风险受限的凯利赌博

表3表明情况确实如此，蒙特卡罗模拟风险为0.08，与理论界相差不远。选择λ的第二个值isinstead，以便蒙特卡罗风险约等于0.1。图5显示了10条模拟轨迹，用于方钻杆下注和RCK下注，λ=5.700。在这种情况下，6条方钻杆轨迹低于α=0.7，其中一条RCK轨迹低于α=0.7，与上述数值一致。图6显示了Wminfor Kelly下注和RCK下注（λ=6.456）的样本CDF，以及由αλ给出的理论边界。7.2.2 RCK、QRCK和分数Kelly下注的风险增长权衡我们比较了Monte Carlo模拟的下降风险（α=0.7）和Kelly、RCK、QRCK和分数Kelly下注的预期增长率。我们选择λ（用于Rck和QRCK）和f（用于分数方钻杆）的多个值，并将它们绘制在图7中。我们观察到，正如我们在最终结果案例中所做的那样，RCK比QRCK产生更高的赌注。这一点尤为重要，因为QRCK与经典的马科维茨投资组合优化模型密切相关，而且这个例子类似于金融投资组合选择问题（与有限回报分布有关）。在本例中，分数凯利赌注显示出与RCK（基本上）相同的性能。图5:Kelly最优赌注（左）和RCK betwithλ=5.700的财富轨迹，用于最终收益分布。财富阈值α=0.7也显示出来。图6:Wminfor的样本CDF，即λ=6.46的Kelly最优下注和RCK下注，用于最终收益分布。图中还显示了束缚αλ。图7:RCK、QRCK和部分凯利赌注的提款风险和预期增长率的交易效应，以及最终回报分布。

图中还显示了Kellybet。我们收集了文本中几个结果的技术细节和推导。引理1。对于问题（1）当且仅当Eri≤ 1表示i=1，N-1.同样，对于问题（7）当且仅当Eri≤ 1表示i=1，N-1.证据。假设埃里≤ 1表示i=1，N-1.然后根据Jensen不等式E log（rTb）≤ 日志ErTb≤ 任何b都是0∈ {b|1Tb=1，b≥ 0}. 因此，对于问题（1）和问题（7），达到目标值0的en都是最优的。接下来假设一些i的Eri>1。考虑下注b=fei+（1）- f） enandφ（f）=f的E对数（rTb）∈ [0,1]根据[Ber73，命题2.1]，我们得到了右导数+φ（f）=Er（ei）- 恩）rTb，我们有+φ（0）=Er（ei）- 恩=埃里- 1 > 0.因为φ（0）=0，对于足够小的f，我们有φ（f）>0，所以b=fei+（1）- f） 对于足够小的f，Enhan的目标值比enfor更好，即enis不是问题（1）的最优值。同样，假设一些i的Eri>1，写b？为了凯利的最佳赌注。（我们已经确定了b？6=enand和E log（rTb？）>0.）考虑下注b=fb？+(1 - f） enandψ（f）=E（rTb）-λ表示f∈ [0，1）。通过与前面类似的论证，我们得到了+ψ（f）=-λE（rTb）-λ-1rT（b？- 嗯），以及+ψ(0) = -λE（rTb？）- 1..根据詹森的不等式，我们得到了0≤ 电子日志（rTb？）≤ 日志ErTb？。所以+ψ(0) < 0. 由于ψ（0）=1，对于足够小的f，我们有ψ（f）<1。那么b=fb+(1 -f） 对于足够小的f来说，enis是可行的。此外，与enforf相比，b具有严格更好的目标值∈ （0，1）因为物镜是凹的。所以埃尼并不是最优的。引理2。问题（7）总是有一个最优的对偶变量。证据假设埃尼是最优的。根据引理1，即使没有约束（rTb），enis也是最优的-λ≤ 1.那么κ？=0是一个最佳的双变量。现在假设埃尼不是最优的。

通过引理1证明的函数ψ的推理，关于约束E（rTb）有一个严格可行点-λ≤ 1.通过[Roc74，定理17]，我们得出了对偶解存在的结论。引理3。让ε∈ [0,1]，并将∏（·）写入ε. 定义函数（·）+，ε：Rn→ RNA（（x）+，ε）i=max{xi，0}表示i=1，N- 1和（（x）+，ε）n=max{xn，ε}。那么∏（z）=（z- ν1）+，ε，其中ν是方程t（z）的解-ν1)+,ε= 1.左手边是ν的非递增函数，因此可以通过与起始间隔[maxizi]对分有效地获得ν- 1、maxizi]。证据通过对投影的定义，x=∏（z）是极小值x的解- ZKX受1Tx=1x影响≥ 0，xn≥ ε.这个问题相当于tominimizekx- zk+ν（1Tx）- 1） 以x为准≥ 0，xn≥ 最优对偶变量的ε∈ R.这源于对约束Ttx=1（而不是其他约束）进行对偶，应用强拉格朗日对偶，并利用对象严格凸的事实[Ber09]。这个问题反过来相当于tominimizekx- （z）-ν1）K主体对x≥ 0，xn≥ ε、 哪个有解析解X？=（z）-ν1)+,ε.最优对偶变量ν必须满足t（z-ν1）+，ε=1，由KKT条件决定。写h（ν）=（z）- ν1)+,ε. 然后，h（ν）是一个连续的非增量式函数，具有h（maxizi）- 1) ≥ 1，h（maxizi）=ε。所以h（ν）=1的解在区间[maxizi]内- 1、maxizi]。引理4。一对（b？，κ？）是RCK问题的解决方案，当且仅当其满足条件（13）。证据假设（b？，κ？）是RCK问题的解决方案。这立刻给了我们1Tb？=1，b？≥ 0，E（rTb？）-λ≤ 1和κ？≥ 0.b？是一个最小化的解决方案吗-E log（rTb）+κ？E（rTb）-λ受制于1Tb=1，b≥ 0（18）和κ？（E（rTb？）-λ- 1） =0，通过拉格朗日对偶。考虑bε=（1）- ε） b？+εb，其中b∈ 满足度1Tb=1和b≥ 0.定义φ（ε）=-E log（rTbε）+κ？E（rTbε）-λ.

因为bε对于问题（18）是可行的∈ [0,1）由于b？是最优的，我们有（0）≤ ε（ε）表示ε∈ [0,1）。我们稍后会显示出（ε）<∞ 对于ε∈ [0,1]那么+φ(0) ≥ 0，在哪里+表示右侧导数。到[Ber73，提案2.1]时，我们已经+φ(ε) = -ErT（b- b？）rTbε- κ?λErT（b）- b？）（rTbε）λ+1。所以我们有0≤ +φ(0) = 1 + κ?λE（rTb？）-λ- ErTbrTb？- κ?λErTb（rTb？）λ+1.使用κ？（E（rTb？）-λ- 1） =0，然后重新组织呃？+κ?λEr（rTb？）λ+1肺结核≤ 1 + κ?λ、 （19）对于任何b∈ R满足1Tb=1和b≥ 0.对于i=1，n、 我们要吃早餐吗？+κ?λEri（rTb？）λ+1≤ 1 + κ?λ、 （20）对于i=1，n、 现在假设b？i> 0表示一些i，让b=ei。对于小负ε问题（18），bε是可行的。我们稍后会显示出φ（ε）<∞ 对于小的负ε。这意味着+在这种情况下，η（0）=0，我们得出结论B？+κ?λEri（rTb？）λ+1≤ 1 + κ?λbi=0=1+κ？λbi>0。还有一点需要说明的是ψ（ε）<∞ 适当的ε值。首先注意b？，解决方案具有明确的目标价值，即：。，-电子日志（rTb？）∞ 和E（rTb？）-λ< ∞. ε也是如此∈ [0,1），我们有φ（ε）=-E log（（1）- ε） rTb？+εrTb）+κ？E（（1）- ε） rTb？+εrTb）-λ≤ -E log（（1）-ε） rTb？+κ?E（（1）- ε） rTb？）-λ= -日志（1）- ε) - 电子日志（rTb？+κ?(1 - ε)-λE（rTb？）-λ< ∞.接下来假设一些i的bi>0∈ {1，…，n}。那么对于ε∈ (-bi，0）我们有φ（ε）≤ -E log（rTb？+εri）+κ？E（rTb？+εri）-λ≤ -E log（（bi+ε）/bi）rTb？+κ?E（（（bi+ε）/bi）rTb？）-λ= -对数（（bi+ε）/bi）- 电子日志（rTb？+κ?（（bi+ε）/bi）-λE（rTb？）-λ< ∞.最后，假设（b？，κ？）的条件（13），让我们以相反的顺序来讨论这个论点。条件（13）表示条件（20），条件（19）表示1Tb=1。注b？是否有明确的目标价值（rTb？）-λ< ∞根据假设和-电子日志（rTb？）≤ （1/λ）对数E（rTb？）-λ< ∞ 詹森的不平等。So~n（0）≤ ε（ε）表示ε∈ [0，1]与前面的论证相同，即b？对于问题（18）是最优的。

这个事实，加上条件（13），给了我们RCK问题的KKT条件，我们得出结论（b？，κ？）是通过拉格朗日对偶[Ber09]对RCK问题的解决方案。引理5。考虑一个IID序列X，X。根据概率测度u，其随机游动Sn=X+X+··+Xn，停止时间τ，ψ（λ）=log E exp(-λX）=logZexp(-λx）du（x）。然后我们有(-λSτ- τψ（λ））|τ<∞] Prob（τ<∞) ≤ 1.这个引理是对[Wal44]、[Fel71，§XVIII.2]和[Gal13，§9.4]中的恒等式的修改。证据考虑测得的倾斜概率μλ（x）=exp(-λx- ψ（λ））du（x）并写入倾斜测量μλ下概率的Probμλ。然后我们有probμλ（τ=n）=ZI{τ=n}dμλ（x，x，…，xn）=ZI{τ=n}exp(-λsn- nψ（λ））du（x，x，…，xn）=E经验(-λSτ- τψ（λ））I{τ=n}通过n=1，2。我们得到probμλ（τ<∞) = E经验(-λSτ- τψ（λ））I{τ<∞}= E[exp(-λSτ- τψ(λ)) | τ < ∞] Prob（τ<∞).因为Prob|λ（τ<∞) ≤ 1.我们得到了预期的结果。B DCP规范最终结果RCK问题（11）可以在CVXPY asb=变量（n）lambda_风险=参数（符号=‘正’）增长=pi中制定和解决。T*log（r.T*b）风险约束=（log_sum_exp（log（pi）-lambda_风险*log（r.T*b））<=0）约束=[sum_条目（b）==1，b>=0，风险约束]风险约束=问题（最大化（增长），约束）风险约束。solve（）这里r是矩阵，其列是返回向量，pi是概率向量。从第二行到最后一行形成问题（object），最后一行解决了问题。最佳赌注被写入b值。我们注意到，如果我们将lambda_风险设置为0，那么这个问题公式（计算上）等价于Kelly问题。感谢Andrea Montanari、B.Ross Barmish和Gu Minggao进行了有益的讨论。参考文献[Ber73]D.P.Bertsekas。具有不可微代价泛函的随机优化问题。

优化理论与应用杂志，12（2）：218-2311973。[Ber09]D.P.贝尔塞卡斯。凸优化理论。雅典娜科学出版社，2009年。[Bro00]S.Browne。风险约束的动态主动投资组合管理。《管理科学》，46（9）：1188-11992000。[Bub15]S.布贝克。凸优化：算法和复杂性。《机器学习的基础与趋势》，8（3-4）：231-3572015。[BV04]S.博伊德和L.范登伯格。凸优化。剑桥大学出版社，2004年。[CT12]T.Cover和J.Thomas。信息论的要素。约翰·威利父子公司，2012年。[DB16]S.戴蒙德和S.博伊德。CVXPY：一种用于凸优化的Python嵌入式建模语言。《机器学习研究杂志》，2016年。[DCB13]A.Domahidi、E.Chu和S.Boyd。ECOS：嵌入式系统的SOCP求解器。欧洲控制会议（ECC），第3071-3076页，2013年。[DL12]M.戴维斯和S.莱奥。连续时间内的分数凯利策略：最近的发展。在L.C.麦克莱恩和W.T.齐姆巴主编的《财务决策基础手册》第753-788页。世界科学出版社，2012年。[Feller]W.Feller。概率论及其应用导论，第2卷。威利，第二版，1971年。[Gal13]R.G.加拉杰。随机过程：应用理论。剑桥大学出版社，2013年。[GB14]M.格兰特和S.博伊德。CVX:Matlab严格凸规划软件，2.1版。http://cvxr.com/cvx，2014年3月。[GBY06]M.格兰特、S.博伊德和Y.叶。严格的凸规划。在L.Libertian和N.Maculan主编的《全球优化：从理论到实现，非凸优化及其应用》，第155-210页。Springer，2006年。[Kel56]J.Kelly，Jr.对信息速率的新解释。《信息论上的IRE交易》，2（3）：185–1891956年。[KY03]H.J.库什纳和G.G.尹。

随机逼近和递归算法及其应用。斯普林格，2003年。[L¨04]J.L¨of berg。YALMIP：MATLAB中用于建模和优化的工具箱。IEEE计算机辅助控制系统设计国际研讨会论文集，第284-289页，2004年。[Mar52]H.Markowitz。投资组合选择。《金融杂志》，7（1）：77-911952年。[Mer90]R.C.默顿。连续时间金融。威利·布莱克威尔，1990年。[MTZ11]L.C.麦克林、E.O.索普和W.T.齐姆巴。凯利资本增长投资标准：理论与实践，第3卷。世界科学出版社，2011年。[NJLS09]A.S.内米罗夫斯基、A.朱迪茨基、G.兰和A.夏皮罗。随机规划的鲁棒随机逼近方法。暹罗优化杂志，19（4）：1574-16092009。[NY78]A.S.内米罗夫斯基和D.B.尤丁。关于逼近凹凸函数鞍点的最速下降法的Cesari收敛性。Doklady Akademii Nauk SSSR，239:1056–1059，1978年。[NY83]A.S.内米罗夫斯基和D.B.尤丁。优化中的问题复杂性和方法效率。威利，1983年。[Pol87]B.T.波利亚克。优化简介。优化软件，纽约，1987年。[RM51]H.罗宾斯和S.蒙罗。一种随机逼近方法。《数学统计年鉴》，22（3）：400-4071951。[Roc74]R.T.Rockafellar。共轭对偶与最优化。工业与应用数学学会，费城，1974年。[Ser15]S.A.Serrano。非对称锥优化算法及指数锥问题的实现。斯坦福大学博士论文，2015年。[UMZ+14]M.Udell、K.Mohan、D.Zeng、J.Hong、S.Diamond和S.Boyd。Julia中的凸优化。SC14动态语言高性能技术计算研讨会，2014年。[Wal44]A.沃尔德。关于随机变量的累积和。

《数理统计年鉴》，15（3）：283-2961944。[Whi81]P.Whittle。风险敏感的线性/二次/高斯控制。应用概率的进展，13（4）：764–7771981。[Whi90]P.Whittle。风险敏感的最优控制。威利，1990年。