融资、回购和信用包容性估值作为修改后的期权定价

相当于等式φτ=-eVτ（ψ），前提是τ在P下的分布是连续的，且[0，T]包含在其支撑中。因此，复制策略独立于满足这些条件的特定τ分布。换句话说，对这个分布的确切了解对于手头的问题来说是无关紧要的。让我们强调一下，在允许对违约时间进行更一般的分配时，不应先验地假定平等（2.6）。例如，当P（τ∈ （t，t））=0，那么我们应该为所有t设置φt=0∈ （t，t）（参见Rutkowski[1999]中关于不连续情况的分析）。我们现在可以明确得出复制策略。通过将（2.5）与（2.6）相结合，我们得到了终端条件eVt（ν）=1的devt（ν）=（κ+f）eVt（ν）dt。我们恢复（2.1）eVt（~n）=e-（κ+f）（T-t） =eBtand soBt=1{τ>t}e-（κ+f）（T-t） =1{τ>t}e-（RCD+f）（T）-t） 。因此，我们已经证明，该策略t=-E-（κ+f）（T-t） ，~nt=（Bft）-1e-（κ+f）（T-t） 是自融资，并在[0，τ]上复制可违约债券B∧ [T]。融资、回购和信用包容性估值作为修正期权定价72.3无套利和鞅方法CDS和可违约债券的无套利定价模型也可以直接使用所谓的鞅方法构建。在这种建模方法中，可以将任何与P等价的概率测度Q作为假设鞅测度。为了在我们的设置中确定鞅度量，我们要求Q应与CDS的假设属性一致：分布等于κ（t，t）>0，CDS在违约时支付一单位现金，前提是违约事件发生在t之前或t时。

与往常一样，在违约事件之前的任何时候，市场CDS的价值都应该等于零。简单的计算表明，一般来说，当利率f为常数κ（t，t）时，CDS的市场（或公平）利差可以通过以下公式计算：-R（t，t]e-fudG（u）R（t，t]e-fuG（u）du（2.7），其中G（t）：=Q（τ>t）。如前所述，现在可以证明，具有常数正的公平CDS速率κ（t，t）=κ>0的必要和有效条件是τ在P下的分布是连续的，并且有[0，t]的支持，这正是命题2.1中所假设的。本质上，这是因为，对于[0，T]上的任何正密度函数，存在一个唯一的概率测度Q，相当于P，使得τ在Q下的分布是指数分布，参数λ=κ，其中常数κ>0是预先给定的，前提是利率f是常数（尽管f的水平是恒定的）。然后，κ（t，t）=κ和λ自然地解释为CDS定价度量Q下的违约强度。相反的应用也是有效的。因为我们可以证明鞅测度Q在HT上是唯一的，其中HT:=σ（1{τ）≤u} ，u≤ t） 是由默认流程生成的过滤，包含两项资产的模型，即融资账户和CDS，是完整的。因此，根据资产定价的基本定理，任何在T到期的或有目标X都可以复制，其价格（定义为复制策略的价值）也可以使用以下版本的经典风险中性估值公式计算：哈！。

（2.8）对于回收率为零的索赔，我们得到vt=BftEQX1{τ>T}BfT嗯！，它将vt=1{τ>t}Bft（Gt）-1EQXGTBfT！式中gt=Q（τ>t）=e-λt=e-κt.默认键对应于X=1和thusBt=1{τ>t}Bft（Gt）-1GTBfT=1{τ>t}e-（κ+f）（T-t） .8 Brigo、Buescu、RutkowskiOne可能会观察到，在该模型中，只有面值不同但不变的零回收债券是零回收债券。显然，非零回收债权的估值问题也可以通过使用（2.8）来解决。3复制脆弱看涨期权定价在详细分析了零回收可违约债券的估值后，我们现在将讨论一些风险资产上脆弱期权的更高级估值问题。我们的目标是再次比较各种方法，并确定现有文献中经常忽略的基本假设。用F=（Ft）表示，其中Ft:=σ（Su，u）≤ t） 交易资产（股票）价格过程产生的自然过滤。让到期日T固定，让X是一个FT可测量的可积随机变量。假设默认时间τ是概率空间上的正随机变量(Ohm, F、 P）。默认时间生成过滤H=（Ht），其中Ht:=σ（1{τ）≤u} ，u≤ t） ，用于逐步放大F，以获得完整过滤G=（Gt），其中Gt:=Ft∨嗯。我们的工作假设是Ft:=P（τ）≤ t | Ft）是一个连续的、递增的函数，对于任何t，Ft<1。请注意，关于默认时间的假设已经出现在Liott等人的文章中。

[2000]与假设（H）相结合，并符合第2.1条中的假设。假设A是一个合同（易受攻击的看涨期权），其成本为Pat时间0，且在到期时间T时有收益X，其中X=1{τ>T}（ST- K） +。这里τ被解释为合同对方，即期权发行人的违约时间。我们想知道Pt，t的价格∈ [0，T]，适用于使用市场上可用的金融工具复制多头头寸的投资者。我们现在考虑一个具有以下主要资产（a、a、a、a）的市场：i）利率为f的无担保融资账户；ii）股票（合同标的资产）；iii）回购利率为h的股票回购协议；iv）由交易对手发行的回报率为R的零回收可违约债券。在时间t，资产的价格由Pt=Bft，Pt=St，Pt=0，Pt=bt给出，自资产开始以来的收益过程由git表示，所有i的Gi=0。作为一个初步步骤，我们指定模型输入：国债利率f，回购利率h和债券收益率rC。注意，速率f、h和rca被假定为常数（或至少是确定性的），并且它们是已知的。我们还假设过程S是连续的（显然，bfs也是连续的）。此外，我们将在后面假设股票价格波动率σ与修改后的期权定价一样，是已知的融资、回购和信用包容性估值。因此，我们根据模型参数f、h、R和σ以及期权数据T和K寻求定价公式。请注意，原则上，所有这些数量都是在市场中观察到的，前提是波动率被理解为隐含波动率。

相比之下，我们不需要假设交易对手的CDS是可交易的，尽管这一假设不会改变我们对期权定价公式的推导，而且对CDS利差RCD的了解并不重要。事实上，我们从上一节了解到，对于固定水平的国债利率f，RCD和RCD之间存在一对一的对应关系。现在让我们来确定收益过程。购买一份回购合同相当于以现金出售股份，根据协议，以更高的价格回购股份，其中包括回购利率对应的利息支付。（出售回购协议会产生相反的现金流。）股票价格的任何升值（或贬值）都是正（或负）收益的一部分，而即将到期的回购利息支付是负收益：dGt=dSt- hStdt。在交易对手债券违约前收益率Rc具有确定性的长期假设下，我们得到Bt=1{τ>t}e-RTtrCudu=（1）- Jt）e-其中Jt:=1{τ≤t} 是模拟交易对手违约跳跃的点过程。这些收益与违约时债券价值下降对应的流出现金流具有负项。总而言之，主要资产的收益由dGt=fBftdt、dGt=dSt、dGt=dSt给出- hStdt，dGt=rCtBtdt- 英国电信-dJt。交易策略φ=（φ，φ，φ，φ）给出了为构建投资组合而购买的每项主要资产的单位数量。让β∈ [0，1]是一个常数。如果在任何日期t，投资者只能使用回购市场获得所需股票金额的一小部分β，而其余部分必须在股票市场上从财政部获得资金，则交易策略是可以接受的。

当时的财富∈ [0，T]由一个可接受的策略所产生的投资组合用V k和等式V k T=Xi=1 k itpit表示，与该策略相关的收益过程满足G k=0和dg k T:=Xi=1 k itdGit。（3.1）然后，我们说，如果总的来说∈ [0，T]V k T=V k T+G k T.（3.2）如果V k T=X，可接受的交易策略会复制合同a的收益。我们将合同a的时间T价格定义为与复制策略pt=V k T.（3.3）10布里戈，布埃斯库，鲁特科夫斯基对应的投资组合的财富V k T。我们市场中特定的主要资产的存在确保了任何索赔都是可以实现的。事实上，研究中的市场是完整的，没有套利论据表明任何合约的价格都是唯一的。回想一下，复制投资组合是持有合同A的投资者为防范市场和交易对手风险而构建的对冲投资组合的负值。换句话说，复制策略不仅复制期权的收益，还复制期权多头头寸的市场风险和信用风险。在违约前的t日，投资者为期权中的多头头寸建立复制投资组合，知道τ的假设意味着，对于任意小的dt，违约可能发生在t和t+dt之间。复制合同投资者：1。购买β特雷波斯，借用βTST从财政部购买并交付t共享，并接收β偿还给财政部的tStcash；2.借款（1）-β)从财政部购买TST（1- β)tshares；3.购买交易对手债券的Pt/Btunits，以匹配该投资组合的价值和期权支付。当然，目前还不知道期权价格PTI，但可以从匹配条件（3.3）和终端支付组合中找到。

这种复制投资组合产生了以下可接受的策略θt：=-(1 - β)tStBft，（1）- β)t、 βt、 PtBt！。（3.4）在t+dt时，投资者：4。接收βt从回购协议中分得股份，并以2美元的价格出售tSt+dt；5.向财政部借款tSt（1+hdt）完成回购；6.销售（1）-β)t共享（1）- β)tSt+dt；7.以PtBt+dt/Bt出售交易对手债券；8.向财政部偿还金额（1）- β)tSt（1+fdt）。这些交易导致的复制头寸财富的变化等于vθt+dt- Vθt=βtSt+dt- βtSt（1+hdt）+（1）- β)tSt+dt+PtBtdBt- (1 - β)tSt（1+fdt）=βtdSt- βhtStdt+（1）- β)tdSt+PtBtdBt- (1 - β） ftStdt=tdSt-(1 - β） f+βhtStdt+Pt（rCdt- dJt）。融资、回购和信用包容性估值作为修正期权定价11这可以通过使用（3.1）并计算（3.4）dGθt=-(1 - β)tStBftfBftdt+（1）- β)tdSt+βt（dSt）- hStdt）+PtBt（rCtBtdt）- 英国电信-dJt）=tdSt-(1 - β） f+βhtStdt+Pt（rCtdt- dJt）我们使用了平等Bt-= 英国电信在违约前持有。还要注意，违约时θ的财富等于零，这与违约时的期权支付一致。因此，我们可以设置θt=（0,0,0,0）来表示t>τ。现在让我们关注违约前的定价问题。由于dVθt=dGθt（来自（3.2））和dpt=dVθt（来自（3.3）），我们有dpt=tdSt-(1 - β） f+βhtStdt+Pt（rCtdt- dJt）。（3.5）为了推导违约前定价PDE，我们假设在统计概率P下，股票价格受DST=utStdt+σSTDW控制，价格Pt可以表示为asPt=1{τ>t}ePt=1{τ>t}v（t，St）=（1）- Jt）v（t，St），对于C1，2类的某些函数v（t，s）。然后伊藤公式yieldsdPt=（1- Jt）dv（t，St）+v（t，St）d（1）- Jt）=（1- Jt）dv（t，St）- v（t，St）dJtanddPt=（1）- （Jt）vt（t，St）+σStvss（t，St）dt+（1）- Jt）vs（t，St）dSt- v（t，St）dJt。

（3.6）通过将（3.5）和（3.6）中的dSt、dt和dJtterms相等，我们得到了以下等式，其中变量（t，St）被抑制t=（1）- Jt）vs.（1）- （Jt）vt+σStvss+(1 - β） f+βhSTV- (1 - Jt）rCtv=0，（3.7）-PtdJt=-v dJt。函数v（t，s）的预设定价PDE现在可从（3.7）asvt获得+(1 - β） f+βhs五、s+σs五、s- rCtv=0（3.8），终端条件v（T，s）=（s- K） +。当标的股票支付股息时，我们将（3.8）视为Black-Scholes PDE。要看到这一点，必须将贴现率作为可违约债券的收益率r:=r，将瞬时股息率作为债券在有效融资率q:=rC上的利差-fβ，其中有效融资率定义为加权平均值：fβ：=（1）- β） f+βh。我们得出结论，以下结果是有效的。12 Brigo，Buescu，Rutkowski命题3.1通过复制等式pt=1{τ>t}获得的脆弱看涨期权的时间t价格Ste-q（T）-t） N（dq）- 柯-rC（T）-t） N（dq）（3.9）q=rC- fβ和dq=logStK+（rC- q+σ（T）- t） σ√T- t、 dq=dq- σ√T- t、 值得注意的是，（3.9）也可以通过概率方法从（3.5）中推导出来，而无需使用定价PDE。从（3.5）中，我们得到了以下关于违约前价格Dept=-fβtStdt+tdSt+rCtePtdt。（3.10）现在让Qβ成为概率度量，它相当于P，并且使得风险集S在Qβ下的漂移等于有效融资率fβ。然后，流程EP由QβbydePt管理- rCtePtdt=tσStdWβtwith终端条件ept=（ST- K） +其中Wβ是Qβ下的布朗运动。

这导致了以下概率表示ForeptPt=e-rC（T）-t） Eβ[（ST- K） +|Ft]=e-（rC）-fβ）（T-t） Eβ[E-fβ（T-t） （圣- K） +|Ft]，然后通过条件期望的标准计算或注意到它是由Black-Scholes公式给出的，利率为fβ，没有股息，从而产生（3.9）。备注3.1 i）如果我们用r=rCt=RCD+f对（2.2）中的可违约债券进行建模，其中将CDS利差RCD（而非债券收益率rC）作为模型输入，则价格方程（3.9）适用于q:=RCD-β（h- f） 。换句话说，在我们的交易模型中，当可违约债券被交易对手的CDS取代时，期权定价公式（3.9）仍然有效。ii）PDE（3.8）实际上相当于[Bielecki等人，2005年，等式4.4]中使用马尔廷格尔方法获得的PDE（32）。要看到这一点，必须用主要资产的动态来重写（3.8）DBFT=fBftdt，dSt=uStdt+σStdWt，dBt=Bt-（udt）- dMt）=Bt-（u+ξt）dt- dJt,式中u=f和Mt:=Jt+log Gt∧τ=Jt- ξt其中Gt:=P（τ>t | Ft）。过程M通常被称为违约过程J.iii）的补偿G-鞅。虽然假设股票S不支付股息，但目前的框架可以很容易地扩展到支付股息的情况。因此，有效融资率fβ应被fβ取代- δ.融资、回购和信用包容性估值作为修改后的期权定价134通过调整后的现金流进行的脆弱看涨期权定价Proachlet us再次考虑同一脆弱期权的定价问题，但这一次使用了源自Pallavicini等人[2011]的调整后现金流方法，严格引自inBrigo等人[2015b]，并在Brigo and Pallavicini[2014]中以更广泛的背景介绍。

我们并没有试图证明他们的方法是合理的，但我们从Brigo and Pallavicini[2014]的定价方程（11）开始，并将其调整到脆弱看涨期权的当前背景下，这是一种无抵押合同。请注意，变动保证金为M，而NCA和NIA是两个交易对手的初始保证金账户，因此总抵押品账户C=M+NC+NI。在我们的例子中，这意味着Brigo和Pallavicini[2014]中等式（11）最后两行中出现的所有项都消失了。此外，违约时的现金流等于零（由于脆弱期权的零回收约定），承诺的现金流在一段时间内（t，t+dt）为∏（t，t+dt）=（ST- K） +{t=t}。因此，Pallavicini等人[2011]中的定价方程（11）降低到vt=Eh{τ>T}D（T，T；f）（ST- K） +|Gt（4.1）式中，eh是关于概率测度Qh的期望，该概率测度使天空资产的漂移等于h，这意味着dst=hStdt+σstdwht，其中Qh下为布朗运动。此外，G=（Gt）是包括违约时间信息和贴现系数D（s，t；f）等式D（s，t；f）：=exp-Ztsfudu.此后，我们假设一个恒定的国债利率f，并使用交易对手Qhof下的违约前强度λ，该强度在[Brigo and Pallavicini，2014，（40）]中定义为{τ>t}λdt:=Qh（τ∈ dt |τ>t，Ft），以获得生存概率Ght=e-λtw，其中Ght:=Qh（τ>t | Ft）。注意，这与第3节复制方法中关于τ的假设是一致的。使用（4.1）和Beilecki等人的Cor.3.1.1。