主权利率下带分支过程的Alpha-CIR模型

当一次跳跃到达时，强度r增加，这也增加了下一次跳跃的概率，这是霍克斯过程的自激励特性。为了便于与我们的积分表示法进行比较，我们给出了强度r的不同表征。设N是一个泊松过程，其特征测度为dsdu，因此jt可以写成trr的形式-N（ds，du）和rtasrt=r*t+ZtZrs-E-a（t）-s） N（ds，du）。（5） 在这种形式下，可以观察到如下自引特征：跳跃的频率随着过程本身的增长而增长，这是因为存在关于可变u的积分*以特定的形式，r是一个分支过程，也称为一个有效的金融过程（见[11]）。在这种情况下，自激功能相当于branchingproperty。现在让我们回到α-CIR模型的积分表示（2）。我们让σ=0且u（dζ）=δ（dz），然后（非补偿）泊松n测度n（ds，du，dζ）降低为R+上的arandom测度，强度为dsdu，由n（ds，du）表示。因此，r可以重写为RT=r+abt-Zt（a+σZ）rsds+σZZtZrs-N（ds，du）。我们注意到r是霍克斯过程的强度-N（ds，du）通过使用等效的formrt=re-（a+σZ）t+aba+σZ1.- e（a+σZ）t+ZtZrs-E-（a+σZ）（t）-s） N（ds，du）。（6） 因此，α-CIR型过程，尤其是α-C IR过程，可以被视为受布朗噪声影响的标记霍克斯过程。此外，考虑一系列过程r（n）t，t≥ 0用参数（a/n、nb、σZ）定义（6）。注意，作为n→ ∞, 我们有新界北/北-→ Y，在D（R+）中，其中Y遵循由Yt=Rta（b）给出的CIR模型- Ys）ds+σZRtRYsW（ds，du）和D（R+）表示配备Skorokhod拓扑的c`adl`ag过程空间。

因此，一系列重标度的Hawkes过程弱收敛于CIR过程，详见Jaiss on和Rosenbaum[29]，特别是在适当重标度后，具有一般核的几乎不稳定的Hawkes过程收敛于CIR过程。我们现在开发定义2.1中的根表示与定义2.2中的整体表示之间的等效性，并使用L’evy度量α。以下两个命题显示了这两种含义。主要思想如下[30，定理9.32]。命题2.4设r为（2）的解，其中u=μα由（3）给出。关于广义概率空间(Ohm, F、 P），存在一个L’evy过程（B，Z），其中B是一个布朗运动，Z是一个谱正α稳定的补偿L’evy过程，因此r是t o（1）的解。证据我们将概率空间扩展到包括标准布朗运动BB和光谱正α稳定补偿L’evy过程bZ，其中L’evy测度μα如（3）中所示，如BB、bZ、W和N是相互独立的。然后我们构造过程B和Z asBt=Ztr-1/2s{rs>0}ZrsW（ds，du）+Zt{rs=0}dbBs，t≥ 0andZt=Ztr-1/αs-{rs->0}Z∞呼吸总阻抗-ζeN（ds，du，dζ）+Zt{rs-=0}dbZs。我们le t F=（Ft，t≥ 0）是这些过程产生的过滤。固定θ，θ′∈ R.将it^o公式应用于T>T的二维鞅（B，Z）≥ 0，ei（θBT+θ′ZT）- ei（θBt+θ′Zt）=（MT）- Mt）-θZTtei（θBs+θ′Zs）ds+cos（πα/2）Γ(-α） ZTtei（θBs+θ′Zs）-){rs-=0}Z∞（eiθ′ζ）- 1.- iθ′ζ）dζζ1+αds+cos（πα/2）Γ(-α） ZTtei（θBs+θ′Zs）-)rs-{rs->0}Z∞（eiθ′r）-1/αs-- 1.- iθ′r-1/αs-)dζζ1+αds=（MT- Mt）+cos（πα/2）Γ(-α） Z∞（eiθ′ζ）- 1.- iθ′ζ）dζζ1+α-θZTtei（θBs+θ′Zs），其中M是鞅。

然后将上述等式的两边乘以e-i（θBt+θ′Zt）取条件期望，我们得到ht（T）：=E[ei（θ（Bt）-Bt）+θ′（ZT）-满足积分方程ht（T）=1+（θ′）αcos（πα/2）e-iπα/2-θZTtht（s）ds，a.s.通过求解上述方程，我们得到了hei（θ（Bt）-Bl）+θ′（Zt）-Zl）Fli=exp（t）- l）（θ′）αcos（πα/2）e-iπα/2-θ,这意味着B是一个标准的布朗运动，Z是一个依赖于B的谱p正α-稳定补偿L′evy过程。此外，通过构造r是（1）的解。命题2.5设r为（1）的解。关于扩张的概率空间(Ohm, F、 P），在R+上存在白噪声W，在R+上存在补偿泊松随机测量，且在（3）中给出了L’evy测度μα，它们是独立的，因此R验证（2）。证据Z的L’evy It^o表示意味着Zt=RtR∞ζeN（ds，dζ），其中eN（ds，dz）是R+上的补偿泊松随机测量，强度dsu（dζ）g由（3）决定。此外，在一个扩展的概率空间中，在R+×（0，1）上存在一个白噪声W（ds，du），其强度为dsdu，在R+×（0，1）×R+上存在一个泊松随机测度N（ds，du，dζ），其强度为dsduu（dζ），与Wsuch无关（c.f.El-Karoui和M\'El\'eard[14，Corrollary III-5]和Watanabe[25，定理6.7]），Bt=ztztztzw（ds，du）和ztzan（ds，dζ）==ZtZZAN（ds，du，d，用于a）∈ B（R+）。以类似的方式，在扩展概率空间上，设W（du，ds）是R+上强度为dsdu的白噪声，N（ds，du，dζ）是R+上的泊松随机测度，强度为dsduu（dζ）独立于W。然后我们定义了任意a，C∈ B（R+），W（[0，t]×A）：=ZtZ√rsA（rsu）W（ds，du）+ZtZ∞rsA（u）W（ds，du），（8）N（[0，t]×A×C）：=ZtZZ∞A（rs）-u） 1C（r1/αs）-ζ） N（ds，du，dζ）+ZtZ∞rs-Z∞A（u）1C（ζ）N（ds，du，dζ）。（9） 与命题2类似。4，（W，N）与（W，N）具有相同的分布。证明了这个命题。

分支性质是α-CIR模l的一个关键性质。下面的结果表明，α-CIR过程r在路径意义上具有分支性质，见[10，定理3.2]。该证明基于积分表示（2），其中白噪声和补偿泊松随机测量相对于变量u是平移不变的。命题2.6设r为α-CIR（a，b，σ，σZ，α）过程。让r（i）∈ R+和b（i）∈ R、 我∈{1，2}，使得r=r（1）+r（2）和b=b（1）+b（2）。然后在族α-CIR（a，b（i），σ，σZ，α）中存在独立过程r（i），初始值为r（i），使得r=r（1）+r（2）。证据设r是（2）的一个解，其L’e vy测度为α。定义r（1）为以下等式的解r（1）t=r（1）+ZtaB- r（1）sds+σZtZr（1）sW（ds，du）+σZZtZr（1）s-ZR+ζeN（ds，du，dζ）。（10） 其中（W，N）与（2）相同。注意，r（1）是一个带有参数（a，b（1），σ，σZ，α）的α-CIR过程。根据[10，定理3.2]，我们得到了所有的t≥ 0，P（rt≥ r（1）t=1。设r（2）=r-r（1）。然后r（2）t=r（2）+Ztab（2）- r（2）sds+σZtZr（1）s+r（2）sr（1）sW（ds，du）+σZZtZr（1）s-+r（2）s-r（1）s-ZR+ζeN（ds，du，dζ）。通过W andeN对变量u的平移不变性，我们得出r（2）与r（1）无关，是一个具有参数（a，b（2），σ，σZ，α）的α-CIR过程。证明了这一点。

为了研究分支性质的影响，我们引入了局部等效的L’evyOrnstein-Uhlenbeck（LOU）过程，以与α-CIR过程s.definition 2.7（局部等效的LOU过程）Letλ=（λt，t）进行比较≥ 0）是以下方程λt=r+Zta（b）的解- λs）ds+σZtZrW（ds，du）+σZZtZrZR+ζeN（ds，du，dζ），（11），其中初始值r和过程W和n在定义2中是相同的。2.请注意，在L’evy度量由μα给出的情况下，由（11）定义的过程λ可写成以下形式，作为Vasicek模型λt=r+Zta（b）的推广- λs）ds+σ√rBt+σZα√rZt，（12）其中B和Z与定义2中的相同。1.比较（2）和（11），我们注意到在初始时间，这两个过程具有相同的波动性和跳跃项。但随着时间的推移，α-CIR过程的波动和跳跃项将适应实际利率水平，而“fr ozen”将在局部等效LOU过程中处于初始值。为了进一步研究（2）和（11）之间的差异，我们将大跳跃和小跳跃分开，并使用泊松随机测量的非补偿版本。由于α-稳定过程表现出有限的活性，我们定义了一个跳跃阈值y（因此r的阈值为y=σZy）。根据阿斯穆森和罗辛斯基[4]的精神，具有有限活动的小跳跃可以近似为第二个布朗运动。局部等效的LOU过程读取λt=r+ZtaB-σZrΘ（α，y）a- λsds+σZtZrW（ds，du）+σZZtZrZyζeN（ds，du，dζ）+σZZtZrZ∞yζN（ds，du，dζ），（13）式中Θ（α，y）=-cos（πα/2）Γ(-α） Z∞ydζζα=παΓ（α- 1） sin（πα/2）y-(α-1） ，（14）和N是对应于N的（无N补偿）泊松随机测度。

同样，α-C IR过程（2）可以写成RT=r+Ztea（α，y）eb（α，y）- rsds+σZtZrsW（ds，du）+σZZtZrs-ZyζeN（ds，du，dζ）+σZZtZrs-Z∞其中ea（α，y）=a+σZΘ（α，y）eb（α，y）=aba+σZΘ（α，y）（16）前面的结果允许我们进行比较。首先，比较α-CIR和Lou过程，可以得出结论，从大跳跃过程中的隐式负漂移导致λt的线性衰减，而rt的指数衰减则更强。然后，随着σZ的增加，递减漂移项在RTT中的作用比在λt中更为重要。其次，比较CIR和α-CIR过程，即（15）中σZ=0和σZ>0的情况，我们可以在α-CIR模型中研究两个大Ejump之间的演化。在两次大的跳跃之间，α-CIR表现出一个增加的平均回复速度ea和一个减少的长期平均利率EB，只要σZin增加。与LOU和CIR模型相比，作为一个序列，α-CIR差异更适合于模拟低利率的存在及其在大跳跃时的持续性。我们还对大跳跃的跳跃时间感兴趣。为此，我们基于（15）引入了辅助过程br（y）t=r+Ztea（α，y）eb（α，y）- rsds+σZtZrsW（ds，du）+σZZtZrs-ZyζeN（ds，du，dζ）。（17） 对于任何跳跃阈值y>0，过程br（y）与r一致，直到第一次大跳跃τ（y）：=inf{t>0：rt>y=σZy}。更一般地，用{τ（y）i}i表示∈r的跳跃时间序列大于y，那么对于任何t∈ [τ（y）i，τ（y）i+1]，我们有br（y）t=rτ（y）i+Ztτ（y）iea（α，y）eb（α，y）- br（y）sds+σZtτ（y）iZbr（y）sW（ds，du）+σZZtτ（y）iZbr（y）s-ZyζeN（ds，du，dζ）。（18） 这个辅助过程br（y）代表利率r的历史，但跳跃大于y。

这个过程对研究τ（y）特别有用（见第5节）。3与CBI过程相联系，在这一节中，我们证明了α-CIR过程是具有移民（CBI过程）的连续状态分支过程，并由此导出了α-CIR模型的几个性质。川崎和渡边已经引入了CBI流程[27]。我们回顾了以下定义。定义3.1（CBI过程）状态空间为R+的马尔可夫过程X被称为具有移民的连续状态分支过程，其特征是分支机制ψ（·）和移民率Φ（·），如果给出其特征表示，则p≥ 0，byExE-pXt= 经验-xv（t，p）-ZtΦv（s，p）ds, （19） 其中函数v:R+×R+→ 满足以下微分方程v（t，p）t=-ψ（v（t，p））、v（0，p）=p（20）以及ψ和Φ是变量q的函数≥ 0由ψ（q）=βq+σq+Z给出∞（e）-曲- 1+qu）π（du），Φ（q）=γq+Z∞(1 - E-qu）ν（du），带σ，γ≥ 0, β ∈ R和π，ν是两个L′evy测度，因此z∞（u）∧ u） π（du）<∞,Z∞(1 ∧ u） ν（du）<∞. （21）CBI过程X的生成器是作用于C（R+）asLf（X）=σxf′（X）+（γ）的算子L- βx）f′（x）+xZ∞（f（x+u）- f（x）- uf′（x））π（du）+Z∞（f（x+u）- f（x））ν（du）。（22）下一个命题通过使用积分表示（2）表明α-CIR模型属于CBI过程族，参见[10，定理3.1]。我们将给出两个证明。正文的开头是经过验证的。第二个是建设性的，在附录中被推迟。命题3.2定义2.2中的α-CIR型过程r是一个CBI过程，其分支机制ψ由ψ（q）=aq+σq+Z给出∞（e）-qσZζ- 1+qσZζ）u（dζ）（23）和移民率Φ（q）=abq。证据设v（t，p）为微分方程（20）的唯一解，ψ由（23）给出。修正t>0，让u（s，p）=v（t- s、 p）对于0≤ s≤ T

表示byY（p）s:=exp- u（s，p）rs+abZsu（l，p）dl应用^o公式，我们得到了y（p）t- Y（p）-ZtrsY（p）sψ（u（s，p））-u（s，p）sds，t≥ 0是一个鞅。由（20），（Y（p）t- Y（p），t≥ 0）是一个鞅。因此E[Y（p）t]=E-u（0，p）r，而-prt]=exp-v（t，p）r- abZtv（t- s、 p）ds= 经验-v（t，p）r- abZtv（s，p）ds.此外，由于r是方程（2）的唯一强解，因此它是一个马尔可夫过程。因此，ris是一个CBI（ψ，Φ）过程。由于前面的命题，α-CIR模型及其截断过程都是CBI过程，考虑了特定的L′evy测度。推论3.3α-CIR（a，b，σ，σZ，α）过程是一个CBI过程，其分支机制ψ由ψα（q）=aq+σq给出-σαZcos（πα/2）qα，（24）以及由Φ（q）=abq给出的移民率Φ。（25）推论3.4（17）定义的辅助过程br（y）是一个CBI过程，其分支机制ψ（y）由ψ（y）α（q）给出：=a+σαZZ∞yζμα（dζ）q+σq+σαZZy（e）-qζ- 1+qζ）μα（dζ），（26）其中μα由（3）给出，移民率Φ由Φ（q）=ea（α，y）eb（α，y）q=ab q（27）给出。在本节下文中，我们使用CBI表征来展示α-CIR模型的一些性质。命题3.5 Let（r（α）t，t≥ 0）用参数（a，b，σ，σZ，α）表示α-CIR过程。然后作为α→ 2，r（α）在D（r+）t中的分布收敛于CIR过程r（2）。证据对于任何α∈ （1,2），α-CIR过程是一个CBI过程。lp（α）是r（α）的传递半群，A（α）是r（α）的生成元。表示ep（x）=e-p>0和x的px≥ 0.然后比（22），A（α）ep（x）=-ep（x）（xψα（p）+Φ（p））=-E-二甲苯十、ap+σp-σαZcos（πα/2）pα+ abp.我们有limα→2supx∈R+| A（α）ep（x）- A（2）ep（x）|=0。用{ep:p>0}的线性壳表示。然后是一个代数，它强烈地分离R+的点。设C（R+）为R+上的连续函数在单位内消失的空间。根据Stone-Weierstrass定理，C（R+）中的非稠密。

由于P（2）下的不变量（见（19）），它是a（2）的核心（见Ethier和Kurtz[16，命题3.3]）。在[16，Cor ollary 8.7]中，我们得到了α趋于2时过程的弱收敛性。命题3.6定义中的α-CIR型过程2。2有一个极限分布，全空间变换由[e]给出-公共关系∞] = 经验-ZpΦ（q）ψ（q）dq, P≥ 此外，该过程是指数遍历的，即kp（rt）∈ ·) -P（r）∞∈ ·)k6cρt对于某些正常数C和ρ<1，其中k·k表示总变化范数。证据注意，分支机制ψ是由aq+σq从下面建立起来的。Henceone hasZΦ（q）ψ（q）dq 6Zabqaq+σqdq<∞.通过[30，定理3.20]，我们得到定义2.2中的过程r具有极限分布，其拉普拉斯变换由exp-R∞Φ（v（t，p））dt, 其中函数v定义在（20）中。上述公式中变量q=v（t，p）的变化导致（28）。最后一个断言来自[32，定理2.5]。最后，我们证明了当我们把C IR模l推广到α-CIR模时，保持了点0不可接近的通常条件。关于α-CIR（a，b，σ，σZ，α）过程的命题3.7∈ （1,2），点0是不可访问的边界当且仅当2ab≥ σ. 特别是，ab>0的纯jum pα-CIR过程永远不会达到0。证据我们将Duhalde、Foucart和Ma[12，定理M2]的结果应用于CBI过程，从而得出0是α-C IR型过程的不可接近边界点当且仅当ifZ∞θdzψ（z）expZzθΦ（x）ψ（x）dx= ∞ （29）对于某些正常数θ，其中ψ由（23）和Φ（q）=abq给出。我们现在关注的是α-CIR过程。让ψ*（q） =aq+σq/2是被视为CBI过程的经典循环过程的分支机制。一个有一个≥ Ψ*, 式中，ψα是α-CIR过程的分支机制，如（24）所示。

特雷弗雷斯∞θdzψα（z）expZzθΦ（x）ψα（x）dx≤Z∞θdzψ*（z） 经验ZzθΦ（x）ψ*（x） dx.特别是，如果0是α-CIR（a，b，σ，σZ，α）过程的不可访问边界，那么≥ σ保持不变，这要归功于CIR过程的经典不可接近性标准。相反，如果不等式2ab≥ σ保持不变，则one有Φ（x）ψα（x）=x（1+o（xα-2） ），x→ +∞.所以存在一个常数C>0（取决于θ），使得zzθΦ（x）ψα（x）dx≥ 对数（z/θ）- C.HenceZ∞θdzψα（z）expZzθΦ（x）ψα（x）dx>eCθZ∞θzψα（z）dz=+∞.备注3.8命题3的结果。当α=2时，7不是真的。在这种情况下，α-CIR模型简化为经典的CIR模型，但带有修改的波动率项。对于αCIR（a，b，σ，σZ，2）过程，点0是不可接近的边界当且仅当2ab≥ σ+2σZ。我们注意到，当α-CIR过程包含跳跃部分时，参数σZ在上述命题的边界条件中不存在。4利率建模的应用在本节中，我们将α-CIR模型应用于利率建模和定价。由于α-CIR模型是经典CIR模型的推广，通过添加跳跃，但保留了CCI性质，因此bo-nd price具有一个有效的结构，见Filipovi\'c[17]。我们给出了债券价格的闭式表达式，它依赖于一个函数，该函数是1的倒数的积分- Ψα. 该积分易于数值计算，积分利率的拉普拉斯变换的半显式公式也是如此。此外，我们还发现债券价格随着指数参数α的增加而降低。在下一部分中，我们将重点介绍一个路径依赖型期权，更确切地说是一个写在债券收益率运行最低值上的看跌期权。我们证明，该期权的支付可以被重写为一个看跌期权，写在即期汇率本身的运行最低值上，并具有不同的名义利率和行权利率。