融资、回购和信用包容性估值作为修改后的期权定价

[2004]中，我们得到vt=1{τ>t}（Ght）-1Eh[D（t，t；f）（ST- K） +GhT |英尺]。IfeV表示F适应的违约前价格过程，因此对于所有t∈ [0，T]{τ>T}Vt=1{τ>T}eVt，然后从上面的方程我们立即得到eVt=（Ght）-1Eh[D（t，t；f）（ST- K） +GhT | Ft].14布里戈，布埃斯库，鲁特科夫斯基由于GH是确定性的，对于恒定的财富率f，违约前价格可以写成VT=e-（λ+f）（T）-t） 呃[（圣- K） +|Ft]或等效地，eVt=e-（λ+f）-h） （T）-t） 呃[e]-h（T）-t） （圣- K） +|英尺]。当股票漂移等于hEh[e]时，最后一个期望值可以通过通常的Black-Scholes公式计算出来-h（T）-t） （圣- K） +）|英尺]=StN（d）- 柯-h（T）-t） N（d）式中，d=logStK+（h+σ）（t- t） σ√T- t、 d=d- σ√T- t、 我们得出结论，违约前的价格过程令人满意-（λ+f）-h） （T）-（t）StN（d）- 柯-h（T）-t） N（d）thusVt=1{τ>t}Ste-（λ+f）-h） （T）-t） N（d）- 柯-（λ+f）（T）-t） N（d）. （4.2）设置λ+f时- h=q和λ+f=r，我们推断（4.2）与通过复制β=1得到的定价公式（3.9）一致。也不难证明λ=Rcd（本质上，这是由于第2.2节中引入的关于鞅测度Q的qh密度是F自适应的）。这表明，调整后的现金流量法和复制法导致脆弱看涨期权的价格相同。5敏感性分析在最后一步中，我们通过关注利率f和h的影响，对弱势看涨期权进行敏感性分析。

我们不考虑参数rC，因为在我们的模型中，投资者在购买股票时可以自由选择特定的资金来源组合，如参数β所正式表示的∈ [0,1]，但市场和thusit给出的差价RCI很自然地假设它是固定的。示例5.1图5.1显示了当St=80，K=100，σ=0.3，T时，脆弱赎回权的违约前价格（4.2）对国债利率f和回购利率h的依赖性，β=1- t=0.1，RCD=0.05。脆弱看涨期权的违约前价格在国债利率f中下降，在回购利率h中上升。为了解释示例5.1中观察到的依赖性，并进行一般敏感性分析，我们首先计算β=1时的“融资希腊”，即回购时购买所有股份。我们得到了下列表达式feVt=rCeVt=-（T）- t） eVt<0，（5.1）heVt=e-（h）-F-刚果民盟-t） （t）- t） StN（dq）>0，（5.2）融资、回购和信用包容性估值，如修改后的期权定价15图1：回购利率h中的期权价格增加，融资利率f中的期权价格减少，这意味着违约前的买入价格在国债利率f和债券收益率rC中都降低，但与风险资产相关的回购利率增加。此外，对资金的相对敏感性feVteVt=-（T）- t） 其绝对值似乎小于回购利率的相对敏感性heVteVt>T- t、 这一简单的基准案例突显出回购利率可能对合同价值产生重要影响，通常比国债利率或信贷利差更为重要。现在让我们考虑第3节中获得的价格，其中附加参数β∈ [0,1]规定了投资者的融资安排结构。

鉴于（3.9）和Remark3。1 i），我们获得以下资金：feVt=-β（T- t） eVt+（1）- β） （T）- t） e（β（h）-f）-刚果民盟-t） 千牛（dq），（5.3）heVt=βe（β（h-f）-刚果民盟-t） （t）- t） StN（dq）≥ 0，其中当β>0时，最后一个不等式是严格的。特别是，对于β=1，我们恢复（5.1）-（5.2），对于β=0（纯财政资金），我们得到feVt=（T- t） e（f）-rC）（T-t） KN（dq）>0，heVt=0，其中f- rC=-rCDS<0。一般来说，很难确定敏感度的标志FevT由（5.3）给出，尽管很明显，它从β=0的正值变为β=1的负值。为了解释融资，我们观察到合同的支付可以写成X=BT（ST-K） +，因此它可以被视为一个混合合同，将16 Brigo、Buescu、Rutkowski股票的看涨期权与交易对手债券的多头头寸相结合。对于任何0<β≤ 1由于期权部分的套期保值成本（ST- K） +随h明显增加。对f的价格依赖性更难分析。实际上，从对冲组合的表示（3.4）中，我们可以看到，对于0<β<1，对f的依赖相当复杂：投资者需要从Bf（以f的速度增长）借入现金，因此对冲成本在f中增加，但他同时投资于债券B（回报率rC=f+Rcds，其中Rcds为常数），以便对冲成本在f中降低。两个分支的净影响可能是有利的，因为期权的价格随着f的增加而降低。对于β=1，这一点相当明显，因为在这种情况下，投资者不会将BF用于其套期保值目的（在（3.4）中取β=1），我们看到，当f增加时，对收益中的组成部分Bt进行套期保值的成本会下降。相比之下，当β=0时，h的值无关紧要，而f的增加使选项更昂贵。

最后，当只有CDS利差RCD增加且f、h保持不变时，套期保值成本也会降低，因为债券B变得更便宜。6结论将价格计算映射到Black-Scholes公式（带红利）可以推广到任何局部波动模型（例如，置换的扩散模型），从而涵盖波动率增加和减少。随机波动率模型对行业也有吸引力，但任何额外的随机性来源都需要对冲，因此需要将额外的对冲工具纳入我们的市场模型，并解决定价PDE的适当修改。目前在该行业占主导地位的局部随机波动率模型显然也会带来同样的问题。总之，我们已经证明，在包括融资、回购和信用风险的脆弱看涨期权的基准情况下，两种替代定价方法会导致相同的结果。这表明，即使存在融资成本和回购合同，鞅方法和调整后的现金流方法也应被视为促进复制价格计算的替代工具，而不是替代定价范式。原因是，所有这些方法实际上都明确或隐含地基于复制的概念，Brigo等人[2015]对此进行了更广泛的解释。此外，我们还证明了期权价格可以表示为带有股息的Black-Scholes公式，从而有助于在估值和敏感性分析中使用融资贪婪。在这种情况下，我们强调回购利率对国债利率和信贷利差的潜在重要定价影响。参考Bichuch，M.，Capponi，A.，和Sturm，S.：XVA的无套利定价，第一部分和第二部分。工作文件，2015年（可在arXiv.org上获得）。T.比莱基。

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