对于给定边际的远期微笑，无套利边界

使用HobsonKlimmek解和LP对偶解的货币情况下的下界几乎相同（6.95%对6.98%），说明了这两种方法的一致性。请注意，即使在这个简单的例子中，12谢尔盖·巴迪科夫（SERGEY BADIKOV）、安托万·贾奎尔（ANTOINE JACQUIER）、刘达芙妮（DAPHNE QING LIU）和帕特里克·洛姆（PATRICK Roome）可能出现的正面微笑的范围也是一致的。这两个边缘法则是广泛的。产生的边界的大小类似于【10】中获得的剪贴画选项的边界，剪贴画选项与前跨起跑非常密切相关。这种行为可以直观地解释为，没有使用任何条件工具来对冲跨盘，因此对t和t+τ之间的条件概率没有限制。唯一的限制是，这两个边际定律在这些时刻是按凸顺序排列的，从而产生了一大类可行鞅测度。aeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeàààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààà股票价格0.00.51.01.52.0。51.01.52.0PDF（a）密度。aeaeaeaeaeaeaeìììììììXX0。60.81.01.21.4罢工。10.20.30.40.50.60.7FwdSmile（b）通过对偶问题的鲁棒边界。图2。（a） 圆圈代表一年的对数正态密度，正方形代表1.5年的对数正态密度。（b） 圆圈代表与边缘一致的恒定Black-Scholes远期波动率∑。正方形和菱形是通过（3.9）求解对偶问题（2.2）得到的上下限；X十字是Hobson-Klimek解（4.2），用于货币情况下的下界。5.2. 应用于赫斯顿模型。

到期日t=1和t+τ=1.5的边际分布现在根据赫斯顿随机波动率模型[11]生成，其中股票价格过程是随机微分方程（5.1）dSt=St的唯一强解√VtdWt，S=1，dVt=κ（θ-Vt）dt+ξ√VtdZt，V=V>0，其中W和Z是两个一维标准布朗运动，其中dhW，Zit=ρdt，κ，θ，ξ>0和ρ∈ [-1, 1]. 这里我们考虑以下值：v=θ=0.07，κ=1，ξ=0.4和ρ=-0.8. 图3显示了（点）隐含波动率和相应的密度。图4显示了Hestonforward微笑，该微笑与对偶问题（2.2）的离散化版本（3.9）中的边缘（使用逆傅里叶变换表示和简单的根搜索方法计算）以及正向微笑的上下限一致。对于三角洲对冲（3.8）的离散化，我们考虑了多项式（φ，φ，φ）（x）≡ （1，x，x）。与Black-Scholes案例一样，货币波动率下限的Hobson-Klimmek解（7.77%）和对偶解（7.80%）几乎相同。图5（a）显示了超级套期保值中期权价格的收益：一个人在1.5年到期时进入具有长凸性的头寸，在1年到期时进入具有短凸性的头寸。在这两个例子中，符合边际法则的向前微笑的范围都很大。

使用欧式期权“锁定”（复制）远期波动性或对冲依赖于远期波动性的债权似乎是虚幻的。远期启动期权应被视为异国情调定价的基本组成部分，而不是可分解的，给定边际的远期无套利边界13aeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeàààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààà股票价格0.00.51.01.52.0。51.01.5PDF（a）密度。aeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeae0.60.81.01.21.4罢工。200.250.300.350.40微笑（b）即期隐含波动率。图3。（a） 圆圈（正方形）代表1年（1.5年）的边缘密度。（b） 圆圈（正方形）代表相应的spot隐含波动率。aeaeaeaeaeaeaeaeìììììììXX0。60.81.01.21.4罢工。10.20.30.40.50.60.7FWDSMILE图4。圆圈代表与边缘一致的赫斯顿远期波动率，正方形和菱形代表第3节中通过解决theLP问题找到的上下限，X是货币情况下下限的原始Hobson-Klimmek解（第4节）。0.00.51.01.52.0x0。51.01.51.01.51.01.51.01.52.50超级对冲（a）超级对冲（a）超级对冲（a）超级对冲（a）超级对冲（a）超级对冲投资组合和远期开始投资组合和远期开始支付支付（a）超级对冲（a）超级对冲（a）超级对冲（a）超级对冲（a）投资组合和远期开始投资组合和远期开始支付支付的超级对冲投资组合和远期开始支付支付（23）的（23日日日日日日日日日（23日日））））日，日日日日日（23日日（日日日日日日（日）））日（日日（日日（日（日日日日日））日，日日日（日（日（日日日（日）电电电电据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据据日日日日日日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方aeaeaeae0.51.01.52.02.53.0股价-8-6-4-2三角洲（b）离散三角洲对冲图5。罢工是为了钱：K=1。（a） 超级对冲投资组合（上图）和远期开始支付（下图）；（b） （3.8）中定义的最优离散三角洲对冲δ。（或近似可分解）为欧洲选项。

谢尔盖·巴迪科夫（SERGEY BADIKOV）、安托万·贾奎尔（ANTOINE JACQUIER）、刘达芙妮·清（DAPHNE QING LIU）和帕特里克·罗姆什（PATRICK Roomesh）等远期波动性相关外推模型应具有对远期启动期权价格进行校准的能力，且至少应产生与交易员预期和可观察价格一致的现实远期微笑。5.3. 关于离散化方法的说明。在上述两个例子中，离散化随机变量SENSTANDEST+τ在500个点上得到支持。这一选择是武断的，人们自然会对此提出质疑。在半无限的情况下，原始问题与其对偶保证[19，定理3.1]之间不存在对偶间隙，证明了离散化的存在，其值随着点数的增加而收敛于原始问题的值。此外，还获得了无限规划中离散化方案的收敛速度[19,21]。然而，我们在这里的设置（原始问题（2.1）及其对偶问题（2.2））是有限维性质的，据我们所知，不存在相应的结果（目前！）。一个一般的、理论的证明超出了我们的方法的范围，我们现在提供一些关于离散化方案的收敛性和稳定性的数值证据（3.9）。我们根据算法3.2选择两种不同的离散化网格来支持随机变量标准+τ：统一网格和由勒让德多项式组成的网格，两种网格的点数相同。下表1和表2显示了次级套期保值对偶问题的最优值，随着离散点数量的增加，对于远期开始跨接走向K的不同值。显然，重新定义离散网格只会在货币情况下（K=1）的最优值中产生微小变化，而在其他情况下几乎不会产生任何变化。

表3和表4显示了不同数量的离散点和不同的前向启动跨接走向K值的超级对冲对偶问题的最优值。重新定义离散网格只会对最优值产生微小的变化。与次级套期保值情况相反，可以观察到超级套期保值问题的最优值在所有罢工中的变化。最后，关于离散化方案和点数，次级和超级对冲对偶问题似乎都是非常稳定的。我们还想就最优投资组合相对于各分公司的收敛速度发表意见。Hobson和Neurberger[15，第6.2节]获得了（2.2）中定义的双变量（ψ，ψ，δ）的显式表达式，在对数正态情况下，对于货币远期开始跨区间（K=1）：（5.2）ψ（x）=-ξx ln x+ξx lnA sinh（ξ）-1)+ x coth（ξ）-1） ，ψ（y）=ξ（y）-y ln（A/ξ）- y） ，δ（x）=-ξlnx/A sinh（ξ）-1),其中，常数A和ξ使得套期保值组合的预期值ψ（x）+ψ（y）+δ（x）（y-x） 在超级对冲约束下最小化。他们还表明，解所达到的界是正确的[15，第10节]。我们计算了离散对偶解（3.9）和Hobson-Neuberger解（5.2）之间的超范数误差ε（n）（n是离散点的数目）。我们目视检查收敛率（即最高指数r，ε（n）~ O（drn））通过绘制对数（ε（n））/log（dn）与对数（dn）之间的关系来确定离散化网格尺寸dn。结果图如下图6所示。

如上所述，有限维线性规划问题不存在理论上的收敛速度；在这种极小的情况下，相应的曲线图大致保持不变。4）adadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadadad表1。次套期保值对偶问题的最优值（使用勒让德多项式的根）。75 250 500 1000 20000.6 0.4 0.4 0.4 0.40.7 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.30.8 0.2 0.2 0.20.9 0.10008 0.1 0.1 0.1 0.1 0.11 0.0388 0.0384 0.0384 0.03831.1 0.1006 0.1004 0.1004 0.2 0.2 0.0.2 0.21.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4 0.0.4 0.0.4。子套期保值对偶问题的最优值（使用统一网格）。7.7 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1453 0.1480.1480.1489 0.1490.1490.1490.1490.1490.1490.1490.0.3257 0.3257 0.3257 0.0.3257 0.7 0.3257 0.0.3257 0.0.3257 0.3257 0.0 0.3257 0.3257 0.0.0.3257 0 0 0 0.3257 0.7 0.7 0 0 0.3257 0.7 0.7 0.7 0 0 0.3257 0.0 0.3257 0 0.7 0.7 0 0 0.3257 0.0.0 0 0 0 0.3257 0.7 0 0 0.3257 0 0 0 0.3257 0.0 0 0 0 0 0.3257 0.0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.3257 0 0.0.4 0.4292 0.4314 0.4316 0.4316 0.4316表3。

超级对冲对偶问题的最优值（使用勒让德多项式的根）。16 SERGEY BADIKOV，ANTOINE JACQUIER，这一点的数量75 250 500 500 500 1000 1000 1000 1000 000 000 000 0.75 250 500 500 500 500 1000 1000 1000 000 000.50.0.4150.0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.4157 0.0 0.0 0.0.4157 0.4157 0.0.4157 0.4157 0.0.4157 0.0.7 0.0.0.0 0 0.3245 5 5 5 5 5 5 0.0.3255 0.3255 0.3255 0.3255 0.0 0 0.3255 0 0.3255 0.3257 0 0 0 0.3257 0.3257 0 0.3257 0 0.3257 0 0 0.3257 0 0 0.3257 0 0 0.3257 0 0.3257 0 0 0 0 0.3257 0.3257 0.3257 0 0 0 0 0 0 0.3257 0 0 0 0.3397 0.33971.4 0.4300 0.43150.4316 0.4316 0.4316表4。超级对冲对偶问题的最优值（使用统一网格）。图6。对数（ε（n））/log（dn）与对数（dn）的对比图，其中ε（n）是超范数误差。6.对第4节中提到的运输计划的数值分析，货币远期开始多头交易的关键风险在于，多头头寸相当于短于条件分布的峰度。下界情况下的解决方案（假设2.1）在第4节中进行了详细说明，其中——直观地——运输计划最大化了条件分布的峰度。在上限情况下（见[15]），运输计划的支持集中在一个二项式地图上，没有留下任何质量，即所有u的质量通过两个递增、连续和可微分的函数f，g:R映射到ν+→ R+f（x）≤ 十、≤ g（x）。函数fand g必须满足积分方程组[15，方程（5.19）和（5.20）]0=Zf-1（y）g-1（y）g（z）- F-1（y）g（z）- f（z）dz，1=Zf-1（y）g-1（y）g（z）- f（z）dz，如果有可能找到这个系统的解，那么[15，引理7.1]提供了货币情况下的最优性结果。直观地说，在这种情况下，解决方案最小化了条件分布的峰度。

对于远期微笑的无套利界限，考虑到货币期权的边际价值，情况更加微妙。随着罢工进一步远离货币，长期权头寸在条件分布的峰度上变得更长。直觉上，人们会期望交通计划是上面讨论的货币交通计划中的上下结合。使用第5节的对数正态分布示例，我们现在使用离散原始问题（3.5）对运输计划进行数值求解，并对运输计划的结构进行定性推测。离散随机变量SENSTANDEST+τ（见第3.3节）的支持分别取[0,10]（m=1000点）和[0,30]（n=3000点）；观测到的打击向量为againKx=Ky={0.3,0.4,0.5，…，2}，通过对每个桶上的对数正态密度进行积分，得到每个桶中的离散概率。1.01.52.0股票价格1。01.52.02.5股票价格图7。虚线和暗线是moneycase上限的交通地图，灰线是身份。水平轴和垂直轴为立杆St+τ。（a） 下限。0.91.01.11.2存货价格0。51.01.52.02.53.03.5股价（b）运输地图图8。这里的罢工是针对K=1的钱。（a） 在货币（K=1）下限情况下，测量u（圆）和ν（平方）的离散化，以及运输计划中必须保留的质量量（X）。（b） 根据（4.1）或通过解决原始问题（3.5）计算的剩余质量的传输图。在图7中，我们计算了货币上限情况下的运输图f和g，即（2.1）中的上限情况。在这种情况下，运输计划中没有留下任何质量；在图8中，我们绘制了货币下限情况下的运输计划。

这个下限情况与Hobson-Klimmek惊人地一致：尽可能多的质量留在原地，剩余质量通过两个递减函数映射到分布的尾部。请注意，与图2（b）中的交通地图一致。在这种情况下，前向波动率为6.92%，与Hobson-Klimek解析解和对偶函数的数值解相匹配。图9和图10显示了上限情况下的运输计划，K=0.7和K=0.9。随着打击从货币开始减少，越来越多的质量留在原地（从左尾开始），u的剩余质量通过两个递增函数映射到ν；其中一个将剩余质量映射到左尾18 SERGEY BADIKOV、ANTOINE JACQUIER、DAPHNE QING LIU和PATRICK ROOME（a）原地质量K=0.9：上限。1.01.21.41.6股票价格0。81.01.21.41.61.8股价（b）运输图K=0.9：上界。图9。（a） K=0.9上限情况下，测量值u（圆）、ν（平方）和运输计划中必须保留的质量量（钻石）的离散化。（b） 残余质量的传输图：轴标记如图7所示。（a） 就地质量K=0.7：上限。1.01.21.41.6股票价格0。60.81.01.21.41.61.8股票价格（b）运输地图K=0.7：上限。图10。（a） 在K=0.7上限情况下，离散测量u（圆）、ν（平方）和运输计划中必须保留的质量量（钻石）。（b） 残余质量的传输图：轴标记如图7所示。（a） 就地质量K=1.05：下限。1.11.21.31.41.51.61.7股票价格0。60.81.01.21.41.61.8股票价格（b）运输地图K=1.05：下边界。图11。

（a） 在K=1.05下限情况下，离散测量u（圆）、ν（平方）和运输计划中必须保留的质量量（钻石）。（b） 残余质量的传输图：轴标记如图7所示。而另一个将剩余质量映射到ν的右尾。对于比金钱更大的打击，阿米罗图像传输计划出现，其中越来越多的质量留在原地（从右尾开始），并且再次通过两个递增函数将u的剩余质量映射到ν（为简洁起见，我们省略了图）。给定边缘19（a）质量K=1.3：下界，向前微笑的无套利界限。0.81.01.21.41.6股价0。60.81.01.21.41.61.8股价（b）运输图K=1.3：下限。图12。（a） 在K=1.3下限情况下，对运输计划中的度量u（圆圈）、ν（正方形）和剩余质量量（钻石）进行离散化。（b） 残余质量的运输图：轴标记如图7所示。图11和图12显示了下限情况下的运输计划，K=1.05和K=1.3。随着打击从货币开始增加，留下的质量越来越少（首先从右尾移除质量），u的剩余质量通过两个函数映射到ν：一个将剩余质量映射到ν的左尾，另一个将剩余质量映射到ν的右尾。对于大型罢工，这些功能似乎在增加（图12（b）），但由于在金钱罢工时（图8（b）），交通地图正在减少，因此对于罢工损失的金钱，这些地图可能会减少11（b）。对于低于货币的打击，出现了一个镜像传输计划，其中质量越来越小（首先从左尾移除质量），并且通过两个函数将u的剩余质量映射到ν（为简洁起见，我们省略了图）。7。