对于给定边际的远期微笑，无套利边界

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《No-arbitrage bounds for the forward smile given marginals》
---
作者：
Sergey Badikov, Antoine Jacquier, Daphne Qing Liu, Patrick Roome
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  We explore the robust replication of forward-start straddles given quoted (Call and Put options) market data. One approach to this problem classically follows semi-infinite linear programming arguments, and we propose a discretisation scheme to reduce its dimensionality and hence its complexity. Alternatively, one can consider the dual problem, consisting in finding optimal martingale measures under which the upper and the lower bounds are attained. Semi-analytical solutions to this dual problem were proposed by Hobson and Klimmek (2013) and by Hobson and Neuberger (2008). We recast this dual approach as a finite dimensional linear programme, and reconcile numerically, in the Black-Scholes and in the Heston model, the two approaches.
---
中文摘要：
我们探讨了在给定报价（看涨期权和看跌期权）市场数据的情况下，远期启动交易的稳健复制。解决这个问题的一种方法经典地遵循半无限线性规划参数，我们提出了一种离散化方案来降低其维数，从而降低其复杂性。或者，我们可以考虑对偶问题，其中包括寻找最优鞅测度，在该鞅测度下，上界和下界都可以得到。Hobson和Klimek（2013年）以及Hobson和Neuberger（2008年）提出了这一双重问题的半解析解。我们将这种对偶方法改写为一个有限维线性规划，并在Black-Scholes和Heston模型中对这两种方法进行了数值协调。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

---
PDF下载：
--> No-arbitrage_bounds_for_the_forward_smile_given_marginals.pdf (957.31 KB)

2022-5-11 02:04:19 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：无套利 Differential Quantitative Applications Probability

考虑到边缘球员巴迪科夫、安托万·贾奎尔、刘达芙妮·清和帕特里克·鲁梅布拉特，远期微笑的无套利界限。我们探讨了在给定报价（看涨期权和看跌期权）市场数据的情况下，远期启动交易的稳健复制。解决这个问题的一种方法通常遵循半有限线性规划参数，我们提出了一种离散化方案来降低其维数，从而降低其复杂性。或者，我们可以考虑对偶问题，其中包括寻找最优鞅测度，在该测度下，上界和下界都可以得到。Hobson和Klimek[14]以及Hobson和Neuberger[15]提出了这个对偶问题的半解析解。我们将这种双重方法重新定义为一个有限维线性规划，并在Black-Scholes和Heston模型中对这两种方法进行了数值协调。1.引言自David Hobson的开创性贡献[12]以来，一个重要的文献流一直专注于开发多维衍生产品或路径依赖期权的无模型次（超）套期保值，给出了一组欧式期权工具。关键观察结果是，无模型次（超）套期保值成本与斯科罗霍德嵌入问题密切相关（参见霍布森[13]和Ob l\'oj[18]在数学金融背景下的详尽调查论文）。最近，Beiglb¨ock、Henry Labord\'ere和Penkner[3]在鞅最优运输理论的框架下研究了这个问题。假设欧洲看涨/看跌期权价格在所有履约和某些到期日都是已知的（相当于资产价格的边际分布在这些时间是已知的），那么最优运输就会产生与这些边际分布一致的衍生产品价格的无套利范围。

主要问题是在所有与边际一致的联合鞅测度（运输计划）上，努力找到这些价格的上确界或内确界。反过来，双重问题寻求找到“最佳”的次（超级）复制投资组合；这种双重公式具有自然财务解释的优点，可以被转换为（最终）线性程序，适用于数值实现，如[10]所述。前向启动选项（I型和II型）是适用于这些技术的最简单产品之一。货币类型II远期启动跨区间（带payoff | St+τ）时的价格上限-Hobson和Neuberger[15]计算了St | forsome t，τ>0），其中最优鞅测度的支持度为二叉树。不幸的是，最优测度和相关的超级套期保值组合在分析上是不可用的。Hobson和Klimmek[14]半解析地描述了moneyType II远期启动跨座价格下限的鞅最优转移计划，并通过求解一组耦合常微分方程找到了转移计划（沿三项式树支持）。最近，Campi、Laachir和Martini[7]研究了这些二维最优运输问题的数值变化日期：2021年11月28日。2010年数学学科分类。91G20、91G80、90C46、90C05、90C34。关键词和短语。

鞅最优运输，鲁棒界，前向启动，赫斯顿。作者们感谢克劳德·马蒂尼（Claude Martini）激发了讨论，感谢匿名推荐人提供了有益的建议。AJ感谢EPSRC第一批拨款EP/M008436/1.2 SERGEY BADIKOV、ANTOINE JACQUIER、DAPHNE QING LIU和PATRICK Roomean提供的财务支持，并表明在某些技术条件下，Hobson-Klimek转让计划也实现了货币远期开始交易时I型的下限。在本文中，我们用数值方法研究了II型远期起跳的无套利界限。第2节介绍了与最优运输问题相对应的有限维线性规划。第3节通过离散t和t+τ时边际分布的支持度来降低问题的维数，这尊重了原始问题和对偶问题与观察到的期权价格的一致性，并产生了稳健的数值结果。我们的离散化方法不同于Henry Labord\'ere[10]，需要的点数要少得多，从而降低了要求解的有限维线性规划的复杂性，从而提高了算法速度。在第5节中，我们专门计算了aBlack-Scholes模型（对数正态边际）和Heston随机波动率模型产生的边际分布的上界和下界。在货币情况下的下界中，我们在第4节数值求解了与Hobson-Klimmek转移计划有关的耦合常微分方程，并表明它与对偶问题的LP解非常一致。在第6节中，我们对原始问题进行了数值求解，并为大范围的打击提供了最佳运输计划。

交通计划仅在金钱案例[14,15]中才为人所知，我们强调了数字证据，表明在这些案例中，最优转移计划更为微妙，似乎是金钱计划下限和上限的组合。直观地说，极值测度产生的aprice要么对应于乘积的最大值，要么对应于乘积的最小值。在前向启动选项案例中，该极值度量最大化或最小化资产价格过程条件分布的峰度（具体参见第4节和第6节以及[14,15]）。因此，如果选择的模型未能准确描述峰度，可能会导致错误的风险敞口。在第5节探讨的例子中，符合边际法则的向前微笑的范围很大，与[10，第5.5节]中的数值相同。如此广泛的价格范围支持这样一种说法，即使用欧洲普通期权复制依赖于远期波动性的主张似乎是虚幻的。因此，远期启动期权应被视为异国期权定价的基本组成部分，不可分解（或近似分解）为欧洲期权。在场外交易市场上，远期启动期权通常可以从cliquet期权中获得。Cliquet期权一直是股票市场上流行的工具[6]，也是保险公司的对冲工具（所谓的弹性指数期权，其详细信息可在CBOE网站上找到）。用于远期波动性相关的exotics的模型应能够校准远期启动期权价格，并应产生与交易预期和可观察价格一致的真实远期微笑。注：Bb（R）表示实线上的有界可测函数集，R+：=[0，∞) 代表正半线；h·，·i表示欧氏内积，k·k表示Lnorm。2.

问题公式我们考虑一个资产价格过程≥0从S=1开始，我们假设利率和除数为空。对于t，τ>0，让u和ν表示林分St+τ的分布，假设其具有共同的有限平均值，支持[0，∞), 对于勒贝格测度是绝对连续的。我们说二元lawζ是一个鞅耦合，并写出ζ∈ M（u，ν），如果ζ有边缘u和νandRy∈R+（y）-x） ζ（dx，dy）=0每x∈ R+。在[22]之后，我们将说u和ν是凸的或平衡的顺序（我们表示u） ν） 如果他们有相等的平均值和满意度r+（y-x） +u（dy）≤RR+（y）-x） 所有x的+ν（dy）∈ R.对于给定边际3的正向微笑，这种假设无套利边界确保（见[2]）集合M（u，ν）不为空。我们的目标是找到与两个边际分布一致的最紧的上界和下界，用于向前开始跨段支付| St+τ-K>0的KSt |。

为此，我们定义了我们的主要问题：（2.1）P（u，ν）：=infζ∈M（u，ν）ZR+|y- Kx|ζ（dx，dy）和p（u，ν）：=supζ∈M（u，ν）ZR+|y- Kx |ζ（dx，dy）。我们现在定义了以下子复制和超级复制投资组合：Q：=(ψ, ψ, δ) ∈ L（u）×L（ν）×Bb（R+）：ψ（y）+ψ（x）+δ（x）（y）- 十）≤ |Y- Kx |，代表所有x，y∈ R+,问：=(ψ, ψ, δ) ∈ L（u）×L（ν）×Bb（R+）：ψ（y）+ψ（x）+δ（x）（y）- 十）≥ |Y- Kx |，代表所有x，y∈ R+.如果（ψ，ψ，δ）∈ Q（分别为∈ Q） THNRR+| y-Kx|ζ（dx，dy）≥ (≤)RR+ψ（x）u（dx）+RR+ψ（y）ν（dy）。然后将双重问题定义为所有次（超）复制投资组合的上确界（内确界）：（2.2）ZR+|y-Kx|ζ（dx，dy）≥ sup（ψ，ψ，δ）∈Q（ZR+ψ（x）u（dx）+ZR+ψ（y）ν（dy））=:D（u，ν），ZR+|y-Kx|ζ（dx，dy）≤ inf（ψ，ψ，δ）∈Q（ZR+ψ（x）u（dx）+ZR+ψ（y）ν（dy））=:D（u，ν）。在[3，定理1和推论1.1]中，作者证明（实际上对于更一般的支付函数类）不存在对偶间隙，即等式P（u，ν）=D（u，ν）和P（u，ν）=D（u，ν）都成立。然而，正如[3，命题4.1]所证明的，对偶问题中可能无法获得最优值。在[14]和[15]中，作者表明，在货币情况下（K=1），通过对度量u和ν的额外离散假设，对偶问题（2.2）的最佳值实际上得到了实现。更准确地说，以下结果总结了[14]（有关技术假设的更多细节，请参见下文第4节）：假设2.1。η的支持度：=（u）- ν） +由区间[a，b]给出 R+，以及γ的支撑：=（ν）- u）+由R+\\[a，b]给出。定理2.2。集合等式D（u，ν）=P（u，ν）和D（u，ν）=P（u，ν）成立，并得到（2.1）中的原始最优解：存在鞅测度ql和QUin M（u，ν），使得P（u，ν）=EQL|St+τ- KSt |和p（u，ν）=eq | St+τ- KSt |。此外，在假设2.1下，当K=1.3时，可获得对偶问题（2.2）的上确界和内确界。

原问题和对偶问题的无套利离散化3。1.密度的无套利离散化。设t>0是某个给定的时间范围，stt是描述时间t时股价的随机变量，μs是St.Fix m>1的定律，假设我们给定一个集合x=（x，…，xm）∈ 0<x<x<…<xmin表示u，在从u取样的点x处用原子qia表示离散分布q（例如，如果u允许密度f，则一个cantake qi=f（xi）/Pmi=1f（xi））。我们希望找到一个离散分布p，接近q，与第一个l匹配≤ μm，特别是满足“鞅”条件hp，xi=1。让T:R+→ Rl+由T（x）：=（x，x，…，xl）给出，并定义力矩向量T:=RR+T（x）u（dx）∈ Rl+。这种匹配条件不一定与给定的（欧洲）期权价格一致。为了确保离散概率为这些期权定价，我们增加了第二层：Borwein、Choksi和Mar’echal[4]建议通过最小化KullbackLeibler发散到均匀分布（他们还评论说，可以选择任何先验分布），从观察到的欧洲看涨期权市场价格中恢复离散概率分布。4 SERGEY BADIKOV，ANTOINE JACQUIER、DAPHNE QING LIU和PATRICK ROOMEIn，特别是考虑到欧洲看涨期权价格P∈ RM+，在t成熟，Streesk<···<KM，我们可以解决最小化问题：（3.1）minp∈[0,1]m:kpk=1mXi=1pilog皮奇, 从属于（hCj（x），pi）j=1，。。。，M、 （hTj（x），pi）j=1，。。。，L= （P，T）。对于一些先验离散分布q，其中Cj（x）：=（（x）- Kj）+，（xm）- Kj）+），对于j=1，M、 表示期权的支付向量，Tj（x）：=（xj，…，xjm）是第j个矩向量（j=1，…，l）。定义3.1。

当下列条件成立时，离散分布p与p一致：（i）Pmi=1pi=1；（ii）hCj（x），pi=Pmi=1piCj（xi）=Pj，对于所有j=1，M（iii）hT（x），pi=hx，pi=T=1；请注意，上述定义中的最后一项只是鞅条件。必须注意的是，如果已知STI的全部边际分布u，可以在上面选择欧洲期权的任何有限子集，价格向量可以定义为P:=RR+C（x）u（dx），其中C（x）：=（（x- K） +，…,，（十）- 公里+）∈ RM+适用于任意x∈ R+。特别是，这个问题的解决方案可以通过修改[23]中的解决方案来获得，该解决方案本身基于Borwein和Lewis[5，推论2.6]：（3.2）pi=qiexphλ*, （C（xi，T（xi））iPmi=1qiexphλ*, （C（xi，T（xi））i, λ在哪里*:= argminλ∈RM+l(-hλ，（P，T）i+logmXi=1qiehλ，（C（xi），T（xi））i！）。我们现在可以考虑以下算法：算法3.2。（i） 对于m点0<x<…<xm；例如：（a）二项式：让∑表示货币对数正态波动率（对于t到期的欧洲期权）。设置δ：=t/（m）-1） ，u:=1+eΔ∑- 1.1/2，d:=1-eΔ∑- 1.1/2和xi:=ui-1毫米-我（b） Gauss-Hermite：xi：=exi，其中x。。。，~xm是N点高斯-厄米求积的节点。（ii）对于离散分布q，我们可以遵循以下几种途径：（a）如果μ允许密度fμ，那么，对于i=1，m、 设定qi:=fu（xi）/Pmj=1fu（xj）；（b） 或者，对于i=1。。。，m、 设qi:=u（[xi-1，xi））（x=0）；（iii）通过（3.2）计算离散化度量p。备注3.3。正如Tanaka和Toda[23]所指出的，离散点x的选择。

，xmin算法3.2由积分srr+（C（x），T（x））dfu（x）的离散化决定≈Pmi=1w（xi）（C（xi），T（xi））fu（xi）。根据给定的求积规则选择权重w（·）；在算法3.2的情况下，权重选择为常数w（xi）=（Pmi=1fu（xi））-1对于所有i=1，m、 在离散化节点和给定打击满足某些特定顺序的特定情况下，可以选择一个更明确的加权方案p，该方案与p一致，对离散化的选择有最小假设：引理3.4。设m=m+2。如果两组条件都成立，则与P的一致性是必然的：（i）x<K，xM+2≥ （下午）-1公里- PMKM-1） /（下午）-1.- PM）和xi+1=kii=1，M给定边际5（ii）pM+2=pM/（xM+2）的远期微笑的无套利界限- 公里），p=1-M+2Xj=2pj，对于任何i=M，1，pi+1=xi+1- 基-1.圆周率-1.-M+2Xj=i+2pj（xj- 基-1),按照约定K:=x和P:=1- x、 证据。因为打击是有序的，向量：=（1，1，P，…，PM）\'∈ RM+2满足无套利条件（根据[8，定理3.1]），假设xM+2≥ （下午）-1公里- PMKM公司-1） /（下午）-1.- PM）表示xM+2>KM。加权方案与P的一致性可以写成Apx=P，其中a：=1 1 . . . . . . 1xx。xM+20（x- K） 。。。。。。（xM+2）- K） 。。。。。。。。。。。。。。。。。。0（xM- 公里-1） （xM+2）- 公里-1)0 . . . 0（xM+2）- 公里）和px：=嗯。。。pMpM+2.这里A是一个实上三角矩阵，所以系统有一个引理中给出的唯一解。还需要检查系统的可行解是否满足附加约束pi≥ 0表示i=1，M+2。自xM+2以来≥颗粒物-1公里-PMKM-下午1点-1.-PMit遵循pm+2=PMxM+2- 公里≤颗粒物-1.- PMKM- 公里-1.≤-公里-1公里以上- 公里-1，最后一个不等式来自看跌期权平价和无套利inP。