融资、回购和信用包容性估值作为修改后的期权定价

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英文标题：
《Funding, repo and credit inclusive valuation as modified option pricing》
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作者：
Damiano Brigo, Cristin Buescu, Marek Rutkowski
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We take the holistic approach of computing an OTC claim value that incorporates credit and funding liquidity risks and their interplays, instead of forcing individual price adjustments: CVA, DVA, FVA, KVA. The resulting nonlinear mathematical problem features semilinear PDEs and FBSDEs. We show that for the benchmark vulnerable claim there is an analytical solution, and we express it in terms of the Black-Scholes formula with dividends. This allows for a detailed valuation analysis, stress testing and risk analysis via sensitivities.
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中文摘要：
我们采用整体方法计算OTC索赔价值，将信贷和融资流动性风险及其相互作用纳入其中，而不是强制进行个别价格调整：CVA、DVA、FVA、KVA。由此产生的非线性数学问题的特点是半线性偏微分方程和FBSDE。我们证明了对于基准脆弱索赔有一个解析解，并用带红利的Black-Scholes公式表示。这允许通过敏感性进行详细的估值分析、压力测试和风险分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Funding,_repo_and_credit_inclusive_valuation_as_modified_option_pricing.pdf (428.48 KB)

2022-5-10 20:18:35 上传

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关键词：期权定价 包容性 Quantitative Mathematical Incorporate

融资、回购和信用包容性估值——修改后的期权定价*达米亚诺·布里戈德普特。伦敦大学数学学院教授克里斯汀·布斯库德普特。伦敦大学数学与统计学院悉尼大学2017年6月13日摘要我们采用整体方法计算OTC索赔价值，将信贷和融资流动性风险及其相互作用结合起来，而不是强制进行个别价格调整：CVA、DVA、FVA、KVA。由此产生的非线性数学问题的特点是半线性偏微分方程和FBSDE。我们证明了对于基准脆弱索赔有一个解析解，并用带红利的Black-Scholes公式表示。这允许通过敏感性进行详细的评估分析、压力测试和风险分析。关键词：融资成本、交易对手风险、信用风险、回购市场、估值调整、分类（2010）：91G40、60J28*Damiano Brigo和Marek Rutkowski的研究得到了EPSRC数学平台GrantEP/I019111/1伦敦帝国理工学院资金成本数学分析的支持。+Marek Rutkowski的研究得到了悉尼大学DVC过渡性支持拨款BSDEs方法的支持，该方法具有资金成本。2 Brigo，Buescu，Rutkowski 1简介在2007-2008年金融危机之前，机构在对场外交易（OTC）的或有权益进行估值和对冲时，往往忽视了高评级交易对手的信用风险，这些索赔实际上是两个违约风险实体之间协商的双边合同。

然后，在2008年短短的一个月（9月7日至10月8日）内，八家主流金融机构经历了严重的信贷事件，痛苦地提醒人们，即使是大型金融机构（房利美、房地美、雷曼兄弟、华盛顿互惠银行、Landsbanki、Glitnir和Kaupthing等八家机构，我们也可以将美林加入其中）也存在违约风险。这场危机的爆炸性表现之一是ZF指数掉期（OIS）利率和伦敦银行同业拆借利率之间的突然差异，表明银行间市场存在信贷和流动性风险。这迫使交易商和金融机构重新评估Otoc索赔的估值，导致对其账面价值进行各种调整。很难公正地对待有关此类估值调整的全部文献，因为它们将学术界和实践者平行发展的两条主线交织在一起。有关估值调整和所有相关参考资料的完整介绍，请参阅eitherBrigo等人[2013]或Cr\'epey等人[2014]的第一章。在这里，我们将只总结与这项工作最相关的特性。首先，由于交易对手可能违约，信用估值调整（CVA）将交易价值与经销商承担的预期成本进行修正。CVA已经存在了一段时间（例如，见Brigo and Masetti[2005]），其最复杂的版本包括信用迁移和评级转换（例如，见Bielecki and Rutkowski[2015]）。第二，借记估值调整（DVA），即从交易的另一方看到的CVA，由于卖方可能在交易结束前违约的情况，用对经销商的预期收益修正价格。后一种修正可能会导致争议，当经销商的信用质量恶化时，可以记录争议。

例如，花旗集团在关于2009年第一季度收入的新闻稿中称，“收入还包括[…]衍生工具头寸的净25亿美元正CVA，不包括单一险种，主要是由于花旗的CDS利差扩大”。FASB的会计准则接受DVA，而巴塞尔委员会在风险计量领域不承认DVA；例如，有关详细讨论，请参见Brigo等人[2013]。除此之外，DVA很难对冲，因为这将涉及对自身的保护。因此，利差风险通过代理套期保值进行套期保值，即在被认为与自己银行相关的名称中进行交易，但这无助于跳转至违约风险；再次参见Brigo等人[2013]的讨论。在实际市场中，CVA和DVA通常是在大型净额结算集上计算的。因此，为大型投资组合研究此类数量可能很重要；例如，见Bo和Capponi[2013]。最近，引入了融资估值调整（FVA）。这是由于交易资金成本而导致的价格调整。交易台通过与市场上的其他交易商进行套期保值来支持与客户的交易，这可能涉及在代理套期保值时，在标的资产、现金或其他相关资产中维持多个套期保值账户。通常，这些业务所需的资金从经销商的内部资金中筹集，最终从外部资金中筹集。需要涵盖所有相关借贷活动的利息费用，并将其添加到估值中。2014年1月14日，迈克尔·拉波波特在《华尔街日报》上报道，融资估值调整导致摩根大通在第四季度业绩中损失了15亿美元的注资、回购和信用包容性估值。

最近，人们开始讨论资本估值调整（KVA），因为为了能够交易，必须留出资本成本。我们将不在这里讨论KVA，因为即使是它的定义目前也在行业内受到激烈的争论。所有此类调整可能涉及场外（OTC）衍生品交易和通过中央结算所（CCP）进行的衍生品交易，例如，参见Brigo和Pallavicini[2014]对两种情况的比较，在可能不对称的初始和变动保证金、融资成本、，研究了清算延迟和信用缺口风险，得出了BSDE和半线性偏微分方程。值得指出的是，即使是在危机后，此类衍生品市场的规模仍然相当重要。2012年底，据报道，未偿付场外衍生品合约的市值为24.7万亿美元，名义价值为632.6万亿美元（国际清算银行，2013年）。即使许多交易现在被抵押以避免CVA过度，传染和缺口风险仍可能导致重要的剩余CVA，正如Brigo et al.（2013）的信用违约掉期交易案例所示。正如我们前面提到的，在存在所有这些影响的情况下，严格的估值理论可能会相当困难，导致基于先进数学工具（如半线性模型或BSDE）的模型，这使得数值分析变得困难且缓慢。参见El Karoui等人[1997]的例子，了解不对称的利率，即使在没有信用风险的情况下，如何导致BSDE。Brigo et al.[2015b]和Bichuch et al.[2015]的论文讨论了存在上述所有影响和风险（KVA除外）的估值方程的数学分析。

Bi ffis等人[2016]分析了人寿保险合同领域的此类影响，尤其是长寿互换。分离和计算每个单独的调整是困难的，因为它们在定价中有明显的相互作用。因此，这些调整的原因在合同支付水平上进行了说明，由此产生的全包价格是作为上述类型高级数学问题的解决方案编写的。有没有一种情况，即使是简单合同，也可以通过分析计算出无抵押合同的全包价格？我们在这里给出一个肯定的答案。更具体地说，我们表明，对于标准基准产品，上述数学挑战结构可以在几个简化假设下解析求解。在没有这些调整的情况下，该解决方案用标准衍生工具使用的相同明确公式表示，即股息支付资产脆弱期权的布莱克-斯科尔斯定价公式。这就为基准产品的全包价格提供了一个封闭形式的解决方案，即易受攻击的看涨期权，从而能够从数值的角度分析所有这些影响。这种与大家熟悉的布莱克-斯科尔斯公式的联系可能会延伸到大部分市场参与者和交易者身上，因为非线性估值的全部数学复杂性和相关的非线性估值调整（NVA）往往会让他们感到沮丧，见Brigo等人[2016a]。本文的结构如下。第2节研究了使用与债券同名的CDS合同复制可违约债券的情况，特别强调了违约时间所需的假设。在第3节中，复制方法用于推导预设定价函数满足的PDE。

我们证明，这种偏微分方程与Bielecki等人[2005]使用马尔廷格尔测度方法得到的偏微分方程是等价的。然后，当标的股票支付股息时，该偏微分方程的解表示为Black-Scholes价格，但适当选择了反映套期保值者融资成本的参数。在第4节中，帕拉维奇尼等人4布里戈、布埃斯库、鲁特科夫斯基[2011]、布里戈和帕拉维奇尼[2014]和布里戈等人[2015b]提出的调整后现金流量法用于通过调整后贴现现金流量的预期值获得同一项目的价格；我们证明了它在Black-Scholes公式中的表达式与第3节的复制/PDEAP方法完全相同。Black-Scholes分红公式的吸引力在于它的易处理性，能够对融资、回购利率和信用利差方面的价格进行敏感性分析，如第5.2节“使用CDS合同复制可违约债券”所述。在本节的预备部分中，我们讨论了带有融资账户和交易CDS的简单模型中的可违约债券估值问题。特别强调了数学假设，包括常用的复制参数，这些假设在现有文献中经常被忽略。2.1可违约债券价格的动态假设我们希望在金融市场中复制一种零回收可违约债券，该债券的发行公司有一个利率为Ft（国库券利率）的未固化融资账户和一个市场CDS（即tradedat零价格）。CDS的溢价部分被假定为支付一个持续、持续的时间市场利差RCD，而保护部分则在债券违约时支付一个，除此之外没有其他。回想一下，市场利差是通过将保护段的价值与溢价段的价值相等来计算的。

正如我们将在第2.2节中所展示的，关于市场利差的现有假设可能只适用于现实世界概率下违约时间概率分布的特定假设。在T到期的零回收可违约债券的价格过程B根据点过程J给出，当违约发生时，点过程J跳到1，否则保持为零。具体而言，wehaveBt=1{Jt=0}eBt=1{τ>t}eBt，其中尚未具体说明的过程b代表债券的违约前价格。现在，我们将提供导致债券价格动态的直观复制参数；更正式的推导推迟到下一小节。我们在这里假设还没有违约，但在任意小的时间增量dt的日期t和t+dt之间，违约可能以正概率发生。为了说明如何复制可违约债券的多头头寸，让我们考虑一下投资者在时间t<τ时进行的交易∧ T:1。从财政部借款，用于购买一张可违约债券；2.购买多张同名CD合约。我们在可违约债券中建立了多头头寸，其他一切都形成了复制投资组合的反转。因此，在形式上，复制投资组合包括CDS的空头头寸和财政部的多头头寸。现在我们来看一下t+dt时投资者的投资组合：融资、回购和信用包容性估值，即修改后的期权定价53。如果存在违约（即Jt+dt=1），则每个BTCD合同支付1；4.如果没有违约（即Jt+dt=0），则他出售债券foreBt+dt；5.

无论哪种方式，他都会为每个BTCDS合同支付溢价部分rCDSdt，并向财政部偿还贷款，金额为BTT（1+ftdt）。在时间间隔（t，t+dt）内的总增益为{Jt+dt=1}+eBt+dt{Jt+dt=0}-eBtrCDSdt-eBt（1+ftdt）。将其等于零，以确保复制，并利用上述第一个指标正好是Jt这一事实，以及我们假设Jt=0（在时间t没有默认值），我们获得了BdBt的动态- Bt（rCDS+ft）dt+BtdJt=0，（2.1），因此，由于Bt=1{τ>T}，我们对所有T∈ [0，T]Bt=1{τ>T}e-RTt（rCDS+fu）杜。（2.2）在[Elliott等人，2000年，等式（2.4）]中，使用不同的论点推导了相关的动力学，但没有涉及信用违约掉期。2.2支持复制论证的假设上述计算不需要准确了解对默认事件建模的随机时间的特定分布。然而，事实上需要对默认时间施加某些条件，才能使复制参数有效。为了解释为什么需要额外的假设，让我们用S（κ）表示CDS价格过程，κ=RCD，并让国债利率为常数f>0。命题2.1只要τ的概率分布是连续的，且其支持度包括[0，T]，上述可违约债券的复制就成立。证据根据我们的假设，过程bfSaties Bft=ef，违约时CDS价格过程从零跳到一，然后以国债利率（κ）=1{t增长≥τ} ef（t）-τ ). （2.3）这一步的一个基本假设是公平价差是恒定的。由于我们应该确保有两种资产的模型BF和S（κ）是无套利的，因此我们假设存在一个概率测度Q，相当于真实世界的概率，并且使用Q下的风险中性估值来计算St（κ）。

标准计算表明，对于固定价差κ，当且仅当Q下的违约强度在[0，T]上保持不变时（例如，见Bielecki等人[2009]第2.4.2节或方程式（2.7）），等式（κ）=0在违约前可能保持不变。因此，在真实世界概率下，违约时间的概率分布是连续的，且在[0，T]上为正，因此在第二步中，该区间包含在τ.6 Brigo，Buescu，Rutkowski分布的支持中，我们将证明，区间[0，T]包含在τ的真实概率分布的支持中的假设，也是严格复制参数所必需的。为此，让我们考虑资产（κ）和Bf中的自我融资交易策略，该策略在时间τ停止∧ T并复制可违约键，这意味着vτ∧T（ν）=Bτ∧T=1{τ>T}。如果一个策略的价值vt（~n）：=~ntSt（κ）+~ntBft（2.4）满足vt（~n）=dSt（κ）- κd（t∧ τ )+ ~ntdBftsince CDS以固定利率rCDS=κ直到时间τ支付负股息。从（2.3）和（2.4）中，我们得到了φ的预默认值，表示为aseV（φ），即EVT（φ）=φtBft。因此，dVt（ν）=-κПtdt+ПtdBft=-κ~ntdt+feVt（~n）dt。（2.5）值得注意的是，到目前为止，我们的计算并不取决于我们打算复制的或有权益。在最后一步中，我们通过假设Vτ（~n）=0，P-a.s，将我们的交易策略专门化为零回收债券。这需要V（~n）在τ满足时跳跃τV（φ）=Vτ（φ）- Vτ-(φ) = -Vτ-(φ) = -eVτ-(φ) = φττS（κ）=ψτ，这反过来导致以下条件（就Lebesguemeasurement而言，其形式上保持a.e.）t=-eVt-(φ), T∈ [0，T]。（2.6）则条件（2.6）所包含的属性。