基于G-期望的稳健均值-方差套期保值

相反，（3.13）中的被积函数θ是完全一般的，必须只属于MG（0，T）。通过这种方式，由于η不会通过直接依赖于G-布朗运动而表现出波动性不确定性，因此可以通过初始财富V来对冲不确定性，而无需使用s策略φ。在这些情况下，我们能够在定理4.1和定理4.5.4.1确定性η中明确提供最优解。我们首先考虑表达式（3.13）中η是确定性的情况，并提供最优投资策略和初始财富。定理4.1。考虑一个索赔H∈ L2+G（FT）的下列形式H=EG[H]+ZTθsdBs+ZTηsdhBis-ZT2G（ηs）ds，（4.1）式中θ∈ MG（0，T）和η∈ MG（0，T）是一个确定性过程。最优均值-方差组合i由φ给出*tXt=每t的θt∈ [0，T]与v*=例如[H]- 例如[-H] 。证据我们首先计算p进程的跨度eg[H]+ZtηsdhBis-ZT2G（ηs）ds。这几乎肯定在间隔中- (σ- σ） RT |ηs | ds，例如[H]]。我们从上界开始，注意到在波动性场景下，由∧σt=（σifηt）给出≥ 0，σ，如果ηt<0，对于每个t∈ [0，T]，负随机变量ηsdhBis-RT2G（ηs）dsp∑-a.s.等于零。因此，我们得到了EP∧σ[H]=EG[H]。对于下界，我们考虑∧σ′t=（σifηt≤ 0，如果ηt>0，则每t∈ [0，T]。这就是rtηsdhBis-RT2G（ηs）dsm达到其最小值。由此可知，EP∑′[H]=-例如[-H] 。事实上，从（4.1）开始，-H=-例如[H]-ZTθsdBs-ZTηsdhBis+ZT2G（ηs）ds=-例如[H]-ZTθsdBs-ZTηsdhBis+ZT2G（ηs）ds+ZT2G(-ηs）ds-ZT2G(-ηs）ds=-EG[H]+ZT(-θs）dBs+ZT(-ηs）dhBis-ZT2G(-ηs）ds（4.2）+（σ- σ） ZT |ηs | ds，因为zt2（G（ηs）+G(-ηs）ds=（σ- σ） ZT |ηs | ds。我们注意到，由于η是确定性的，表达式（4.2）提供了-H.因此我们可以得出结论：-EG[H]+（σ）- σ） ZT |ηs | ds=EG[-H] 。

（4.3）然后，使用命题2.20和引理2.21，我们得到inf（V，φ）EGh（EG[H]- V+ZT（θs）- φsXs）dBs+ZTηsdhBis+-ZT2G（ηs）ds）i≥ inf（V，φ）EGhEG[H]- V+ZT（θs）- φsXs）dBs+ZTηsdhBis+-ZT2G（ηs）dsi∨ 嗯- 例如[H]+V-ZT（θs）- φsXs）dBs+-ZTηsdhBis+ZT2G（ηs）dsi！=infVEGhEG[H]- V+ZTηsdhBis-ZT2G（ηs）dsi∨ （4.4）EGh- 例如[H]+V-ZTηsdhBis+ZT2G（ηs）dsi！=infVEGhEG[H]- V+ZTηsdhBis-ZT2G（ηs）dsi∨ （4.5）EGhEG[-H] +V+ZT(-ηs）dhBis-ZT2G(-ηs）dsi！，我们在（4.4）中使用了命题2.8，在（4.5）中使用了关系式（4.3）。这等于infvegheg[H]- 六、∨ 埃格格[-H] +Vi！，（4.6）asEGha+ZTξsdhBis-ZT2G（ξs）dsi==a+EGhZTξsdhBis-ZT2G（ξs）dsi=a，对于a∈ R和ξ∈ MG（0，T）。V的最小值为（4.6）*=例如[H]-例如[-H] 等于例如[H]+[-H]. 如果我们证明这一点例如[H]- 五、*+ZTηsdhBis-ZT2G（ηs）ds#=例如[H]+[-H]证据已经完成。自ceeg[H]+ZTηsdhBis-EG[H]之间的ZT2G（ηs）dslies-(σ-σ） RT |ηs | ds=-例如[-H] 很明显，|EG[H]的最大值- 五、*+ZTηsdhBis-V约束下的ZT2G（ηs）ds |*∈ [-例如[-H] ，EG[H]]由EG[H]+EG给出[-H] 。这就完成了证明。备注4.2。请注意，最佳投资策略是：*=定义为X的θXis是几何G-布朗运动，其q.s.严格大于0。此外，请注意，asZTηsdhBis-ZT2G（ηs）ds=-KT，它保持seg[H]- 五、*=例如[KT]，因为[KT]=EGEG[H]+ZTθsdBs- H= 例如[H]+[-H] 。备注4.3。注意，在一个存在唯一先验的上下文中，即σ=σ，e[H]=EG[H]=-例如[-H] 第4.1条中给出的最优初始财富和策略与经典框架下均值方差套期保值的结果一致。允许η确定性分解（4.1）的未定权益集是非平凡的。

对于任何给定的可积确定性过程（ηt）t∈[0，T]，任意常数c∈ R和任意过程（θt）t∈[0，T]∈ MG（0，T），我们可以构造索赔：=c+ZTθsdBs+ZTηsdhBis-Zt2G（ηs）ds，定理4.1的结果适用。这样一组随机变量与Lip（FT）的交集包括（Bt，Bt）中的二次多项式-英国电信，Btn-Btn-1） ，其中{ti}ni=0是[0，T]的一个分区。为了对这一事实有一个直观的认识，为了简单起见，考虑只依赖于G-布朗运动的一个增量的随机变量。H=~n（BT）的分解系数- B） 由ηt（ω）=xu（t，ω）和θt（ω）=xu（t，ω），其中u是(图+G(xu）=0，u（T，x）=~n（x），表示（T，x）∈ [0，T]×R（见[9]）。如果η是确定性的，我们可以写xu（t，ω）作为t的函数，即a（t）：=xu（t，ω）。因此，通过积分w.r.t.x，我们看到u（t，x）的形式必须是a（t）x+b（t）x+c（t），因此h=a（t）BT+b（t）BT+c（t）。备注4.4。借助于[18]中的定理4.1，可获得另一类可通过定理4.1进行优化的权利要求。

如果我们考虑H=Φ（XT）的情况，对于一些实值lipschitz函数Φ，则它保持（详情参见[18]f）Φ（XT）=EG[Φ（XT）]+ZTxu（t，Xt）XtdBt+ZTxxu（t，Xt）XtdhBit-ZTG(xxu（t，Xt））Xtdt，其中u求解(tu+G（x）xu=0，u（T，x）=Φ（x）。很容易看出这一点xxu（t，Xt）Xt对每个t都是确定的∈ [0，T]当且仅当h=Φ（XT）=u（T，XT）=a（T）log XT+b（T）XT+c（T），对于一些实函数a，b和c。通过对前一个论点的轻微修改，我们可以证明，如果市场上存在另一个资产X′，这是不可能交易的，并解决了某些ipsch-itz函数α的SDEdX′T=α（X′T）dBt，X′>0，然后我们可以再次使用定理4.1来对冲每个索赔Φ（X′T），其中Φ是一个Lipschitz函数，这样(tu+G（α（x）xu=0，u（T，x）=Φ（x），前提是xxu（t，x）=每个（t，x）的α（x）∈ [0，T]×R.4.2最大分布η我们现在考虑η仅显示平均不确定性的情况，即G-Brow运动的二次变化函数。同样在这种情况下，我们能够检索到最优均值-方差投资组合的完整描述。定理4.5。让H∈ L2+G（FT）be的形式为H=EG[H]+ZTθsdBs+ZTψ（hBis）dhBis-2ZTG（ψ（hBis））ds，其中（θt）t∈[0，T]∈ MG（0，T）与ψ：R→ R是这样的，存在k∈ 兰德α∈ R+其中|ψ（x）- ψ（y）|≤ α| x- y | k，为了所有x，y∈ R.最优均值-方差组合由φ给出*tXt=每t的θt∈ [0，T]与v*=例如[H]- 例如[-H] 。证据如定理4.1所示，我们首先应用G-Jensen不等式来获得EG“c+ZT~nsdBs+ZTψ（hBis）dhBis- 2ZTG（ψ（hBis））ds#≥ 如c+ZT~nsdBs+ZTψ（hBis）dhBis- 2ZTG（ψ（hBis））ds∨如-C-ZT~nsdBs-ZTψ（hBis）dhBis+2ZTG（ψ（hBis））ds= C∨ （例如[KT]- c） ，（4.7）其中我们定义c:=EG[H]- 五、 νt:=θt- φtXt（4.8）适用于所有t∈ [0，T]。当c*=例如[KT]，dit等于例如[KT].

最后，我们证明了这个值是通过选择V来实现的*=例如[H]-例如[-H] φ*tXt=θt。然后我们计算“EG[KT]+ZTψ（hBis）dhBis- 2ZTG（ψ（hBis））ds#. （4.9）为了做到这一点，我们使用离散化，注意ψn（hBit）：=n-1Xi=0ψ（hBiti）I[ti，ti+1）（t）MG（0，t）-→ ψ（hBit）（4.10），其中ti=Tni。事实上ZTEG|ψ（hBit）- ψn（hBit）|dt=n-1Xi=0Zti+1tiEG|ψ（hBit）- ψn（hBit）|dt≤N-1Xi=0Zti+1tiEGh | hBit- hBiti | 2kidt=NZTEGHHBI2KTIT=nZtt2kdt=n2kTn2k+1n→∞-→ 类似地，对于G（ψn（hBit））到G（ψ（hBit））的收敛性。（4.9）中的表达式是当n趋于完整时的极限EG[KT]+n-1Xi=0ψ（hBiti）hBiti+1-2n-1Xi=0G（ψ（hBiti））ti+1#=例如“EG[KT]+n-1Xi=0ψiXj=0hBitjhBiti+1+- 2n-1Xi=0GψiXj=0hBitjti+1#=例如“例如”EG[KT]+n-1Xi=0ψiXj=0hBitjhBiti+1+- 2n-1Xi=0GψiXj=0hBitjti+1Ftn-1##=例如“supσ”≤越南≤σEG[KT]+n-2Xi=0ψiXj=0hBitjhBiti+1++ψN-1Xj=0hBitj越南tn- 2n-1Xi=0GψiXj=0hBitjti+1#=EG“EG”supσ≤越南≤σEG[KT]+n-2Xi=0ψiXj=0hBitjhBiti+1++ψN-1Xj=0hBitj越南tn- 2n-1Xi=0GψiXj=0hBitjti+1Ftn-2##=例如“supσ”≤越南≤σσ≤越南-1.≤σEG[KT]+n-3Xi=0ψiXj=0hBitjhBiti+1+（4.11）+ψN-2Xj=0hBitj越南-1.tn-1+ ψN-2Xj=0hBitj+vn-1.tn-1.越南tn+- 2GψN-2Xj=0hBitj+vn-1.tn-1.tn+- 2n-2Xi=0GψiXj=0hBitjti+1#,我们在哪里使用过它hBi分布最大。

通过迭代进行，（4.11）等于上σ≤六、≤σi=1，。。。，负[KT]+n-1Xi=0ψiXj=0vjtjvi+1ti+1+- 2n-1Xi=0GψiXj=0vjtjti+1！。（4.12）作为（vi）i=1的二次函数的上确界（4.12），。。。，n、 当依赖于（vi）i=1，。。。，nis等于它的最小值，它是零，或者它的最大值，它等于-1Xi=0G（ψ（hBiti））ti+1-N-1Xi=0ψ（hBiti）hBiti+1#。在这两种情况下，当n趋于一致时，（4.12）的值收敛到例如[KT]因为（4.10）。作为最优均值-方差投资组合（V*, φ*) 对于H提供的索赔，通过(-五、*, -φ*), 最优解-H、 投资策略（φ）*t） t∈[0，T]并不总是等于过程（θT）T∈[0，T]来自定理2.17中H的G-鞅分解。定理4.5的结果与这种直觉并不矛盾。备注4.6。使用引理2.18不难证明，对于H=EG[H]+ZTθsdBs+n型未定权益-1Xi=0ψ（hBiti）hBiti+1- 2G（ψ（hBiti））ti+1,式中（θt）t∈[0，T]∈ MG（0，T）和ψ是一个实连续函数，是-H有这个表达式-H=EG[-H] +ZT(-θs）dBs-\'KT，对于合适的随机变量\'KT∈ LG（FT）。可以使用备注4.4中的相同参数来描述未定权益类别，其表示（4.1）通过多项式增长hBi的函数给出η。该集合包括hBi的Lipschitz函数家族。定理4.5可用于对冲波动性WAP，即H=phBiT- K对K∈ R+和其他波动性衍生品（关于波动性衍生品的更多细节，请参考[1]）。

事实上，给定aLipschitz函数Φ，索赔Φ（hBiT）可以写成Φ（hBiT）=EG[Φ（hBiT）]+ZT徐（s，hBis）HBISDBIS- 2ZTG(xu（s，hBis）hBisds，其中u（t，x）解(tu+2G（xxu）=0，u（T，x）=Φ（x），作为G-布朗运动的非线性费曼-卡克公式（见[11]）和G-It^o公式（见[10]）的结果。4.3分段常数η我们现在研究更广泛类别的索赔的最优均值-方差组合，在过程η中加入均值和波动不确定性。我们首先考虑ηs=n-1Xi=0ηtiI（ti，ti+1）（s），对于n∈ N、 其中{ti}ni=0是[0，T]的一个分区，即0=T≤ T≤ ··· ≤tn=T，ηti∈ Lip（Fti）为我所有∈ {0，…，n}。我们将概述一个递归求解过程，我们可以求解n=2。在n>2的情况下，Theorem 4.14的证明提供了一个递归过程，可用于从数值上找到最优解（见[7]）。最后，我们在第5节中给出了最优最终风险（3.2）的边界。作为初步结果，我们仅限于研究可以用以下方式表示的索赔：H=EG[H]+θtBt+ηthBit- 2G（ηt）t、 （4.13）其中0≤ t<t≤ T，θT∈ LG（Ft），Bt:=Bt- B同样适用于赫比坦德t、 我们相应地选择φt=φtI（t，t）形式的投资策略类φ，其中φt∈ LG（Ft）。如果我们表示c:=EG[H]- 五、 νt:=θt- φtXt，风险函数（3.1）变为segh（例如[H]- V+（θt）- φtXt）Bt+ηthBit- 2G（ηt）t） i=EGh（c+int）Bt+ηthBit- 2G（ηt）t） i=EGh（c+ηt）hBit- 2G（ηt）t） +~ntBt++2~ntBtηthBiti，（4.14），我们在最后一步中使用了2.8号提案。定理4.7。考虑一个索赔H∈ 分解为asin（4.13）的L2+G（FT）。最优均值-方差投资组合由（V）给出*, φ*), φ在哪里*X=θ和V*solvesinfVEG（例如[H]- V）∨ （例如[H]- 五、- (σ- σ)t |ηt |）. （4.15）证据。

我们从计算Egh（c+ηt）开始hBit- 2G（ηt）t） i=EGhEGh（c+ηt）hBit- 2G（ηt）（t）Ftii=EG[f（ηt）]，（4.16），其中f（x）=EGh（c+x）hBit- 2G（x）t） i.利用hBi是最大分布的事实，f（x）=supσ≤五、≤σ（c+xv）T- 2G（x）（t）=c+σxT- 2G（x）T∨c+σxT- 2G（x）T= C∨C- (σ- σ)t | x|,所以（4.16）等于GHC∨C- (σ- σ)t |ηt|i、 这意味着，在时间间隔[t，t]内，最坏情况将波动率设定为σTwenc≥C- (σ- σ)t |ηt|,这相当于总有机碳≥(σ- σ)t |ηt |，或σtifc≤(σ- σ)t |ηt |。因此，根据命题2.20，对于每一个c∈ （0，EG[H]+EG[-H] ）infаEGh（c+int）Bt+ηthBit- 2G（ηt）t） i=inf~nEGhEGh（c+int）Bt+ηthBit- 2G（ηt）（t）Ftii≥inf k EGhEG[c+k tBt+ηthBit- 2G（ηt）t|Ft]∨例如[-C- ~nt英国电信- ηthBit+2G（ηt）t | Ft]i=EGhc∨C- (σ- σ)t |ηt|i、 （4.17）这使我们能够得出结论，因为通过选择φt=0和V可以获得较低的boun d*是（4.15）的解。定理4.7表明，最优初始富裕度的确定可能更为复杂。现在我们用一个反例来说明EG[KT]和V之间的联系*备注4.2中的规定不适用于f或一般η。提案4.8。设H的形式为H=EG[H]+θtBt+ηthBit- 2G（ηt）t、 θt在哪里∈ LG（Ft）和ηt=eBt。均值方差投资组合的最佳初始财富不同于V*=例如[H]- 例如[-H] 。证据让我们先计算一下[-H] 。通过对GBrownian运动增量的凸函数的期望进行条件化并使用一些结果（见[10]中的P位置11），我们得到了EG[H]+EG[-H] 例如2G（eBt）T- eBthBit= 如(σ- σ)特伯特= EP[（σ- σ)teWtσ]=（σ- σ)teσt/2，其中（Wt）t∈[0，T]是P下的标准布朗运动。

我们现在关注的是c上的极小化of h（c）：=EGhc∨C- (σ- σ)特伯特i=EPhc∨C- (σ- σ)teWtσi=EPeWtσt（σ）-σ) - C- C++ c=c+EPheWtσt（σ）- σ)eWtσt（σ）- σ) - 2c+i=c+EPEN√tσt（σ）- σ)EN√tσt（σ）- σ) - 2c+,N在哪里~ N（0，1），我们已经使用了C∨eBtt（σ）- σ) - C是Bt的凸函数。设y:=（σ）- σ)坦达（x）：={x∈ R:eσ√tx>2cy}=十、∈ R:x>log2cyσ√T= {x∈ R:x>g（c）}，其中g（c）：=log2cyσ√t、 通过这些旋转，H（c）可以写成asH（c）=c+EPheσn√蒂亚（N）i- 2cyEPheσ√tNIA（N）i=c+yZx>g（c）eσ√德克萨斯州√2πe-xdx- 2cyZx>g（c）eσ√德克萨斯州√2πe-xdx。我们对c进行微分，以找到驻点：H′（c）=2c- 叶σ√甘油三酯（c）√2πe-g（c）g′（c）+2cyeσ√甘油三酯（c）√2πe-g（c）g′（c）+- 2yZx>g（c）√2πeσ√德克萨斯州-xdx。（4.18）我们现在用c代替*=例如[H]+[-H] =yeσtinto（4.18），看看它是否是一个可能的最小点。我们得到了*) =洛基！σ√t=σ√t、 因此yeσt= yeσt- 叶σ√tσ√T√2πe-g（c*)g′（c）*)++ 2yeσtyeσ√tσ√T√2πe-g（c）*)g′（c）*)+- 2yZx>σ√T√2πe-（十）-2σ√tx）dx=yeσt- 2Zx>σ√T√2πe-（十）-2σ√tx）dx！=yeσt- 2eσtZz>-σ√T√2πe-zdz！=yeσt- 2eσtZ∞√2πe-zdz+- 2eσtZ-σ√T√2πe-zdz！=-2yeσtZ-σ√T√2πe-zdz，它不同于零。我们现在推导出其他特殊情况下的最优初始财富f，正如我们在下面的命题中所做的那样。这个结果将构成我们递归方案的第一步。我们注意到η现在将表现出波动性不确定性，这被排除在第4.1节和第4.2节的结果之外，而过程θ∈ MG（0，T）是完全一般的。提案4.9。考虑一个形式为H=EG[H]+ZtθsdBs+ηt的索赔HhBit- 2G（ηt）t、 其中0=t<t<t=t，（θs）s∈[0，t]∈ MG（0，t），ηt∈ LG（Ft）和|ηt |=EG[|ηt |]+ZtusdBs，（4.19）对于特定过程ss（us）s∈[0，t]∈ MG（0，t）。最优均值方差组合由xtφ给出*t=θt-ut（σ）- σ)TI（t，t）（t）+θtI（t，t）（t）代表t∈ [0，T]与v*=例如[H]- 例如[-H] 。证据

我们使用与定理4.7相同的方法来确定终端风险的下限。我们使用（4.8）中介绍的符号，并考虑例如[H]- V+Zt（θs）- φsXs）dBs+ηthBit- 2G（ηt）T#= 例如“例如”c+Zt~nsdBs+ηthBit- 2G（ηt）T英尺##≥ EG“EG”c+Zt~nsdBs+ηthBit-2G（ηt）T英尺#∨例如“- C-Zt~nsdBs- ηthBit+2G（ηt）T英尺##=例如“c+Zt~nsdBs∨- C-Zt~nsdBs+（σ- σ)t |ηt |！#，我们在哪里用过c+Zt~nsdBs+ηthBit- 2G（ηt）T英尺= 如c+Zt k sdBs+Ztt k sdBs+ηthBit-2G（ηt）T英尺= c+Zt~nSDB感谢提案2.8，以及类似的-C-Zt~nsdBs- ηthBit+2G（ηt）T英尺= -C-Zt~nsdBs+（σ- σ)t |ηt |如（4.17）所示。这使我们可以得出结论，区间（t，t）中的最优策略由φ给出*tXt=θt。我们现在使用（4.19）重写（4.20）asEG“c+Zt~nsdBs∨C- (σ- σ)tEG[|ηt |]+Zt~ns- (σ- σ)tusdBs！#。（4.21）让我们介绍辅助符号：=c-(σ- σ)tEG[|ηt |]（4.22）和ψs:=|s-(σ- σ)tus，（4.23）以进一步重写（4.21）asEG“(σ- σ)tEG[|ηt |]++Zt(σ- σ)tus+ψs星展银行∨-(σ- σ)tEG[|ηt |]++Zt-(σ- σ)tus+ψsdBs#=例如“（σ- σ)t |ηt |++ZtψsdBs！∨-(σ- σ)t |ηt |++ZtψsdBs#=例如“((σ- σ)t |ηt|++ZtψsdBs++ 2(σ-σ)t |ηt|+ZtψsdBs)∨((σ- σ)t |ηt|++ZtψsdBs+- 2(σ-σ)t |ηt|+ZtψsdBs)#=例如“（σ- σ)t |ηt|++ZtψsdBs!#,在第一个等式中，我们使用了（4.19）中的|ηt |表示。通过在（0，t）上设置=0和ψt=0来获得最小值。定义4.10。如果Vis的相应值使得V∈ (-例如[-H] ，例如[H]）。为了解决递归方案的第二步，我们首先引入以下辅助引理。引理4.11。无论如何∈ [0，T]和任意X∈ 液化石油气（Ft），含p≥ 1存在一系列形式为xn=n的随机变量-1Xi=0IAixi，其中{Ai}i=0，。。。，N-1是一个分区Ohm, 艾岛∈ Ftand xi∈ R、 这样的话- Xnkp-→ 0，n→ ∞.证据