主权利率下带分支过程的Alpha-CIR模型

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Alpha-CIR Model with Branching Processes in Sovereign Interest Rate
  Modelling》
---
作者：
Ying Jiao (ISFA), Chunhua Ma, Simone Scotti (LPMA)
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  We introduce a class of interest rate models, called the $\\alpha$-CIR model, which gives a natural extension of the standard CIR model by adopting the $\\alpha$-stable L{\\\'e}vy process and preserving the branching property. This model allows to describe in a unified and parsimonious way several recent observations on the sovereign bond market such as the persistency of low interest rate together with the presence of large jumps at local extent. We emphasize on a general integral representation of the model by using random fields, with which we establish the link to the CBI processes and the affine models. Finally we analyze the jump behaviors and in particular the large jumps, and we provide numerical illustrations.
---
中文摘要：
我们引入了一类利率模型，称为$\\alpha$-CIR模型，它通过采用$\\alpha$-稳定的L{e}vy过程并保持分支性质，对标准CIR模型进行了自然扩展。该模型允许以统一且简洁的方式描述最近对主权债券市场的几项观察，例如低利率的持续性以及局部范围内的大幅跳跃。我们强调通过使用随机场对模型进行一般的积分表示，利用随机场建立与CBI过程和仿射模型的联系。最后，我们分析了跳跃行为，特别是大跳跃，并提供了数值说明。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

---
PDF下载：
--> Alpha-CIR_Model_with_Branching_Processes_in_Sovereign_Interest_Rate_Modelling.pdf (377.97 KB)

2022-5-10 19:51:09 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Alpha 权利率 Pha CIR Applications

主权利率模型中带分支过程的Alpha-CIR模型*, Ma Chunhua+，Simone Scotti2018年10月5日摘要我们介绍了一类被称为α-CIR模型的区间汇率模型，该模型通过采用α-稳定的Levy过程并保持分支性质，给出了标准CIR模型的自然张力。该模型允许以一种统一且简洁的方式描述对主权债券市场的几项近期观察，例如低利率的持续性以及局部范围内的大幅跳跃。我们强调通过使用随机场对模型进行一般积分表示，并以此建立与CBI过程和a ffine模型的链接。最后，我们分析了跳跃行为，特别是大跳跃，并提供了数值说明。1简介关于当前的欧洲主权债券市场，存在许多公认的、似乎令人费解的事实。一方面，欧元区国家的利率已达到历史最低水平。然而，另一方面，当不可预测的政治或经济事件的不确定性增加时，主权债券可能会有很大的变化，比如希腊的情况。本文的目的是提出一种新的利率模型，称为α-CIR模型，其中我们使用α-稳定分支过程对著名的Cox-Ingersoll-Ross（CIR，se e[7]）模型进行了自然扩展，以描述债券市场上的这些最近观察。

特别是，调查的问题集包括主权利率方差的聚集行为，以及低利率的持续性，以在局部范围内获得显著影响。在文献中，金融数据中的大波动自然会促使利率动态中引入跳跃，如Eberlein和Raible[13]、Filipovi\'c、Tappe和Teichmann[19]。尽管如此，跳跃的存在总体上与低比率的趋势相矛盾，至少在假设跳跃强度为范式的情况下是如此。调和大波动和低持续率的一种方法是使用制度变迁框架，但这可能会增加随机过程的维度，以保持马尔可夫特性。最近，霍克斯过程或自激点过程（见霍克斯[23]）已被用于克服这一困难，因为它们表现出的特性对此类模型给出了合适的解释。霍克斯过程可以看作是一个种群过程，其繁殖率与种群本身成比例，即所谓的自激性质。此外，移民的外部到达可以通过第二点过程来建模。大量不断增长的文献致力于霍克斯过程的财务应用，尤其是利益相关者*克劳德·伯纳德·里昂大学1号，科学金融家和保证研究所。电邮：ying。jiao@univ-里昂1。南开大学数学科学学院。埃米尔：mach@nankai.edu.cn.——巴黎迪德罗大学巴黎7号，概率实验室和现代饮食。电子邮件：scotti@math.univparis-狄德罗。fr.利率和信贷强度模型，例如在Ait-Sahalia、Cacho Diaz和Laeven[2]，Errais、Giesecke和Goldberg[15]，Dassios和Zhao[8]以及Rambaldi、Pennesi和Lillo[33]中。

在上述论文中，正如霍克斯框架中自然出现的那样，驱动过程至少是二维的，因为跳跃过程的动力学及其强度都被考虑在内。在本文中，我们使用α稳定的L’evy过程引入了一个短期利率模型，该模型提供了一个相对简单的跳跃-扩散模型，以内生方式应对这些建模挑战。我们利用α-CIR模型的积分表示来突出分支性质。首先，分支过程作为霍克斯过程的极限而出现，并通过其固有的性质表现出聚集性或自激性质，这意味着跳跃频率随着过程本身的值而增加。因此，分支过程由于其定律在起点上的有限可分性，证明了它在概率方面是一门有着有趣应用的学科，参见Instanc eDu ffie、Filipovi’c和Schachermayer[11]。在利率建模中，菲利波维奇[17]的先驱们一直在考虑分支过程，其中债券价格的指数有效结构与分支属性之间的关系得到了强调。此外，我们的模型是CIR模型的自然推广，CIR模型似乎是最简单和最流行的连续时间分支过程。尽管CIR Model提供了债券价格的封闭式解决方案，这是模型校准的一个主要特点，但它不包括跳跃。此外，实证研究强调，CIR模型无法完全解释短期价格的行为，该模型系统地高估了短期利率（参见Brown和Dybvig[6]以及Gibbons和Rama swamy[22]）。

在我们的框架中，CIR过程是分离模型，它是具有连续路径的分支过程的唯一示例，而α-稳定分支过程的加入可以更好地描述低利率行为。本文的主要贡献是结合Hawkes和CIR过程的性质，以定义α-CIR模型，该模型提供了大量具有分支性质的跳跃微分模型，并给出了债券价格的显式表达式。除了Br-ownian运动外，α-CIR模型还包括一个谱正的α-稳定L′evyprocess。参数α∈ （1,2]刻画了尾肥度和跳跃行为。当α等于2时，α稳定过程退化为布朗运动，我们恢复了经典卷积模型。在一般情况下，当α等于2时∈ （1,2），在一个时间间隔内可能会出现很多跳跃，这代表了与主权风险相关的波动。为了保持分支性质，波动项的平方根必须被过程的α根所取代。尽管与通常的CIR相比，该模型简单且额外参数的数量减少，但我们开发的模型显示出一些优势。首先，α-CIR模型表现出积极的跳跃，特别是通过结合重尾跳跃大小分布和不确定性，可以以统一的方式描述金融市场中观察到的大波动和通常的小波动。第二，在一个分支过程中，框架也可以表现为利率的层级结构自然产生，它可以将利率拆分为不同的组成部分，最终可以解释为利差，每个利差遵循相同的动态，就像全球理想人口可以按照相同的动态拆分为子组一样。

第三，通过建立α-CIR模型和带移民的连续状态分支过程（CBI过程）之间的联系，我们利用CBI过程的联合拉普拉斯变换，以一种明确的方式得出债券价格。特别是，我们展示了一个有趣的结果，即债券价格随着尾部的增加而增加（即，随着参数α的增加而减少），这更好地响应了当前主权利率低利率行为的持续性。第四，我们可以对跳跃行为进行彻底分析，特别是对于大幅跳跃，这意味着利率动态增加了主权风险，并意味着，例如在希腊的情况下，违约的可能性可能很高。我们特别感兴趣的是首次出现如此大的跳跃，并探索尾部指数α的影响。我们首先介绍了α-cir模型的两种不同动力学公式之间的等价性。从理论角度来看，Li[30]和Li and Ma[31]对该地产进行了深入的开发。本着上述精神，我们将证明CIR动力学的通常版本及其α-CIR扩展允许使用r和O场的积分形式的替代表示，但L’evy基的维数将增加，例如，B rownian运动被二维白噪声取代。在有关利率的金融文献中，这种方法已经形成，例如Kennedy[28]、Alberio、Lytvynov和Mahnig[3]，其中引入了随机场模型来描述利率期限结构。积分表示可以更好地识别过程特征，如分支属性，并且更便于证明相关属性。

此外，需要注意的是，积分表示揭示了Ornstein-Uhlenbeck和CIR动力学之间的关系，以及L’e-vy Ornstein-Uhlenbeck（LOU）和α-CIR模型之间的关系。作为一种类比，包括分支性质在内的Ornstein-Uhlenbeck动力学最自然的延伸是CIR，α-CIR是LOU模型与α-稳定的dr和分支性质组合的结果。当前模式l的主要预测，或许也是最有趣的预测是债券价格随着参数α而下降，而参数α反过来又与尾部肥胖度成反比。对这一明显矛盾的结果的解释是基于前面强调的α-卷云模型的特征。使用厚尾分布的正跳跃将意味着一个较大的负补偿器，然后在两次跳跃之间，每当α减小时，平均回复项就增大。这种现象是补偿的结果，最终结果是使两条尾巴都变重。一般来说，债券价格的标准行为会随着尾部的肥胖程度而增加，比如普通LOU dynamics（见Barndor ff-Nielsen和Shephard[5]）。然而，对于给定的α值，分支性质在目前的α-CIR模型中增加了一个新现象：由于自激结构，当利率较低时，大跳跃的频率降低，这允许在相对较长的时间段内对低利率产生一些“冻结”效应。此外，导致厚尾跳跃分布的强均值回复项也会增加持续低利率的可能性。论文的结构如下。第2节讨论了α-CIR模型的数学表示。

第3节致力于将我们的模型描述为一个CBI过程，以及从这个链接衍生的属性。在第4节中，我们将我们的模型应用到期限结构模型中，并特别展示了封闭形式债券价格的数值积分。第五节是跳跃分析。我们用第6节中的一些数字插图来丰富我们的结果。最后，第7节总结了pape r.2模型框架。本节介绍了α-CIR利率模型及其基本性质。我们首先定义模型的两种表示形式，并在两个类之间建立明确的联系，以便将每个类的属性直接转移到另一个类。让我们定义一个可能性空间(Ohm, F、 P）配备过滤器F=（英尺）t≥0满足通常的条件。定义2.1（根代表）我们考虑以下关于短期利率r=（rt，t≥ 0）RT=r+Zta（b- rs）ds+σZt√rsdBs+σZZtr1/αs-dZs（1），其中B=（Bt，t≥ 0）是布朗运动，Z=（Zt，t）≥ 0）是具有参数α的s-pec-trally正α稳定补偿L′evy过程∈ （1，2），它独立于B，并给出了q的全空间变换≥ 0，再见E-qZt= 经验-tqαcos（πα/2）.换句话说，ZT遵循α稳定分布，具有标度参数t1/α、偏度参数1和零漂移，i、 中兴通讯~ Sα（t1/α，1，0）。我们用（1）参数（a，b，σ，σZ，α）的α-CIR过程定义所有过程，并用α-CIR（a，b，σ，σZ，α）表示所有这些过程的集合。方程（1）的唯一强解的存在性来自Fu和Li[21，定理5.3]。很容易看出，CIR模型属于定义2中的类别。1取σZ=0。我们恢复CIR过程的另一种情况是当α=2时。在这种情况下，过程Z变成了标准的布朗运动，由系数来衡量√2独立于B。

因此，满足（1）的α-CIR过程实际上是形式RT=r+Zta（b）的CIR过程- rs）ds+qσ+2σZZt√rsdeBswhereeB=（σB+σZZ）/pσ+2σzi是标准布朗运动。换句话说，参数α=2的α-CIR过程就是CIR过程。过程Z偏离布朗运动是由尾部指数α控制的。当α<2时，Z是一个带重尾的纯跳跃过程。对于任何固定的t，zt的分布是一个稳定的分布，分布的尾部像指数幂函数一样衰减-α. 这意味着一个稳定的随机变量比一个高斯变量具有更大的可变性，并且它更可能使数值远离中值。与标准泊松过程或复合泊松过程相比，这种纯跳跃过程在任何时间间隔内都有一定数量的（小）跳跃，从而可以捕捉极端活动。同时，α稳定过程与布朗运动具有相似的性质，如自相似性或稳定性，这意味着α稳定过程在任何水平上的分布在标度时具有相同的形状。从统计学的角度来看，（1）给出的过程被CIR模型的另外两个参数所表征，即：。

α和σZ。然后，我们通过使用随机场引入更一般形式的α-CIR模型。定义2.2（积分表示）我们还考虑了积分形式RT=r+Zta（b）中的以下等式- rs）ds+σZtZrsW（ds，du）+σZZtZrs-ZR+ζeN（ds，du，dζ），t≥ 0（2）式中，W（ds，du）是R+上强度为dsdu的白噪声，eN（ds，du，dζ）是R+上强度为dsduu（dζ）的独立补偿泊松随机测量，其中u（dζ）是R+上的L’evy测量，且满足R∞(ζ ∧ ζ） u（dζ）<∞.我们把（2）给出的过程称为带有参数（a，b，σ，σZ，u）的α-CIR型过程。根据Dawson和Li[10，定理3.1]或Li和Ma[32，定理2.1]的结论，方程（2）有唯一的强解。我们建立了α-CIR模型的第一个链接。设L’evy度量u为sμα（dζ）=-{ζ>0}dζcos（πα/2）Γ(-α） ζ1+α，1<α<2，（3）那么（2）的解与方程（1）的解具有相同的概率律。在扩展概率空间中，对于任意一对（B，Z）存在一对（W，eN），使得两个方程（2）和（1）的解几乎肯定相等；见下文命题2.4和命题2.5。注2.3我们解释了ab ove积分表示与Hawkes过程的联系。我们首先考虑CIR模型的n积分表示。设W（ds，du）是R+上强度为dsdu的白噪声。CIR过程r（当σZ=0时）在公式RT=r+Rta（b）中给出- rs）ds+σRtRrsW（ds，du），或等效为asrt=r*t+σZtZrse-a（t）-s） W（ds，du）（4）其中r*这是r给出的一个确定性函数*t=re-at+abret-a（t）-s） ds。表达式（4）显示了自激特性。然后，我们考虑一个简单的Hawkes过程，其指数为ker ne l，定义为强度为r的点过程J，其中r readsrt=r*t+Zte-a（t）-s） DJR*是背景速率，即过程J的确定部分。