主权利率下带分支过程的Alpha-CIR模型

尽管支付具有非马尔可夫行为和非线性，但其价格可以通过拉普拉斯变换的反演获得。4.1零息票债券定价我们从精确的等效概率度量开始。下面的建议表明，由α-CIR模型给出的短期利率r在同等概率变化下仍然属于积分型过程e s。命题4.1假设r是概率测度下的α-CIR（a，b，σ，σZ，α）过程，并假设过滤F由随机场W和N生成。固定η∈ R和θ∈ R+，和定义：=ηZtZrsW（ds，du）+ZtZrs-Z∞（e）-θζ- 1） eN（ds，du，dζ）。Dol’s Dade指数E（U）是一个鞅，概率测度Q由dqdp定义Ft=E（U）t，相当于P。此外，在Q下，r是一个α-CIR型过程，参数为（a′，b′，σ′，σ′Z，u′α），其中′=a- ση -ασZcos（πα/2）θα-1，b′=ab/a′，σ′=σ，σ′Z=σZandu′α（dζ）=-E-θζcos（πα/2）Γ(-α） ζ1+αdζ。证据耦合（r，U）是一个时间齐次的有效过程（c.f.[9，定理6.2]）。通过检查[26，推论3.2]中的条件是否满足，Dol’e and Dade指数e（U）是真鞅，因此它定义了一个等价的概率测度Q。请注意，Y=e（U）是dYt=Yt的唯一强解-达特。那么对于任何函数f∈ C（R+），进程TF（rt）-ZtYsf′（rs）ab-A.- ση - σZZ∞ζ（e）-θζ- 1） μα（dζ）rsds-σZtYsf′（rs）rsds-ZtYsrsdsZ∞f（rs）-+ σZζ）- f（rs）- f′（rs）-)σZζE-θζμα（dζ），t≥ 0是局部鞅，这意味着在Q下，r是一个具有参数（a′，b′，σ′，σ′，Z，u′α）的α-CIR型过程。备注4.2我们通常选择η和θ，使a′>0。当θ=0时，u′α与（3）中给出的μα重合，因此α-CIR过程在概率测度的等效变化下将保持在同一类中。

当θ>0时，在概率测度变化下，α-C IR过程由一个回火稳定过程驱动，成为一个α-CIR型过程。在这种情况下，我们可以在一般的CBI过程中应用以下结果来计算债券价格。正如Filipovi\'c[17,18]所强调的，一大类债券期权通过指数有效转换提供了一个很好的表达，见[18，定理10.5]和[17，第6节]。下一个建议给出了CBI过程及其集成过程的联合拉普拉斯变换的一般结果，这将有助于键合。命题4.3设X为（19）给出的CBI（ψ，Φ）过程，X=X。对于非负数ξ和θ，我们得到-ξXt-θRtXsdsi=exp- xv（t，ξ，θ）-ZtΦv（s，ξ，θ）ds, （30）其中v（t，ξ，θ）是v（t，ξ，θ）t=-ψ（v（t，ξ，θ））+θ，v（0，ξ，θ）=ξ。（31）证据。对于任何函数f∈ C（R+）（f（Xt）-f（x）-RtLf（Xs）ds，t≥ 0）是局部鞅，其中运算式L由（22）给出。Thenf（Xt）e-θRtXsds- f（x）-中兴通讯-θRtXsdsLf（Xs）- θXsf（Xs）ds，t≥ 0也是一个局部鞅。用qt表示Fey-nman-Kac半群，用x表示相应的过程：Qtf（x）=ExFXt:= Exhf（Xt）e-θRtXsdsi。那么X是一个非保守（换句话说，该过程可能会在有限时间内爆炸）的cbi过程，其生成器由Af（X）=Lf（X）定义-θxf（x）由[27，定理1.1]a表示，并暗示了额外的thatEx[e]-ξXt]=exp- xv（t，ξ，θ）-ZtΦ（v（s，ξ，θ））ds,其中v（·，ξ，θ）是v（t，ξ，θ）t=-ψ（v（t，ξ，θ））+θ，v（0，ξ，θ）=ξ。这样就证明了这个命题。上述命题允许在同等概率测度下，用α-CIR模型计算短期利率驱动下的零耦合债券价格。

接下来，我们给出了在等价风险中性概率Q下，当短期利率r满足参数（a，b，σ，σZ，α）的α-CIR模型时的零息票价格，并分析了其相对于α的递减性质。回想一下在时间t到期的零息债券的价值≤ T由b（T，T）=EQhexp给出-ZTtrsds|Fti。（32）为了简单起见，我们将使用符号E代替等式4.4。假设概率测度Q下的α-CIR模型（1）给出短期利率r。然后零息票债券价格由b（t，t）=exp给出- rtv（T-（t）- abZT-电视节目, （33）式中，v（s）是方程的唯一解v（t）t=1- ψα（v（t）），v（0）=0，（34），其中ψα（q）=aq+σq-σαZcos（πα/2）qα如（24）所示。此外，我们有v（t）=f-1（t），其中f（t）=Ztdx1- ψα（x）（35）证明。应用命题4。3当ξ=0，θ=1时，我们得到-RTtrsdsFti=exp- rtv（T-（t）- abZT-电视节目,其中v（t）是（34）的唯一解，其中ψα在（24）中给出。由于ψα（·）是一个非负的、递增的凸函数，方程ψα（x）=1的唯一解用x表示。为了0≤ x<x，1- ψα（x）>0。注意，f（u）在u中严格增加∈ [0，x）和f（u）→ ∞ 作为你→ x、 从m（34）到zv（t）dv1- ψα（v）=t。让t趋于上述等式两边的一致性。然后v（t）→ xas t→ ∞ andv（t）<x对于任何t≥ 也就是（34），v（t）严格地增加。所以有v（t）=f-1（t）。命题4.5函数v相对于α增加∈ （1，2）。特别是债券价格B（0，T）相对于α在下降。证据我们将函数v写成v（t，α），以强调对参数α的依赖性。从1开始-ψα（u）是u的一个减凹函数，ψα（0）=0，有一个唯一的正解，用v表示*（α） ，到方程式1-ψα（u）=0。不难看出0≤ v（s，α）<v*（α） 和极限→∞v（s，α）=v*(α).

此外，从关系1- ψα（v）*（α） 我们得到了（σZv）*(α))α≤ -cos（πα/2）≤ 1，因此σZv*(α) ≤ 1.对于任何t∈ R+，一hast=Zv（t，α）dx1- ψα（x）。取α的导数，我们得到1- ψα（v（t，α））·五、α（t，α）+Zv（t，α）（1）- ψα（x））·Ψαα（x）dx=0。注意，通过（24），Ψαα（x）=-sin（πα/2）cos（πα/2）π（σZx）α-（σZx）αcos（πα/2）ln（σZx）≤ 0on x∈ （0，v）*（α） ]自σZv以来*(α) ≤ 1和cos（πα/2）<0。因此我们获得五/α ≥ 0，即函数v相对于α增加。特别是债券价格B（0，T）是α的递减函数。命题4。5表明α<2的α-CIR模型允许从债券定价的角度捕捉低利率行为。这一结果在第一眼看到时令人惊讶，因为参数α是分布尾重的反度量，α越接近1，出现大跳跃的可能性就越大（另见第5节）。此外，在α-卷积模型中，αc与所谓的广义Blumenthal-Getoor指数一致，该指数定义为{β>0:P0≤s≤Trβs<∞, a、 美国卢比：=卢比- rs-T是一个水平时间（见[1]），通常用于测量半鞅中小跳跃的活动性。事实上，当α（du）被（3）定义时，该指数被减少到infβ>0:RTrsdsRuβμα（du）<∞, a、 美国。因此等于α。指数α∈ （1,2）表明跳跃是有限的变化。4.2债券衍生品的应用我们现在考虑债券衍生品。α-CIR模型框架允许获得一大类导数的闭式公式，如下我们通过路径依赖的例子所示。用Y（t，t+κ）表示时间t时常数到期κ的零息债券收益率。它来自命题4。4 thatY（t，t+κ）=-κlnb（t，t+κ）=κrtf-1（κ）+abZκf-1(s)ds.

（36）让我们考虑一个期限为T和K的欧洲看跌期权，它写在债券收益率的运行最低值上。价格由byP给出英孚∈[0，T]Y（u，u+κ），0，T，K:= Ehe-RTrsdsK- 英孚∈[0，T]Y（u，u+κ）+i（37）我们根据上述功能的成熟度定义了拉普拉斯变换。对于θ>0，letLθ（0，κ，K；r）=Z∞E-θTP英孚∈[0，T]Y（u，u+κ），0，T，KdT。（38）以下结果给出了该L aplace变换的封闭形式表达式。命题4.6设r为初值r>0的α-CIR（a，b，σ，σZ，α）过程。ThenLθ（0，κ，K；r）=f-1（κ）κZKHε（θ，r）Hε（θ，y）M（θ，y）dy，（39）其中函数f-1定义于（35）K中=κK- abRκf-1(s)ds/F-1（κ），Hε（θ，x）=Z∞量化宽松-xzψα（z）- 1expZzq+εabu+θψα（u）- 1dudz，（40），其中q由ψα（q）=1和ε给出，是任意正数，m（θ，y）=Z∞E-θuBy（0，u）duby（0，u）是由（33）给出的零息票债券价格，初始短期利率为y。备注4.7我们注意到，Hε（θ，x）定义良好。实际上，abu+θψα（u）-1.→ 0作为u→ ∞. ThenzRzq+εabu+θψα（u）-1du→ 0作为z→ ∞, 这意味着∞q+εdzψα（z）-1exp(-yz+Rzq+εabu+θψα（u）-1du）<∞.此外，作为z→ q、 我们有zq+εqdzψα（z）- 1exp- yz+Zzq+εabu+θψα（u）- 1du≤Zq+εqdzψα（z）- 1expZzq+εθψα（u）- 1du< ∞.实际上，考虑θ>0，右边被积函数的本原函数是z7→θexp- θRq+εzψα（u）-1du, 在q证明时取有限值。

我们首先重写看跌期权的支付（37）英孚∈[0，T]Y（u，u+κ），0，T，K= EE-RTrsdsK-κhf-1（κ）infu∈[0，T]ru+abZκf-1（s）dsi+=F-1（κ）κE“E-RTrsdsκK- abRκf-1（s）dsf-1(κ)- 英孚∈[0，T]ru+#,对应于另一个看跌期权，该看跌期权写在即期汇率的运行最小值上，并带有不同的名义f-1（κ）/κ和strikeK，即P英孚∈[0，T]Y（u，u+κ），0，T，K=F-1（κ）κP英孚∈[0，T]ru，0，T，K.然后拉普拉斯变换（38）变成θ（0，κ，K；r）=f-1（κ）κZ∞E-θTP英孚∈[0，T]ru，0，T，KdT。（41）注意K- 英孚∈[0，T]ru+=ZK{infu∈[0，T]ru<y}dy，因此我们有lθ（0，κ，K；r）=f-1（κ）κEhZKdyZ∞dT exp- θT-ZTrsds{infu∈[0，T]ru<y}i=f-1（κ）κEhZKdyZ∞ΘydT exp- θT-ZTrsdsi=f-1（κ）κEhZKdyZ∞ΘydT exp- θ（T）- Θy）- θΘy-ZΘyrsds-ZTΘyrsds我在这里用y<r表示r在[0，y]中的首次进入时间，即Θy:=inf{t>0:rt≤ y} 。通过Duhalde，Foucart和Ma[12，定理1]，我们得到了经验公式- θΘy-ZΘyrtdti=Hε（θ，r）Hε（θ，y）（42），其中（40）中定义的函数Hε（θ，x）是x上的递减函数∈ (0, ∞) 对于θ>0。利用rton的强马尔可夫性，给出了停止时间Θy，Lθ（0，κ，K；r）=f-1（κ）κZKEhexp- θΘy-ZΘyrsds伊兹∞E-θtEyhexp-Ztrsds注意，By（0，t）=Ey[exp(-因此我们得到（39）。5跳跃分析本节主要关注短期利率r的跳跃部分。特别是，我们关注的是捕捉利率动态显著变化的大幅跳跃，可能意味着信用风险降低。与第2节类似，我们确定了跳跃阈值y=σZy>0。设Jyt表示r的跳跃次数，跳跃大小大于[0，t]中的y，即Jyt:=X0≤s≤t{rs>y}。（43）使用积分表示（2），我们得到了jyt=ZtZrs-Z∞y/σZN（ds，du，dζ）=ZtZrs-Z∞yN（ds，du，dζ），（44），其中N是对应于N的（非补偿）泊松随机测度。由于α（（0，∞)) =∞, 我们有limy→0Jyt=∞, a、 s。。

在下文中，我们证明了当指数系数满足非线性常微分方程时，该反过程的拉普拉斯变换是指数函数。命题5.1设r为初值为r的α-CIR（a，b，σ，σZ，α）过程≥ 0.那么forp≥ 0，EE-pJyt公司= 经验-l（p，y，t）r- abZtl（p，y，s）ds（45）式中，l（p，y，t）是下列方程的唯一解l（p，y，t）t=σαZZ∞Y1.- E-P-l（p，y，t）ζμα（dζ）- ψ（y）α（l（p，y，t）），（46），初始条件l（p，y，0）=0，ψ（y）α由（26）给出。证据我们首先证明（46）有一个独特的解决方案。注意σαZR∞yμα（dζ）- ψ（y）（q）是关于q和σαZR的一个增凹函数∞耶-P-qζμα（dζ）是q的递减凸函数≥ 0，一个有∑αZR∞yμα（dζ）- ψ（y）（0）≥ σαZR∞耶-pμα（dζ）。此外，对于足够大的q，σαZR∞yu（dζ）- ψ（y）（q）<0<σαZR∞耶-P-qζμα（dζ）。因此存在唯一的正解，用l表示*> 对于方程fy（q）：=σαZZ∞y（1- E-P-qζ）u（dζ）- ψ（y）（q）=0。当0时，Fy（q）>0≤ q<l*, 当q>l时，Fy（q）<0*. 此外，Γ（l）：=RlFy（q）dqis是[0，l]的一个增函数*) 到[0，∞) 及其反函数l（p，y，·）：[0，∞) → [0，l*)存在。不难看出，对于任何t≥ 0，RtFy（l（p，y，s））dl（p，y，s）=t，这意味着（46）。由于Fy（q）是局部Lipschitz，因此唯一性如下。耦合（Jy，r）是一个马尔可夫过程，取N×r+，其中N:={0，1，··}。作用于函数f（x，n，t）的（Jy，r）的生成元由af（x，n，t）给出=Ft（x，n，t）+a（b- 十）Fx（x，n，t）+σxFx（x，n，t）+σαZxZyf（x+ζ，n，t）- f（x，n，t）- ζFx（x，n，t）μα（dζ）+σαZxZ∞Yf（x+ζ，n+1，t）- f（x，n，t）- ζFx（x，n，t）μα（dζ），（47），其中f（x，n，t）可与t区分，与x区分两次，测量μα（dζ）由（3）定义。设p和θ为非ne负数，T≥ 0是一个永恒的地平线。

我们考虑边界条件为F（x，n，T）=exp的积分微分方程Af=0(-pn- θx）并寻找公式f（x，n，t）=exp的解C（t）- C（t）n- C（t）x, T∈ [0，T]。然后方程Af=0简化为以下普通微分方程组C′（t）=abC（t），C′（t）=0，C′（t）=ψ（y）α（C（t））+σαZR∞y（e）-C（t）ζ-C（t）- 1） μα（dζ）。（48）此外，基本条件f（x，n，T）=exp(-pn- θx）读取（C（T），C（T），C（T））=（0，p，θ）。特别是，在t上有C（t）=p∈ [0，T]。此外，函数Cand也由方程组（48）和边界条件唯一确定。值得注意的是，一个人有C（t）=-abRTtC（s）ds。因为A是马尔可夫过程ss（Jy，r）的生成元，所以-pJyT-θrT | Ft]=f（rT，Jyt，t）=exp- abZTtC(s)ds- pJyt公司- C（t）rt,式中，Cis是下列具有有界条件C′（t）=ψ（y）α（C（t））+σαZZ的普通微分方程的解∞y（e）-C（t）ζ-P- 1） μα（dζ），C（T）=θ。reθ=0和t=0的特殊情况导致[e]-pJyT]=exp- abZTC（T，p，y，s）ds- C（T，p，y，0）r, （49）其中C（T，p，y，·）是C（T，p，y，T）t=ψ（y）α（C（t，p，y，t））+σαZZ∞y（e）-C（T，p，y，T）ζ-P- 1） μα（dζ），C（T，p，y，T）=0。最后，微分方程（46）和（49）之间的比较表明，l（p，y，t）=C（t，p，y，t- t） 无论如何≤ T因此我们得到（45）。现在我们考虑当短利率r的跳跃s iz e大于y=σZy时的第一次，即τy=inf{t>0：rt>y}。（50）我们表明，这种随机时间也表现出指数有效累积分布函数。

以下结果给出了上述命题的分布函数。任何t的推论5.2≥ 0，我们有p（τy>t）=exp- l（y，t）r- abZtl（y，s）ds（51）式中，l（y，t）是下列方程的唯一解：ODEdldt（y，t）=σαZZ∞yμα（dζ）- ψ（y）α（l（y，t）），（52），初始条件l（y，0）=0，ψ（y）α由（26）给出。证据问≥ 0一个有∑αZZ∞y（1- E-P-qζ）μα（dζ）- ψ（y）（q）≤ σαZZ∞yμα（dζ）- aq。通过命题5.1中的等式（46），我们得到了L（p，y，t）≤σαZa1.- E-在Z∞yμα（dζ），（53）和l（p，x，t）随着p的增加而增加。因此l（y，t）：=limp→∞l（p，y，t）存在。由（46），l（p，y，t）=σαZZtZ∞y（1- E-P-l（p，y，s）ζ）μα（dζ）- ψ（y）α（l（p，y，s））dsSinceψ（y）（q）是局部Lipschitz和e-P-l（p，y，s）ζ≤ E-p、 以极限为p→ ∞ 在上述方程的两边，我们有（y，t）=ZtσαZZ∞yu（dζ）- ψ（y）（l（y，s））ds，这意味着极限函数l是方程（52）的唯一解。根据提议。1和（44），P（τy>t）=P（Jyt=0）=limp→∞EE-pJyt公司= 经验-l（y，t）r- abZtl（y，s）ds.最后一个等式来自单调收敛定理m。命题5.3我们有P（τy<∞) = 1.此外，表示F（q）：=σαZR∞yμα（dζ）-ψ（y）α（q），那么方程F（q）=0允许唯一解l*y、 哪一项与limt一致→∞l（y，t），其中l由（52）给出。此外，一相[τy]=Zl*yF（u）exp- 呃-祖阿布夫(s)ds杜<∞. （54）证据。我们注意到F是一个递减凹函数，F（0）>0。因此方程f（q）=0有一个唯一的正解l*y> 0。当q时F（q）>0∈ [0，l*y） 。通过（52），Zl（y，t）F（q）dq=t，（55），这意味着0≤ l（y，t）<l*Y对于任何t≥ 0.然后l（y，t）在t上严格增加。在上述等式（55）中，Lett趋于一致，我们推断limt→∞l（y，t）=l*y> 0。然后∞l（y，s）ds=∞. 根据推论5。2，P（τy=∞) = 0

注意E[τy]=R∞P（τy>t）dt，soE[τy]=Z∞经验-l（y，t）r- abZtl（y，s）dsdt=Zl*yF（q）exp-qr-ZqabpF（p）dpdq，其中第二个等式从（52）开始，并暗示（54）。因为F在减小，所以F′（l*x） <0然后通过凹度f（u）exp-呃-祖阿布夫(s)ds~cF′（l）*y） （u）- L*y） 经验-呃-ZuabsF′（l*y） （s）- L*y） ds对于某些常数c>0，如u→ L*y、 然后E[τy]<∞ 跟随fromZl*yF′（l）*y） （u）- L*y） 经验-呃-ZuabsF′（l*y） （s）- L*y） ds杜<∞.以下结果给出了另一种推论形式5。2和更直观的解释。它表明，通过使用集成辅助过程s br（y）的空间变换，也可以给出第一跳时间τy的分布，该变换在（17）中有介绍，它是根据大于y=y/σZ的跳测量的质量计算的。换句话说，概率P（τy>t）等于写在辅助利率br（y）上的债券价格，该辅助利率br（y）由限制在（y）上的度量α重新调整+∞). 当b=0时，它恢复了He和Li[24，定理3.2]的结果。命题5.4假设br（y）由（17）定义，那么我们有p（τy>t）=Ehexpn- σαZZ∞yμα（dζ）Ztbr（y）sds氧指数。（56）证据。正如推论3所证明的那样。br（y）是一个CBI过程。然后，应用命题4.4，对于任何θ>0，我们得到-θRtbr（y）sdsi=expbl（θ，t）r- abZtbl（θ，s）ds,其中bl（θ，t）是bl（θ，t）dt=θ的唯一解- ψ（y）αbl（θ，t）,其中bl（θ，0）=θ。然后是推论5。2可以用（56）的形式书写。最后，我们分别比较了α-CIR和局部等效LOU模型中第一次大跳跃时间的行为。命题5.5设τλy:=inf{t>0:λt>y}表示根据定义2.7，当aLOU过程的跳跃大小λ大于y:=σZy时的第一次。将τ定义为不可滚动5。2.