风险受限的凯利赌博

查看函数E（rTb）-λ在b中是凸的，我们注意到对于rTb>0，（rTb）-λ是b的凸函数；所以期望E（rTb）-λ是b的凸函数（见[BV04，§3.2]）。我们提到最后一个约束也可以写成loge（rTb）-λ≤ 0，其中左手边是b的凸函数。RCK问题（7）总是可行的，因为b=enis是可行的。就像在Kellygambling问题中一样，对于RCK（7）当且仅当Eri时，下注向量b=ENI是最优的≤ 1如果i=1，N- 1.换句话说，如果所有的赌注都是输家，我们根本不应该下注；相反，如果只有一个赌注是预期中的赢家，那么RCK问题的解决方案将具有正增长率（当然也尊重提款风险约束）。我们在附录中展示了这一点。5.1风险规避参数RCK问题（7）仅通过λ=对数β/对数α依赖于参数α和β。这意味着，对于固定λ，我们的一个约束E（rTb）-λ≤ 1实际上给出了一系列必须满足的下拉约束：Prob（Wmin<α）<αλ（8）适用于所有α∈ (0, 1). 例如，α=0.7和β=0.1给出λ=6.46；因此，我们的约束也意味着财富下降到α=0.5（即我们失去一半初始财富）的概率不超过（0.5）6.46=0.011。（8）的另一种解释是，我们的风险约束实际上限制了Wmin的整个CDF（累积分布函数）：其稳定度低于函数α7→ αλ.RCK问题（7）可以通过两种（相关）方式使用。首先，我们可以从α和β给出的原始水位下降规格开始，然后使用λ=logβ/logα解决问题。在这种情况下，我们可以保证由此产生的赌注满足我们的提款限制。另一种使用模型是考虑λ作为风险规避参数；我们根据增长率和提款风险进行交易。

这与传统的Markowitzportofolio优化[Mar52][BV04，§4.4.1]非常相似，其中风险规避参数用于对风险（通过投资组合回报方差衡量）和回报（预期投资组合回报）进行权衡。我们将在§6.5.2轻度和重度风险规避区域中看到我们的方法与Markowitz均值-方差组合优化之间的另一个密切联系。在本节中，我们给出了提取风险约束（rTb）的解释-λ≤ 1（9）在轻度和重度风险厌恶状态下，分别对应于λ的小值和大值。严重的风险厌恶。在高风险规避制度下，即在极限λ内→ ∞, 约束（9）减少到rTb≥ 1几乎可以肯定。换句话说，问题（7）只考虑了在这种体制下的无风险赌注。轻度风险厌恶。接下来考虑轻度风险规避机制，即限制λ→ 0.注意约束（9）相当于λloge exp(-λlog（rTb））≤ 0.Asλ→ 我们有λloge exp(-λlog（rTb））=λlog E1.- λlog（rTb）+λ（log（rTb））+O（λ）= -E log（rTb）+λE（log（rTb））-λ（E log（rTb））+O（λ）=-E log（rTb）+λvar log（rTb）+O（λ）。（在随机控制的情况下，（1/λ）log EXexp(-λX）被称为指数效用或损失，λ被称为风险敏感性参数。这种渐近展开是众所周知的，例如[Whi81，Whi90]。）因此，约束（9）减少为λvar log（rTb）≤ E log（rTb）在极限λ内→ 0.因此（受限）提取风险约束（9）限制了该制度中方差与平均增长的比率。5.3计算两种结果的RCK。对于两种结果的情况，我们可以很容易地解决问题（7），几乎是通过分析。

问题是最大化πlog（bP+（1- b） ）+（1- π)(1 - b） ，以0为准≤ B≤ 1，π（bP+（1- b） )- 对数β/对数α+（1）- π)(1 - b）- 对数β/对数α≤ 1.（10）如果无约束问题的解，πP-1P- 1，P- πPP- 1.,如果满足了风险约束，那么它就是解决方案。否则，我们减少Bt，以找到π（bP+（1）的值- b） )-λ+ (1 - π)(1 - b）- 对数λ=1。（这可以通过二等分来实现，因为在b中左手边是单调的。）在这种情况下，对于某些f<1的情况，theRCK下注是分数凯利下注（4）。有限结果案例。对于最终结果的情况，我们可以以一种方便且易于处理的形式重申RCK问题（7）。我们首先获取最后一个约束的日志，并获取logkxi=1πi（rTib）-λ≤ 0，我们将其写成logkxi=1exp（logπi）- λlog（rTib））！≤ 0.为了证明这个约束是凸的，我们注意到log sum exp函数是凸的和递增的，并且它的参数都是b的凸函数（因为log（rTib）是凹的），所以左边函数在b中是凸的[BV04，§3.2]。此外，凸优化软件包括CVX、CVXPY和凸优化系统。基于DCP（纪律凸规划）的jl可以直接处理这样的组合。因此，我们有一个问题，最大化pki=1πilog（rTib），受制于1Tb=1，b≥ 0，日志PKi=1exp（对数πi）- λlog（rTib））≤ 0.（11）以这种形式，问题很容易解决；其CVXPY规格见附录B一般申报表。与凯利赌博问题一样，我们可以使用随机优化方法解决RCK问题（7）。我们使用原始-对偶随机梯度法（来自[NY78，NJLS09]）应用于拉格朗日（b，κ）=-E log（rTb）+κ（E（rTb）-λ- 1） ，（12）带b∈ ε和κ≥ 0

（与无约束Kelly优化情况一样，我们做出了b？n>ε>0的技术假设。）在附录中，我们证明了RCK问题（7）有一个最优的对偶变量κ？对于约束E（rTb）-λ≤ 1，这意味着解决问题（7）相当于找到（12）的鞍点。我们还假设我们知道最优对偶变量κ？值的上限M？。我们的方法计算迭代‘b（k+1）=∏b（k）+tk（r（k）T‘b（k））λ+λ′κ（k）（r（k）T‘b（k））λ+1r（k）！，κ（k+1）=κ（k）+tk1- （r（k）T\'b（k））λ（r（k）T\'b（k））λ！[0，M]，其中起始点“b（1）和”κ（1）分别位于ε和[0，M]，r（k）是来自r分布的IID样本，∏是欧氏投影ε、 （a）[0，M]是[0，M]上的投影，即（a）[0，M]=max{0，min{M，a}。步长tk>0必须满足tk→ 0,∞Xk=1tk=∞.我们使用（加权）运行平均值sb（k）=Pki=1ti’b（i）Pki=1ti，κ（k）=Pki=1ti’κ（i）Pki=1作为我们对最佳赌注和κ的估计？，分别地同样，这种方法收敛速度很慢，但总是有效的；即E log（rTb（k））收敛到最优值，max{E（rTb（k）））-λ- 1, 0} → 0.与无约束Kelly情况一样，我们不知道ε应该有多小，或者M应该有多大。我们可以选择一个小的ε和一个大的M，然后验证（\'b（k））n>ε和\'κ（k）<M；如果这一点成立，我们对ε和M的猜测是正确的。与无约束情况一样，可以使用批处理来提高实际收敛性。在这种情况下，我们将这两个期望的梯度的无偏估计替换为其中一些期望的平均值。最后，我们提到最优性条件可以独立检查。

正如附录引理4中的weshow，一对（b？，κ？）是RCK问题的解决方案，当且仅当其满足以下最优性条件：Tb？=1，b？≥ 0，E（rTb？）-λ≤ 1κ?≥ 0, κ?（E（rTb？）-λ- 1） =0（13）ErirTb？+κ?λEri（rTb？）λ+1≤ 1 + κ?λbi=0=1+κ？λbi>0。可以使用蒙特卡罗模拟来评估预期，检查这些条件，以获得RCK的计算近似解。（上述方法保证1Tb=1，b≥ 0和κ≥ 0，所以我们只需要检查其他三个条件。）6二次近似在本节中，我们对RCK问题（7）进行了二次近似，我们称之为二次RCK问题（QRCK），并得出了与Markowitz港口优化的密切联系。我们使用符号ρ=r- 1表示（随机）超额收益，所以（TB=1）我们有rTb- 1=ρTb。假设rTb≈ 1，或相当于ρTb≈ 0，我们有（泰勒）近似对数（rTb）=ρTb-（ρTb）+O（（ρTb）），（rTb）-λ= 1 - λρTb+λ（λ+1）（ρTb）+O（（ρTb））。将这些代入RCK问题（7）我们得到了最大化EρTb的QRCK问题-E（ρTb）受1Tb=1，b的影响≥ 0-λEρTb+λ（λ+1）E（ρTb）≤ 0.（14）RCK问题的这种近似是一个凸二次规划（QP），已经很容易解决。当基本假设为rTb时，我们期望该解能很好地近似于RCK解≈ 1保持。在找到RCK问题（7）的解决方案时，这种近似值非常有用。我们首先通过蒙特卡罗估计ρ的一阶和二阶矩，然后求解qrck问题（14）（使用估计的矩）以获得解Bq和朗格朗日乘法器κqp。我们将这些作为（7）解的良好近似，并将它们作为原始-对偶随机梯度法的起点，即，我们设置b（1）=Bqandκ（1）=κqp。

这在理论上没有优势，因为无论初始点是什么，该方法都会收敛；但它可以在实践中加速收敛。现在我们将QRCK问题（14）与经典的马科维茨投资组合选择联系起来。通过定义u=Eρ，平均超额收益率，andS=EρT=∑+（Eρ）（Eρ）T，ρ的（原始）二阶矩（收益率的协方差为∑）。我们说，如果位置向量b的解最大为uTb，那么它就是一个马科维茨组合-γbT∑b服从1Tb=1，b≥ （风险规避）参数γ的某个值为0，（15）≥ 问题（14）的解决方案是阿马科维茨投资组合，前提是不存在套利。所谓无套利，我们的意思是uTb>0，Tb=1，和b≥ 0，表示bT∑b>0。让我们展示一下。让我们来看看QRCK问题的解决方案（14）。通过（强）拉格朗日对偶[Ber09]，BQPI是一个最大uTb的解-bTSb+ν（uTb）-λ+1bTSb）受制于1Tb=1，b≥ 0为了一些ν≥ 0，我们只通过对偶约束得到-λEρTb+λ（λ+1）E（ρTb）≤ 0.我们将目标除以1+ν，并替换S=uT+∑，以得到bqpis为最大uTb的溶液-η（uTb）-ηbT∑b受制于1Tb=1，b≥ 0，（16）对于某些η>0。反过来，bqpis是最大化（1）的解决方案- ηuTbqp）uTb-ηbT∑b受制于1Tb=1，b≥ 0，（17）因为问题（16）和（17）的目标在bqp具有相同的梯度。如果uTbqp<1/η，那么问题（17）相当于问题（15），其中γ=η/（1）- ηuTbqp）。假设uTbqp≥ 1/η，这意味着（bqp）T∑bqp>0，由noartibtrage假设。然后对于问题（17），下注使目标值为0，这比bqp更好。由于这与bqp的最优性相矛盾，我们得出uTbqp<1/η。

因此，我们得出结论，问题（14）的解决方案就是问题（15）的解决方案，即BQPI是一个马科维茨投资组合。7数值模拟在本节中，我们报告了两个特定问题实例的结果，一个结果有限，一个结果有限，但我们的数值探索表明，这些结果是典型的。7.1有限结果我们考虑一个有限结果案例，n=20（因此有19个风险赌注），K=100个可能结果。问题数据生成如下。概率πi，i=1，K在[0,1]上均匀绘制，然后归一化，使πi=1。海归∈ R++表示i=1，K和j=1，N- 1来自[0.7,1.3]中的均匀分布。然后，随机选择30个返回rijare集等于0.2，其他30个返回值等于2。（i=1，…，K的返回值都设置为1。）一个收益向量包含至少一个“极端”收益（即等于0.2或2）的概率为1-(1-60/（19·100））n-1.≈0.45.7.1.1凯利和RCK赌注的比较我们将凯利最优赌注与α=0.7和β=0.1（λ=6.456）的RCK赌注进行比较。然后，我们获得λ=5.500的RCK赌注，该值的选择使我们实现了接近规定值β=0.1的风险（如§5.1所述）。对于每个下注向量，我们对t=1，…，进行了10000蒙特卡洛模拟，100.这使我们能够（很好地）估计相关的风险概率。表1显示了结果。第二列给出增长率，第三列给出下降风险的界限，最后一列给出通过蒙特卡罗模拟计算的下降风险。Kelly最优下注在大约40%的时间内会出现超过我们的阈值α=0.7的下降。对于所有的RCK赌注，提款风险（由蒙特卡罗计算）都低于我们的界限，但并没有显著的下降。

（我们在很多问题上都观察到了这一点。）λ=6.456的RCK下注保证有一个下降概率notBet E log（rTb）EλlogαProb（Wmin<α）Kelly 0.062-0.397RCK，λ=6.456 0.043 0.100 0.073RCK，λ=5.500 0.047 0.141 0.099表1：Kelly和RCK下注的比较。通过蒙特卡罗模拟计算预期增长率和下降风险。超过10%；蒙特卡罗模拟表明，它（大约）为7.3%。在我们的比较中，对于thirdbet向量，我们降低了风险规避参数，直到我们获得（蒙特卡罗计算）风险接近极限10%的abet。具有下降风险（9）的（硬）凯利赌博问题的最优值必须小于0.062（无约束最优增长率）且大于0.043（因为我们的第二个下注向量保证满足风险约束）。由于我们的第三个下注向量的下注风险小于10%，我们可以进一步确定这一结果，以说明具有下注风险（9）的（硬）凯利赌博问题的最佳值在0.062和0之间。047.图1显示了我们对Kelly最优下注（左）和在λ=5.5（右）下获得的RCK下注的蒙特卡罗模拟中WTK的十条轨迹。在这十次模拟中，四次方钻杆轨迹低于阈值α=0.7，另一次轨迹下降，这与上述概率一致。图2显示了WMI在10000条wt模拟轨迹上的样本CDF，用于Kelly最优下注和λ=6.46的RCK下注。还显示了上界αλ。我们看到，风险范围并不坏，通常比实际风险高30%左右。

我们在许多问题实例中都观察到了这种情况。7.1.2 RCK和QRCK的比较表2显示了λ=6.456的QRCK的增长率和下降风险的蒙特卡罗值（与表1中的RCK解决方案进行比较）。QRCK赌注不保证提款风险，但如果λ=6.456，提款概率（由蒙特卡罗评估）小于β=0.1。选择λ=2.800的值，使风险约为0.10；我们发现，其增长率小于具有相同下降风险的RCKbet的增长率。图3显示了i=1，20，用于凯利、RCK和QRCKbets。我们可以看到凯利的赌注集中在结果4上；RCK和QRCK仍然在结果4上下了很大的赌注，但也将赌注分散在其他结果上。7.1.3 RCK、QRCK和分数凯利下注的风险增长权衡图4我们比较了多重选择λ和分数凯利下注（4）的RCK和QRCK问题的提款风险和预期增长率之间的权衡图1：凯利最优下注（左）和限制风险约束下注（λ=5.5）的财富轨迹。虚线显示了财富阈值α=0.7。Bet E log（rTb）EλlogαProb（Wmin<α）QRCK，λ=0.000 0.054 1.000 0.218QRCK，λ=6.456 0.027 0.100 0.025QRCK，λ=2.800 0.044 0.368 0.100表2：QRCK下注的统计数据。通过蒙特卡罗模拟计算了预期增长率和下降风险。图2：对于λ=6.46的Kelly最优下注和RCK下注，Wmin的样本CDF（即Prob（Wmin<α））。还显示了上界αλ。图3：数值bi，i=1，20，用于不同的下注向量。TheRCK和QRCK下注均以λ=6.456获得。图4:RCK、QRCK和部分凯利赌注的提款风险和预期增长率的权衡。

还显示了凯利赌注。f的多重选择。该图类似于马科维茨投资组合优化中典型的风险收益交易曲线。我们发现，RCK比QRCK和分数Kelly产生更高的赌注（在某些情况下明显更好）。例如，与RCK相比，达到风险界限0.1的Kelly分数Bett的增长率约为0.035，RCK的增长率为0.047.7.2一般回报率。我们在这里展示了一个回报率分布有限的问题实例，定义为对数正态分布的混合~（logn（ν，∑）w.p.0.5logn（ν，∑）w.p.0.5，N=20，ν，ν∈ Rn，和∑，和∑∈ Sn+。我们有ν1n=ν2n=0，矩阵∑，∑使得Rn的值为1，概率为1。我们从这个收益分布中生成了10个观察值的样本，并用它来解决Kelly、RCK和QRCK问题。在求解Kelly和RCKwe的算法中，使用步长tk=C/√对于一些C>0，每次迭代批处理超过100个样本（因此我们运行10次迭代）。我们用QRCK解初始化这些算法以加快收敛速度。为了解决QRCK问题，我们计算ρ=r的第一和第二矩- 1使用相同的10个观察样本。我们生成了一个单独的E对数（rTb）EλlogαProb（Wmin<α）Kelly 0.077-0.569RCK，λ=6.456 0.039 0.100 0.080RCK，λ=5.700 0.043 0.131 0.101表3：在最终结果情况下Kelly和RCK的比较。通过蒙特卡罗模拟计算预期增长率和下降风险。蒙特卡罗模拟的回报样本，包括10条WTT=1的模拟轨迹，100.7.2.1 RCK和凯利下注的比较在我们的第一次测试中，我们比较了参数λ的两个值的凯利下注和RCK下注。第一个RCK赌注的λ=6.456，这保证了α=0.7时的提款风险小于或等于β=0.1。