)φsXsdBs#和例如“H-~V-ZT)φsXsdBs#- 例如“嗯-~V-ZT)φsXsdBs#< δ、 我们可以从中讨论*N≥ J*- 2δ. （3.11）不等式（3.10）和（3.11）将证明归纳为*-2δ ≤ J*N≤ J*+ 2δ和δ是任意选择的。备注3.7。定理3.6表明，我们可以通过考虑空间Lip（FT）中的索赔来开始均值方差优化的研究。L2+G（FT）中的任何随机变量实际上都是通过定义Lip（FT）中元素的L2+G-标准中的极限来确定的。此外，如定理2.16所述，这类随机变量的最大优点是-K在他们的陈述中进一步分解为-KT=ZTηsdhBis- 2ZTG（ηs）ds，（3.12）对于某些过程（ηt）t∈[0，T]∈ MG（0，T）。从现在起，我们考虑H∈ 分解为H=EG[H]+ZTθsdBs的L2+G（FT）- KT（η）=EG[H]+ZTθsdBs+ZTηsdhBis- 2ZTG（ηs）ds。（3.13）考虑到问题的复杂性，我们按以下步骤进行。我们首先对过程η施加一些条件，即是确定性的或m轴向分布的，然后我们假设η是一个分段恒常过程，具有一些我们将在每次澄清的特定特征。在这些情况下，我们能够明确地解决均值-方差套期保值问题。最后，我们通过提供最小终端风险的估计来解决一般情况。4显式解我们首先给出了随机变量H的最优均值-方差组合的计算∈ L2+G（FT）分解（3.13），其中η被假定为确定性的或仅取决于（hBit）t的实现∈[0，T]。