具有流动和非流动资产的最优消费和投资

对于∈ S、 对于Ito工艺Y，我们表示St=S（1）teyty。因为1-λ ≤~St/S（1）t≤ 1+λ，我们有一个自然束缚Yt∈ [y，y]，其中y:=ln（1）-λ） y:=ln（1+λ）。假设对于某些过程m、s、s，Y的动力学由DYT=mtdt+s1tdB（1）t+s2tdB（2）t（3.9）给出。然后，在股票价格为s和s（2）的市场中，状态价格密度过程H（参见注释5.8，第19in[20]页）满足随机微分方程DHT=-Htθ（mt，s1t，s2t）dB（1）t+θ（mt，s1t，s2t）dB（2）t, H=1，（3.10），其中函数θ和θ定义为θ（m，s，s）：=ρ（σs-u)(1-ρ)σ-us-（m+u+sσ+（s+s））σ（1-ρ） σ（s+σ），θ（m，s，s）：=μσ- ρθ（m，s，s）。（3.11）由于股票价格为S和S（2）的无摩擦市场模型是完整的，因此可以应用标准对偶理论（例如，参见[20]第141页定理9.11）∈C（~S）EhZ∞E-δtU（ct）dti=infz>0supc呃∞E-δtU（ct）dti+z（η+Sη+S（2）η）- 呃∞ctHtdti=（η+Sη+S（2）η）pp呃∞E-（1+q）δtH-qtdti1.-p、 （3.12）式中q=p/（1）- p） 。因此，我们可以重写（3.8）asinf∈ssupc∈C（~S）EhZ∞E-δtU（ct）dti= infYn（η+S（1）eYη+S（2）η）pp | w（Y）|1-po，（3.13）带W（y）：=infm，s，snsgn（p）EhZ∞E-（1+q）δtH-qtdtY=yio。（3.14）（3.14）的形式HJB方程具有以下形式：- α（m，s，s）w（y）+（m+β（m，s，s））w（y）+γ（s，s）w（y）+sgn（p）o=0，（3.15）流动和非流动资产的最优消费和投资7其中（θ=θ（m，s，s）和θ=θ（m，s，s））α（m，s，s）：=（1+q）δ-q（1+q）θ+ θ+ 2ρ θθ,β（m，s，s）：=q（s+ρs）θ+（ρs+s）θ,γ（s，s）：=s+s+2ρss.（3.16）纳入要求Yt∈ [y，y]，每当y到达边界y或y时，我们将偏离（s1t=s2t=0），并让漂移为向内的方向。通过观察（3.15）中极小值的形式，我们推断边界条件为w（y）=w（y）=∞.（3.17）为了处理这种有限边界条件并降低微分方程的阶数，我们改变变量。

设x=-w（y）并定义函数g:[x，x]7→ R为g（x）=w（y），其中x=-w（y）和x=-w（y）。对于x和g，（3.15）写为infm，s，sn- α（m，s，s）g（x）- （m+β（m，s，s））x+γ（s，s）xg（x）+sgn（p）o=0，x∈ [x，x]。（3.18）（3.17）和dy/dx=-g（x）/x产生一个边界条件和一个积分约束：g（x）=g（x）=0，Zxxg（x）xdx=y- y、 （3.19）由于x和x不是预先确定的，（3.18）和（3.19）是一个具有积分约束的自由边界问题。备注3.4。本节的目的只是推导自由边界问题，下一节将对其进行严格分析：本节中的论点是启发性的，而不是严格的。4.结果在本节中，我们首先给出了我们在前一节中导出的自由边界问题解的存在性结果。然后利用自由边界问题的解构造候选影子价格过程。在引理4.4中，我们解决了具有候选影子价格过程的市场优化问题。在定理4.5中，我们通过检查命题3.2（2）中的条件，验证了影子价格过程中的S，并得出结论，引理4.4中的最优解也解决了原始交易成本问题（2.4）。最后，我们在定理4.7.4.1中给出了问题适定性的显式刻画。影子价格的构建。由于自由边界问题的技术性质，有关结果的证明推迟到第6节。提议4.1。

假设模型参数满足以下条件之一：（i）p≤ 0，（ii）0<p<1和δ>q2（1-ρ)(uσ)+ (uσ)- 2ρuuσσ,（iii）0<p<1，δ≤问题2（1）-ρ)(uσ)+ (uσ)- 2ρuuσσc*< 自然对数1+λ1-λ,c在哪里*是定义6.4中明确定义的常数。然后，存在常数x，x和函数g∈ 满足以下条件的C[x，x]：。（2） 为了x∈ [x，x]，g满足微分方程inFm，s，sn- α（m，s，s）g（x）- （m+β（m，s，s））x+γ（s，s）xg（x）+sgn（p）o=0，（4.1）流动和非流动资产的最优消费和投资8其中函数α，β，γ在（3.11）和（3.16）中给出。（3） 以下边界条件/积分条件满足g（x）=g（x）=0和zxxg（x）xdx=ln（1+λ1-λ).函数sq g（x），qg（x）（g（x）+1）-（1+q）xg（x），qg（x）- xg（x）, g（x）+1在[x，x]上是严格正的。回想一下q=p/（1）-p） 。（5） g（x）/x>0表示x∈ （x，x）。证据见第6节。我们需要下一个推论来构建影子价格过程。推论4.2。（1） （4.1）的极小值（^m（x）、^s（x）、^s（x））在[x，x]上有很好的定义。（2） 设α，β，γ，θ，θ：[x，x]7→ R是（3.16）和（3.11）的函数α、β、γ、θ、θ与优化器^m、^s、^sof（4.1）的组合。例如，^α（x）：=α（^m（x），^s（x），^s（x））。接下来的函数是[x，x]上的Lipschitzα，β，γ，θ，θ，s（x）g（x），s（x）g（x），β（x）g（x）。（4.3）（3）对于x∈ [x，x]，我们有-^α（x）g（x）- （^m（x）+^β（x））+^γ（x）xg（x）= 0.（4.4）证据。（1） （4.1）是二次函数的简单优化。

通过命题4.1（4）和（5），我们可以看到一阶条件产生的极小值如下^s（x）=σ（x-qg（x））g（x）qg（x）（1+g（x））-（1+q）xg（x），^s（x）=-ρσx-（u（1+q）-qρσ）xg（x）+q（1+q）ug（x）（1+g（x））g（x）σqg（x）（1+g（x））-（1+q）x g（x）（1+g（x）），^m（x）=2q（1+q）σg（x）2(1 - ρ） σ（σ+（1+q）^s（x））（σ+^s（x））x+q（1+q）2u（ρ（σ+^s（x））+^s（x））- σ2u+2σ^s（x）+^s（x）+2ρ（σ+^s（x））^s（x）+^s（x）g（x）.（4.5）因此，（^m（x）、^s（x）、^s（x））因命题4.1（4）而在[x，x]上得到了很好的定义。（2） 上述^s（x）和^s（x）的形式，以及观测值^s（x）+σ=qσ（g（x）-xg（x））qg（x）（1+g（x））-（1+q）xg（x）6=0表示x∈ [x，x]通过命题4.1（4），证明（4.3）中的函数是[x，x]上的Lipschitz。（3） 包络定理的适当版本（参见[12]第475页定理3.3）或直接计算产生（4.4）。我们利用命题4.1中自由边界问题的解（g，x，x）构造了影子价格过程。作为初步定义，我们定义了函数f，ξ，r:[x，x]7→ R asf（x）：=y+Zxxg（t）tdt，ξ（x）：=η+ηS（1）ef（x）+ηS（2），R（x）：=ηS（1）ef（x）- ξ（x）xq g（x），（4.6）具有流动和非流动资产的最优消费和投资，其中y=ln（1）-λ） y=ln（1+λ）。然后ef（x）=（1+λ）和ef（x）=（1-λ). 让常数^x∈ [x，x]由^x定义=x、 r（x）>0表示所有x∈ [x，x]x，r（x）<0表示所有x∈ [x，x]r（x）=0的解，否则。（4.7）考虑[x，x]区间的以下反映（斯科罗霍德型）SDE：dXt=Xt^α（Xt）+Xt^β（Xt）g（Xt）dt-Xt^s（Xt）g（Xt）dB（1）t-Xt^s（Xt）g（Xt）dB（2）t+dΦtX=^x.（4.8）推论4.2（2）意味着上述SDE的系数为[x，x]上的Lipschitz。

因此，[30]的经典结果是适用的：（4.8）有一个唯一的解（X，Φ），使得Φ是一个有限变化和满足Φ的连续过程↑t=1{Xt=x}dΦ↑t、 dΦ↓t=1{Xt=x}dΦ↓t、 （4.9）我们将过程（候选影子价格过程）定义为：St:=S（1）tef（Xt）（4.10）直觉如下。在第3节中，我们将变量（y，w）改为（x，g），它们满足y/dx=-g（x）/x和-w（y）=x，这意味着y=f（x）。同样在第3节中，影子价格过程的形式是S（1）teYt。4.2. 验证参数。在本小节中，我们验证了（4.10）中的过程是一个影子价格过程。首先，我们研究了命题4.3的性质。（1） S（1）t≤~St≤ S（1）t≥ 0 a.s.（2）满足SDEd的要求=^m（Xt）+u+σ^s（Xt）+ρ^s（Xt）+ ^γ（Xt）dt+（^s（Xt）+σ）dB（1）t+^s（Xt）dB（2）t（4.11）证明。（1） 命题4.1（5）暗示f是单调递减函数。因此，我感到很沮丧≤f（x）≤ y、 这意味着S（1）t≤~St≤ S（1）t.（2）由伊藤公式，d（f（Xt））=-g（x）xx^α（x）+x^β（x）g（x）+xg（x）^γ（x）x=Xtdt+^s（Xt）dB（1）t+^s（Xt）dB（2）t-g（x）xdΦt=^m（Xt）dt+^s（Xt）dB（1）t+^s（Xt）dB（2）t，（4.12），其中dt项简化为（4.4），反射项（g（x）xdΦt）因g（x）=g（x）=0和（4.9）而消失。伊藤的公式St=s（1）tef（Xt）与（2.1）和（4.12）一起产生（4.11）。在具有（~S，S（2））的无摩擦市场中，状态价格密度过程^H由比亚迪^Ht^Ht=-^θ（Xt）dB（1）t-^θ（Xt）dB（2）t，^H=1。（4.13）流动资产和非流动资产的最优消费和投资10考虑无摩擦市场中的优化问题（S，S（2））supc∈C（~S）EhZ∞E-δtU（ct）dti。（4.14）在下一个引理中，我们描述了（4.14）的值和最优策略。引理4.4。（1） 设∧S和^H如（4.10）和（4.13）所示。

然后∈C（~S）EhZ∞E-δtU（ct）dti=ξ（^x）pp | g（^x）|1-p、 （4.15）（2）在（4.15）中，最优财富^W和最优消费/投资（^c，^^（0），^^^（1），^^^（2））可以写成如下^Wt=ξ（^x）e-（1+q）δt^H-（1+q）tg（Xt）g（^x），^ct=^Wt |g（Xt）|，^~n（0）t=（1）- π（Xt）- π（Xt）^Wt，^^（1）t=π（Xt）^Wt＠St，^^（2）t=π（Xt）^WtS（2）t，（4.16）其中函数π，π：[x，x]7→ R是π（x）：=（1+q）^θ（x）-x^s（x）g（x）^s（x）+σ，π（x）：=σ（1+q）^θ（x）g（x）-x^s（x）g（x）- π（x）^s（x）.（4.17）证据。（1） 我们首先证明以下等式g（^x）=sgn（p）EhZ∞E-（1+q）δt^H-qtdti。（4.18）使用伊藤公式和（4.4），我们得到了（g（Xt））=- Xt^m（Xt）+Xt^γ（Xt）g（Xt）dt- Xt^s（Xt）dB（1）t- Xt^s（Xt）dB（2）t，（4.19），其中由于g（x）=g（x）=0和（4.9），反射项消失。观察随机指数E（q^θ·B），其中^θt=（^θ（Xt），^θ（Xt））和Bt=（B（1）t，B（2）t）是鞅，因为^θ是有界的。让“B（1），”B（2）由“B（1）t:=B（1）t”定义- qZt^θ（Xs）+ρ^θ（Xs）ds，\'B（2）t:=B（2）t- qZtρ^θ（Xs）+^θ（Xs）ds。由于^θ和^θ在[x，x]上有界，根据Girsanov定理，\'B（1）和\'B（2）是测度\'Pt下的布朗运动[0，t]，由d\'Pt=E（q^θ·B）tdP定义。然后，E’Pthe-Rt^α（Xu）dug（Xt）i=g（^x）-E¨PthZte-Ru^α（Xs）dssgn（p）+Xu^s（Xu）d\'B（1）u+^s（Xu）d\'B（2）udui=g（^x）-sgn（p）E’PthZte-Ru^α（Xs）dsdui=g（^x）-sgn（p）EhZte-（1+q）δu^H-qudui（4.20）在这里，第一个等式使用伊藤公式和（4.1），第二个等式成立，因为B（1）和B（2）在测度p下是布朗运动，被积函数是有界的。第三个质量是由于（4.13）和d′Pt=E（q^θ·B）tdP。流动资产和非流动资产的最优消费和投资11我们需要考虑两种情况，p>0和p<0。（i） 在p>0的情况下：因为g（x）是正的（见命题4.1（4）），（4.20）意味着e[Z]∞E-（1+q）δt^H-qtdt]<∞.因此，存在一个序列（tn）n∈N带tn→ ∞ 使E[E]-（1+q）δtn^H-[qtn]→ 0

因为g是有界的，所以我们有-Rtn^α（Xu）dug（Xtn）i=E[E]-（1+q）δtn^H-qtng（Xtn）]→ 0作为tn→ ∞因此，我们采取限制措施→ ∞ 在（4.20）和（4.18）中总结。（ii）在p<0的情况下：从（3.16）和q<0中函数α的形式来看，我们有^α>（1+q）δ。因为g是有界的，E’Pthe-^α（许）挖（Xt）i≤ |g|∞E-（1+q）δt→ 0作为t→ ∞. （4.21）让t→ ∞ 在（4.20）中，我们得出结论（4.18）。因此，我们得出结论（4.18）适用于所有情况。现在，完整市场模型的标准对偶理论（参见[20]第141页定理9.11）暗示了SUPC∈C（~S）EhZ∞E-δtU（ct）dti=ξ（^x）pp呃∞E-（1+q）δt^H-qtdti1.-p、 （4.22）最佳消耗量^c为^ct=ξ（^x）e-（1+q）δt^H-（1+q）tER∞E-（1+q）δt^H-qtdt.（4.23）通过（4.18）和（4.22），我们得到（4.15）。（2） 显然，t的^Wt>0≥ 0.正如（4.23）和（4.18）所述，检查定义3.1（2）中的预算约束就足够了。它可以写为d^Wt^Wt=π（Xt）dStSt+π（Xt）dS（2）tS（2）t-^ct^Wtdt。（4.24）使用伊藤公式（4.13），（4.19），（4.11），（4.17）和（4.1），可以检查预算约束是否成立（计算相当长且繁琐，但很简单，因此省略）。现在我们准备陈述我们的主要结果。在定理4.5中，我们验证了（4.10）中的过程S确实是影子价格过程。因此，无摩擦问题（4.14）的最优消费/交易策略（^c、^k（0）、^k（1）、^k（2））也满足（2.2）和（2.3）以及^c∈ C是（2.4）的最佳值。定理4.5。（影子价格的存在）在命题4.1中的假设下，（4.16）中的过程（^c，^k（0），^k（1），^107（2））解（2.4）。换言之，（^c、^k（0）、^k（1）、^107（2））满足定义2.1中的条件（因此^c∈ C） ，和SUPC∈CEhZ∞E-δtU（ct）dti=EhZ∞E-δtU（^ct）dti=ξ（^x）pp |g（^x）|1-p、 的确，S是一个影子价格过程。对于[20]中定理9.11的应用，需要检查[20]中的假设9.9。

在当前设置中，假设9.9相当于E[R∞E-（1+q）δt^H-qtdt]<∞, 这在（4.18）中是正确的。具有流动和非流动资产的最佳消费和投资。通过引理4.4，我们已经知道（^c，^а（0），^а（1），^а（2））是（3.5）的最优解。因此，我们只需检查（^c、^а（0）、^а（1）、^а（2））是否满足提案3.2（2）中的假设。然后，命题3.2的结果完成了这个定理的证明。让我们首先考虑一下最初的跳跃。我们需要证明命题3.2（2）中的假设（iii）在t=0时是满足的，可以写成^^（1）- η=1{^x=x}（^^（1）- η)+- 1{^x=x}（^^（1）- η)-.（4.25）在（4.17）中，我们可以使用（4.5）中的表达式将π（x）简化为π（x）=xqg（x）。那么（4.6）中的r（x）可以写成r（x）=ηef（x）S（1）- ξ（x）π（x）。现在我们可以明白为什么我们定义^x了∈ [x，x]as（4.7）。这三种可能性是^^（1）=η，如果r（^x）=0，^^（1）<η和^x=x，如果r（x）>0在[x，x]上，^^（1）>η和^x=x，如果r（x）<0在[x，x]上。（4.26）显然（4.26）意味着（4.25），我们得出结论，命题3.2（2）中的假设（iii）在t=0时满足。根据命题4.1和π的形式，我们观察到，如果u>ρuσ，则^а（1）t>0，如果u<ρuσ，则^а（1）t<0。

根据（4.11），（4.8），（4.24）和（4.19），伊藤的公式产生（经过长时间但简单的计算）d（ln（^k（1）t））=d自然对数π（Xt）^Wt~St=XtdΦt，当u>ρ|∑σ，d（ln(-^~n（1）t））=d自然对数-π（Xt）^Wt~St=XtdΦt，当u<ρ∑时。（4.27）（4.27）和（4.9）意味着命题3.2（2）中的假设（i）和（iii）得到满足。由于假设（iv）是显而易见的，因此仍需检查命题3.2（2）中的假设（ii）。这相当于证明^^（0）t+S（1）t（^^（1）t）+- S（1）t（^^（1）t）-+ S（2）t^~n（2）t≥ 0，t≥ 0.（4.28）利用命题4.1（4）和（5），我们得到以下不等式Ddxπ（x）e-f（x）1-π（x）=qg（x）（g（x）+1）-（1+q）xg（x）E-f（x）qg（x）（1）-π（x）>0，x∈ [x，x]ddxπ（x）=q（g（x）-xg（x））qg（x）>0，x∈ [x，x]（4.29）o在u>ρ∑的情况下：根据命题4.1（1）和（3），我们得到π（x）>0，所以^（1）t>0。如果π（Xt）≤ 1，则^^（0）t+^^（2）tS（2）t=（1）- π（Xt））^Wt≥ 因此，（4.28）成立。如果π（Xt）>1，那么^ˋ（0）t+ˋ（2）tS（2）t<0。（4.29）表示^^（0）t+S（1）t^^（1）t+S（2）t^^（2）t+S（2）t=（1）- λ） π（Xt）e-f（Xt）1-π（Xt）+1≤ (1 - λ） π（x）e-f（x）1-π（x）+1=1-π（x）<0，这里我们使用e-f（x）=1/（1）- λ). 因此（4.28）成立在u<ρuσσ的情况下：根据命题4.1（1）和（3），我们有π（x）<0，所以^^（1）t<0和^^（0）t+^^k（2）t=（1）- π（Xt））^Wt>0。（4.29）表示^^（0）t+S（1）t^^（1）t+S（2）t^^（0）t+S（2）t=（1+λ）π（Xt）e-f（Xt）1-π（Xt）+1≥ （1+λ）π（x）e-f（x）1-π（x）+1=1-π（x）>0，这里我们使用e-f（x）=1/（1+λ）。因此（4.28）成立。我们证明（^c、^а（0）、^а（1）、^а（2））满足命题3.2（2）中的假设，并通过命题3.2的结果完成了证明。具有流动和非流动资产的最佳消费和投资13备注4.6。定理4.5不依赖于交易成本参数λ和λ的小假设。4.3。问题的适当性。

上一小节中的结果使我们能够明确描述最优消费和投资问题（2.4）何时适定（即，值是有限的）。回想一下，假设2.4是本文中的长期假设，如果违反假设2.4（1），则问题是不适定的（见备注2.2）。定理4.7。（问题的适定性）下列陈述是等价的。（1） 优化问题（2.4）是适定的，即supc∈CEhZ∞E-δtU（ct）dti<∞.（2） 存在一个影子价格过程。（3） 模型参数满足以下三个条件之一：（i）p≤ 0，（ii）0<p<1和δ>q2（1-ρ)(uσ)+ (uσ)- 2ρuuσσ,（iii）0<p<1，δ≤问题2（1）-ρ)(uσ)+ (uσ)- 2ρuuσσc*< 自然对数1+λ1-λ,c在哪里*是定义6.4中明确定义的常数。证据见第6节。备注4.8。定理4.7明确描述了问题的适定性，即常数c*由模型参数的封闭形式给出。[14] 通过分析原始优化问题的HJB方程，给出了一个适定性判据。5.最优策略的讨论表达式（4.16）使我们能够提取有关交易成本如何影响最优消费/投资策略的更多信息。为了方便起见，在本节中，我们设置λ=0和λ=λ，并且只考虑假设5.1的具体情况。这一假设意味着投资于非流动资产的财富比例应该为正。其他情况也可以进行类似分析。假设5.1。在本节中，我们假设以下不等式成立。p>0，u>ρ|∑，δ>q2（1-ρ)((uσ)+ (uσ)- 2ρuuσσ).为了观察交易成本的影响，我们提醒λ=0的情况，这是经典的梅顿问题。当λ=0时，众所周知（cf。