回溯测试风险中的Lambda值

在实证分析中，我们fixα=10%，并将结果与V aR进行比较。3.2测试2我们提出了第二个测试统计，该统计基于概率论的结果，即李亚普诺夫定理。我们分别在（9）和（10）中设置了空假设和替代假设。我们提出了另一个测试统计数据，定义如下：Z：=PTt=1（It- λt）qPTλt（1）- λt）（15）在H下，Zis作为标准正态渐近分布，形式为Zd-→ N（0，1）（16）这个结果来自引理2和李雅普诺夫定理的应用（详情见附录）。我们表示，这是一次双边测试。因此，如果检验统计量停留在以下临界区域，我们拒绝了零假设：CZ:=nz:z（x）<qZαo∪新西兰：z（x）>qZ1.-αo（17），其中α是测试的显著水平，qzi是标准正态分布PZ的分位数函数。同样对于该测试，在实证分析中，我们f xα=10%，并将结果与V aR.3.3测试3进行比较。第三个测试受Acerbi和Szekly（2014）的启发，侧重于另一个方面。该测试的目的是直接验证∧V aR是否已在收益分布的正确假设下进行了估计。为此，我们建立了一个检验统计量Z，并使用与风险度量计算中资产收益率分布相同的假设来模拟其分布。我们分别在（9）和（11）中设置了零假设和替代假设，我们的定义如下：Z:=TTXt=1（λt）- It）=TTXt=1λt-TTXt=1它（18）我们观察到，在H下，E[Z]=0，而在H下，E[Z]<0表示∧V aR（见附录中的命题（3））。因此，如果模型是正确的，那么实现值zis预计为零。

另一方面，负Z表示模型估计不允许覆盖风险。根据H，Z的分布取决于资产收益分布的假设。因此，我们通过模拟每次t的收益分布Ptof的M个场景来执行测试，t=1，T通过这种方式，我们在时间t获得了H下检验统计量的分布PZ。为了构造临界区域，我们需要研究当收益分布从P变为F时PZ的行为。让我们计算PZ:PZ=P（Z≤ z） =PTTXt=1（λt）- （它）≤ z！=PTXt=1(-（它）≤ zT-TXt=1λt！=PTXt=1It≥ -zT+TXt=1λt！其中，ptt=1以参数{λt}的二项泊松分布。我们观察到pz是{λt}的增函数（即当λt增加时pz向左移动）。作为一个序列，给定一个显著水平α，当p值p=PZ（z）小于α时，我们拒绝零假设。在实证分析中，我们使用与风险度量计算相同的资产收益分布假设进行M=10000模拟。我们将最显著水平α设定为10%。该测试允许验证资产回报分布的选择如何影响∧V aR的风险覆盖能力，而不是通过测试1和测试2直接评估。因此，测试3的最佳用途是比较相同类型的∧V aR模型之间的结果，但使用不同的损益分布假设（即历史、蒙特卡洛正态分布和GARCH等）进行估计。这个测试的局限性是需要大量的信息存储，因为在时间t，我们需要t=1，…，的所有预测分布，T.4实证分析在本节中，我们对第（3）节中定义的∧V ARTH的回溯测试方法进行了实证分析。

我们将测试应用于1%的一个略有不同的版本-Hitaj、Mateus和Peri（2015）提出的∧V aR模型，以及1%-V阿莫德尔。我们将回溯测试结果与Hitaj、Mateus和Peri（2015）中提出的∧V aR的Kupiec类型测试以及经典的Kupiec V aR测试进行比较。我们引用的数据集与Hitaj、Mateus和Peri（2015）中的数据集相同，包括在全球金融危机期间（特别是2005年1月至2011年12月），不同国家在不同时间窗口内报价的12只股票的日常数据。这些股票包括美国的花旗集团股份有限公司（C UN Equity）和微软公司（MSFTUW Equity）、英国的苏格兰皇家银行股份有限公司（RBS LN Equity）和联合利华股份有限公司（ULVR LN Equity）、德国的大众汽车股份有限公司（VOW3GY Equity）和德意志银行股份有限公司（DBK GY Equity）、法国的道达尔SA股份有限公司（FP FPEquity）和法国巴黎银行股份有限公司（BNP FP FP Equity），西班牙的桑坦德银行股份有限公司（SANSQ Equity）和西班牙电信股份有限公司（TEF SQ Equity），意大利的圣保罗联合银行股份有限公司（ISP IM Equity）和埃内尔股份有限公司（Enel IM Equity）。在交易所交易量最大的市场指数中，选择了∧V aR计算的市场基准；这些是标准普尔500指数、富时100指数和欧洲斯托克50指数。风险度量的计算基于对资产收益分布的不同假设。我们考虑了经典的历史和正态模拟方法，并通过实现带有t个学生增量的GARCH模型和基于广义帕累托分布的极值理论（EVT）方法，增加了分析的稳健性（我们发回McNeil（1999）对该方法进行审查）。对于历史和正常假设，参数估计基于250天的观察，而对于GARCH模型，则考虑500天。

对于极值理论方法，我们实现了一个自动例程来识别不同时间窗口中的阈值。进行回溯测试时，将12只股票在一年时间内实现的日后收益与每日V aR和∧V aR估计值进行比较。特别是，我们将分析分为六个不同的2年时间窗口（风险度量计算为250天，回溯测试为1年）。1.1违规和Kupiec测试我们首先报告V aR模型的违规和Kupiec测试结果，以及Hitaj、Mateus和Peri（2015）针对∧V aR模型采用的Kupiec类型测试结果。我们计算所有资产和不同时间范围内的平均违规数量和接受率。下文表（1）中给出的结果是根据资产收益的历史分布假设得出的。违反Kupiec-Test2006 2007 2008 2009 2010 2011 2007 2008 2009 2010 2011 VaR 1%3.42 5.33 11.58 0.75 3.08 6.83 100%83%0%100%92%50%3.42 5.33 11.58 0.75 3.08 6.83 100%83%0%100%92%50%50%∧VaR 1%（decr）（VaR 5%）2.25 3.67 0.00 0.67 2.00 4.25 100%83%42%100%100%100%83%100%83%100%83%5.75%1.58.4.00%100%21.83%1.79 4.13 100%83%54%100%100%83%83%∧V aR 1%（增量）（变量5%）1.17 1.00 3.92 0.42 0.92 2.75 100%100%100%100%100%（变量1%）1.17 1.08 3.92 0.42 1.00 2.75 100%100%100%100%100%1.17 1.04 3.92 0.42 0.96 2.75 100%100%100%100%100%100%100%表1：历史分布假设下平均违规次数和库皮耶克检验的时间演变。

该表显示了全球金融危机期间违规行为的平均数量和Kupiec接受率的演变，以1%V aR的水平加总，以及∧V aR模型的增加和减少。正如Hitaj、Mateus和Peri（2015）所预期和指出的那样，1%V aR的平均违规次数大于∧V aR的违规次数，尤其是与不断增加的模型相比。事实上，1%的增值税表明，平均违规数量急剧增加，从2006年的3.42上升到2008年的11.58。另一方面，不断增加的∧V aR模型记录了2006年的平均违规数量约为1.17，2008年危机中的违规数量保持在3.92左右。这个结果是预期的，因为∧函数的maxx∧t（x）=0.01，这意味着∧V aR始终大于或等于1%V aR，因此，前者未涵盖的损失也不包括在后者中。

这意味着通过使用单侧Kupiec类型测试，∧V aR性能始终优于1%V aR，因为这种测试没有捕获∧函数的可变性，这是∧V aR的基本特征。在表（2）所示的其他分布假设下，违规趋势也是相同的。2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2010 2010 2010 2010 2010 2010年2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008年年年10 10 10 10 10 10 10 10 7 7 7 7 7 7 7 7.14 14.14.14.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.25 0.757.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.4.0 0.7.3.3.3.3.3.3.3.3.3.7.7.7.7.7.7.7.7.4.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 33 5.08 11.67 1.17 3.00 7.00 1.25 2.83 3.50 0.00 0.33 1.42 1.25 1.25 4.330.42 1.00 2.753.33 4.92 11.25 1.04 2.88 6.83 1.25 2.75 3.54 0.00 0.25 1.42 1.25 1.13 4.29 0.42 0.96 2.75表2：正常、GARCH和EVT模型下平均违规次数的时间演变。该表显示了全球金融危机期间违规行为平均数量在1%V aR水平上的演变，以及∧V aR模型的增加和减少。4.1.2测试1和测试2：表（3）和（4）中V aR和∧V aR风险覆盖率的比较我们显示了第（3）节中针对∧V aR提出的测试1和2的结果。

本文给出的结果是在资产收益率分布的不同假设下得出的，具体来说是历史、正态、GARCH和EVT方法。历史常态2006 2007 2008 2008 2009 2010 2011 2006 2007 2008 2009 2010 2011 VaR 1%100%58%0%100%75%25%58%33%0%92%50%8%100%58%0%100%75%25%58%33%0%92%50%8%8%100%75%17%100%92%67%42%8%0%83%50%8%（VaR 1%92%83%25%100%100%75%25%0%92%42%8%96%79%21%96%17%88%8%8%8%8%100%83%25%0%0%0%0%42%33%8%（VaR 1%）75%83%0%100%75%17%8%8%0%42%8%75%83%0%100%79%21%4%0%42%38%8%GARCH-EVTVaR 1%75%50%33%100%100%67%100%58%100%100%100%75%50%100%100%100%67%100%58%0%100%100%75%75%75%75%25%25%25%25%1%（Decra）（Decra）（5%50%50%50%33%100%100%100%100%67%100%100%67%100%92 VaR 100%92100%58%71%58%33%100%100%100%67%100%92%8%100%96%54%∧VaR 1%（增量）（变量5%）67%58%25%100%92%58%67%83%0%100%83%17%（变量1%）75%50%25%100%92%58%67%67%0%100%75%71%54%25%100%92%58%67%75%0%100%79%21%表3:P&D分布不同假设下∧VaR模型测试1的时间演变。

该表显示了接受率在全球金融危机期间的演变，在∧V aR模型（minx∧（x）=0.5%）的水平上进行了汇总，该模型使用损益分布的历史、正态、GARCH和EVT假设进行计算。历史常态2006 2007 2008 2008 2009 2010 2011 2006 2007 2008 2009 2010 2011 VaR 1%100%75%0%100%92%42%58%42%0%100%67%25%100%75%0%100%92%42%58%42%0%100%100%67%25%100%100%83%17%100%100%75%58%42%0%100%67%17%（VaR 1%100%83%42%100%100%100%100%83%50%0%100%67%17%100%83%29%100%100%54%50%50%100%50%50%50%50%50%50%50%50%50%50%50%54%50%50%50%50%50%50%50%50%50%50%50%50%50%54%50%50%50%50%50%50%50%50%50%50%54%50%100%17%100%92%42%17%25%0%92%50%8%（VaR 1%）100%100%17%100%92%42%25%33%0%83%58%25%100%100%17%100%92%42%21%29%0%88%54%17%GARCH-EVTVaR 1%83%58%42%100%67%100%75%0%100%67%83%58%42%100%100%67%100%100%67%100%75%0%100%92%33%100%100%100%100%100%92%100%100%100%8%100%92%100%100%17%100%100%67%88%67%38%100%100%71%100%92%13%100%100%100%67%a R 1%（增量）（变量5%）92%75%67%100%83%100%17%100%92%42%（变量1%）92%67%67%100%92%83%100%92%17%100%92%42%92%71%67%100%96%83%100%96%96%17%100%92%42%表4：在不同P&D假设下∧V aR模型测试2的时间演变。该表显示了接受率在全球金融危机期间的演变情况，在∧V aR模型（minx∧（x）=0.5%）的水平上进行聚合，使用损益分布的历史、正态、GARCH和EVT假设进行计算。我们首先注意到，这些测试的合格率低于Hitaj、Mateus和Peri（2015）的单边Kupiec测试。这是由于Kupiec测试的特殊结构。

事实上，该测试有助于评估∧V aR模型是否能保证max（λ）给出的可接受覆盖率，但不能捕获置信水平λtof∧V aR的每日变化。因此，它不能用于评估时间t时∧V aR的实际覆盖率，我们提出的覆盖率测试能够更好地评估∧函数引入的灵活性是否有助于发现不利因素并留出更充足的资本。如果我们比较测试结果，我们观察到，对于所有模型，测试2相对于测试1提供了更高的验收率。这可能是因为测试1以较少的观察次数返回更精确的结果，也可能是因为它的单边性，即将最高权重归因于违规行为。除了正态估计量外，∧V aR模型的结果通常比1%V aR更准确，证实了Hitaj、Mateus和Peri（2015）的结果。这意味着∧V aR的最高灵活性有助于实现最高覆盖率，尤其是当使用更好地捕捉尾部行为的分布进行计算时。在我们的测试中，与Kupiec测试的结果相比，递减∧V aR模型似乎更准确。我们认为，这是这些测试对于递减∧V aR模型的低功率的结果。我们将测试能力的分析留待进一步研究，因为这将使本研究复杂化，而不会增加显著价值。4.1.3∧极小值的选择在结果分析过程中，测试1和测试2指出了Hitaj、Mateus和Peri（2015）提出的∧V aR模型的估计问题。特别是，作者没有详细讨论∧最小值minx∧（x）的选择，在经验实验后，它似乎被设置为等于0.1%。

此外，作者提出的扩展Kupiectest无法确定这种选择的影响。当我们使用Hitaj、Mateus和Peri（2015）的选择进行第一次测试1和2时，minx∧（x）=0.1%，我们注意到增加的∧V aR模型表现出最高的拒绝率，即使它们的违规次数最少，如表（5）所示。测试1测试22006 2007 2008 2009 2010 2011 2006 2007 2008 2009 2010 2011∧VaR 1%（decr）（VaR 5%）100%75%8%100%92%67%100%83%17%100%100%75%（VaR 1%）92%83%25%100%100%67%100%83%42%100%100%83%96%79%17%96%100%83%29%100%100%79%1%∧VaR 1%（incr）（VaR 5%）8%17%0%58%42%8%75%0%100%17%17%58%42%8%75%83%0%100%83%25%8%17%0%58%42%8%75%83%0%100%79%21%表5:minx∧（x）=0.1%的历史分布假设下∧V aR模型试验1和试验2的时间演变。该表显示了全球金融危机期间接受率的演变，在∧V aR模型的水平上进行聚合，最小值∧（x）=0.1%。因此，我们研究了在不同的∧V aR模型中，违规概率λt是如何变化的，并且我们观察到，在大多数情况下，它获得了最小值。这尤其发生在危机时期，当资产的累积分布函数向左移动，并在最小水平与∧函数相交时。在这种情况下，选择∧最小值是相关的，也是一个关键问题。从我们的角度来看，∧最小值应提供在时间窗口观测（即我们的情况下为250）期间损失超过最坏情况事件（即基准点最小值，π=min xt，j）的概率。