回溯测试风险中的Lambda值

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英文标题：
《Backtesting Lambda Value at Risk》
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作者：
Jacopo Corbetta and Ilaria Peri
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  A new risk measure, the lambda value at risk (Lambda VaR), has been recently proposed from a theoretical point of view as a generalization of the value at risk (VaR). The Lambda VaR appears attractive for its potential ability to solve several problems of the VaR. In this paper we propose three nonparametric backtesting methodologies for the Lambda VaR which exploit different features. Two of these tests directly assess the correctness of the level of coverage predicted by the model. One of these tests is bilateral and provides an asymptotic result. A third test assess the accuracy of the Lambda VaR that depends on the choice of the P&L distribution. However, this test requires the storage of more information. Finally, we perform a backtesting exercise and we compare our results with the ones from Hitaj and Peri (2015)
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中文摘要：
最近，从理论角度提出了一种新的风险度量，即lambda风险值（lambda VaR），作为风险值（VaR）的推广。Lambda-VaR因其潜在的解决VaR若干问题的能力而具有吸引力。在本文中，我们针对Lambda-VaR提出了三种利用不同特征的非参数回溯测试方法。其中两项测试直接评估模型预测的覆盖水平的正确性。其中一个测试是双边的，提供了一个渐进的结果。第三项测试评估了Lambda VaR的准确性，该准确性取决于损益分布的选择。然而，该测试需要存储更多信息。最后，我们进行了一次回溯测试，并将结果与Hitaj和Peri（2015）的结果进行了比较
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Backtesting_Lambda_Value_at_Risk.pdf (462.31 KB)

2022-5-10 21:22:49 上传

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关键词：Lambda lamb Lam BDA Quantitative

在RiskJacopo CorbettaCERMICS对Lambda值进行回溯测试，地址：法国马恩河畔尚普大学庞茨分校。Zeliade Systems，法国巴黎让-雅克卢梭街56号。英国伦敦伯克贝克大学经济学、数学和统计学系andIlaria Peria，2017年6月5日摘要最近提出了一种新的风险度量，Lambda风险值（λV aR），作为风险值（V aR）的推广。∧V aR因其解决V aR若干问题的潜在能力而备受关注。本文首次对∧V aR的回溯测试进行了研究。我们提出了三种利用不同特征的非参数测试。两项测试基于概率论的简单结果。其中一个测试是单向的，更适合观察的小样本。第二个测试是双向的，提供了一个渐进的结果。第三个测试是基于模拟的，可以更准确地比较∧V aRs（通过不同的资产收益分布计算得出）之间的差异。最后，我们进行了一次回溯测试，证实了∧V aR相对于V aR的更高性能，尤其是当使用更好地捕捉尾部行为的分布进行估计时。关键词：回溯检验、假设检验、模型验证、风险管理。JEL代码：C12、C52、G321简介风险度量及其回溯测试是金融业最关心的问题。风险价值（VAR）已成为应用最广泛的风险度量。尽管V aR很受欢迎，但在最近的金融危机之后，V aR受到了学者和风险管理者的广泛批评。在这些批评者中，我们回顾了无法捕捉尾部风险和对市场波动缺乏反应的情况。

因此，巴塞尔委员会在《交易账簿基本面审查咨询文件》（2013）中提出的建议是，考虑能够克服增值税弱点的替代风险措施。Frittelli、Maggis和Peri（2014）从理论角度引入了一种新的风险度量，即风险λ值（λV aR）。∧V aR是V aR在置信水平λ的推广。具体而言，∧V aR考虑的是函数∧，而不是常数置信水平∧，其中∧是损失的函数。形式上，给定阿莫诺通和右连续函数∧：R→ （0，1），资产收益率的∧var是与其累积分布函数F（x）=P（x）相关联的映射≤ x） 编号：∧V aR=- inf{x∈ R | F（x）>∧（x）}。（1） 这一新的风险度量似乎具有吸引力，因为它可能能够解决V aR的几个问题。首先，它似乎足够灵活，可以通过向重尾收益分布分配更多风险，而在相反的情况下分配更少风险，来区分具有不同尾部行为的收益分布之间的风险。此外，当市场条件发生变化时，∧V aR可能允许置信区间的快速变化。最近，Hitaj、Mateus和Peri（2015）提出了一种计算∧Var的方法，并首次尝试基于Kupiec（1995）的假设检验框架进行回溯检验。在本研究中，通过将∧函数的最大值作为置信水平来评估∧V aR模型的准确性。然而，∧V aR模型提供的平均水平在任何时候都可能不是常数；因此，该方法无法评估实际的∧V aR性能。本文的目的是为∧V aR的回溯测试提出第一个理论框架。我们提出了三种回溯测试方法，它们利用了不同的特性，可用于不同的目的。

我们的测试评估了∧V aR是否提供了准确的覆盖率，这意味着事后发生违规的概率与模型预测的概率一致。关于Hitaj、Mateus和Peri（2015）中提出的假设，我们考虑了一个空假设，它可以更好地评估∧V aR flexibility引入的效益。我们的测试可以很容易地扩展到VAR，以便在两种风险度量之间进行适当的比较。其中两个测试基于简单的测试统计，其分布是应用概率论的结果得到的。第一次测试是单向的，为更短的回溯测试时间窗口（例如250次观察）提供更精确的结果。第二个检验是双边的，它提供了一个渐进的结果，使得它更适合于大样本的观测。我们提出了第三个测试，其灵感来自Acerbi和Szekely（2014）对预期短缺回溯测试所使用的方法。这里是通过蒙特卡罗模拟获得的测试统计学家的分布。该测试可以更好地评估假设对生成数据的模型的影响，并比较不同选择对资产回报分布的影响。最后，我们进行了实证分析，对∧V aR的回溯测试方案的结果进行了实验和比较，结果是使用Hitaj、Mateus和Peri（2015）提出的相同动态基准方法计算的。

在整个全球金融危机（2006-2011年）期间，在六个不同的时间窗口进行了回溯测试。本文的结构如下：第二节介绍了V aR和∧V aR模型；第3节介绍了我们的回溯测试方案；第4节描述并展示了实证分析的结果；附录收集证据。2V aR和∧V aR模型让我们考虑一个概率空间(Ohm, （Ft）T，Pt），其中西格玛代数Ft表示时间T的信息。我们假设X是沿实（未知）分布Ft，即Ft（X）：=Pt（Xt<X）分布的Anaset收益的随机变量，并由模型预测分布Pt预测，前提是之前的信息，即Pt（X）=Pt Pt（Xt）≤ x |英尺-1).我们可以使用经典的VaR来衡量资产收益率X的风险，方法是在时间t将以下值赋给X:V aRt=- inf{x∈ R | Pt（x）>λ}。（2） 本研究的目的是Frittelli、Maggis和Peri（2014）提出的替代风险度量∧V aR，将时间t时的X归因于以下值：∧V aRt=- inf{x∈ R | Pt（x）>∧t（x）}。（3） 其中∧是映射x的单调函数∈ R在（λm，λm）中，λm>0且λm<1。当∧为常数且等于∧∈ （0,1）对于任何x，∧V aR与V aR在置信水平λ上一致。λV aR的有趣特征是对尾部风险的敏感性，特别是，它能够在一定程度上区分具有相同V aR但不同尾部行为的资产的风险。因此，∧V aR可以在预期更大损失的情况下提高资本要求。Hitaj、Mateus和Peri（2015）提出了一种计算∧函数的方法，称为动态基准法。这里，将∧函数作为市场收益分布尾部的代理。

该功能允许∧V aR通过检测不同的置信水平来评估与市场相关的不同资产。这种方法也是动态的，因为∧在每个时间t根据t中的信息重新估计- 1.通过这种方式，∧V aR合并了最近的市场波动，并根据不同的资产反应调整了资本水平。作者提出了不同的模型来计算∧var。其中一个建议是通过对任意π的n个点（πi，λi）进行线性插值来获得∧≤ x<π与∧常数等于任意x的下（上）界≤ π和任意x的上（下）界≥ π在增加（减少）的情况下。在实证分析中，作者选择了4个点（n=4）。特别是在概率轴上，他们设定∧下限λm=0.001，上限λm=0.01，其他λi=2。。，3.通过对区间（0，λM）的等分，在损失轴上，它们乘以4个点π，与一些选定市场基准的收益分布的顺序统计数据相等。具体而言，π等于所有基准收益的最小值：π=min xt，其中xt，jis是第j个基准的实现收益，对于t=1，…，t和t是时间范围（即滚动窗口中的天数），对于j=1，B是基准的数量；π、 π和π分别等于基准的λ%-Var的最大值、平均值和最小值。在下一节中，我们将回顾∧V aR的首次回溯测试尝试，解释其局限性，并介绍我们的假设测试建议。3 V aR和∧V aR回溯测试模型巴塞尔银行监管委员会（1996年）将回溯测试称为“将每日收益和损失与模型生成的风险度量进行比较，以衡量风险度量系统的质量和准确性”的过程。

当riskmeasure估计无法覆盖已实现回报（利润和损失，P&L）时，就会发生违规行为。在同一份《新巴塞尔协议》中，委员会还为应收账款措施建立了第一个监管回溯测试框架，称为Trans-light方法。该程序监控过去250天内的1%V aR违规情况。之后，文献中介绍了许多替代方案，用于V aR；我们参考坎贝尔（2005年）、克里斯托弗森（2010年）和伯克维茨等人（2011年）的详细综述。让我们用XT表示在时间t实现的资产回报率X。为了执行风险度量的回溯测试，我们需要在t天内构建表示违规行为的随机变量序列，{It}Tt=1，如下所示：=1如果xt<yt0，则为（4），其中yti是风险度量预测的回报。如果当天的实际收益xt小于时间t时风险度量所预测的值YT，则命中序列等于t日的1- 1代表t日，即∧V艺术或V艺术。如果未超过（或违反），则命中序列返回0。我们观察到这是一个遵循伯努利分布的随机变量，即：~ B（λt）（5），其中λ是在时间t出现异常的概率。在下文中，我们重点测试riskmeasures的无条件覆盖特性，该特性假设其违反行为的独立性。该行业的一种常见做法是通过目视检查异常集群来测试独立性（见Acerbi和Szekely（2014）第1节）。我们利用现有数据进行了实证分析，结果表明∧V aR聚集的异常远小于V aR，并表明∧V aR异常具有更高的独立性（如图（1）所示）。

背后的原因可能是∧V aR在每次合并最近的市场运动时都会重新计算，这样可以避免顺序违规。然而，为了全面评估风险度量的准确性，需要对独立性进行特殊测试。在∧var的情况下，我们不能依赖于V aR框架的直接扩展，因为例外情况并不是完全分布的。这需要一个更复杂的分析，我们留给未来的研究。图1:1%V aR和∧V aR违规总和的时间演变。该表显示了全球金融危机期间1%V aR违规总和和∧V aR增长模型的演变。Kupiec（1995）给出了V aR回溯测试的第一个理论建议，其中作者考虑了以下无效和替代假设：HK:λt≤ （=）λ表示任何厚度：λt>λ表示某些t，否则等于（6），其中λ表示V aR置信水平。如果异常的频率不超过任何t的置信水平λ，则可接受λ级的VaR。最近，Hitaj、Mateus和Peri（2015）通过调整VaR的经典Kupiec检验，提出了一种∧VaR的回溯测试方法。他们考虑了以下零和替代假设：HK:λt≤ max（λ）对于任何厚度：λt>max（λ）对于某些t，基本上等于（7），如果违规频率小于max（λ），则可接受∧V aR。这是一个单边假设检验，可以使用V aR检验的相同对数似然比和临界值进行。

这种方法允许验证是否达到了∧最大值给出的覆盖目标，但是，它不允许在任何时间t评估∧V aR的准确性。事实上，如果∧V aR模型是正确的，在时间t，我们应该期望hitsequence假设值1，概率λt=∧t(-∧V aRt）（8）和概率为1的0- λt。如果∧和p都是连续的，那么这个直觉是正确的。如果不发生这种情况，我们得到λt=Pt(-∧V艺术）。因此，∧V aR违规的随机变量Ito分布不一致，这意味着通常的可能性回溯测试框架（POF byKupiec 1995，TUFF by Christo Offersen 2010等）无法直接应用。因此，如果∧V aR是正确的，则任何t（9）的零假设应为：H：λt=λt，而在双边测试的情况下，替代假设为：H：λt6=λt，对于某些t（10），或者：H：λt>λt，对于存在低估风险的单边测试，否则等于（11）。（9）中的零假设允许评估∧V aR是否保证λt参数预测的覆盖率水平。通过这种方式，我们能够比Hitaj、Mateus和Peri（2015）更精确地评估∧V aRmore的正确性。请注意，拒绝HKin（7）意味着拒绝Hin（9）。还可以观察到，这些假设检验在置信水平λ下对V aR也是有效的，方法是对任何t检验λt=λ。为了检验∧V aR模型的准确性，我们提出了三种检验统计数据。前两个检验统计量的分布是利用概率理论的简单结果得出的。特别是，第二个测试提供了一个渐进的结果，因此它更适合于较大的观测样本（即时间范围大于500）。我们还提出了第三个测试，它更有用地检查∧V aR是否已用正确的分布函数Pt估计。

在这里，通过模拟练习来评估零假设的正确性。我们建议，前两个测试用于∧V aR模型的初始验证，而第三个测试用于选择资产收益率分布的最佳估计选择的第二步。3.1测试1我们分别设置（9）和（11）中的无效假设和替代假设。我们通过将检验统计量Zequal定义为时间范围T内的违规数量来构建第一个检验，如下所示：Z:=TXt=1It（12）应用概率论的经典结果获得的Zis分布。如果违规独立发生，则具有不同平均数的独立伯努利之和遵循泊松二项分布（λt），因此我们在H:Z下得到该分布~ 波伊斯。Bin（{λt}）。（13） 本试验原则上为双边试验，关键区域为C=z:z<qZ（α）∪z:z≥ qZ（1）-α), 式中，α表示测试的显著水平（即1个类型错误），qzi表示H下Zd分布的分位数，即PZ。然而，在回溯测试实践中，该测试可以被视为单侧测试，其中临界区域由：CZ={z:z给出≥ qZ（1）- α） }={z:PZ（z）>1- α} （14）事实上，临界区域C左侧的Zfall为零的概率，因为当满足以下关系时，Qz（α）为零：- max（λt））t>a/2。这对于通常的测试显著性水平（α=10%或更低）、通常的时间范围T=250和1%-V aR或1%-λV aR（自λT≤ 0.01).这项测试代表了巴塞尔银行监管委员会（1996年）对∧V aR的转换光方法的扩展，该方法由三个波段改为两个波段。特别是，在置信水平λ下，Hwe有：Z~ Bin（T，λ）服从二项分布。