具有流动和非流动资产的最优消费和投资

[26]）消费率和投资的最佳比例由CM给出：=（1+q）δ -问题2（1）-ρ)((uσ)+ (uσ)- 2ρuuσσ),πM:=（1+q）（u）-ρσσu)(1-ρ） σ，πM:=（1+q）（u）-ρσσu)(1-ρ)σ.（5.1）提案5.2。（假设5.1）命题4.1中的x，x，g（x）和g（x）对于小交易成本λx=qπMcM有以下展开式-qζcMλ+O（λ），x=qπMcM+qζcMλ+O（λ），g（x）=cM-问题（1）-ρ） σζ2（1+q）（cM）λ+O（λ），g（x）=cM-问题（1）-ρ） σζ2（1+q）（cM）λ+O（λ），（5.2）流动和非流动资产的最佳消费和投资14，其中ζ：=3（1+q）（πM）（1）-πM）+3（1+q）（u（1+q）-ρσ（πM）4（1）-ρ)σσ. （5.3）证据。我们采用[6]中的方法（仅适用于一项非流动资产）来获得扩张。计算简单但繁琐，所以我们省略了细节。5.1. 非流动资产的最佳交易。我们首先为非流动资产的最优投资找到了更明确的特征。推论5.3。（根据假设5.1）在（2.4）中，以非流动资产的投资比例在区间[π，π]内（即π）的方式对非流动资产S（1）进行最小交易是最优的≤^^（1）tS（1）t^^（0）t+^^（1）tS（1）t+^^（2）tS（2）t≤ π、 （5.4）式中π，π∈ 在命题4.1中，R有g，x，x的显式表达式，π：=π（x），π：=π（x）π（x）+（1）-λ)(1-π（x））（5.5）证明。我们可以很容易地变换π（Xt）=^^（1）t^St^k（0）t+^k（1）t^St+^k（2）t==>^^（1）tS（1）t^k（0）t+^а（1）tS（1）t+^а（2）tS（2）t=π（Xt）π（Xt）+（1）-π（Xt））ef（Xt）。直接计算产生以下不等式Ddxπ（x）π（x）+（1）-π（x））ef（x）=qg（x）（g（x）+1）-（1+q）xg（x）ef（x）qg（x）（ef（x）-1） π（x）-ef（x））>0，x∈ [x，x]，其中我们使用命题4.1（4）中的结果。因此，我们有π（x）≤π（Xt）π（Xt）+（1）-π（Xt））ef（Xt）≤π（x）π（x）+（1）-λ)(1-π（x）），t≥ 0，结果如下。推论5.4。（假设5.1）对于小交易成本λπ=πM，（5.5）中的π和π有以下展开式- ζλ+O（λ），π=πM+ζλ+O（λ）。（5.6）证据。

（4.17）中π（x）的表达式可以改写为π（x）=xqg（x）。（5.7）上述表达式，连同（5.5）和命题5.2，产生（5.6）。推论5.3和推论5.4对非流动资产的最佳交易具有以下影响。假设交易成本λ>0足够小。推论5.3中描述的禁止交易区域比模型中没有流动风险资产的禁止交易区域更宽。实际上，没有流动风险资产的模型在[6]中进行了研究，无交易区域的宽度约为3（1+q）（πM）（1）-πM）λ、 对于ρ=0的情况，在[3]中也观察到了这种现象。流动资产和非流动资产的最优消费和投资，其中πM（默顿比例）是投资于非流动资产的财富比例。在我们的流动性风险资产模型中，推论5.4意味着无交易区域的宽度大约为3（1+q）（πM）（1）-πM）+3（1+q）（u（1+q）-ρσ（πM）4（1）-ρ)σσλ、 这比之前的宽度要大，只要两个模型中的默顿比例一致，即πM=πM。直观地说，不交易楔子是为了最小化（因再平衡而产生的交易成本）+（因不再平衡而减少的价值）。对流动性风险资产的额外投资机会增加了总财富的波动性，并由于更频繁的再平衡而导致更高的交易成本。因此，无交易区域变得更宽，以降低交易成本。5.2. 流动资产的最佳交易。我们现在探讨交易成本如何影响流动风险资产的交易。推论5.5。

（假设5.1）在（2.4）中，对于小交易成本λ：πM，投资于流动风险资产的最佳财富比例具有以下展开式-ρσζσλ+O（λ）出售非流动资产时，πM+ρσζσλ+O（λ）购买非流动资产时。（5.8）证据。（4.17）中π（x）的表达式可以改写为π（x）=（1+q）μσ- π（x）ρσ+（1+q）（（1+q）u-ρσ）g（x）σ（1+g（x））.上述表达式，连同命题5.2和推论5.4，产生（流动性风险资产比例）=^а（2）tS（2）t^а（0）t+^а（1）tS（1）t+^а（2）tS（2）t=ef（Xt）π（Xt）π（Xt）+（1）-π（Xt））ef（Xt）=（πM-ρσζσλ+O（λ），当Xt=xπM+ρσζσλ+O（λ），当Xt=x.（5.9）因为当Xt=x（resp.，Xt=x）时出售（resp.，购买）非流动资产是最佳的，我们得出（5.8）。推论5.5对流动风险集合的最佳交易有以下影响。假设交易成本λ>0足够小。我们在（5.1）中比较了我们模型中的流动性风险资产交易策略和无交易成本（λ=0）模型中的流动性风险资产交易策略。这将表明一项资产的交易成本的存在可能会影响另一项资产（仍具有流动性）的交易策略。推论5.5意味着o当ρ>0且非流动资产比例^1^t^t^t+^^1^t+^^2^t接近π时，流动性风险资产比例^2^t^t^t^t^1^t+^2^t^t^t^t^，流动风险的比例大于（或小于）πM。流动和非流动资产的最优消费和投资16这种影响的直觉如下。考虑ρ>0的情况。当非流动资产比例大于预期比例时，投资者过度暴露于非流动资产的风险因素。

由于ρ>0，通过降低流动性风险资产的比例，非流动性资产的风险因素敞口可以相应降低。类似的解释也适用于其他情况。5.3. 最佳消费率。最后，我们考察了交易成本对最优消费率的影响。推论5.6。（假设5.1）在（2.4）中，最优消费率比例是Xtin（4.8）的递减函数，对于小交易成本λ，它具有以下渐近展开式。在任何固定时间≥ 0，t+t（1）tS（1）t+t（2）tS（2）t=cM+q（1）-ρ） σζ2（1+q）λ+O（λ），a.s.（5.10）证明。使用（4.16）和（5.7），我们得到（时间t时的消耗率比例）=^ct^~n（0）t+^^k（1）tS（1）t+^k（2）tS（2）t=^Wtg（Xt）E-f（Xt）π（Xt）^Wt+（1）-π（Xt））^Wt=g（x）+xq（e）-f（x）-1)x=Xt。（5.11）在假设5.1下，命题4.1和（4.6）中f的构造意味着g（x）和-f（x）是[x，x]上x的增函数。然后我们得出结论，地图x7→g（x）+xq（e）-f（x）-1） 在x上是递减的∈ [x，x]，因为f（x）=0，q>0，x>0。因此，（5.11）表明最佳消耗率比例是Xt的递减函数，我们得到了边界sg（x）+λx（1）-λ） q≤^ct^~n（0）t+^~n（1）tS（1）t+^~n（2）tS（2）t≤g（x）。（5.12）利用命题5.2中的渐近展开式，我们导出了（x）+λx（1）-λ） q=cM+q（1-ρ） σζ2（1+q）λ+O（λ），g（x）=cM+q（1）-ρ） σζ2（1+q）λ+O（λ）。（5.13）我们通过（5.12）和（5.13）得出（5.10）的结论。推论5.6对最佳消费率有以下影响。（1） 推论5.3的证明表明，投资于非流动资产的财富比例是Xt的一个递增函数。另一方面，推论5.6表示，消费率比例是Xt的递减函数。

因此，t+t（1）tS（1）t+t（2）tS（2）t当^^（1）tS（1）t^^（0）t+^^（1）tS（1）t+^^（2）tS（2）t≈π> ^ct^~n（0）t+^~n（1）tS（1）t+^~n（2）tS（2）t当^^（1）tS（1）t^^（0）t+^^（1）tS（1）t+^^（2）tS（2）t≈π.对这一现象的一个简单解释是：^^（1）tS（1）t^^（0）t+^^（1）tS（1）t+^^（2）tS（2）t≈ π（resp.，π）意味着对非流动性资产的风险因素不负责任（resp.，过度暴露），投资者可以通过增加（resp.，减少）消费来增加（resp.，减少）非流动性资产的比例。流动和非流动资产的最佳消费和投资17（2）回想一下，如果没有交易成本，CMS是最佳消费率比例。对于足够小的λ>0，推论5.6意味着消耗率比例^ct^~n（0）t+^~n（1）tS（1）t+^~n（2）tS（2）总是大于cM。一种可能的解释是，交易成本降低了投资的吸引力，从而导致中间消费率的增加。（3） λ项在（5.10），q（1）中的系数-ρ） σζ2（1+q）表示交易成本导致的消费率比例增加的敏感性。换句话说，Q（1）的大小-ρ） σζ2（1+q）描述了（2）中描述的影响有多显著。为了讨论流动性风险资产交易机会对这种影响的贡献，我们只考虑流动性差的资产（不考虑流动性风险资产）的模型，并将该模型中的最优消费与我们模型中的消费（流动性风险资产）进行比较。备注2.3中的情况（2）和附录中的相应讨论表明，当u=ρ=0时，我们的市场模型相当于非流动资产的市场模型。我们关注两种特殊情况，u=ρ∑uσ和ρ=0，并比较有无流动风险资产的市场模型的λ-系数（1）-ρ） σζ2（1+q）≤问题（1）-ρ） σζ2（1+q）u=ρ=0, 如果u=ρσ。

（5.14）q（1）-ρ） σζ2（1+q）≥问题（1）-ρ） σζ2（1+q）u=ρ=0, 如果ρ=0。（5.15）o如果u=ρ∑∑∑：不平等（5.14）意味着，如果投资者可以交易流动性风险资产，交易成本对消费的影响就不那么明显。我们观察到，在这种情况下，πM=0，也就是说，如果没有交易成本，最好根本不投资流动性风险资产。在设定了流动性风险的市场中，投资者可以通过交易（相关的）流动性风险资产来调整非流动性资产的风险因素敞口。因此，流动性风险资产交易机会减少了非流动性资产的交易频率，并减轻了交易成本对消费的影响在ρ=0的情况下：不平等（5.15）意味着，如果投资者可以交易流动性风险资产，交易成本对消费的影响更为显著。因为ρ=0，π错了两个市场（有或没有流动性风险资产）非流动资产的最佳投资比例，即πM=πM。

流动风险资产的存在促使投资者也暴露于流动风险资产的风险因素（πM6=0），从而增加总财富过程的波动性。因此，具有流动资产交易机会的模型对非流动资产的交易更频繁（见推论5.3），并且由于再平衡，交易成本更高。因此，在有流动资产的市场中，交易成本对消费的影响更大。对于一般参数，流动资产交易机会具有上述两个方面（非流动资产风险因素的调整，以及总财富波动性的增加）。当流动性风险资产在市场上可交易时，这些方面相互竞争，并决定了交易成本对消费的影响大小。不等式（5.14）和（5.15）之后是以下观察结果。问题（1）-ρ） σζ2（1+q）-问题（1）-ρ） σζ2（1+q）u=ρ=0=-9uq（1+q）（u（1+q）-σ)128σσ≤ 0，如果u=ρ∑∑，则为9uq（1+q）（u（1+q）σ+2（u（1+q）-σ)σ)128σσ≥ 如果ρ=0，则为0。具有流动和非流动资产的最佳消费和投资186。证明这一部分致力于命题4.1和定理4.7的证明。我们将命题4.1的证明分为五个命题，分别考虑不同的参数体系，如下所示：命题6.2:0<p<1，u>ρ|∑σ和δ>q2（1-ρ)(uσ)+ (uσ)- 2ρuuσσ.o 命题6.6:0<p<1，u>ρ|∑σ和δ≤问题2（1）-ρ)(uσ)+ (uσ)- 2ρuuσσ.o 命题6.7:0<p<1和u<ρuσ命题6.8:p<0和u>ρ∑o命题6.9:p<0和u<ρσ。我们为命题6.2和命题6.6提供了详细的证明。其他情况的证明是相似的，因此我们省略了一些细节。最后，在本节末尾给出了定理4.7的证明。为了方便起见，我们使用以下符号。

使用优化器的表达式（4.5），我们可以写出（4.1）asA（x，g（x））g（x）+B（x，g（x））g（x）+C（x，g（x））2（1+q）σ（1+g（x））qg（x）（1+g（x））-（1+q）xg（x）= 0，（6.1）其中（x，y）=-2（1+q）σsgn（p）x+（1+q）u- 2ρq（1+q）σ∑u+（（1+2q+qρ）σ）- 2（1+q）u）σx+（1+q）2qσsgn（p）+2ρqσ∑u- 2q（1+q）u+（2δ（1+q）+q（2u- σ))σ十、Y- q（1+q）（2Δσ）- qu）yB（x，y）=-2（1+q）σsgn（p）x+2σρσu（1+q）- （u（1+q）- 问题（1）- ρ)σ)σx+（1+q）4qσsgn（p）+2ρq（q）- 1)σσu- 2q（1+q）u+（2δ（1+q）+q（4u- σ))σ十、Y- 2q（1+q）（2Δσ）- qu）yC（x，y）=-(1 - ρ） σx+2q（1+q）σsgn（p）σ+（p）σ- ρσ）xY- q（1+q）（2Δσ）- qu）y（6.2）同样，让xbe二次方程关于x的判别式，即。，x（ax+bx+c）：=b- 4ac。常数yC、xD、yD、xm和y定义为asyC:=2σsgn（p）（1+q）（2Δσ-qu），xD:=2q（1+q）sgn（p）2δ（1+q）+q（σ）-2（1+q）u，yD:=2（1+q）sgn（p）2δ（1+q）+q（σ）-2（1+q）u），xM:=q（u）-ρσ∑）sgn（p）（1）-ρ)σ(δ-问题2（1）-ρ)((uσ)+(uσ)-2ρ∑），yM:=sgn（p）（1+q）δ-问题2（1）-ρ)((uσ)+(uσ)-2ρuuσσ).（6.3）引理6.1。设A，B，C为（6.2）中的函数。下面的语句成立：（1）{（x，y）：B（x，y）=C（x，y）=0}={（x，y）：B（x，y）=A（x，y）=0}={（0，0），（0，yC）}。（2） {（x，y）：x6=0，B（x，y）- 4A（x，y）C（x，y）=0}={（xD，yD）}。（3） {（x，y）：x6=0，B（x，y）- 4A（x，y）C（x，y）<0}=.具有流动和非流动资产的最佳消费和投资。（1） 假设（x，y）∈ Rsatis fies B（x，y）=C（x，y）=0。