隐马尔可夫过程与违约强度的相互作用

（4） （5），（6）和（7），我们得到了计算P（Xt=xi | Ft）的递推方法f，根据fj，itk（s+-tk；β，s，s） 和fj，isk（s+-sk；s，s） 。也就是说，由于P（X=X | F）=1和P（X=X | F）=0，我们可以根据Ft将它们应用于等式（4）或等式（6），然后得到P（X=xi | F）s） 在p（X）的计算中是未知的s=xi | Fs） 在式（5）或式（7）中。P（X）的计算公式s=xi | Fs） 根据自由贸易协定应该很好地。通过重复这个递归过程，我们可以得到所需的条件概率。为了得到所需fj，itk（s+-tk；β，s，s） 和fj，isk（s+-sk；s，s） ，我们需要使用第3.1节中介绍的方法。用…代替你-（ηi（x），ηi（x）），i=0，1，我们知道ψij，i，j=0，1存在唯一的解。将u（t）替换为-（λi（x），λi（x）），i=1，···，在等式（3）中，我们可以直接感觉到它是否可解。

如果它是可解的，并且有分析溶液，那么从fj的定义来看，itk（s+-tk；β，s，s） 和Fj，isk（s+？-sk；s），s） ，我们得到FJ，isk（s+-sk；s，s） =Xl=0,1Pjl（`sk）Pli(s- \'sk）ηC（NYs）（xl）×ψjl-（ηC（NYs）（x），ηC（NYs）（x））T，\'sk×ψli-ηC（NYs+1）（x），ηC（NYs+1）（x））T，s- “sk×°ψjls-xi∈\'INDs（λi（\'t|INDs，TNDs，x），λi（\'t|INDs，TNDs，x））t，\'sk××ψlis+-sk，-xi∈\'INDs（λi（\'t|INDs，TNDs，x），λi（\'t|INDs，TNDs，x））t，s- “sk,fj，itk（s+？-tk；β，s，s） =Xl=0,1Pjl（`tk）Pli(s-\'tk）λβ（s+\'tk|INDs，TNDs，Xs=xl）×ψjl(-（ηC（NYs）（x），ηC（NYs）（x））T，`tk）×ψli-ηC（NYs）（x），ηC（NYs）（x））T，s-“tk”×°ψjls-xi∈\'INDs（λi（\'t|INDs，TNDs，x），λi（\'t|INDs，TNDs，x））t，tk××ψlis+-tk，-圆周率∈“我*NDs（λi（\'t|i*NDs，T*NDs，x），λi（\'t|i）*NDs，T*NDs，x）T，s-“tk”我在哪里*NDs=INDsS{β}，T*NDs=TNDsS{tβ}和c（x）=1，x+Y≡ 0（模2）0，x+Y≡ 1（mod 2）。如果在时间t之前，没有观察到跳跃或默认，那么我们有以下结果：f或eω∈ {在[0，t]}，P（Xt=xi | Ft）=P（Xt=xi，在[0，t]中没有跳跃或默认），Xj=0,1P（Xt=Xj，在[0，t]中没有跳跃或默认），其中P（Xt=Xj，在[0，t]中没有跳跃或默认]）=P（Xt=Xj）ψ0j-（ηC（0）（x），ηC（0）（x））T，T×°ψ0j（0，-圆周率∈I（λI（\'t|IND，TND，x），λI（\'t|IND，TND，x））t，t）。注意，如果链Y:ηi（i=0，1）的ju-mp强度不像我们的假设那样简单，并且它们也与时间直接相关，即ηi（`t），那么上面介绍的所有算法仍然适用，我们只需要替换ψij-（ηC（0）（x），ηC（0）（x））T，T通过¨ψij-（ηC（0）（x），ηC（0）（x））T，T, i、 j=0，1。只有当等式（3）givenu（\'T）=-（η（\'t），η（\'t））有一个解析解。如果公式（3）不允许给定ui（`t），（i=0，1）的解析解，我们也在第5节中给出了数值方法。现在我们知道了如何得到P（Xt=xi | Ft）。4默认分布我们在本节中推导了默认分布。

除了推导缺省分布的闭式表达式外，还提出了隐马尔可夫模型的扩展全h azard构造方法来推导联合缺省分布。4.1违约分布的闭式表达式在本小节中，我们计算违约时间p（τ>t，τ>t，…，τK>tK | Ft）的条件联合分布和有序违约时间p（τK>s | Ft），K=1，2，K.注意，当t=0时，我们没有任何信息，上述两个条件概率成为无条件概率。至于第一个概率，由于x的马尔可夫性质和λi（t）的结构，我们有p（τ>t，τ>t，…，τK>tK | Ft）=Xi=0,1P（τ>t，τ>t，…，τK>tK | FNt，Xt=Xi）×p（Xt=Xi |Ft）。既然我们知道如何计算P（Xt=xi | Ft），我们只需要计算条件连接概率P（τ>t，τ>t，…，τK>tK | FNt，Xt=xi）。假设我们第一次进入市场是在时间t第n次违约之后，为了简化符号，我们表示m=NDt，这意味着我们已经知道了信息Tm=（t，···，Tm），Im=（j，··，jm）和FYtby time t。然后我们可以得到以下方程：P（τ>t，τ>t，…，τK>tK | FNt，Xt=xi）=P（τjm+1>tjm+1，…，τjK>tjK |τj=t，…，τjm=tm，Xt=xi）。此外，我们还知道f（tjm+1，…，tjK | Ft）=(-1） K-mdK-mdtjm+1。dtKP（τ>t，τ>t，…，τK>tK | FNt，Xt=xi），其中f（tjm+1，…，tjK | Ft）是条件节理密度函数。

因此，要获得所需的条件概率，必须找到其条件联合密度函数。在这里，我们采用Yu（2007）[27]介绍的方法（称为总危险构造方法）来推导条件密度函数。命题2我们想要得到的密度函数的表达式是f（tjm+1，…，tjK | Ft）=E的形式KXl=m+1Xi∈\'Ilλi（tjl | Il，Tl，Xtjl）·exp-KXl=m+1（Xi∈\'IlZtjltlλi（u|Il，Tl，Xu）du）.证明：在不丧失一般性的情况下，我们假设tjm+1<…<tjK。在这种情况下，τm+1- τm将是我们进入市场后观察到的第一次违约时间。通过使用Yu（2007）[27]开创的总危险度构建方法，利用已知信息，我们绘制了一组独立的标准指数随机变量：（Ejm+1，··，EjK）。然后我们知道τm+1- τm=mini∈\'Im∧-1i（Ei）=迷你型∈\'Iminf{s≥ 0:∧i（s）≥ 这意味着τm+1- τm>t | Fτm= P迷你∈\'Iminf{s≥ 0:∧i（s）≥ Ei}>t.假设信息是FX∞已知，那么p（τm+1- τm>t | Fτm）=Yi∈“小鬼Ei>Ztm+ttmλi（u | Im，Tm，Xu）du=易∈“-Imexp-Ztm+ttmλi（u | Im，Tm，Xu）du= 经验-xi∈\'ImZtm+ttmλi（u|Im，Tm，Xu）du.如果我们假设τm<t<τm+1和ti>τi，i=1，m、 让λm+1（t）表示时间t的第（m+1）个违约率，那么λm+1（t）=Xi∈\'ImZttmλi（u|Im，Tm，Xu）du。SinceP（τm+1>t | Fτm，Xs（tm<s<∞)) = E-圆周率∈\'ImRttmλi（u|Im，Tm，Xu）du=e-λm+1（t）我们有p（τjm+1>tjm+1，…，τjK>tjK | Ft，Xs（tm<s<∞))=KYl=m+1P（τjl>tjl | Ft，Xs（tm<s<∞))=KYl=m+1e-λl（tjl）=KYl=m+1exp-xi∈“伊尔-1Ztjltl-1λi（u | Il）-1，Tl-1、徐）杜= 经验-KXl=m+1（Xi∈“伊尔-1Ztjltl-1λi（u | Il）-1，Tl-1、徐（杜）和eforef（tjm+1，…，tjK | Ft，Xs（tm<s<∞))= (-1） K-mdK-mdtjm+1。dtKP（τjm+1>tjm+1，…，τjK>tjK | Ft，Xs（tm<s<∞))= (-1） K-mdK-mdtjm+1。

dtKexp-KXl=m+1（Xi∈“伊尔-1Ztjltl-1λi（u | Il）-1，Tl-1、徐（杜）|热释光-1=tjl-1=KYl=m+1Xi∈“伊尔-1λi（tjl | Il）-1，Tl-1，Xtjl）·exp-KXl=m+1（Xi∈“伊尔-1Ztjltjl-1λi（u | Il）-1，Tl-1、徐（杜）andf（tjm+1，…，tjK | Ft）=E[f（tjm+1，…，tjK | Ft，Xs（tm<s<∞))]= EKYl=m+1Xi∈“伊尔-1λi（tjl | Il）-1，Tl-1，Xtjl）·exp-KXl=m+1（Xi∈“伊尔-1Ztjltjl-1λi（u | Il）-1，Tl-1、徐（杜）= EKYl=m+1Xi∈“伊尔-1λi（tjl | Il）-1，Tl-1，Xtjl）·exp-KXl=m+1（Ztjltjl）-1Xi∈“伊尔-1λi（u | Il）-1，Tl-1、徐（杜）.如果上一节中的等式（3）给定u（`t）=-（λi（x），λi（x）），i=1，K、 有唯一的解决方案，然后我们进一步得到以下结果。命题3计算所需密度函数的显式公式如下：。

，tjK | Ft）=(-1） K-m·Xlm+1=0,1Xlm+2=0,1···XlK=0,1·d（°ψilm+1（tjm，-圆周率∈\'Im（λi（\'t|Im，Tm，x），λi（\'t|Im，Tm，x））t，tjm+1- dtjm+1·d（°ψlm+1lm+2（tjm+1，-圆周率∈\'Im+1（λi（\'t|Im+1，Tm+1，x），λi（\'t|Im+1，Tm+1，x））t，tjm+2- tjm+1）dtjm+2·····d（°ψlK）-1lK（tjK-1.-圆周率∈“IK-1（λi（\'t|IK）-1，TK-1，x），λi（\'t|IK）-1，TK-1，x）T，tjK- tjK-1） ）dtjk，其中¨ψij，i，j=0，1是第3节中定义的力矩生成函数。证据：我们注意到KYl=m+1Xi∈“伊尔-1λi（tjl | Il）-1，Tl-1，Xtjl）·e-PKl=m+1（Rtjltjl）-1Pi∈“伊尔-1λi（u | Il）-1，Tl-1、徐（杜）=Xlm+1=0,1Xlm+2=0,1··XlK=0,1Exi∈\'Imλi（tjm+1 | Im，Tm，Xtjm+1）·eRtjm+1tjmPi∈\'Imλi（u|Im，Tm，Xu）du|Xtjm=i，Xtjm+1=lm+1· Exi∈\'Im+1λi（tjm+2|Im+1，Tm+1，Xtjm+2）·eRtjm+2tjm+1Pi∈\'Im+1λi（u|Im+1，Tm+1，Xu）du|Xtjm+1=lm+1，Xtjm+2=lm+2· · · · · Exi∈“IK-1λi（tjK | IK）-1，TK-1，XtjK）·eRtjKtjK-1Pi∈“IK-1λi（u | IK）-1，TK-1、许）杜|XtjK-1=lK-1，XtjK=lK= (-1） K-m·Xlm+1=0,1Xlm+2=0,1··XlK=0,1dEeRtjm+1tjmPi∈\'Imλi（u|Im，Tm，Xu）du|Xtjm=i，Xtjm+1=lm+1dtjm+1·dEeRtjm+2tjm+1Pi∈\'Im+1λi（u|Im+1，Tm+1，Xu）du|Xtjm+1=lm+1，Xtjm+2=lm+2dtjm+2··dEeRtjKtjK-1Pi∈“IK-1λi（u | IK）-1，TK-1、许）杜|XtjK-1=lK-1，XtjK=lKdtjK=(-1） K-m·Xlm+1=0,1Xlm+2=0,1··XlK=0,1d（°ψilm+1（tjm，-圆周率∈\'Im（λi（\'t|Im，Tm，x），λi（\'t|Im，Tm，x））t，tjm+1- dtjm+1·d（°ψlm+1lm+2（tjm+1，-圆周率∈\'Im+1（λi（\'t|Im+1，Tm+1，x），λi（\'t|Im+1，Tm+1，x））t，tjm+2- tjm+1）dtjm+2·····d（°ψlK）-1lK（tjK-1.-圆周率∈“IK-1（λi（\'t|IK）-1，TK-1，x），λi（\'t|IK）-1，TK-1，x）T，tjK- tjK-1） ）类似地，如果与‘ψij’相关的方程没有解析解，那么我们可以使用下一节将讨论的相同近似方法，用ψij近似‘ψij’。因此，可以得到密度函数f（tjm+1，…，tjK | Ft）的显式近似表达式。

当缺省强度的表达式均匀且对称时，P（τjm+1<·τjk<s<τjk+1<·τjk | Ft）=ZttmZttjm+1··Zttjk-1Z∞tZ∞tjk+1··Z∞tjK-1f（tjm+1，tjm+2，…，tjK | Fs）dtjK··dttjm+1。因为它们是齐次对称的，P（τjk）≤ s<τjk+1 | Ft）=（K- m） !！P（τjm+1<···<τjk<s<τjk+1<···<τjk | Ft）。此外，我们还有p（τjk>s | Ft）=k-1Xi=mP（τji）≤ 4.2扩展的HMMWe总风险构造方法进一步扩展总风险构造方法，使其适用于由隐马尔可夫过程调制的各种形式的违约强度，然后获得联合违约分布。时间t时义务人i累积的总危险，用ψi（t|INDt，TNDt，Xt）表示，可定义如下：ψi（t|INDt，TNDt，Xt）=NDt-1Xl=0∧i（tl+1- tl | Il，tl，Xtl+1）+∧i（t）- tNDt | INDt，tNDt，Xt）（8），其中∧i（s | Il，Tl，Xtl+s）=Ztl+stlλi（u| Il，Tl，Xu）du（9）是义务人i在时间间隔[Tl，Tl+s]内累积的总危险。注意，默认过程是独立的单位指数随机变量。我们定义了反函数∧-1i（x | Ik，Tk，纽约州）∞, 斯尼∞) = inf{s:i（s|Ik，Tk，Xtk+s）≥ x} ，x≥ 0（10）其中（纽约）∞, 斯尼∞) ∈ FY∞是纽约Y路的全部历史∞是链Y和SNY中跳跃的总数∞是相应的有序跳转时间的集合。总危险可通过以下递归程序构建：步骤1。生成Y的完整样本路径，并将其表示为（NY）∞, 斯尼∞) ∈ FY∞.生成一组i.i.d.单位指数随机变量（E，···，EK）。第二步。设j=arg min{∧-1i（Ei）：i=1，··，K}和定义τj=∧-1j（Ej）。注意T=（T），T=τj，I=（j）。第三步。（i） 假设（τj，…，τjm）-1） 以及Xs（0）的模拟路径≤ s<^τjm-1） 区域已作为Tm获得-1=（t，…，tm）-1） ，tl=τjl，l=1，M- 1和Im-1=（j。

约翰·杰姆-1） ，我在哪里≥ 2.通过使用条件概率p（Xs=xi | Fs），i=0，1，x=0，x=1，s≥ ^τjm-1和Fs=FYs∨ 商标-1.∨ 伊姆河-1，我们可以在这个条件概率下生成一个随机数序列。然后我们可以得到模拟的x，s的路径≥ ^τjm-1这将有助于∧的计算-1i（x | Im）-1.Tm-1，纽约∞, 斯尼∞).（ii）注意“Im”-1=（1，2，…，K）\\Im-1.因此，根据Tm的信息-1，我是-1和X的路径（0≤ s<^τjm-1) ∪ Xs（s）≥ ^τjm-1） ，即X的路径。We letjm=arg min{∧-1i（Ei）- ψi（tm）-1 | Im-1.Tm-1，Xtm-1） |Im-1.Tm-1，纽约∞, 斯尼∞) : 我∈“我是-1} 其中ψi（tm）-1 | Im-1.Tm-1，Xtm-1） 是指（m）在默认情况下，在链X信息的条件下，名称i累积的总危险- 1） 默认时间，即tm-1.然后我们让^τjm=tm-1+ Λ-1jm（Ejm）- ψjm（tm）-1 | Im-1.Tm-1，Xtm-1） |Im-1.Tm-1，纽约∞, 斯尼∞)并保留Xs，^τjm的模拟路径-1.≤ s<^τjm在这一步。通过模拟路径，我们可以得到模拟路径Xs，0≤ s<^τjm。第四步。如果m=K，则停止。否则，将m增加1并转至步骤3。从递归p过程中，我们可以得到^τ的分布。根据Shaked an dShanth ikumar（1987）[25]和Yu（2007）[27]，从上述递归过程中获得的^τ分布等于原始默认时间τ的分布。这将给出以下结果。命题4设τ为默认时间，强度λit=λi（t | INDt，TNDt，Xt），i=1，k满足第2节所述假设的相关跳跃过程。根据步骤1构造^τ- 强度等于λi（t | INDt，TNDt，Xt），i=1，2，K.设F′t是包含fy的最小过滤，以及时间t时与^τ相关的默认过程的信息，P′是（Y，^τ）的分布。

那么^τihas（P′，F′t）中的每一个元素的强度为：λi（t|INDt，TNDt，Xt），i=1，2，因此，我们可以通过生成^τ来生成τ。5数值近似方法在本节中，我们考虑第3节中的一个突出问题。如果公式（3）不允许给定ui（`t），（i=0，1）的分析解，那么我们将尝试使用另一种方法来近似条件概率P（Xt=xi | Ft）。我们可以直接考虑app-roximating′ψij（s，u，t）。正如我们之前提到的，这是因为默认强度λi，（i=1，…，K）给出了公式（3），其中u（`t）=-（λi（x），λi（x）），i=1，Kdoe没有解析解，因此我们无法获得¨ψij（s，u，t）的闭式表达式。因此，当应用默认强度时，我们需要近似地计算矩母函数ψij（s，u，t）。如果ψij（s，u，t）的误差小于任意，那么根据fj的表达式，isk（s+）-sk；s，s） 和fj，itk（s+-tk；β，s，s） 如下所示，我们知道它们的相对误差是可以控制的。此外，根据第3节中给出的P（Xt=xi | Ft）递归方法，可以控制该条件概率的误差。在下面，我们将说明近似是如何工作的。当时间间隔长度足够小时，在不丧失普遍性的情况下，我们可以近似地将默认强度λi（t）中的t指定为相关时间间隔的左值，即当时间间隔为[s，s+[s]。然后我们仍然可以应用矩生成函数，给定u（\'T）=u（s）=u，我们知道相应的等式。

（3） 有一个独特的解决方案。但我们需要确保，通过使用这种方法，°ψij（s，u，可以进行控制，使其小于任意给定的值。命题5错误控制ψij（s，u，“s）<<1，其中是任意的，可以通过要求要满足\'s<- ln（1）- ）K·λmax（s），其中λmax（s）=maxi=1，。。。，K{λi（s），s∈ [0，s]}和ψij（s，u，\'s）=|ψij（\'u，（s）-ψij（s，u，\'s）|和\'u（t）=u（~sk）-1） 对于t∈ （~sk）-1、~sk]和[0，s]=[~s，~s][（~s，~s][···[（~sn-1、~sn]。证明：请注意，有K个实体，因此当应用默认强度时，即u（`t）=-（λi（x），λi（x））或u=-（λi（x），λi（x）），i=1，K、 我们注意到-K·λmax（s）·“\'s]≤ ψij（`u，（s）≤ E[eK·0·\'s]安第斯[e]-K·λmax（s）·“\'s]≤ψij（s，u，（s）≤ E[eK·0·[s]。因为所有λi，i=1，K是非负的，因此，我们有以下关系：ψij（s，u，（s）≤ E[eK·0·\'s- E-K·λmax（s）·当且仅当ifeK·λmax（s）·\'s<1- 当且仅当\'s<- ln（1）- ）K·λmax（s）。我们可以简单地让\'s=- ln（1）-）K·∧max（s），它足以使¨ψij（s，u，可控制的。在这里，我们可以近似计算fj，isk（s+-sk；s，s） 。首先，我们将时间间隔[s，s+-sk]均匀划分，步长等于\'s=- ln（1）-）K·λmax（s）+s） ，并表示M（s，（s）=“sk\'s.也就是说，[s，s+\'sk]=[s，s+\'s][[s+\'s，s+2\'s][··[[s+M（s，（s）·\'s，\'sk]此外，我们在剩余的时间间隔内做同样的事情：[s+\'sk，s] 并表示m（s），\'s）=hs-“sk“是的。我们表示M=M（s，和M=M（s，\"s)。