对于给定边际的远期微笑，无套利边界

根据定义，我们有Pm+1=KM- 公里-下午1时-1.- 下午2点（下午2点）- 公里-1） ）=公里- 公里-1.颗粒物-1.- 颗粒物- PMKM- 公里-1xM+2- 公里,假设xM+2，我们有pM+1≥ 0.对于pMwe havepM=KM，情况类似-1.- 公里-下午2点-2.- pM+1（公里）- 公里-2) - pM（xM+2）- 公里-2） ]=PM-2.- 颗粒物-1公里-1.- 公里-2.-颗粒物-1.- 下午2点（下午2点）- 公里）公里- 公里-下午1点-2.- 颗粒物-1公里-1.- 公里-2.-颗粒物-1.- PMKM- 公里-1.我们递归地观察到，对于i=2，M- 我们有Pi=Pi-2.- 圆周率-1Ki-1.- 基-2.-圆周率-1.- 玉米薄饼- 基-1.由于价格SP不满足套利条件，则pi≥ 0表示i=1，M+2。注意，当xM+2=PM-1公里-PMKM-下午1点-1.-PM，PM+2=PM-1.- PMKM- 公里-1，pM+1=0，pi=pi-2.- 圆周率-1Ki-1.- 基-2.-圆周率-1.- 玉米薄饼- 基-1，对于i=2，M，离散化减少到M+1点，其中xM+1=km被丢弃。6 SERGEY BADIKOV、ANTOINE JACQUIER、DAPHNE QING LIU和PATRICK ROOMERemark 3.5。原则上可以将引理3.4推广到xi+1的结构∈ （Ki）-1，Ki]fori=1，M（显然x<Kand xM+2>KM）。然而，快速计算表明，编写一组与P一致的有效条件显然很麻烦，而且实际上也不是特别严格。3.2. 平衡一致的离散化。现在假设有M个到期日为t的欧洲看涨期权Px和N个到期日为t+τ的欧洲看涨期权Py，并且度量u和ν被校准为这些欧洲期权：RR+（x- Kxi）+u（dx）=pxi对于所有i=1，M和RR+（y- Kyj）+ν（dy）=Pyjforall j=1，N.我们进一步假设Px和Py不包含套利（在[8，定理4.2]的意义上），否则不存在等价鞅测度，原始问题（2.1）不可行。对于两个离散化网格x=（x，…，xm）∈ Rm+和y=（y，…，yn）∈ 例如，Rn+，算法3.2，产生了x和y上支持的离散分布px和py。

然而，不能保证px和py保留原始度量u和ν的凸序。下面的引理提供了充分的条件来解释这一点。引理3.6。设px和py是x和y上支持的两个离散度量。以下条件共同确保px py:（i）Px和py的平均值相等，y≤ 桑德·伊恩≥ xm；（ii）假设2.1适用于u=px和ν=py。备注3.7。在我们的框架中，离散度量px和py是原始度量u和ν的离散化。如果px和Py与px和Py一致，那么离散化节点x和y必须比输入击数集更精确，我们可以将其写成ox<Kx，y<Ky，xm>kxm和yn>KyN；o尽管我∈ {1，…，M- 1} ，这里有ki∈ {2，…，m- 1} 这样Kxi≤ xki≤ Kxi+1，以及allj∈ {1，…，N- 1} ，存在kj∈ {2，…，n- 1} 这样Kyj≤ ykj≤ Kyj+1。引理3.6的证明。对于任何集合A，确定符号 R、 定义px（A）：=P{i:xi∈A} pxiand py（A）：=P{j:yj∈A} pyj。特别是对于任何z∈ [0，yn]我们有py（[0，z]）=X{j≤n:yj≤z} pyj和px（[0，z]）=X{i≤男：习≤z} pxi。进一步定义函数δF:R+→ R乘以δF（z）：=py（[0，z]）- px（[0，z]）。假设2.1和引理3.6（i）中的边界条件可以写成（3.3）（η（A）=（px（A）- py（A））+>0，对于任何A [a，b]，γ（a）=（py（a）- px（A））+>0，对于任何A [0，yn]\\[a，b]。现在定义函数fx，gy:R+→ R+按外汇（K）：=hpx（x）- K） +i和gy（K）：=hpy，（y）- K） +i.根据[2，第2章，定义2.1.6]，平衡条件px 一旦fx和GY与fx（K）重合，PY就会满足≤ gy（K）代表所有K∈ R+。因为px和py有非负分量，函数fx和gy是凸的，所以我们要证明fx（·）≤ R+上的gy（·）。我们首先表明，条件是≤ X和xm≤ 这是必要的。

如果x<y，那么fx（K）=gy（K）=1-KforAll K∈ [0，x]。此外，对于任何K∈ （x，x∧ y） ，gy（K）=1- K和fx（K）=Pmi=2pxi（xi- K） =给定边际7（1）的远期微笑的无套利界限-K） +px（K）-x） >（1）-K） ，这违反了balayage命令。类似地，如果xm>yn，让我*:= inf{i：xi≥ yn}；那么对于任何K∈ （yn，xm），gy（K）=0，fx（K）=Pmi=i*pxi（xi）- K） 由此得出结论。现在介绍函数G:[0，yn]→ R asG（K）：=gy（K）- fx（K）=X{j:yj>K}pyj（yj- （K）-X{i:xi>K}pxi（xi- （K）=X{i:xi>K}pxi-X{j:yj>K}pyjK+X{j:yj>K}pyjyj-X{i:xi>K}pxixi。（3.4）函数G在[0，yn]上是分段线性的，在点{xi}1处不可微≤我≤mand{yj}1≤J≤n、 [0，yn]和G（0）=G（yn）=0上的最大值和最小值。如果G（K），引理随后出现≥ 0代表所有人∈ [0，yn]。允许+G表示其在[0，yn]上的右导数（按约定）+G（yn）=0）。因此，G的正性以及0和y处的边界条件相当于：+G（K）≥ 0，为了所有的K≤ K*和+G（K）≤ 0，所有K>K*,K在哪里*:= arg最大千克（K）。因此，从（3.4）中，我们可以写出任何K∈ [0，yn]，+G（K）=X{i:xi>K}pxi-X{j:yj>K}pyj=X{j:yj≤K} pyj-X{i:xi≤K} pxi=δF（K），其中δF定义如上。由于δF是分段常数，因此仍需证明它允许在[0，yn]的唯一子集上获得最大值和最小值。首先请注意，δF（0）=0=δF（yn），并且δF对[0，yn]的成像是精确的[-1, 1]. 对于任何一个z∈ [0，a）∪（b，yn]，δF（z）=γ（[0，z]），因此δF是[0，a]上的一个增函数∪ 然而，在[a，b]上，有δF（z）=py（[0，z]）- px（[0，z]）=py（[a，z]）- px（[a，z]）+py（[0，a））- px（[0，a））=-η（[a，z]）+γ（[0，a））。由于γ（[0，a））>0且η是[a，b]上的一个度量，那么δF在[a，b]上减小。

因此存在一个四重态（c，d，e，f），使得[c，d] [0，yn]，[e，f] [0，yn]和[c，d]=arg maxzδF（z）和[e，F]=arg minzδF（z）。因此，δF（·）≥ [0，z]上的0*) 和δF（·）≤ [z]上的0*, 来点z*∈ （d，e）。备注3.8。请注意，离散假设2.1直观地表明，基础价格过程的方差随到期日而增加，这是所有随机波动率模型的情况。引理3.6提供了一般条件，以确保在连续测度的离散化下保持凸序。然而，对于一般分布，甚至对于通过算法3.2获得的分布，很难从分析上进行验证。在下面的图1中，我们提供了一些数字证据，证明这些分布的凸序是保持不变的。3.3. 原始和双重表述。我们在这里集中讨论上界的原始公式和对偶公式的离散化，并注意到一个类似的公式适用于下界。我们使用算法3.2通过离散随机变量standest+τ来近似随机变量standst+τ，分布px和py在x上∈ Rm+和y∈ Rn+。原始问题（2.1）的线性规划，然后readsP（u，ν）：=maxζ∈Mm，n+Xi，jζi，j | yj- Kxi |，（3.5）受制于（kζi，·k）i=1，。。。，m=px，（kζ·，jk）j=1，。。。，n=py，（hζi，·，（xi）- y） i）i=1，。。。，m=0∈ Rm，其中Mm，n+表示大小为m×n且具有非负项的矩阵集。对于对偶问题，表示看涨期权价格（行使K和到期t）oneStbyeC（t，K）：=E（eSt-K） +=Pmi=i*（十一）-K） pxi，其中8 SERGEY BADIKOV、ANTOINE JACQUIER、DAPHNE QING LIU和PATRICK ROOME0。4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0罢工。00.10.20.30.40.5价格=1.00T=1.50图1。使用Black-Scholes模型的离散密度计算到期日t=1（虚线）和t+τ=1.5（交叉）的买入价格，参数σ=0.2。

作为一致性检验，到期日为t+τ的看涨期权价格严格大于到期日为t的看涨期权价格，并且这两个函数都是凸函数。我*:= inf{1≤ 我≤ m:xi>K}andeC（t，K）=0如果xm≤ K.下一个结果对于对偶问题的离散化至关重要，随后是对伸缩和的简单但谨慎的操作。引理3.9。让我∈ N和K=（K，…，Kl）。对于任何一维实随机变量Z，以下表示几乎完全成立：（3.6）~n（Z）=~n（K）+D（K）（Z）- K） ++l-1Xi=2（Dа（Ki）- D（Ki）-1） ）（Z- Ki）+对于任何连续函数，其中前向有限差分算子D定义为asD~n（Ki）：=（Ki+1）- ν（Ki）Ki+1- 对于i=1，L- 1.现在让Z=eSt，~n≡ ψ、 考虑Kx的向量∈ RM+。等式（3.6）可以重写为ψ（eSt）=wx+wx（eSt）- Kx）++M-1Xi=2wxi（东部）- Kxi）+，其中l=M，其中权重wxreadwx:=ψ（Kx），wx:=Dψ（Kx），wxi:=Dψ（Kxi）- Dψ（Kxi）-1） ，对于i=2，M- 所以eψ（eSt）=wx+wxE美国东部时间- Kx++M-1Xi=2wxieC（t，Kxi）。同样地，对于Z=eSt+τ，ν≡ ψ和Ky∈ RN+，一个类似的公式在时间t+τ：Eψ（eSt+τ）=wy+wyE时成立eSt+τ- 基尼++N-1Xi=2wyieC（t+τ，Kyi），带有标识（来自（3.6））l=N，其中权重wyreadwy:=ψ（Ky），wy:=Dψ（Ky），wyi:=Dψ（Ky）- Dψ（Kyi）-1） ，对于i=2，N- 1.定义集合X:={（X，y）：X∈ 补充（东部），y∈ Supp（eSt+τ）}，从现在开始假设kx和Kyaresuch that≥ KxandeSt+τ≥ 几乎可以肯定（相当于Kx≤ 克山德基≤ y） ，因此，给定边际性质（通过算法3.2确保）的前向微笑的鞅无套利界产生E（eSt- Kx）+=1- kx和E（eSt+τ）- Ky）+=1- Ky.然后，二元问题（2.2）的读数为（3.7）D（u，ν）=min（v+wx+wy+M）-1Xi=2wxieC（t，Kxi）+N-1Xi=2wyieC（t+τ，Kyi）：（wx，wy，δ）∈ RM+N×Cb（R+），带wx=（wx，…，wxM）-1） ，wy=（wy。

，温-1） ，受限制v+wxx+wyy+M-1Xi=2wxi（x- Kxi）++N-1Xi=2wyi（y）- Kyi）+δ（x）（y- 十）≥ |Y- Kx |，代表所有人（x，y）∈ 十、 wx+wy- wxKx- wyKy=v。这里的对偶问题是半有限维的，因为最小化是在有限维向量Wx和wy上进行的，而且也是在R+上的连续和有界函数δ空间上进行的（只考虑连续和有界函数，而不是[3，第1.5节]中指出的有界可测函数就足够了）。将鞅条件纳入离散化的重要性至关重要。这很容易在下面的原始问题的例子中看到，这也产生了对偶问题。假设St以50%的概率取值为0.75或1.25，St+τ以50%的概率取值为0.5或1.5。注意E（St）=E（St+τ）=1。我们考虑原始问题。约束条件kζi，·k=ui和（hζi，·xi- y） i）i=0完全确定概率ζ1,1=ζ2,2=3/8和ζ1,2=ζ2,1=1/8。只有当ν=ν=1/2或E（St+τ）=1时，最终约束kζ·，jk=νjare才为真。否则，这个LP将没有解决方案。这强调了问题的一致无套利离散化的重要性。3.3.1. 对偶函数的近似。为了将对偶问题（3.7）简化为纯有限维问题，我们进一步为连续和有界的三角洲树篱δ增加了一层离散化。与[10]类似，Fix Mb∈ N和有限维基（φi）i=1，。。。，Mbon Cb（R+），让wb:=（wb。

，wbMb）是一个矢量元；然后确定离散化套期保值δ：R+→ R为（3.8）eδ（x）：=MbXi=1wbiφi（x），因此新的（离散化的）对偶问题现在具有以下有限维形式：（3.9）Db（u，ν）=min（v+wx+wy+M）-1Xi=2wxieC（t，Kxi）+N-1Xi=2wyieC（t+τ，Kyi）：（wx，wy，wb）∈ RM+N+Mb），受限制v+wxx+wyy+M-1Xi=2wxi（x- Kxi）++N-1Xi=2wyi（y）- Kyi）+eδ（x）（y）- 十）≥ |Y- Kx |，代表所有人（x，y）∈ 十、 wx+wy- wxKx- wyKy=v.4。对于at the money caseIn[14]的原始解，Hobson和Klimek推导出了at the money（K=1）向前起动跨座的下界最优鞅运输计划。允许（z） ：=Rzfν（u）du-Rzfu（u）du适用于所有z≥ 0; 那么，霍布森和克里梅克分析中至关重要的假设2.1等价于 只有一个最大化子[7，引理5.1]。这一假设对两个定律u和ν之间的差异的尾部行为施加了限制，并在Black-Scholes案例中得到了明显的满足。10 SERGEY BADIKOV、ANTOINE JACQUIER、DAPHNE QING LIU和PATRICK ROOME4。1.运输平台的结构。货币远期开始时的跨盘交易的关键风险在于，顺位相当于做空标的资产条件分布的峰度（例如参见[15]的引言）。因此，为了生产尽可能低的价格，要求运输计划将条件分布的峰度最大化似乎是合理的。这确实是[14]中解决方案的结构。我们留下了尽可能多的公共质量（u）∧ ν） 然后通过两个递减函数p:[a，b]将[a，b]上的剩余质量η映射到分布γ的尾部→ [0，a]和q:[a，b]→ [b]，∞).

利用鞅条件，Hobson和Klimmek[14]导出了（p，q）的耦合微分方程组：（4.1）p′（x）=q（x）- xq（x）- p（x）fu（x）- fν（x）fu（p（x））- fν（p（x）），q′（x）=x- p（x）q（x）- p（x）fu（x）- fν（x）fu（q（x））- fν（q（x）），带边界条件sp（b）=inf{x≥ 0：γ（[0，x]）>0}，q（b）=inf{x≥ 0:γ（[0，x]）>γ（[0，b]）}，p（a）=sup{x≥ 0:η（[0，x]）<η（[0，a]），q（a）=sup{x≥ 0：γ（[0，x]）<1}。通过取极限，我们得到p（a）=a，p（b）=0q（a）=+∞ q（b）=b，另见[7，命题5.6].4.2。导入。（4.1）中等式的右侧在边界点处未定义。L\'H^opital法则的应用表明↑bq′（x）=-1如果f′u（b）6=f′ν（b），这是实践中的合理假设，如第5节所示。另一方面，limx↑bp′（x）取决于边际测度u和ν。例如，在第5节的对数正态分布示例中，我们发现p′（x）=Oeα（对数p（x））对于某些α>0，当x从下方趋向于b，并且limx↑bp′（x）=- ∞ （例如，参见图2（b））。另一方面，如果对于示例fu（0）6=fν（0）或f′u（0）6=f′ν（0），则limx↑bp′（x）=0。为了避免这些问题，以便我们可以应用龙格-库塔方法来解决这些常微分方程，我们引入了以下预处理步骤：fix a小ε>0（在我们的实现中，我们选择ε=0.001），将（4.1）的两边积分到[b]上-ε、 b]然后使用矩形规则对未知值p的积分进行近似计算*:= p（b）-ε） q*:= q（b）-ε).

这就产生了p的以下同时方程*q*我们用数值方法求解：p*= -εq*- b+εq*- P*fu（b）- ε) - fν（b）- ε） fu（p*) - fν（p）*),Q*= B- εb- ε - P*Q*- P*fu（b）- ε) - fν（b）- ε） fu（q）*) - fν（q）*).这些方程可以很容易地简化为一个根搜索；第一个方程式给出了SQ*=（p*)[fu（p*) - fν（p）*)] + ε（b）- ε） [fu（b）- ε) - fν（b）- ε） ]p*[fu（p*) - fν（p）*)] + ε[fu（b）- ε) - fν（b）- ε） ]的表达式，然后将其插入到第二个方程中，求解p*. 然后（4.1）中的对（p，q）被解为x∈ [a，b]-ε] 使用标准龙格库塔方法和新的边界条件p（b-ε） =p*, q（b）-ε） =q*.然后，使用给定边际密度ρ的远期微笑的最优条件无套利边界，给出货币远期起始跨座价格的下界*[14，第199页]中给出的（Y=Y | X=X）：ρ*（Y=Y | X=X）=fη（x）fu（x）q（x）- xq（x）- p（x）{y=p（x）}，如果y<x，1.-fη（x）fu（x）, 如果y=x，fη（x）fu（x）x- p（x）q（x）- p（x）{y=q（x）}，如果y>x，则直接计算yieldE（|y）- X |）=ZRE（| Y）- X | | X=X）fu（X）dx=ZRZRρ*（Y=Y | X=X）fu（X）| Y- x | dydx=ZRZx-∞fη（x）q（x）- xq（x）-p（x）{y=p（x）}y-x | dydx+ZRZ+∞xfη（x）x- p（x）q（x）-p（x）{y=q（x）}y-x | dydx=Zba2（x- p（x））（q（x）-x） q（x）- p（x）fη（x）dx。(4.2)5. 无套利边界的数值分析我们现在展示了第3节和第4节中关于Black-Scholes和Hestonles模型的数值方法。这些例子涉及远期启动期权价格（以及远期隐含波动率微笑），我们现在很快就会回忆起来。在Black-Scholes模型中，风险中性度量下的股票价格过程的动力学由dSt=St∑dWt，S=1给出，其中∑>0表示瞬时波动率，W表示标准布朗运动。

此时，看涨期权的无套利价格为BS（τ，K，∑）：=E（Sτ）- K） +=N（d+）- ekN（d）-), 带d±=-k∑√τ±Σ√τ、 其中N是标准正态分布函数。由于股票价格过程的增量是固定的和独立的，因此远期开始时支付（St+τ- KSt）+t，τ>0等于BS（τ，K，∑）。对于给定的市场或模型价格，期权在行使K、远期开始日期t和到期日τ时的Cobs（t，τ，K），远期隐含波动率σt，τ（K）被定义为Cobs（t，τ，K）=BS（τ，K，σt，τ（K））的唯一解。在以下两小节中，我们将考虑根据Black-Scholes和Heston模型计算的观察到的普通看涨期权价格。我们将根据第3.3节，通过考虑离散化随机变量的紧区间[0,5]标准+τ，m=n=500离散点，离散相应的对偶问题；观测到的走向向量取Kx=Ky={0.3,0.4,0.5，…，2}.5.1。B-lack-Scholes模型的应用。设N（m，∑）表示均值和方差为∑的高斯分布，并假设随机变量为St+τ，按对数（St）分布~ N-∑t，∑t和对数（St+τ）~ N-∑（t+τ），∑（t+τ）.显然，一个候选鞅耦合是波动率∑且从S=1开始的Black-Scholes模型；在这种情况下，远期波动率，即根据远期启动期权计算的隐含波动率，是恒定的，也等于∑。在图2（a）中，我们考虑了∑=0.2、t=1和τ=0.5的值，并绘制了林分St+τ的分布图。在图2（b）中，我们绘制了通过（3.9）离散对偶问题（2.2）计算出的远期隐含波动率微笑的上下限。