回溯测试风险中的Lambda值

如果我们认为所有事件的概率相等，那么∧最小值的选择应大于1/T/T观测值。因此，我们建议通过∧最小值等于0.5%，即minx∧（x）=0.005来计算∧V aR模型，因为过去250次实现的事件概率为0.4%。表（3）和表（4）之前显示了最小值为0.5%的∧V aR估计结果。违规的数量在考虑的任何时期内都没有变化，而∧V aR模型的接受率大幅增加，验证了我们的选择。显然，这种新设置不会影响∧V Armodel的减少。无论如何，考虑到对最坏情况事件概率的更精确评估，可以重新定义∧最小值的选择，但这超出了本文的目标。4.1.4测试3：将∧V aRs与不同的分布估计值进行比较正如第（3）节所预期的那样，测试3的最佳用途是比较用不同的资产回报分布估计值计算的风险度量值的准确性。我们计算了在增加和减少∧V aR模型水平上聚集的接受率的时间演化。我们重复分析，改变资产收益率分布的假设：具体而言，历史、蒙特卡罗正态、GARCH和EVT方法。

结果见表（6）历史常态2006 2007 2008 2009 2010 2011 2006 2007 2008 2009 2010 2011 VaR 1%50%33%0%100%58%25%58%33%0%92%50%8%50%33%0%100%58%25%58%33%0%92%50%8%8%8%1%（递减）（VaR 5%50%33%0%100%67%17%58%42%0%92%58%17%（VaR 1%58%50%8%100%67%8%50%33%0%92%58%54%4%12%54%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8（Va1）8%17%8%8%8%8%8%8%8%8%8%7%17%17%0%58%58%58%42%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%8%5%5%5%5%5%7%17%7%17%17%17%17%17%17%0%0%17%0%0%0%0%0%0%0%0%0%0%0%0%0%0%0%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58%58 92%58%33%83%63%33%100%100%71%67%58%0%92%58%38%∧VaR 1%（增量）（变量5%）83%67%67%100%83%17%25%8%58%42%0%（变量1%）83%58%67%100%92%83%17%33%0%58%42%8%83%63%67%100%96%83%17%29%4%58%42%4%表6：不同P&D分布假设下∧VaR模型测试3的时间演变。该表显示了接受率在全球金融危机期间的演变，在∧V aR模型（minx∧（x）=0.5%）的水平上进行了汇总，该模型使用损益分布的历史、正态、GARCH和EVT假设进行计算。结果表明，收益率的GARCH假设保证了平均接受率的高精度。此外，我们注意到，与之前的测试不同，增加的∧V aR的历史和EVT估计值通常表现不佳。

这些结果是相当合理的，因为第三次测试是基于模拟的，并指出了使用具有截尾分布（作为历史）或基于小范围值（作为EVT）的分布估计风险度量的问题。然而，这种对正态分布的偏好被其他测试完全逆转，这些测试允许假设分布更多地依赖于尾事件，而不是分布的完整形状。5结论最近引入了一种对尾部风险敏感的新风险度量∧V aR。然而，到目前为止，还没有文献对其回溯测试进行专门研究。λV aR回溯测试的主要问题是，违规的概率不是恒定的，但可能在任何时间和任何资产发生变化。这种考虑意味着Hitaj、Mateus和Peri（2015）提出的Kupiectype回溯测试框架未能考虑∧函数引入的∧V aR的有效预测能力。我们提出了三种∧V aR的回溯测试方法，并从不同的角度评估了新风险度量的准确性。测试1和测试2基于概率论的结果，允许直接应用。测试3通过模拟进行，并允许对损益分布的不同假设下估计的∧V aR模型进行更准确的比较。实证分析的结果证实了我们的回溯测试方案的有效性。事实上，这项研究表明∧V aR模型的表现优于1%V aR，证实了Hitaj、Mateus和Peri（2015）的发现。此外，用GARCH收益模型计算的∧Var具有最高的覆盖率。

这一结果证实了文献中众所周知的事实，即厚尾资产收益率分布更好地解释了真实的资产收益行为，并允许更准确的风险覆盖。此外，我们的回溯测试方法比Hitaj、Mateus和Peri（2015）提出的Kupiec型测试具有更高的精度，因为它们能够检测到∧V aR的麻醉问题，计算下限为0.1%，与之前的研究一样。对未来研究的建议包括对测试能力的研究，这将允许对这些回溯测试方案进行更准确的比较。附录我们在下文中回顾了李雅普诺夫定理，它是概率论的一个结果，基于中心极限定理对独立但非同分布的随机变量的应用（见李雅普诺夫1954）。定理1（李雅普诺夫）假设X，X。。。是一系列独立的随机变量，每个变量都有明确的期望值u和方差σt。对于某些δ>0的情况，定义=TXt=1σtIf，即“李雅普诺夫条件”limn→∞s2+δTTXt=1E|Xt- ut | 2+δ= 如果满足0，则随着T的增加，分布的以下收敛性保持不变：sTTXt=1（Xt- ut）d-→ N（0，1）在下面的引理中，我们证明了当nst=PTλt（1）时“李雅普诺夫条件”是满足的- λt）和ut=λt引理2，如果{It}是一个以贝努利分布的独立随机变量序列，参数{λt}且影响λt=λm>0，则→∞s2+δTTXt=1E[| It- λt | 2+δ]=0，其中sT=PTλt（1- λt）。证据

我们观察到：E[| It- λt | 2+δ]=（1）- λt）λ2+δt+λt（1）- λt）2+δ=λt（1）- λt）λ1+δt+（1）- λt）1+δ≤ λt（1）- λt）≤.另一方面，我们有s2+δT=TXλT（1- λt）！1+δ≥TXλm（1）- λm）！1+δ=（Tλm（1- λm）1+δ。因此，我们可以得出结论，PTT=1E[|It- λt | 2+δ]s2+δt≤T4（Tλm（1- λm）1+δ→ 0as T→ ∞.以下命题显示了在零假设和替代假设下（18）中Ztest统计量的理论含义。检验假设下的命题3在（9）中有，在（11）中有，我们有：1。呃[Z]=02。呃[Z]<0。证据只要注意到在H下~ B（λt）使EH[It]- λt]=0，而lieseh[Z]=TXEH[λt- 它]=0。以类似的方式，在H下，因为~ 当λt>λt时，我们得到EH[Z]<0。参考Acerbi，C.和B.Szekely。2014年，“回测预计短缺。”风险27（11）。J.伯克维茨、P.克里斯托弗森和D.佩尔蒂埃。2011年，《使用桌面级数据评估风险价值模型》管理科学57:2213-2227。巴塞尔银行监管委员会。1996.“结合内部模型方法对市场风险资本要求进行反向测试的监管框架。”国际清算银行。巴塞尔银行监管委员会。2013年，《TradingBook的基本回顾》第二份咨询文件。国际清算银行。坎贝尔，S.2005。“回顾回溯测试和回溯测试程序。”金融与经济讨论系列。美国联邦储备委员会研究与统计及货币部，华盛顿特区克里斯托弗森，2010页。”定量金融百科全书——回溯测试。”约翰·威利和他的儿子们。弗里泰利，M.，M.马吉斯和I.佩里。2014年，《概率/损失函数的风险度量和风险价值》数学金融24（3）：442-463。Hitaj，A.，C.Mateus和I.Peri。2015

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