隐马尔可夫过程与违约强度的相互作用

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英文标题：
《Interacting Default Intensity with Hidden Markov Process》
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作者：
Feng-Hui Yu, Wai-Ki Ching, Jia-Wen Gu and Tak-Kuen Siu
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we consider a reduced-form intensity-based credit risk model with a hidden Markov state process. A filtering method is proposed for extracting the underlying state given the observation processes. The method may be applied to a wide range of problems. Based on this model, we derive the joint distribution of multiple default times without imposing stringent assumptions on the form of default intensities. Closed-form formulas for the distribution of default times are obtained which are then applied to solve a number of practical problems such as hedging and pricing credit derivatives. The method and numerical algorithms presented may be applicable to various forms of default intensities.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了一个具有隐马尔可夫状态过程的简化形式的基于强度的信用风险模型。在给定观测过程的情况下，提出了一种滤波方法来提取潜在状态。该方法可应用于广泛的问题。基于该模型，我们推导了多个违约时间的联合分布，而无需对违约强度的形式进行严格假设。得到了违约时间分布的封闭式公式，并将其应用于解决一些实际问题，如套期保值和信用衍生品定价。所提出的方法和数值算法可能适用于各种形式的违约强度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Interacting_Default_Intensity_with_Hidden_Markov_Process.pdf (379.92 KB)

2022-5-11 00:49:03 上传

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关键词：马尔可夫 相互作用 distribution Applications Quantitative

与隐藏马尔可夫过程的交互默认强度*Wai Ki Ching+Jia Wen GuTak Kuen Siu§2021年11月8日摘要本文考虑了一个具有hiddenMarkov状态过程的简化形式的基于强度的信用风险模型。在给定观测过程的情况下，提出了一种过滤方法来提取潜在状态。该方法可应用于广泛的问题。基于该模型，我们推导了多个违约时间的联合分布，而无需对违约强度的形式进行严格假设。得到了违约时间分布的封闭式公式，并将其应用于解决套期保值和信用衍生产品定价等实际问题。所提出的方法和数值算法可能适用于各种形式的违约强度。关键词：简化形式强度模型；违约风险；信用衍生品；1.介绍信用风险建模长期以来一直是信用风险管理中的一个关键问题。尤其是自2008年全球金融危机以来，人们对它的关注度越来越高。Cr-edit风险模型有很多应用，例如，信用衍生品的定价和对冲，以及信用组合的管理。金融行业采用的模型可分为两大类*香港薄扶林道香港大学数学系高级建模与应用计算实验室。电子邮件：玛吉。yufenghui@gmail.com.+通讯作者。香港大学数学系高级建模与应用计算实验室，香港薄扶林道。电子邮件：wching@hku.hk.丹麦哥本哈根大学数学科学系。

电子邮件：jwgu。hku@gmail.com.§澳大利亚新南威尔士州悉尼麦格理大学商业与经济学院应用金融与精算研究系2109。电子邮件：肯。Siu@mq.edu.au;ktksiu2005@gmail.comcategories：结构固定价值模型和基于强度的简化形式模型。对于第一类模型，它由布莱克和斯科尔斯（1973）和默顿（1974）率先提出。结构企业价值模型的关键思想是通过使用资产价值对企业的违约进行建模，其中资产价值受几何布朗运动的控制。当资产价值降至某一规定水平以下时，触发企业违约。对于第二种模型，Jarrow和Turnbull（1995年）以及Madan和Unal（1998年）率先提出。基于简化形式强度的模型的主要思想是将默认值视为外生过程，并用泊松过程及其变体描述它们的发生。基于交互强度的违约模型被广泛用于对投资组合风险和违约进行建模。由于我们在本文中关注传染模型，例如Giesecke（2008），我们将基于强度的信用风险模型区分为自上而下模型和自下而上模型。自上而下的模型侧重于对portfoliolevel的默认时间进行建模，而不考虑单个实体的强度。基于此，我们还可以使用随机细化等方法来覆盖单个实体的意图。与这类模型相关的一些作品包括Davis和Lo（2001）、Giesecke、Goldberg和Ding（2005）、Brigo、Pallavicini和Torresetti（2006）、Longsta off和Rajan（2008）以及Cont和Minca（2011），而自下而上的模型侧重于对单个参考实体的违约强度及其聚合进行建模，以形成投资组合违约强度。

与这类模型相关的一些著作包括杜菲和加莱诺（2001）、贾罗和余（2001）、S chèonbucherand Schubert（2001）、吉塞克和戈德伯格（2004）、杜菲耶等人（2006）和余（2007）等。这两类模型之间的差异是个体违约强度的形式和组合聚集的形成方式。在本文中，我们将重点介绍Abotom up模型。在Lando（1998）开发的模型的基础上，Yu（2007）对模型进行了扩展，并应用了扩展模型多个默认值和它们的相关性。此外，Yu采用了Norros（1986）和Shaked and Shathanthikumar（1987）提出的totalhazard构造方法来模拟违约时间的分布，这些违约时间具有相互作用的强度。郑和蒋（2009）随后采用了这种方法，并在其传染模型下导出了多重违约分布的闭式公式。Gu等人（2013年）引入了一种递归方法来计算有序违约时间的分布，Gu等人（2014年）进一步提出了具有特定违约强度形式的阿希登-马尔可夫简化模型。本文利用hiddenMarkov过程建立了一个基于广义简化形式强度的信用模型。该模型适用于各种形式的相依结构的一大类违约强度。对于隐马尔可夫过程，我们还讨论了一种灵活的方法，在给定观测过程的情况下提取隐藏状态过程，这可能在不同领域有应用。然后，使用Yu（2007）提出的总风险构造方法，我们推导出了联合违约分布的封闭式公式。当强度均匀时，给出了计算有序时间联合分布的解析算法。

显式公式可以提高应用程序的计算效率，例如，信用衍生品的定价。我们注意到Gu等人（2014）的结果是本文所讨论方法的特例。此外，我们将总风险构造方法推广到具有隐藏过程的情况，以模拟违约时间的联合分布。Weremark指出，隐马尔可夫模型已被用于研究信用风险，例如，Frey和Ru nggaldier（2010年、2011年）、Frey和Schmidt（2011年）、Elliott和Siu（2013年）以及Elliott等人（2014年）。本文的其余部分结构如下。第2节简要介绍了基于交互强度的隐马尔可夫过程违约模型。第3节介绍了从观测过程中提取隐藏状态过程的方法。第四节基于总危险构造法推导了联合违约分布的封闭形式表达式，并给出了有序违约时间分布的解析公式。此外，还提出了隐马尔可夫过程下的扩展总危险构造方法，以获得违约时间的联合分布。第5节为第3节中的某些情况提供了数值方法，可用于第3节和第4节，并对误差或分析进行了讨论。第6节说明了拟议方法在信用衍生产品定价中的应用。最后，第7节对论文进行了总结。2模型SetupLet(Ohm, F、 P）是一个完整的概率空间，其中P是一个风险中性概率测度，假设存在。假设有K个相互作用的实体，我们让Ni（t）：={τi≤t} ，其中τiis是一个停止时间，代表cred it name i的默认时间，对于eachi=1，2，···，K。假设我们有一个基本状态过程（Xt）t≥0描述经济状况的动态。

设FXt:=σ（Xs，0≤ s≤ （t）∨ N其中N表示Ohm 在F和C中∨ 包含σ-代数和c的最小σ-代数。我们还让Ht:=σ（Xt）∨ fntwhere fnt=Ft∨ 英尺∨ . . . ∨ FKtand拟合：=σ（1{τi）≤s} ，0≤ s≤ （t）∨ N我们假设每个i=1，2，K、 Ni（t）具有一个非负的{Ht}t≥0-适应，强度过程λisatisfyingEZtλi（s）ds< ∞, T≥ 0，（1）使得补偿过程mi（t）：=Ni（t）-Zt∧τiλi（s）ds，t≥ 0，（2）是一个（{Ht}t≥0，P）-鞅。请注意，在默认时间τi之后，Ni（t）将保持在值1，因此不需要补偿时间τi之后的Ni（t），例如，参见Elliott等人（2000）。对于所有市场参与者，我们假设他们无法观察基本过程（Xt）≥0直接。相反，他们观察过程（Yt）≥0，揭示了（Xt）t的延迟和噪声信息≥0，并遵守默认流程（Nit）t≥0.因此，在时间t时，市场参与者可用的公共信息集为Ft:=FYt∨ FNtwhere FYt:=σ（Ys，0≤ s≤ （t）∨ N我们进一步假设th在（Xt）t处≥0是（Nit）t的“外生”过程≥0，i=1，2，K、 也就是说，对于任何t，σ-fields FX∞并且fntar在给定FXtandP（τi6=τj）=1，i6=j的情况下是条件独立的。为了简化我们的讨论，在本文中，我们假设（Xt）t≥0是一个两态马尔可夫链，取{x，x}中的值。我们假设链的转移速率为“x”→ “x”和“x”→ x“分别是θ和θ。可观测过程（Yt）t≥0i获得一个以{y，y}取值的两态马尔可夫链，其转移率取决于Xt，即η（Xt）（y）→ y） η（Xt）（y）→ y） ，其中η和η是实值函数。在时间0，我们假设Xis在状态x，Yis在状态y。

本文后面介绍的方法可能仍然适用于马尔可夫链X和Y有两个以上状态的情况，尽管可能涉及更复杂的符号。3.隐态过程与可观测过程的提取为了说明强度的形式，我们给出以下符号。假设在时间t，NDtdefaults已经在时间t，t，使0=t<t<t··<tNDt≤ t、 然后我们表示TNDt=（t，···，TNDt）有序NDtdefault时间，INDt=（j，···，jNDt）相应的ndtdefaulter，以及mth（1≤ M≤ K） 违约债务人为jm。假设i>ndt<τi，其中τ是债务人i的违约时间。每个过程λi（i=1，…，K）是{Ht}t≥0-可预测，也就是说已知λi（t），给定关于链X和时间t之前的所有默认过程的信息。那么τi的强度可以写成λit=λi（t | INDt，TNDt，Xt），其中X是链X在时间t的状态。注意（INDt，TNDt，Xt）∈ 嗯。由于X的路径是不可观测的，而Y和Ni的路径（i=1，…，K）是可观测的，因此我们可以利用X，Y和Ni之间的关系（i=1，…，K）来确定X的概率律。我们应用顾等人[15]提出的递推方法来计算条件概率P（Xt=xi | Ft），（i=0，1，t）≥ 0). 在讨论该方法之前，我们需要找到递归公式中所有未知项的表达式。在计算过程中，我们还提出了矩母函数法来实现我们的目标。3.1一些初步设想：Ti，k，j，s） 是链X在状态xkin中的时间间隔的子间隔的并集时间间隔[s，s+s] 给定链从Xs=xind开始，到Xs结束+s=xj。对于每一个，j=0，1，我们让‘Ti，j（s，t）＝（‘Ti，0，j（s，t），’Ti，1，j（s，t））和u（‘t）＝（u（‘t），u（‘t））Twhere‘∈ [s，s+t]。注意，Ti，1，j（s，t）=[s，s+t]\\\'Ti，0，j（s，t）。

由于链中的跳跃和默认是泊松过程，使用矩母函数的概念，我们定义了ψij（s，u，t）=E“exp（Z\'Ti，0，j（s，t）u（\'t）d\'t+Z\'Ti，1，j（s，t）u（\'t）d\'t）#。注意，u（\'t）是一个任意可积函数。这意味着，在这种情况下，我们可以采用矩母函数。例如，u（\'t）可以是链中跳跃的转换率或默认率，默认率是所有实体在默认之前的时间累积的默认强度。命题1设Φij（s，u，t）=Pij（t）ψij（s，u，t），其中Pij（t）是状态xi中的进程在时间t之后处于状态xj的概率，i，j=0，1。然后Φij（s，u，t）=θiZtexpZs+t-ss（用户界面（t）- θi）d\'t\'\'Φjj（s+t）- s、 u，s）ds′Φii（s，u，t）=θiZtexpZs+t-ss（用户界面（t）- θi）d\'t\'\'Φji（s+t）- s、 美国）ds+expZs+ts（用户界面（`t）- θi）d\'t（3） 式中i，j=0，1。证明：ψij（s，u，t）=E“expZ”Ti，0，j（s，t）u（\'t）d\'t+Z\'Ti，1，j（s，t）u（\'t）d\'t！#=θiPij（t）中兴-θis·eRs+ssui（\'t）d\'tPjj（t- s） E“expZ”Tj，0，j（s+s，t-s） u（\'t）d\'t+Z\'Tj，1，j（s+s，t-s） u（\'t）d\'t#ds=θiPij（t）ZtexpZs+ss（用户界面（`t）- θi）d\'tPjj（t- s） ψjj（s+s，u，t）- s） ds=θiPij（t）ZtexpZs+t-ss（用户界面（t）- θi）d\'tPjj（s）¨jj（s+t）- s、 美国）ds。我们还有¨ψii（s，u，t）=θiPii（t）ZteRs+t-ss（用户界面（t）-θi）d’tPji（s）’ψji（s+t）- s、 美国）ds+eRs+ts（用户界面（t）-θi）d′tPii（t）。用Φij（s，u，t）Pij（t）代替ψij（s，u，t），我们可以得到命题中的方程组。我们发现，当u（t）的表达式满足某些“良好”性质时，上述公式（3）有一个独特的解决方案。其性质是，u（\'t）与时间t没有任何直接关系，尽管它可能与时间t有关联。这意味着u（\'t）可以写成u。这样，不仅可以简化方程（3）的求解问题，还可以简化一些相关定义。

和之前一样，让Ti，k，j(s） 在时间间隔[s，s]内，状态为xk的链的占用时间+s] 给定从Xs=xind开始到Xs结束的链+s=xj。对于每个i，j=0，1，我们让Ti，j（t）=（Ti，0，j（t），Ti，1，j（t））和u=（u，u）t∈ R.Ti，j（t）的矩母函数由ψij（u，t）=E（exp{uTTi，j（t）}）给出。对ψij（u，t）应用与我们对ψij（u，t）相同的方法，并让Φij（u，t）=ψij（u，t）·Pij（t）。我们还可以得到Φij（u，t）的等效公式（3），即用Φij（u，t）替换Φij（u，t），（ui（\'t）- θi）与ui- θiin等式（3）。然后，为了求解等效方程，需要求解O.D.E.s的线性系统（c.f.Gu等人[15]）：Φ（u，t）t=AΦ（u，t），其中Φ（u，t）=Φ（u，t）Φ（u，t）Φ（u，t）Φ（u，t）还有=U- θu- θ.这种O.D.E.s线性系统在文献中被称为基本矩阵方程。众所周知，该方程有一个唯一的解，称为基本矩阵解，初始条件Φij（u，0）=1，i，j=0，1为Φ（u，t）=eAt1·1，其中1是所有项均等于1的二维列向量。因此，我们可以通过ψij（u，t）=Φij（u，t）Pij（t）得到ψij（u，t）的解。在实践中，当给出ui（`t），（i=0，1）的表达式时，我们可以将它们代入上述等式（3），然后直观地检查它是否有解。注意，ui（`t），（i=0，1）的表达式决定系统是否可解。如果它是可解的，那么我们可以得到解Φij（s，u，t），（i，j=0，1）。请注意，可以将[15]中的结果视为具有唯一解决方案的特殊情况。3.2提取eωt隐过程的递推公式∈ 我们可以更清晰地表达eωtin如下：eωt=（NYt，NDt，SNYt，INDt，TNDt），其中oSNYt=（s，s，…，SNYt），oINDt=（j，j，…，jNDt），oTNDt=（t，t。

，tNDt），onyt按时间t计算链Y中的跳转次数，ondt按时间t计算默认次数，o（s，s，…，sNYt）是按时间t计算链Y的有序跳转次数的集合，即0<s<…<斯奈特≤ t、 o（t，t，…，tNDt）是按时间t排序的默认时间的集合，即0<t<<特尼特≤ t、 o（j，j，…，jNDt）是按时间t排序的违约者对应名称的集合，即时间ti时的名称jidefaults。在这里，eωtca可以被解释为随机动力系统在时间t的状态。给定到时间t的信息，即Ft，我们将时间段[0，t]划分为（NYt+NDt）s次周期[0，h]，（h，h]，…，（hNYt+NDt）-1、hNYt+NDt]。在每种情况下，都观察到一个默认值或一个Y跳变。当时间t没有出现违约或跳跃时，p（Xt=xi | Ft）的计算可以简化，我们将在后面介绍。定义INDt=（1,2，…，K）\\INDt。假设s和s+s是一个子周期的两个en dpoints。以下描述了P（Xt=xi | Ft）的计算方法。前ω∈ {tk=s+\'tk∈ （s，s+s] }，P（Xs=xi|Fs+s） =P（Xs=xi|Fs，tk=s+\'tk，jk=β）=P（Xs=xi|Fs）·Pl=0,1fi，ltk（s+-tk；β，s，（s）Pj=0,1P（Xs=xj | Fs）·Pl=0,1fj，ltk（s+-tk；β，s，（s）（4） andP（Xs）+s=xi | Fs+s） =Xj=0,1P（Xs=Xj | Fs）+s） P（Xs）+s=xi | Fs+s、 Xs=xj）=xj=0,1P（Xs=xj | Fs+s） fj，itk（s+？-tk；β，s，s） Pl=0,1fj，ltk（s+-tk；β，s，s） （5）其中fj，itk（t；β，s，s） dt=P（tk∈ dt，jk=β，Xs+s=xi | Xs=xj，NDs，NYs，INDs）。类似地，对于eω∈ {sk=s+\'sk∈ （s，s+s] }，P（Xs=xi|Fs+s） =P（Xs=xi | Fs）Pl=0,1fi，lsk（s+-sk；s，sXj=0,1P（Xs=Xj | Fs）Xl=0,1fj，lsk（s+-sk；s，s（6） andP（Xs）+s=xi | Fs+s） =Xj=0,1P（Xs=Xj | Fs）+s） fj，isk（s+）-sk；s，（s）Pl=0,1fj，lsk（s+-sk；s，s（7） 其中fj，isk（t；s，s） dt=P（sk∈ dt，Xs+s=xi | Xs=xj，NDs，NYs，INDs）。梳理等式。