基于G-期望的稳健均值-方差套期保值

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英文标题：
《Robust Mean-Variance Hedging via G-Expectation》
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作者：
Francesca Biagini, Jacopo Mancin and Thilo Meyer Brandis
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we study mean-variance hedging under the G-expectation framework. Our analysis is carried out by exploiting the G-martingale representation theorem and the related probabilistic tools, in a contin- uous financial market with two assets, where the discounted risky one is modeled as a symmetric G-martingale. By tackling progressively larger classes of contingent claims, we are able to explicitly compute the optimal strategy under general assumptions on the form of the contingent claim.
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中文摘要：
本文研究了G-期望框架下的均值-方差套期保值。我们的分析是利用G-鞅表示定理和相关的概率工具，在一个具有两种资产的连续金融市场中进行的，其中贴现的风险资产被建模为对称G-鞅。通过处理越来越大的未定权益类别，我们能够在未定权益形式的一般假设下显式计算最优策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Robust_Mean-Variance_Hedging_via_G-Expectation.pdf (394.95 KB)

2022-5-10 19:47:08 上传

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关键词：套期保值 Mathematical Presentation Quantitative mathematica

基于G-期望的稳健均值-方差套期保值Francesca Biagini*,+雅格布·曼辛*蒂洛·迈耶·布兰迪斯*本文研究了G-期望框架下的均值-方差套期保值。我们的分析是利用G-鞅表示定理和相关概率工具，在一个具有两种资产的连续金融市场中进行的，其中贴现的风险资产被建模为对称G-鞅。通过逐步处理更大类别的未定权益，我们能够显式地计算出一般情形下的最优策略。1简介均值-方差套期保值是数学金融中一种经典的方法，用于不完全市场中未定权益的定价和套期保值。本文研究了连续时间G-期望框架下的均值-方差套期保值问题。我们的分析深深依赖于G演算提供的准概率工具，因此ISHE与其他关于模型不确定性的工作不同，例如BSDEs方法（参见[3]作为参考）、参数不确定性设置（参见[17]）或[19]中检查的单周期模型。G-期望空间是通常概率空间的一个推广，由Peng[10]于2006年引入，用于建模波动性和确定性，然后逐步发展，包括概率论和随机演算的大部分经典结果（请参见[2]、[5]、[8]、[9]、[12]和[15]引用其中一些）。

因此，G-期望理论已成为处理金融中波动性模糊性的一个非常有用的工具，许多作者研究了随机金融的一些经典问题，如无套利条件、超级复制和这种新环境下的最优控制问题（参见示例[6]和[18]）。*慕尼黑大学（LMU）金融和保险数学工作组数学系，德国慕尼黑泰伦斯特拉39号，80333。电子邮件：弗朗西丝卡。biagini@math.lmu.de雅格布。mancin@math.lmu.de, meyerbrandis@math.lmu.de+二级机构：奥斯陆大学数学系，地址：挪威奥斯陆0316号布林登1053号信箱。在这种情况下，我们假设d为计算风险资产（Xt）t∈[0，T]是非对称G-鞅（见定义2.15）。这意味着我们考虑的金融市场本质上是不完整的，因为不确定性会影响X的波动性。由于通过自我融资投资组合实现索赔H的完美复制并不总是可能的，因此我们寻求在四元意义上尽可能接近稳健的自我融资策略。更准确地说，我们的目标是解决最优问题inf（V，φ）∈R+×ΦJ（V，φ）=inf（V，φ）∈R+×ΦEGh（H- VT（V，φ）i（1.1），其中Φ是定义3.3中定义的合适策略的空间，VT（V，φ）代表可接受投资组合（V，φ）的终值。目标函数可以解释为代理人和市场之间的随机博弈，后者显示最坏情况下的波动情况，前者选择最好的策略。在经典情况下（参见[14]了解概述），如果基础贴现资产是局部martin gale，这相当于检索H的Galtchouk Kunita Watanabe分解，即找到H在X的平方可积随机积分闭合空间上的投影。

在G-期望框架中，不能使用这种结果。然而，在[12]、[15]和[16]等著作中，G-鞅的结构已经被阐明。我们基于这些结果进行分析，并考虑H和分解（3.13）来解决鲁棒均值-方差套期保值问题。此外，为了保证最优套期保值策略的MG可积性（见第2.2节），波动性不确定性s对H施加了一些与经典情况（即H）相关的额外规律性∈ L2+G（FT）对于某些>0而不是H∈ LG（FT）。从技术角度来看，处理（1.1）与在标准概率设置下解决经典均值-方差问题非常不同。实际上，模型的非线性阻止了B和hBi的正交性，即G-布朗运动及其二次变化（见[4]）。这反过来又限制了显式计算typeg表达式的可能性ZTθsdBsZTξsdhBis,对于合适的过程θ和ξ，这是一个理想的条件。我们的主要贡献是对一大类未定权益的最优均值方差套期保值组合的显式计算。由于L2+G（FT）是Lip（FT）的k·k2+-范数下的closure，我们可以将重点放在鞅分解（3.13）的索赔上，其中明确描述了有限变化部分。如定理3.6所示，给定任意逼近序列（Hn）n∈N H的唇部（英尺）∈ L2+G（FT），我们得到了最优值函数J*n收敛到最优值函数J*对于H.我们首先假设η是一个连续过程，具有确定性或仅依赖于hBi。承认这种特殊分解的主张类别已经足够广泛，包括B的二次多项式和hBi的利普斯奇兹函数。

从实践的角度来看，最后一个结果特别有趣，因为它包含了广泛的波动性衍生品，如波动性掉期。对于此类索赔，我们能够提供最佳投资组合的完整描述。在一般情况下，获得最优均值-方差策略的完整描述要复杂得多。我们考虑η是分段常数过程ηs=Pn的情况-1i=0ηtiI（ti，ti+1]（s）并概述了我们为n=2显式求解的逐步过程。此外，我们还提供了终端风险的上下限。这一限制并非完全出乎意料，因为它同样出现在单一先验的经典背景下，其中贴现资产价格（Xt）t∈[0，T]被建模为半鞅。在这种情况下，均值-方差套期保值问题的解决方案只是隐式的，并以反馈形式描述（见[13]），因为不可能在平方可积积分w相对于X的s步上进行正交投影。论文的结构如下。在第二节中，我们介绍了G-期望理论的一些基本预备知识，并给出了s-托氏微积分的一些新结果。在第三节中，我们描述了市场模型，并提出了均值-方差套期保值问题。在第4节中，我们给出了一些未定权益类别的最优均值-方差投资组合的显式解。在第5节中，我们提供了最优终端风险的上下限。2 G-设置我们简要介绍了次线性期望理论、布朗运动和相关的随机演算。本节的结果可在[2]、[9]和[16]中找到。

此外，我们提出了一些关于G-鞅分解和G-凸函数的新见解，并提供了新的估计，参见引理2.18、2.21和第2.4.2.1节G-期望Ohm 是给定的集合，H是实值函数定义的向量格Ohm 包含1。H是一个随机变量空间。另外假设如果X，Xn∈ H、 然后φ（X，…，Xn）∈ H表示任何形式∈ Cl，Lip（Rn），n≥ 1，在哪里∈ Cl，Lip（Rn）表示在Rn上定义的实值函数ψ的集合，使得|ψ（x）- ψ（y）|≤ C（1+| x | k+| y | k）|x- y |，x、 y∈ Rn，其中k是一个取决于函数ψ的整数。非线性预期定义如下。定义2.1。非线性期望E是一个泛函h7→ R满足以下特性1。单调性：如果X，Y∈ H和X≥ Y然后E（X）≥ E（Y）。常数的保存：E（c）=c.3。次可加性：E（X+Y）≤ E（X）+E（Y），十、 Y∈ H.4。正同质性：E（λX）=λE（X），λ ≥ 0，X∈ H.5。恒定的可译性。E（X+c）=E（X）+c.三重(Ohm, H、 E）称为次线性期望空间。定义2.2。在次线性期望空间中(Ohm, H、 E）一个r一个dom变量Y∈ H与另一个随机变量X无关∈ 对于任何测试函数ψ，Hunder E if∈ Cl，Lip（R）我们有E（ψ（X，Y））=E（E（ψ（X，Y））X=X），其中ψ（X，Y）∈ H代表每x∈ R为ψ（x，·）∈ Cl，唇部（R）。备注2.3。从前面的定义中注意到，在次线性期望空间中，“X独立于Y”的条件不会自动地表示为“Y独立于X”。定义2.4。设X和Xbe两个随机变量定义在次线性期望s空间上(Ohm, H、 E）和(Ohm, H、 E）分别。

它们被称为同分布，用X表示~ 十、 ifE（ψ（X））=E（ψ（X）），ψ ∈ Cl，唇部（R）。我们称“X”为“X”的独立副本，如果“X”~ X和d′X独立于X。次线性期望空间中的G-正态分布定义如下。定义2.5。次线性期望空间上的随机变量X(Ohm, H、 E）称为G-正态分布，如果对任何a，b≥ 0aX+b\'X~pa+bX，其中“X”是X的独立副本。字母G表示函数G（y）：=E（yX）：R7→ R.这样的X是sym度量，即e（X）=e(-十） =0。除此之外，我们还得到了以下g恒等式g（y）=σy+-σy-,σ=E（X）和σ=-E(-十） 。我们写X是N（{0}×σ，σ）分布的。定义2.6。A过程（Bt）t≥关于次线性期望空间(Ohm, H、 如果下列性质成立，则称为G-布朗运动：（i）B=0。（ii）对于每个t，s≥ 0增加Bt+s- N（{0}×[σs，σs]）分布于任意N的（Bt，Bt，，…，Btn）并依赖于它∈ N、 0≤ T≤ ··· ≤ tn≤ t、 因此，我们具有与经典情况相同的性质，以及（Bt+t）-Bt）t≥0是所有t的G-布朗运动≥ 我们现在介绍了G-期望的构造和相应的G-布朗运动。我们定义了一个时间范围T>0和s etOhmT:=C（[0，T]，R），所有R值连续路径的空间（ωT）T∈ω=0的[0，T]。设B=（Bt）t∈[0，T]是关于Ohm定义为Bt（ω）：=ωt，t∈ [0，T]。我们考虑以下随机变量空间：(OhmT） ：={~n（Bt，··，Btn）|n∈ N、 t，tn∈ [0，T]，ν∈ Cl，Lip（Rn）}。G-布朗运动是在Lip上构造的(OhmT） 。为此，让（ξi）i∈Nbe次线性期望s速度上的一系列随机变量（~Ohm,~H，~E），使得对于每个整数i，ξiis G-正态分布和dξi+1独立于（ξ，…，ξi）≥ 1.

唇上的次线性期望(OhmT） 然后通过以下步骤构造：对于每个X∈ 嘴唇(OhmT） 带X=а（Bt- 英国电信，英国电信- Btn-1） 对一些人来说∈ Cl，Lip（Rn），t，tn∈[0，T]，设定值（μ（Bt）- 英国电信，英国电信-Btn-1） ）：(√T- tξ，ptn- tn-1ξn）。然后，我们就可以证明Eg对Lip的预期是一致的(OhmT） 标准过程B代表G-布朗运动（见[9]）。定义2.7。次线性期望(OhmT） 七,→ 通过上述程序确定的结果称为G-预期。规范过程（Bt）t∈[0，T]在这样的次线性期望空间上(OhmT、 嘴唇(OhmT） 是aG布朗运动。随机变量X的相关G-条件期望∈ 嘴唇(OhmT） 在下面Ohmti:=C（[0，ti]，R）由eg（~n（Bt）定义- 英国电信，英国电信- Btn-1)|Ohmti）：=ψ（Bt）-英国电信，英国电信- Btn-1） ，式中ψ（x，…，xi）：=？E（Д（x，…，xi），√ti+1-tiξi+1，√tn- tn-1ξn）。现在让kξkp:=（例如（|ξ| p））pforξ∈ 嘴唇(OhmT） ，p≥ 1.那么对于任何t∈[0，T]，例如|Ohmt） 可以持续扩展到液化石油气(OhmT） ，完成(OhmT） 在标准kξkp下。以下属性非常有用。提案2.8（第22号提案，共[10]）。让我来∈ LG(OhmT） 是这样的-例如(-Y）。然后我们有EG（X+Y）=EG（X）+EG（Y）， 十、∈ LG(OhmT） 。G-预期可被视为“最坏情况预期”。设F=B(OhmT） 是Borelσ-代数，考虑概率空间(OhmT、 F，P）。设W=（Wt）t∈[0，T]是这个空间上的经典布朗运动。由W生成的过滤用F=（Ft）t表示∈[0，T]，其中Ft:=σ{Ws | 0≤s≤ t}∨ N、 N表示P-null子集的集合。设Θ为有界闭子集Θ：=[σ，σ]，使得g（y）=supσ∈Θyσ=（yσ如果y≥ 0，yσ，如果y<0，则表示为AΘt，t所有Θ值F-适应过程的集合[t，t]。对于任何σ=（σt）t∈[0，T]∈ AΘt，Tand s∈ [t，t]我们定义，σs:=ZstσudWu。

（2.1）设Pσ为过程B0的规律，σt=RtσudWu，t∈ [0，T]，即Pσ=Po （B0，σ）-1.定义：={Pσ|σ∈ AΘ0，T}，（2.2）和P:=\'P，作为弱收敛拓扑下的Punder闭包。我们现在可以表述主要结果（参见[2]的证明）：定理2.9。任何∈ Cl，Lip（Rn），n∈ N、 0≤ T≤ ··· ≤ tn≤ T，Wehaveg（英国电信，…，英国电信-Btn-1） ）=supσ∈AΘ0，TEP（η（B0，σt，…，Btn-1，σtn））=supσ∈AΘ0，TEPσ（~n（Bt，…，Btn-Btn-1） ）=supPσ∈PEPσ（φ（Bt，…，Btn）-Btn-1)).此外，EG（X）=supP∈政治公众人物（X），十、∈ LG（FT）。最后，给出一组概率测度P，我们在这里引入一个稍后有用的符号。定义2.10。如果P（A）=0，则称集合A为极性P∈ P.如果一个性质在极集合外成立，它就有助于成立准肯定（q.s.）。在本文的其余部分中，我们将在上述环境中工作。2.2具有G-布朗运动的It^o型随机微积分我们现在介绍关于G-布朗运动的随机积分。为了达到这个目的，我们总结了[9]中的一些结果，如果没有提及，这些结果在续集中是有用的。为了p≥ 1固定的，我们考虑以下g类简单过程：对于[0，t]，N]的给定分区{t，…，tN}∈ N、 我们设置ηt（ω）=N-1Xj=0ξj（ω）I[tj，tj+1）（t），（2.3）式中ξI∈ 液化石油气（Fti），i∈ 0, . . . , N- 1.这类过程的集合用Mp，0G（0，T）表示。每η∈ Mp，0G（0，T）设kηkMpG:=（EGRT |ηs | pds）并用MpG（0，T）表示在范数k·kMpG下Mp，0G（0，T）的完成。定义2.11。η∈ M2,0G（0，T）用（2.3）中的表示，我们定义了积分映射I:M2,0G（0，T）7→ LG（FT）byI（η）=ZTη（s）dBs:=N-1Xj=0ηj（Btj+1- Btj）。引理2.12（引理30，共[10]）。

映射I:M2,0G（0，T）7→ LG（FT）是线性连续映射，因此可以连续扩展到i:MG（0，T）7→ LG（FT）。这样就可以证明积分具有与经典It^o情形类似的性质。定义2.13。G-Brown运动的二次变化定义为ashBit=Bt- 2ZTBSDB，T≤ T、 这是一个持续增长的过程，对于勒贝格测度dt来说是绝对连续的（参见[16]中的定义2.2]）。给你，t∈ [0，T]完美地刻画了B的不确定性或歧义部分≥ 0，我们有hBis+t- hBisis独立于FSF和hBis+t- 哈佛商学院~ hBit。我们说hBitis N（[σt，σt]×0}）是分布的，也就是说，对于所有的φ∈ Cl，Lip（R），EG（ν（hBit））=supσ≤五、≤σа（vt）。（2.4）因此，G-布朗运动的二次变化满足以下定义。定义2.14。次线性期望空间上的n维随机向量X(Ohm, H、 E）如果存在闭集Γ，则称为最大分布 Rn使e（φ（X））=supx∈ΓΓΓ（x），适用于所有Γ∈ Cl，唇部（Rn）。类似地引入了G-布朗运动η的二次变分积分。首先是η∈ M1,0G（0，T），然后，同样通过连续性，对于所有η∈ MG（0，T）。定义2.15。A进程M=（Mt）t∈[0，T]，因此∈ LG（Ft）针对任何t∈ [0，T]被称为G-鞅，如果所有s的EG（Mt | Fs）=Ms≤ T≤ TIfM和-M都是G-鞅，M称为对称度量G-鞅。表示，代表t∈ [0，T]和P∈ P、 P（t，P）：={P′∈ P:P′=P在Ft}上。通过对条件G-期望的刻画（更多细节见[15]），我们得到了M是G-鞅的充要条件为d的充要条件为0≤ s≤ T≤ T，P∈ P、 Ms=ess supQ′∈P（s，P）EQ′（Mt|Fs），P-a、 s.（2.5）这表明G-鞅M可以看作是多重先验鞅，它是每个P下的一个超鞅∈ P